Правила построения с помощью циркуля и линейки. Построение с помощью циркуля и линейки

Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка АВ. Решение было уже дано на стр. 174-175. Далее, на стр. 175-176 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности АВ с центром О. Вот описание этого построения (рис. 47). Радиусом АО проводим две дуги с центрами A и В. От точки О откладываем на этих дугах две такие дуги ОР и OQ, что OP = OQ = АВ . Затем находим точку R пересечения дуги с центром Р и радиусом РВ и дуги с центром Q и радиусом QA. Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок OR, опишем дугу с центром Р или Q до пересечения с дугой AВ - точка пересечения и является искомой средней точкой дуги АВ. Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы ее центр и радиус.
2. Найти точки пересечения двух окружностей.
3. Найти точки пересечения прямой и окружности.
4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данного круга С с прямой, проходящей через данные точки А и В. Проведем дуги с центрами А и В и радиусами, соответственно равными АО и ВО, кроме точки О, они пересекутся в точке Р. Затем построим точку Q, обратную точке Р относительно окружности С (см. построение, описанное на стр. 174). Наконец, проведем окружность с центром Q и радиусом QO (она непременно пересечется с С): ее точки пересечения Х и Х" окружностью С и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек X и X" находится на одинаковых расстояниях от О и P (что касается точек А и В, то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке Q, отстоит от точек X и Х" на расстояние, равное радиусу круга С (см. стр. 173). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки X, X" и О, является обратной прямой АВ в инверсии относительно окружности С, так как эта окружность и прямая АВ пересекаются с С в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.) Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая АВ проходит через центр С. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 178, как середины дуг С, получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром В, пересекающуюся с С в точках В 1 и В 2 .

Метод проведения окружности, обратной прямой," соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками А, В и A", В" (рис. 50) Проведем произвольную окружность С и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым АВ и А"В". Эти окружности пересекаются в точке О и еще в одной точке Y, Точка X, обратная точке Y, и есть искомая точка пересечения: как ее построить - уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что Y есть единственная точка, обратная точке, одновременно принадлежащей обеим прямым АВ и А"В", следовательно, точка X, обратная Y, должна лежать одновременно и на АВ, и на А"В".

Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквивалентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем построение правильного пятиугольника; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, которые могут служить вершинами правильного вписанного пятиугольника.

Пусть Л- произвольная точка на окружности К. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить на К такие точки В, С, D, что АВ = ВС = CD = 60° (рис. 51). Проводим дуги с центрами А и D радиусом, равным АС; пусть они пересекаются в точке X. Тогда, если О есть центр K, дуга с центром А и радиусом ОХ пересечет К в точке F, являющейся серединой дуги ВС (см. стр. 178). Затем радиусом, равным радиусу K, опишем дуги с центром F, пересекающиеся с K в точках G и H. Пусть Y есть точка, расстояния которой от точек G и Н равны ОХ и которая отделена от X центром О. В таком случае отрезок AY как раз и есть сторона искомого пятиугольника. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Интересно отметить, что при построении используются только три различных радиуса.

В 1928 г. датский математик Ельмслев нашел в книжной лавке в Копенгагене экземпляр книги под названием Euclides Danicus , опубликованной в 1672 г. никому не известным автором Г. Мором. По титульному листу можно было сделать заключение, что это просто один из вариантов евклидовых "Начал", снабженный, может быть, редакторским комментарием. Но по внимательном рассмотрении оказалось, что в ней содержится полное решение проблемы Маскерони, найденное задолго до Маскерони.

Упражнения. В дальнейшем дается описание построений Мора. Проверьте их правильность. Почему можно утверждать, что они решают проблему Маскерони?

Вдохновляясь результатами Маскерони, Якоб Штейнер (1796-1863) предпринял попытку исследования построений, выполнимых с помощью одной только линейки. Конечно, одна только линейка не выводит за пределы данного числового поля, и потому она недостаточна для выполнения всех геометрических построений в классическом их понимании. Но тем более замечательны результаты, полученные Штейнером при введенном им ограничении - пользоваться циркулем только один раз. Он доказал, что все построения на плоскости, выполнимые с помощью циркуля и линейки, выполнимы также с помощью одной линейки при условии, что задан единственный неподвижный круг вместе с центром. Эти построения подразумевают применение проективных методов и будут описаны позднее (см. стр. 228).

