Векторная проекция вектора на ось. Проекция вектора

По физике за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №5
к главе «ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ ».

1. Что называют проекцией вектора на координатную ось?

1. Проекцией вектора а на координатную ось называют длину отрезка между проекциями начала и конца вектора а (перпендикулярами, опущенными из этих точек на ось) на эту координатную ось.

2. Как связан вектор перемещения тела с его координатами?

2. Проекции вектора перемещения s на оси координат равны изменению соответствующих координат тела.

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то какой знак имеет проекция вектора перемещения на координатную ось? А если она уменьшается?

3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет положительной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора по направлению самой оси.

Если координата точки с течением времени будет уменьшаться, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет отрицательной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора против направляющей самой оси.

4. Если вектор перемещения параллелен оси X, то чему равен модуль проекции вектора на эту ось? А модуль проекции этого же вектора на ось У?

4. Если вектор перемещения параллелен оси Х, то модуль проекции вектора на эту ось равен модулю самого вектора, а его проекция на ось Y равна нулю.

5. Определите знаки проекций на ось X векторов перемещения, изображенных на рисунке 22. Как при этих перемещениях изменяются координаты тела?

5. Во всех нижеследующих случаях координата Y тела не изменяется, а координата Х тела будет изменяться следующим образом:

a) s 1 ;

проекция вектора s 1 , на ось Х отрицательна и по модулю равна длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 1 .

b) s 2 ;

проекция вектора s 2 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 2 .

c) s 3 ;

проекция вектора s 3 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 3 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 3 .

d) s 4 ;

проекция вектора s 4 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 4 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 4 .

e) s 5 ;

проекция вектора s 5 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 5 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 5 .

6. Если значение пройденного пути велико, то может ли модуль перемещения быть малым?

6. Может. Это связано с тем, что перемещение (вектор перемещения) является векторной величиной, т.е. представляет собой направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующими положениями. А конечное положение тела (вне зависимости от величины пройденного пути) может находиться как угодно близко к первоначальному положению тела. В случае совпадения конечного и начального положений тела, модуль перемещения будет равен нулю.

7. Почему в механике более важен вектор перемещения тела, чем пройденный им путь?

7. Основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Зная вектор перемещения тела мы можем определить координаты тела, т.е. положение тела в любой момент времени, а зная только пройденный путь мы не можем определить координаты тела, т.к. мы не имеем сведений о направлении движения, а можем только судить о длине пройденного пути на данный момент времени.

Вначале вспомним, что такое координатная ось , проекция точки на ось и координаты точки на оси .

Координатная ось - это прямая, которой придается какое-то направление. Можете считать, что это вектор с бесконечно большим модулем.

Координатная ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекция точки на ось - это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось (рис. 8). То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координата точки на ось - это число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

Скалярная проекция вектора на ось - это число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Важно! Обычно вместо выражения скалярная проекция вектора на ось говорят просто - проекция вектора на ось , то есть слово скалярная опускают. Проекция вектора обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектор а, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, скажем, ось Y , его проекция будет обозначаться а y (рис. 9).

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Надо помнить: скалярная проекция вектора на ось (или, просто, проекция вектора на ось) - это число (не вектор)! Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н, отрицательной, если величина х к меньше величины х н и равной нулю, если х к равно х н (рис. 10).

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка 11 видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус - функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

При решении задач часто будут использоваться следующие свойства проекций: если

а = b + c +…+ d , то а x = b x + c x +…+ d x (аналогично на другие оси),

a = mb , то а x = mb x (аналогично на другие оси).

Формула а x = а Cos α будет очень часто встречаться при решении задач, поэтому ее обязательно надо знать. Правило определения проекции надо знать наизусть!

Запомните!

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Еще раз - НАИЗУСТЬ!

Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.

Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:

Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол .

Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх ; получаем

1. F x = F cos α

Проекция вектора в данном случае положительна

Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.

Тогда F x = F cos α, но так как α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.

Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх .

Проекция силы F на ось х равна нулю

F x = F cos 90° = 0.

Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу .

Силу F можно разложить на составляющие: F x и F y . Модуль вектора F x равен проекции вектора F на ось ox , а модуль вектора F y равен проекции вектора F на ось oy .

Из ΔОАВ : F x =F cos α, F x =F sin α.

Из ΔОАС : F x =F cos φ, F x =F sin φ.

Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Рассмотрим сходящиеся силы F 1 , F 2 , F 3 , и F 4 , (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника

Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.

Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем

F = F 1x +F 2x +F 3x + F 4x

где n - число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.

Определение 1. На плоскости параллельной проекцией точки А на ось l называется точка - точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору, задающему направление проектирования.

Определение 2. Параллельной проекцией вектора на ось l (на вектор) называется координата вектора, относительно базиса оси l, где точки и - параллельные проекции соответственно точек А и В на ось l (рис. 1).

Согласно определению имеем

Определение 3. если и базис оси l декартов, то есть, то проекция вектора на ось l называется ортогональной (рис. 2).

В пространстве определение 2 проекции вектора на ось остается в силе, только направление проектирования задается двумя неколлинеарными векторами (рис. 3).

Из определения проекции вектора на ось вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости (рис. 4).

Теорема 1. Ортогональная проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между положительным направлением оси l и, т. е.

С другой стороны

Из находим

Подставив АС в равенство (2), получим

Так как числа x и одного знака в обоих рассматриваемых случаях ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то из равенства (4) следует

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать только ортогональную проекцию вектора на ось и поэтому слово «орт» (ортогональная) в обозначении будем опускать.

Приведем ряд формул, которые используются в дальнейшем при решении задач.

а)Проекция вектора на ось.

Если, то ортогональная проекция на вектор согласно формуле (5) имеет вид

в) Расстояние от точки до плоскости.

Пусть б - данная плоскость с нормальным вектором, M - данная точка,

d - расстояние от точки М до плоскости б (рис. 6).

Если N- произвольная точка плоскости б, а и - проекции точек Mи Nна ось, то

• г) Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Пусть а и b- данные скрещивающиеся прямые, - перпендикулярный им вектор, А и В - произвольные точки прямых а и b соответственно (рис. 7), и - проекции точек Aи Bна, тогда

д) Расстояние от точки до прямой.

Пусть l - данная прямая с направляющим вектором, M - данная точка,

N - ее проекция на прямую l , тогда - искомое расстояние (рис. 8).

Если А - произвольная точка прямой l , то в прямоугольном треугольнике MNAгипотенуза MAи катет могут быть найдены. Значит,

е) Угол между прямой и плоскостью.

Пусть - направляющий вектор данной прямой l , - нормальный вектор данной плоскости б, - проекция прямой l на плоскость б (рис. 9).

Как известно, угол ц между прямой l и ее проекцией на плоскость б называется углом между прямой и плоскостью. Имеем

Приведем примеры решения метрических задач векторно-координатным методом.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или (нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть
а x = х к − x н.
Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

то есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где - координаты вектора.

Скалярное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ [- в конечномерном векторном пространстве определяется как сумма произведений одинаковых компонент перемножаемых векторов .

Напр., С. п. в. a = (a 1 , ..., a n ) и b = (b 1 , ..., b n ):

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n