Кр 4 применение свойств квадратного корня. Арифметический квадратный корень (8 класс)
В этой статье мы разберем основные свойства корней . Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n -ой степени.
Навигация по странице.
Свойства квадратного корня
В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня :
В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как 
. В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений
столь же часто, как и в «прямом» виде.
Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на . А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить .
Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел
: . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что - неотрицательное число, квадрат которого равен a·b
. Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство 
, а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .
Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a 1 , a 2 , …, a k равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .
Приведем примеры: и .
Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного
: . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство 
, а 
, при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.
Например, и 
.
Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа , в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a<0 .
Очевидно, что при a≥0
справедливо равенство . Также легко заметить, что при a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0
и (−a) 2 =a 2
. Таким образом, 
, что и требовалось доказать.
Приведем примеры: 
и 
.
Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a
– любое действительное число, а m
– любое . В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a 2·m
выражением (a m) 2
, тогда 
.
К примеру, 
и 
.
Свойства корня n-ой степени
Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени :
Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.
Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени , на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.
Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения
. Для неотрицательных a
и b
значение выражения тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство 
. По определению арифметического корня n
-ой степени и , следовательно, 
. Этим доказано рассматриваемое свойство корня.
Аналогично доказывается это свойство для произведения k
множителей: для неотрицательных чисел a 1 , a 2 , …, a n
выполняется 
и .
Приведем примеры использования свойства корня n
-ой степени из произведения: 
и .
Докажем свойство корня из частного
. При a≥0
и b>0
выполняется условие , а 
.
Покажем примеры: 
и 
.
Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n
. То есть, докажем, что и 
для любого действительного a
и натурального m
. При a≥0
имеем и , что доказывает равенство , а равенство очевидно. При a<0
имеем и 
(последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли 
для любого неотрицательного числа c
.
Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и 
.
Переходим к доказательству свойства корня из корня . Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства , которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a
корень из корня вида является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида 
. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.
Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно, 
.
Например, 
и .
Докажем следующее свойство сокращения показателя корня
. Для этого в силу определения корня достаточно показать, что есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m
равно a m
. Сделаем это. Понятно, что если число a
неотрицательное, то корень n
-ой степени из числа a
является неотрицательным числом. При этом 
, что и завершает доказательство.
Приведем пример применения разобранного свойства корня: .
Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида 
. Очевидно, что при a≥0
степень является неотрицательным числом. Более того, ее n
-ая степень равна a m
, действительно, . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.
Например, 
.
Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b , для которых выполняется условие a, то есть, a≥b . А это противоречит условию a
Для примера приведем верное неравенство 
.
Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n
-ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>n
и 0 Аналогично методом от противного доказывается, что при m>n
и a>1
выполняется условие . Приведем примеры применения доказанного свойства корня в конкретных числах. К примеру, верны неравенства и .
, то есть, a n ≤a m
. А полученное неравенство при m>n
и 0
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
\(\sqrt{a}=b\), если \(b^2=a\), где \(a≥0,b≥0\)
Примеры:
\(\sqrt{49}=7\), так как \(7^2=49\)
\(\sqrt{0,04}=0,2\),так как \(0,2^2=0,04\)
Как извлечь квадратный корень из числа?
Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?
Например . Извлеките корень: а)\(\sqrt{2500}\); б) \(\sqrt{\frac{4}{9}}\); в) \(\sqrt{0,001}\); г) \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)
а) Какое число в квадрате даст \(2500\)?
\(\sqrt{2500}=50\)
б) Какое число в квадрате даст \(\frac{4}{9}\) ?
\(\sqrt{\frac{4}{9}}\) \(=\)\(\frac{2}{3}\)
в) Какое число в квадрате, даст \(0,0001\)?
\(\sqrt{0,0001}=0,01\)
г) Какое число в квадрате даст \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести в неправильную.
\(\sqrt{1\frac{13}{36}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{6}\)
Замечание : Хотя \(-50\), \(-\frac{2}{3}\) , \(-0,01\),\(- \frac{7}{6}\) , тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.
Главное свойство корня
Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат - извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:
\((\sqrt{a})^2=a\)
Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)
Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}\)
Решение : \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
Пример . (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \((\sqrt{85}-1)^2\)
Решение:
Ответ: \(86-2\sqrt{85}\)Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие .
Пример
. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}\)
Решение:
Ответ: \(220\)
4 правила про которые всегда забывают
Корень не всегда извлекается
Пример : \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{53}\),\(\sqrt{200}\),\(\sqrt{0,1}\) и т.д. – извлечь корень из числа не всегда возможно и это нормально!
Корень из числа, тоже число
Не надо относится к \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{53}\), как-то особенно. Это числа, да не целые, да , но не все в нашем мире измеряется в целых числах.
Корень извлекается только из неотрицательных чисел
Поэтому в учебниках вы не увидите вот таких записей \(\sqrt{-23}\),\(\sqrt{-1}\),и т.п.