* Без круга, и притом с центром, обойтись нельзя. Например, если дан круг, но не указан его центр, то найти центр с помощью одной линейки невозможно. Мы сейчас докажем это, ссылаясь, однако, на факт, который будет установлен позднее (см. стр. 252): существует такое преобразование плоскости самой в себя, что а) заданная окружность остается неподвижной, b) всякая прямая линия переходит в прямую, с) центр неподвижной окружности не остается неподвижным, а смещается. Само существование такого преобразования свидетельствует о невозможности построить центр данной окружности, пользуясь одной линейкой. В самом деле, какова бы ни была процедура построения, она сводится к ряду отдельных этапов, заключающихся в проведении прямых линий и нахождении их пересечений друг с другом или с данной окружностью. Представим себе теперь, что вся фигура в целом - окружность, а все прямые, проведенные по линейке при выполнении построения центра, подвергнуты преобразованию, существование которого мы здесь допустили. Тогда ясно, что фигура, полученная после преобразования, также удовлетворяла бы всем требованиям построения; но указываемое этой фигурой построение приводило бы к точке, отличной от центра данной окружности. Значит, построение, о котором идет речь, невозможно.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 7 класс, 22 урок, Построения циркулем и линейкой

✪ Геометрия 7 Окружность Построения циркулем и линейкой

✪ Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

✪ Геометрия 7 Примеры задач на построение

✪ 7 класс, 23 урок, Примеры задач на построение

Субтитры

Примеры

Задача на бисекцию . С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB .
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
• По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q .
• Находим искомую середину отрезка AB - точку пересечения AB и PQ .

Формальное определение

В задачах на построение рассматриваются множество следующих объектов: все точки плоскости, все прямые плоскости и все окружности плоскости. В условиях задачи изначально задается (считается построенными) некоторое множество объектов. К множеству построенных объектов разрешается добавлять (строить):

1. произвольную точку;
2. произвольную точку на заданной прямой;
3. произвольную точку на заданной окружности;
4. точку пересечения двух заданных прямых;
5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей;
7. произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
8. прямую, проходящую через две заданные точки;
9. произвольную окружность с центром в заданной точке;
10. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
11. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Требуется с помощью конечного количества этих операций построить другое множество объектов, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Известные задачи

Другая известная и неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача - построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис . Эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии инструмента, выполняющего трисекцию угла , например томагавка .

Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки

С помощью этих инструментов возможно построение отрезка, который по длине:

Для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (то есть отрезка длины 1). Извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки. Так, например, невозможно при помощи циркуля и линейки из единичного отрезка построить отрезок длиной . Из этого факта, в частности, следует неразрешимость задачи об удвоении куба.

Возможные и невозможные построения

С формальной точки зрения, решение любой задачи на построение сводится к графическому решению некоторого алгебраического уравнения , причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому можно сказать, что задача на построение сводится к отысканию действительных корней некоторого алгебраического уравнения.

Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа.

Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений .
• Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений .

Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).

Важно отметить, что существенно, что решение должно выражаться при помощи квадратных корней, а не радикалов произвольной степени. Если даже алгебраическое уравнение имеет решение в радикалах, то из этого не следует возможность построения циркулем и линейкой отрезка, равного его решению. Простейшее такое уравнение: x 3 − 2 = 0 , {\displaystyle x^{3}-2=0,} связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения ( 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} ) невозможно построить циркулем и линейкой.

Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения для косинуса центрального угла его стороны:

cos ⁡ (2 π 17) = − 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + {\displaystyle \cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;} + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , {\displaystyle +{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}},} что, в свою очередь, следует из возможности сведения уравнения вида x F n − 1 = 0 , {\displaystyle x^{F_{n}}-1=0,} где F n {\displaystyle F_{n}} - любое простое число Ферма , с помощью замены переменной к квадратному уравнению.

Вариации и обобщения

• Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора - Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
• Построения с помощью одной линейки. Очевидно, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности,
  • невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
  • также невозможно найти центр данной окружности.

Однако,

• при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (

Материал данного параграфа может использоваться на факультативных занятиях. Он может быть представлен ученикам, как в форме лекции, так и в форме докладов учеников.

Большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как "знаменитые задачи древности". Под этим названием обычно фигурировали три знаменитые задачи:

1) квадратура круга,

2) трисекция угла,

3) удвоение куба.

Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым "рецептам" вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами.

В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки:

1) построить квадрат, равновеликий данному кругу;

2) разделить данный угол на три равные части;

3) построить ребро нового куба, объем которого был бы в два раза больше данного куба.

Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.

Простота формулировок этих задач и "непреодолимые трудности", встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые "попутно" получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорейцы, Гиппократ Хиосский и Архимед).

Задача об удвоении куба.

Задача удвоения куба состоит в следующем: зная ребро данного куба, построить ребро такого куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба.

Пусть а - длина ребра данного куба, х - длина ребра искомого куба. Пусть - объем данного куба, а - объем искомого куба, тогда согласно формуле вычисления объема куба имеем, что: =, а так как, согласно условию задачи, то приходим к уравнению.

Из алгебры известно, что рациональные корни приведенного уравнения с целыми коэффициентами могут быть только целыми и содержаться среди делителей свободного члена уравнения. Но делители числа 2 служат только числа +1, - 1, +2, - 2, и ни одно из них не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение рациональных корней не имеет, а это значит, что задача удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Задача удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть решена лишь приближенно. Приведем один из самых простых способов приближенного решения этой задачи.

Пусть АВ=ВС=а, причем АВВС. Строим AD=АС, тогда CD с точностью до 1%. В самом деле, CD 1,2586…. В тоже время =1,2599….

Задача о квадратуре круга.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о квадратуре круга состоит в следующем: построить квадрат равновеликий кругу.

Пусть - радиус данного круга, -длина стороны искомого квадрата. Тогда, отсюда.

Следовательно, задача о квадратуре круга будет решена, если мы построим отрезок длиной. Если радиус данного круга принять за единичный отрезок (=1), то дело сведется к построению по единичному отрезку отрезка длиной.

Как известно, зная единичный отрезок, мы можем циркулем и линейкой строить только такие отрезки, длины которых выражаются через рациональные числа с помощью конечного множества рациональных операций и извлечением квадратных корней и, значит являются числами алгебраическими. При этом будут использованы далеко не все алгебраические числа. Например, нельзя построить отрезок длиной и т.д.

В 1882 г. Линдеманн доказал, что - трансцендентное. Отсюда следует, что циркулем и линейкой нельзя построить отрезок длиной и, следовательно, этими средствами задача о квадратуре круга неразрешима.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из приемов приближенного построения отрезков длиной. Этот прием состоит в следующем. Четверть окружности АВ с центром в точке О и радиусом, равным единице, делим пополам точкой С. На продолжении диаметра CD откладываем отрезок DE, равный радиусу. Из точки Е проводим лучи ЕА и ЕВ до пересечения с касательной в точке С. отсекаемый отрезок АВ приближенно равен длине дуги АВ, а удвоенный - полуокружности.

Относительная погрешность этого приближения не превышает 0,227%.

Задача о трисекции угла.

Обоснование неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла состоит в следующем : разделить данный угол на три равные части.

Ограничимся решением задачи для углов, не превышающих 90. Если - тупой угол, то =180-, где <90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Заметим, что (при наличии единичного отрезка) задача о построении угла (90) равносильна задаче о построении отрезка х=соs . В самом деле, если угол построен, то построение отрезка х=соs сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

Обратно. Если построен отрезок х, то построение такого угла, что х=соs , сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Пусть - данный угол, - искомый угол, так что =. Тогда cos=cos 3. Известно, что cos 3= 4cos-3cos . Поэтому, полагая cos =, а cos =, приходим к уравнению:

cos =4cos-3cos ,

Отрезок, а следовательно, и угол могут быть построены лишь в том случае, когда это уравнение имеет хотя бы один рациональный корень. Но это имеет место не при всяком, и поэтому задача о трисекции угла, вообще говоря не разрешима с помощью циркуля и линейки. Например. При =60 получим =1 и найденное уравнение принимает вид: . Легко проверить, что это уравнение не обладает никаким рациональным корнем, откуда следует невозможность деления угла в 60 на три равные части с помощью циркуля и линейки. Таким образом, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.

Приближенное решение задачи с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим один из способов приближенного решения задачи с помощью циркуля и линейки, предложенный Альбертом Дюрером (1471-1528).

