Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x (t) и y (t) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x (t) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) · d y d t + (a 1 · b 2 - a 2 · b 1) · y = a 2 · c 1 - a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x (t) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y (t) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x (t) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Пример 1

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x:

x = d y d t - 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y (t) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y ~ = A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x (t) :
d (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) d t = x + 2 · (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) - 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Ответ: x (t) = - C 1 · e t + 1 y (t) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить сразу несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений. В частности, к таким системам приводят задачи, в которых изучается движение тел в пространстве под действием заданных сил.

Пусть, например, по некоторой кривой (L) в пространстве под действием силы F движется материальная точка массы . Требуется определить закон движения точки, т. е. зависимость координат точки от времени.

Допустим, что

радиус-вектор движущейся точки. Если переменные координаты точки обозначить через , то

Скорость и ускорение движущейся точки вычисляется по формулам:

(см. гл. VI, § 5, n. 4).

Сила F, под действием которой движется точка, вообще говоря, является функцией времени, координат точки и проекций скорости на оси координат:

На основании второго закона Ньютона уравнение движения точки записывается следующим образом:

Проектируя векторы, стоящие в левой и правой частях этого равенства, на оси координат, получим три дифференциальных уравнения движения:

Эти дифференциальные уравнения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех искомых функций:

В дальнейшем мы ограничимся изучением только системы уравнений первого порядка специального вида относительно искомых функций . Эта система имеет вид

Система уравнений (95) называется системой в нормальной форме, или нормальной системой.

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы (95) называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к нормальной системе, если ввести новые искомые функции. Так, например, систему (94) можно преобразовать в нормальную форму следующим образом. Введем новые функции положив . Тогда и скстема Уравнении (94) запишется следующим образом:

Система (96) является нормальной.

Рассмотрим, например, нормальную систему из трех уравнений с тремя неизвестными функциями :

Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (97), т. е. функции непрерывны по всем переменным в некоторой области G и имеют в ней непрерывные частные производные Тогда каковы бы ни были значения принадлежащие области G, существует единственное решение системы удовлетворяющее начальным условиям:

Для интегрирования системы (97) можно применить метод, с помощью которого данная система, содержащая три уравнения относительно трех искомых функций, сводится к одному уравнению третьего порядка относительно одной неизвестной функции. Покажем на примере применение этого метода.

Для - простоты ограничимся системой из двух уравнений. Пусть дана система уравнений

Для нахождения решения системы поступаем следующим образом. Дифференцируя первое из уравнений системы по находим

Подставляя в это равенство выражение из второго уравнения системы, получим

Заменяя, наконец, функцию у ее выражением из первого уравнения системы

получим линейное однородное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции:

Интегрируя это уравнение, находим его общее решение

Дифференцируя равенство находим

Подставляя выражения для x и в равенство и приводя подобные члены, получим

являются решением данной системы.

Итак, интегрируя нормальную систему двух дифференциальных уравнений, мы получили ее решение, зависящее от двух произвольных постоянных Можно показать, что и в общем случае для нормальной системы, состоящей из уравнений, ее общее решение будет зависеть от произвольных постоянных.

Как решить систему дифференциальных уравнений?

Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.

Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:

– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:

– Метод исключения . Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.

– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).

В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.

Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)

Что тут есть?

– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.

И – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».

И – первые производные неизвестных функций и соответственно.

Что значит решить систему дифференциальных уравнений?

Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений . Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений :

В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».

Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.

Более компактно систему можно переписать так:

Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.

Пример 1

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , .

Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.

Решим систему методом исключения . Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.

Алгоритм решения стандартен:

1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него :

Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).

2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :

Со «штрихами» процесс выглядит так:

Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.

3) Подставим и в первое уравнение системы :

И проведём максимальные упрощения:

Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .

– получены различные действительные корни, поэтому:
.

Одна из функций найдена, пол пути позади.

Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.

4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Или короче:

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

Ответ: частное решение:

Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:

1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :

Оба начальных условия выполняются.