Название: Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса.
Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса алгебры и геометрии 8 класса.
Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.
СОДЕРЖАНИЕ
АЛГЕБРА
4
С-1 Рациональные выражение. Сокращение дробей 4
С-2 Сложение и вычитание дробей 5
К-1 Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей 7
С-3 Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень 10
С-4 Преобразование рациональных выражений 12
С-5 Обратная пропорциональность и ее график 14
К-2 Рациональные дроби 16
С-6 Арифметический квадратный корень 18
С-7 Уравнение х2 = а. Функция у = у[х 20
С-8 Квадратный корень из произведения, дроби, степени 22
К-3 Арифметический квадратный корень и его свойства 24
С-9 Внесение и вынесение множителя в квадратных корнях 27
С-10 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 28
К-4 Применение свойств арифметического квадратного корня 30
С-11 Неполные квадратные уравнения 32
С-12 Формула корней квадратного уравнения 33
С-13 Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета 34
К-5 Квадратные уравнения 36
С-14 Дробные рациональные уравнения 38
С-15 Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач 39
К-6 Дробные рациональные уравнения 40
С-16 Свойства числовых неравенств 43
К-7 Числовые неравенства и их свойства 44
С-17 Линейные неравенства с одной переменной 47
С-18 Системы линейных неравенств 48
К-8 Линейные неравенства и системы неравенств с одной переменной 50
С-19 Степень с отрицательным показателем 52
К-9 Степень с целым показателем 54
К-10 Годовая контрольная работа 56
ГЕОМЕТРИЯ (По Погорелову)
58
С-1 Свойства и признаки параллелограмма". 58
С-2 Прямоугольник. Ромб. Квадрат 60
К-1 Параллелограмм 62
С-3 Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника 63
С-4 Трапеция. Средняя линия трапеции 66
К-2 Трапеция. Средние линии треугольника и трапеции....68
С-5 Теорема Пифагора 70
С-6 Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная 71
С-7 Неравенство треугольника 73
К-3 Теорема Пифагора 74
С-8 Решение прямоугольных треугольников 76
С-9 Свойства тригонометрических функций 78
К-4 Прямоугольный треугольник (обобщающая контрольная работа) 80
С-10 Координаты середины отрезка. Расстояние между точками. Уравнение окружности 82
С-11 Уравнение прямой 84
К-5 Декартовы координаты 86
С-12 Движение и его свойства. Центральная и осевая симметрии. Поворот 88
С-13. Параллельный перенос 90
С-14 Понятие вектора. Равенство векторов 92
С-15 Действия с векторами в координатной форме. Коллинеарные векторы 94
С-16 Действия с векторами в геометрической форме 95
С-17 Скалярное произведение 98
К-6 Векторы 99
К-7 Годовая контрольная работа 102
ГЕОМЕТРИЯ (По Атанасяну)
104
С-1 Свойства и признаки параллелограмма 104
С-2 Прямоугольник. Ромб. Квадрат 106
К-1 Четырехугольники 108
С-3 Площадь прямоугольника, квадрата 109
С-4 Площадь параллелограмма, ромба, треугольника 111
С-5 Площадь трапеции 113
С-6 Теорема Пифагора 114
К-2 Площади. Теорема Пифагора 116
С-7 Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла треугольника 118
С-8 Признаки подобия треугольников 120
К-3 Подобие треугольников 122
С-9 Применение подобия к решению задач 124
С-10 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 126
К-4 Применение подобия к решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 128
С-11 Касательная к окружности 130
С-12 Центральные и вписанные углы 132
С-13 Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Замечательные точки треугольника 134
С-14 Вписанная и описанная окружности 136
К-5 Окружность 137
С-15 Сложение и вычитание векторов 139
С-16 Умножение вектора на число 141
С-17 Средняя линия трапеции 142
К-6 Векторы. Применение векторов к решению задач 144
К-7 Годовая контрольная работа 146
ОТВЕТЫ
148
ЛИТЕРАТУРА 157
ПРЕДИСЛОВИЕ
.
1. В одной сравнительно небольшой книге содержится полный набор проверочных работ (включая итоговые контрольные работы) по всему курсу алгебры и геометрии 8-го класса, благодаря чему достаточно приобрести один комплект книг на класс.
Контрольные работы рассчитаны на урок, самостоятельные работы - на 20-35 минут, в зависимости от темы. Для удобства пользования книгой в названии каждой самостоятельной и контрольной работы отражена ее тематика.
2. Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по трем уровням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обязательным программным требованиям, Б - среднему уровню сложности, задания уровня В предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике, а также для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях с углубленным изучением математики. Для каждого уровня приведено 2 расположенных рядом равноценных варианта (как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке достаточно одной книги на парте.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
- Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11 класса. Голобородько В.В., Ершова А.П., 2004
- Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004
- Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии, 8 класс, Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С., 2013