Пусть дан угол ASB. Из вершины S произвольным радиусом описываем окружность и соединяем точки пересечения сторон угла с окружностью хордой АВ. Делим эту хорду на три равные части в точках R и R (А R= R R= RВ). из точек А и В, как из центров, радиусами А R= RВ описываем дуги, пересекающие окружность в точках Т и Т. Проведем RSAB. Радиусами А S= BS проводим дуги, пересекающие АВ в точках U и U. Дуги АТ, SS и TB равны между собой, так как стягиваются равными хордами.

Чтобы найти точки трисекции угла X и X, Дюрер делит на три равные части отрезки RU и RU точками PV и PV. Затем радиусами AV и BV проводим дуги, которые пересекают окружность в точках X и X. Соединив эти точки с S, получим деление данного угла на три равные части с хорошим приближением к истинным величинам.

Известный еще с античных времен.

В задачах на построение возможны следующие операции:

• Отметить произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
• С помощью циркуля нарисовать круг с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя уже построенными точками.
• С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

При этом циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

1. Простой пример

Деление отрезка пополам

Задача. С помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок AB на две равные части. Один из решений показано на рисунке:

• Циркулем строим окружность с центром в точке A радиуса AB.
• Строим окружность с центром в точке B радиуса AB.
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных кругов.
• Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q.
• Находим точку пересечения AB и PQ. Это - искомая середина отрезка AB.

2. Правильные многоугольники

Античным геометрам были известны методы построения правильных n-угольников для , , и .

4. Возможные и невозможные построения

Все построения является ничем иным, как решением какого-либо уравнения , причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому удобно говорить о построении числа - графического решения уравнения определенного типа.

В рамках вищеокреслених требований, возможны следующие постройки:

Иначе говоря, можно построить лишь числа равны арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (длин отрезков). Например,

5. Вариации и обобщения

6. Забавные факты

• GeoGebra , Kig, KSEG - программы, позволяющие выполнять построения с помощью циркуля и линейки.

Литература

• А. Адлер. Теория геометрических построений, Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольц. Издание третье. Л., Навчпедвид, 1940-232 с.
• И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, Издание восемнадцатое, М., Навчпедвид, 1950-176 с.
• Б. И. Аргунов, М Б Балк.

Геометрические задачи на построение

С помощью циркуля и линейки

учащаяся 8-А класса

Руководитель: Москаева В.Н.,

учитель математики

Нижний Новгород

Введение

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти две противоположности.

А. Д. Александров

Собираясь в школу, мы не забываем положить в портфель циркуль, линейку и транспортир. Эти инструменты помогают выполнить грамотно чертежи и красиво нарисовать. Данные инструменты используют инженеры, архитекторы, рабочие, конструкторы одежды, обуви, строители, ландшафтные дизайнеры. Хотя существуют компьютеры, но на стройке, в саду их пока не используешь.

Машина рисует мгновенно в течение нескольких секунд. Математик должен потратить довольно много времени, чтобы на языке, понятном машине объяснить ей то, что она должна сделать - написать программу и ввести её в машину, поэтому конструкторы нередко предпочитают работать с простейшими и древнейшими инструментами – циркулем и линейкой.

Что может быть проще? Гладкая дощечка с ровным краем - линейка, две заостренные палочки, связанные на одном конце - циркуль. С помощью линейки через две заданные точки проводят прямую. С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса, отложить отрезок, равный данному.

Циркуль и линейка известны более 3 тысячи лет были уже известны, 200-300 лет назад их украшали орнаментами и узорами. Но, несмотря на это они и сейчас исправно служат нам. Простейших инструментов достаточно для огромного количества построений. Древние греки думали, что возможно любое разумное построение выполнить этими инструментами, пока не обнаружили три знаменательные задачи древности: «квадратуру круга», «трисекцию угла», «удвоение куба».

Поэтому считаю тему моей работы современной и важной для деятельности человека во многих сферах деятельности человека.

Все прекрасно знают, что математика используется в самых разных профессиях и жизненных ситуациях. Математика – предмет непростой. И геометрию большинство учащихся называет «трудной». Задачи на построение отличаются от традиционных геометрических задач.

Решение задач на построение развивает геометрическое мышление гораздо полнее и острее, чем решение задач на вычисление, и способно вызвать увлечение работой, которое приводит к усилению любознательности и к желанию расширить и углубить изучение геометрии.