2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и в первое уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.

3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и во второе уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.

Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .

Аналогично можно проверить и общее решение , проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.

Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.

Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: . Далее находится первая производная: . Потом следует подставить и во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .

И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.

Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить (заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.

Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

Пример 3

Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям

Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения , при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.

1) Из первого уравнения системы выражаем:

Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?

И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.

2) Дифференцируем по обе части:

Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.

3) Подставим и во второе уравнение системы :

Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:

Теперь проводим упрощения:

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.

Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.

Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:

Подставим в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом:

Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В результате:

4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :

Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.

Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.

Подставим
и в уравнение (*):

5) Общее решение системы:

6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :

Окончательно, частное решение:

Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.

Ответ: частное решение:

Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.

Пример проще для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям

Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.

В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.

Пример 5

Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:

По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали , вычитаем некоторый параметр :

На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.

Раскрываем определитель:

И находим корни квадратного уравнения:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты

1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:

(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)

Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то

Системы дифференциальных уравнений бывают двух основных типов - линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений можно также двумя основными способами решения:

1. Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
2. При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.

В основном системы дифференциальных уравнений решаются первым способом.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:

Где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).

И – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему дифференциальных уравнений - означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения - это числа, а здесь – функции.

Ответ запишем в виде общего решения системы дифуравнений:

Можно записать систему более компактно:

Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где приняты следующие обозначения:

И – производные 1-го порядка;

И – производные 2-го порядка.

Требуется найти решение задачи Коши для системы дифуравнений при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.

При решении будем использовать метод исключения.

Возьмем второе уравнение системы и выразим из него х:

, знак * мы используем для быстрого поиска этого уравнения, т.к. оно нам понадобится в дальнейшем.

Продифференцируем обе части полученного уравнения по t:

По-другому это выглядит следующим образом:

Подставляем и в первое уравнение системы :

Максимально упростим это уравнение:

Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С производными оно выглядит следующим образом:

.

– мы получили различные действительные корни, поэтому:

.

Одна функция найдена. Теперь приступим к поиску x(t).

Найдем производную найденной функции .

Дифференцируем по t:

Теперь подставим и в уравнение (*):

Упростим полученное уравнение:

Итак, мы нашли обе функции.

Общее решение системы будет:

Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.

Подставим найденные коэффициенты:

Это и будет частное решение системы.

Остается провести проверку найденного результата:

Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

Проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение первому уравнению системы

Возьмем функцию и найдем её производную.

Практическая ценность дифференциальных уравнений обусловливается тем, что, пользуясь ими, можно установить связь основным физическим или химическим законом и часто целой группой переменных, имеющих большое значение при исследовании технических вопросов.

Применение даже наиболее простого физического закона к процессу, протекающему при переменных условиях, может привести к весьма сложному соотношению между переменными величинами.

При решении физико-химических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, важно бывает найти общий интеграл уравнения, а также определить значения постоянных, входящих в этот интеграл, так, чтобы решение соответствовало данной задаче.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводит изучение процессов, в которых все искомые величины являются функциями лишь одной независимой переменной.

К дифференциальным уравнениям с частными производными могут приводить установившиеся процессы.

В большинстве случаев решение дифференциальных уравнений не приводит к нахождению интегралов, для решения таких уравнений приходится применять приближенные методы.

Системы дифференциальных уравнений используются при решении задачи кинетики.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей.

К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводятся задачи, в которых требуется найти соотношение между зависимой и независимой переменными в условиях, когда последние изменяются непрерывно. Решение задачи приводит к так называемым уравнениям в конечных разностях.

Область непрерывного изменения аргумента х заменяется множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной функцией. Замена дифференциального уравнения разностным уравнением называется его аппроксимацией на сетке. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение и дополнительные начальные условия, называется разностной схемой. Разностная схема называется устойчивой, если малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Разностная схема называется корректной, если ее решение существует и единственно при любых входных данных, а так же если эта схема устойчива.