Несмотря на богатое историческое прошлое, проблема решения задач на построение остается актуальной и в 21-м веке. В наше время бурно развиваются компьютерные технологии с применением графических редакторов для рисования геометрических объектов. Средства создания геометрических объектов изменились в связи с появлением новых компьютерных технологий. Однако, как и в глубокой древности, основными элементами при построении геометрических объектов остаются окружность и прямая, другими словами циркуль и линейка. С появлением новых компьютерных технологий возникли новые проблемы построения с использованием тех же объектов - прямой и окружности. Вот почему проблема решения задач на построение становится ещё более актуальной.

Программа по геометрии предполагает изучение лишь простейших приемов и методов построений. Но применение этих приемов часто вызывает затруднения. Поэтому, объектом моего исследования являются геометрические фигуры, построенные с помощью циркуля и линейки.

Цель моей работы: рассмотреть различные способы построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Методы исследования:

ü Анализ уже существующих способов построений

ü Поиск новых способов, простых в применении (ГМТ и построения Штейнера)

Задачи:

ü получить более полное представление о различных способах построений

ü проследить за развитием этого фрагмента геометрии в истории математики

ü продолжить развитие исследовательских умений.

Из истории геометрического построения циркулем и линейкой.

Традиционное ограничение орудий геометрических построений восходит к глубокой древности. В своей книге "Начала" Евклид (III век до н. э.) строго придерживается геометрических построений, выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов он нигде не упоминает. Ограничения, по-видимому, были связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Но многие историки-математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями.

Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции. Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов: гладкой дощечки с ровным краем – линейки и двух заостренных палок, связанных на одном конце – циркуля. Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Древним грекам даже казалось, что любое разумное построение можно совершить этими инструментами, пока они не столкнулись с тремя знаменитыми впоследствии задачами.

Они издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную фигуру, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Это задача получила название квадратуры круга. Следы этой задачи можно усмотреть еще в древнегреческих и вавилонских памятниках второго тысячелетия до н.э. Однако ее непосредственная постановка встречается в греческих сочинениях V века до н.э.

Еще две задачи древности привлекали внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков. Это задача об удвоении куба. Она состоит в построении циркулем и линейкой куба, имеющего объем вдвое больший, чем объем данного куба. Ее появление связывают с легендой, что на острове Делос в Эгейском море оракул, чтобы избавить жителей от эпидемии чумы, повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. И третья задача трисекции угла о делении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки .

Эти три задачи, так называемые 3 знаменитые классические задачи древности, привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении двух тысячелетий. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с использованием только циркуля и линейки. В математике это были первые результаты о неразрешимости задач, когда средства решения указаны. Они были получены средствами не геометрии, а алгебры (с помощью перевода этих задач на язык уравнений), что еще раз подчеркнуло единство математики. Не поддаваясь решению, эти проблемы обогатили математику значительными результатами, привели к созданию новых направлений математической мысли.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторон. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятиугольник и 15-угольник, а также все многоугольники, которые получаются из них путем удвоения сторон, и только их. Лишь в 1796 году великий немецкий математик К.Ф.Гаусс открыл способ построения правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки и указал все значения N, при которых возможно построение правильного N-угольника указанными средствами. Первокурсник Геттингенского университета Карл Гаусс решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более 2 с лишним тысяч лет. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 и т.д. угольников.

Теория построения при помощи циркуля и линейки получила свое дальнейшее развитие. Был получен ответ на вопрос: можно ли решить задачу с помощью только одного из двух рассматриваемых инструментов, и достаточно неожиданный. Независимо друг от друга, датчанин Г.Мор в 1672 году и итальянец Л.Маскерони в 1797 году доказали, что любая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть точно решена с помощью только одного циркуля. Это кажется невероятным, но это так. А в XIX веке было доказано, что любое построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки можно провести лишь с помощью одной линейки, при условии, что в плоскости построения задана некоторая окружность и указан ее центр.

3. Простейшие задачи на построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим основные (элементарные) построения, которые наиболее часто встречаются в практике решения задач на построение. Задачи такого рода рассматриваются уже в первых главах школьного курса.

Построение 1. Построение отрезка, равного данному.

Дано: отрезок длины а.

Построить: отрезок АВ длины а.

Построение:

Построение 2. Построение угла, равного данному.

Дано: ∟AOB.

Построить: ∟ KMN, равный ∟ АОВ.