При решении задачи Коши требуется найти функцию у=у(х), удовлетворяющую уравнению:

и начальному условию: у = у 0 при х = х 0 .

Введем последовательность точек х 0 , х 1 , … х n и шаги h i =x i +1 –x i (i = 0, 1, …). В каждой точке x i вводятся числа y i , аппроксимирующие точное решение у. После замены в исходном уравнении производной отношением конечных разностей осуществляют переход от дифференциальной задачи к разностной:

y i+1 = F(x i , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

где i = 0, 1, 2 …

При этом получается k – шаговый метод конечных разностей. В одношаговых методах для вычисления y i +1 используется лишь одно ранее найденное значение на предыдущем шаге y i , в многошаговых – несколько.

Простейшим одношаговым численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера.

y i+1 = y i + h · f(x i , y i).

Эта схема является разностной схемой первого порядка точности.

Если в уравнении у " =f(х,у) правую часть заменить на среднеарифметическое значение между f(x i ,y i) и f(x i+1 ,y i+1), т.е. , то получится неявная разностная схема метода Эйлера:

,

имеющая второй порядок точности.

Путем замены в данном уравнении y i+1 на y i +h · f(x i , y i) схема переходит в метод Эйлера с пересчетом, имеющий также второй порядок:

Среди разностных схем более высокого порядка точности распространенной является схема метода Рунге-Кутта четвертого порядка:

y i +1 = yi + (к 1 + 2к 2 + 2к 3 + к 4), i = 0, 1, …

к 1 = f(x i , y i)

к 2 = f(x i + , y i + )

к 3 = f(x i + , y i + )

к 4 = f(x i +h, y i +к 3).

Для повышения точности численного решения без существенного увеличения машинного времени используется метод Рунге. Суть его в проведении повторных расчетов по одной разностной схеме с различными шагами.

Уточненное решение строится с помощью проведенной серии расчетов. Если проведены две серии расчетов по схеме порядка к соответственно с шагами h и h/2 и получены значения сеточной функции y h и y h /2 , то уточненное значение сеточной функции в узлах сетки с шагом h вычисляется по формуле:

.

Приближенные вычисления

В физико-химических расчетах редко приходится пользоваться приемами и формулами, дающими точные решения. В большинстве случаев методы решения уравнений, приводящие к точным результатам, либо очень сложны, либо отсутствуют вообще. Обычно пользуются методами приближенного решения задач.

При решении физико-химических задач, связанных с химической кинетикой, с обработкой экспериментальных данных часто возникает необходимость решения различных уравнений. Точное решение некоторых уравнений представляет в ряде случаев большие трудности. В этих случаях можно воспользоваться способами приближенных решений, получая результаты с точностью, удовлетворяющей поставленной задаче. Существует несколько способов: метод касательных (метод Ньютона), метод линейной интерполяции, метод повторения (итерации) и др.

Пусть имеется уравнение f(x)=0, причем f(x) – непрерывная функция. Предположим, что можно подобрать такие значения a и b, при которых f(a) и f(b) имеют разные знаки, например f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Графическое нахождение корней уравнения. Для решения уравнения высших степеней удобно пользоваться графическим методом. Пусть дано уравнение:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

где a, b, … , p, q – заданные числа.

С геометрической точки зрения уравнение

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

представляет собой некоторую кривую. Можно найти любое число ее точек, вычисляя значения y, соответствующие произвольным значениям х. Каждая точка пересечения кривой с осью ОХ дает значение одного из корней данного уравнения. Поэтому нахождение корней уравнения сводится к определению точек пересечения соответствующей кривой с осью ОХ.

Способ итерации. Этот способ заключается в том, что подлежащее решению уравнение f(x)=0 преобразуют в новое уравнение x=j(x) и, задаваясь первым приближением х 1 , последовательно находят более точные приближения х 2 =j(x 1), х 3 =j(x 2) и.т.д. Решение может быть получено с любой степенью точности, при условии, что в интервале между первым приближением и корнем уравнения |j"(х)|<1.

Для решения одного нелинейного уравнения используются следующие методы:

а) метод половинного деления:

Интервал изоляции действительного корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функция f(x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

Выбираем интервал , в котором заключено решение. Рассчитываем f(a) и f(b), если f(a) > 0 и f(b) < 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) > 0 и f(с) > 0, то a = c и b = b. Иначе, если f(a) < 0 и f(c) > 0 или f(a) > 0 и f(с) < 0, то a = a и b = c.

Б) метод касательных (метод Ньютона):

Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 изолирован на отрезке . Возьмем на отрезке такое число х 0 , при котором f(x 0) имеет тот же знак, что и f ’ (x 0). Проведем в точке М 0 касательную к кривой y = f(x). За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Это приближенное значение корня найдется по формуле

Применив этот прием вторично в точке М 1 , получим

и т.д. Полученная таким образом последовательность х 0 , х 1 , х 2 , … имеет своим пределом искомый корень. В общем виде можно записать так:

.

Для решения линейных систем алгебраических уравнений используется итерационный метод Гаусса-Зайделя. К решению систем линейных уравнений сводятся такие задачи химической технологии, как расчет материальных и тепловых балансов.

Суть метода заключается в том, что путем несложных преобразований выражают неизвестные х 1 , х 2 , … , x n соответственно из уравнений 1,2, … , n. Задают начальные приближения неизвестных х 1 =х 1 (0) , x 2 =x 2 (0) , … , x n =x n (0) , подставляют эти значения в правую часть выражения х 1 и вычисляют х 1 (1) . Затем в правую часть выражения х 2 подставляют х 1 (1) , х 3 (0) , … , x n (0) и находят х 2 (1) и т.д. После расчета х 1 (1) , х 2 (1) , … , x n (1) проводят вторую итерацию. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока значения х 1 (к) , х 2 (к) , … не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х 1 (к-1) , х 2 (к-2) , … .

Такие задачи химической технологии, как расчет химического равновесия и др. сводятся к решению систем нелинейных уравнений. Для решения систем нелинейных уравнений также используют итерационные методы. Расчет сложного равновесия сводится к решению систем нелинейных алгебраических уравнений.

Алгоритм решения системы методом простой итерации напоминает метод Гаусса – Зайделя, используемый для решения линейных систем.

Более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации, обладает метод Ньютона. В основе его лежит использование разложение функций F 1 (x 1 , x 2 , … x n) в ряд Тейлора. При этом члены, содержащие вторые производные, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы, полученные на предыдущей итерации, равны а 1 , а 2 , …а n . Задача состоит в том, чтобы найти приращения к этим значениям Δх 1 , Δх 2 , … Δх n , благодаря которым будут получены новые значения неизвестных:

х 1 = а 1 + Δх 1

х 2 = а 2 + Δх 2

х n = а n + Δх n .

Разложим левые части уравнений в ряд Тейлора, ограничиваясь линейными членами:

Так как левые части уравнений должны быть равны нулю, то приравняем нулю и правые части. Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений Δх.

Значения F 1 , F 2 , … F n и их частные производные вычисляются при x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , … x n = a n .

Запишем эту систему в виде матрицы:

Определитель матрицы G такого вида называется якобианом. Определитель такой матрицы называется Якобианом. Для существования единственного решения системы он должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, решение системы уравнений методом Ньютона заключается в определении на каждой итерации матрицы Якоби (частных производных) и определении приращений Δх 1 , Δх 2 , … Δх n к значениям неизвестных на каждой итерации путем решения системы линейных алгебраических уравнений.

Для исключения необходимости нахождения матрицы Якоби на каждой итерации предложен усовершенствованный метод Ньютона. Этот метод позволяет проводить коррекцию матрицы Якоби, используя значения F 1 , F 2 , … , F n , полученные на предыдущих итерациях.