Построение:

Построение 3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).

Дано: отрезок АВ.

Построить: точку О – середину АВ.

Построение:

Построение 4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).

Дано: ∟ АВС.

Построить: ВD – биссектрису ∟АВС.

Построение:

Построение 5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку.

а) Дано: прямая а, точка A а.

Построить:

прямой а.

Построение :

б) Дано: прямая а, точка A a.

Построить: прямую, проходящую через точку А, перпендикулярно к

прямой а.

Построение:

Построение 6 . Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

Дано: прямая а, точка A a.

Построить: прямую, проходящую через точку А, параллельно прямой а.

I способ (через два перпендикуляра).

Построение:

II способ (через параллелограмм).

Построение:

Построение 7. Построение треугольника по трем сторонам.

Дано: отрезки длины a, b, c.

Построить: Δ ABC.

Построение:

Построение 8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Дано: отрезки длины b, c, угол α.

Построить: треугольник ABC.

Построение:

Построение 9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

Дано: отрезок длины c, углы α и β.

Построить: ΔABC.

Построение:

Построение 10. Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.

Дано: окружность (О), точка А вне ее.

Построить: касательную к окружности ω(О), проходящую через точку А.

Построение:

Рассмотренные задачи входят в качестве составных частей в решение более сложных задач, поэтому в дальнейшем, этапы основных построений не описываются.

Решение задач на построение состоит из четырех частей:

1. Предположив, что задача решена, делаем от руки приблизительный чертеж искомой фигуры и затем, внимательно рассматриваем начерченную фигуру, стремясь найти такие зависимости между данными задачи и искомыми, которые позволили бы свести задачу на другие, известные ранее. Эта самая важная часть решения задачи, имеющая целью составить план решения, носит название анализа.

2. Когда таким образом план решения найден, выполняют сообразно ему построение.

3. Доказательство - для проверки правильности плана на основании известных теорем доказывают, что полученная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи.

4. Исследование - задаются двумя вопросами:

1) При всяких ли данных возможно решение?

2) Сколько существует решений?

Рассмотрим применение данных этапов на примере решения следующей задачи.

Задача: Построить треугольник, зная его основание b, угол A, прилежащий к основанию, и сумму s двух боковых сторон.

Анализ: Предположим, что задача решена, т.е. найден такой ΔAВС, у которого основание AС=b, ∟ВАС=A и AВ+ВС=s . Рассмотрим теперь полученный чертеж. Сторону AС, равную b , ∟ВАС=A , мы строить умеем. Значит, остается найти на другой стороне ∟A такую точку В , чтобы сумма AВ+ВС равнялась s . Продолжив AВ , отложим отрезок AD , равный s . Теперь вопрос приводится к тому, чтобы на прямой AD отыскать такую точку В , которая была бы одинаково удалена от С и D . Такая точка как мы знаем, должна лежать на перпендикуляре, проведенном к отрезку СD через его середину. Точка В найдется в пересечении этого перпендикуляра с АD .

Построение:

1. Строим ∟А , равный данному углу

2. На его сторонах откладываем AС=b и AD=s

3. Через середину отрезка прямой СD проводим перпендикуляр ВЕ

4. ВЕ пересекает AD в точке В

5. Соединяем точки В и С

6. ΔAВС - искомый.

Доказательство:

Рассмотрим полученный ΔAВС, в нем ∟А равен данному углу (по пункту №1 построения). Сторона AС=b (пункт №2) и стороны АВ и ВС в сумме составляют s (пункты №2,3,4). Следовательно по 1-му признаку равенства треугольников ΔAВС - искомый.

Исследование:

1. При всяких ли данных возможно решение?

Рассматривая построение, мы замечаем, что задача возможна не при всяких данных. Действительно, если сумма s задана слишком малой сравнительно с b, то перпендикуляр ВЕ может не пересечь отрезка AD (или пересечет его продолжение за точку D), в этом случае задача окажется невозможной.

И, независимо от построения, можно видеть, задача невозможна, если s < b или s =b , потому что не может быть такого треугольника, у которого сумма двух сторон была бы меньше или равна третьей стороне.

2. Сколько существует решений?

В том случае, когда задача возможна, она имеет только одно решение, т.е. существует только один треугольник, удовлетворяющий требованиям задачи, так как пересечение перпендикуляра ВЕ с прямой AD может быть только в одной точке.