1 antiderivat ubestemt integral enkleste egenskaber. Antiderivative og ubestemte integral, egenskaber

Til at begynde med, lad os definere de begreber, der vil blive brugt i dette afsnit. Først og fremmest er dette et antiderivat af en funktion. For at gøre dette introducerer vi konstanten C.

Definition 1

Antiderivatet af en funktion f (x) på intervallet (a; b) er en funktion F (x), for hvilken formlen F " (x) = f (x) bliver til en lighed for enhver x fra et givet interval.

Vi bør tage i betragtning, at den afledede af konstanten C vil være lig med nul, hvilket giver os mulighed for at betragte følgende lighed F (x) + C " = f (x) for at være sand.

Det viser sig, at funktionen f (x) har et sæt af antiderivater F (x) + C, for en vilkårlig konstant C. Disse antiderivater adskiller sig fra hinanden ved en vilkårlig konstant værdi.

Definition af ubestemt integral

Hele sættet af antiderivater af funktionen f (x) kan kaldes det ubestemte integral af denne funktion. Tager man dette i betragtning, vil formlen se ud som ∫ f (x) d x = F (x) + C. I dette tilfælde er udtrykket f (x) d x en integrand, og f (x) er en integrandfunktion. Integranden repræsenterer differentialet af funktionen f(x).

Givet en given differential af en funktion, kan vi finde den ukendte funktion.

Resultatet af ubestemt integration vil ikke være én funktion F (x), men et sæt af dens antiderivater F (x) + C.

• Ved at kende egenskaberne af derivatet, kan vi formulere og bevise egenskaberne af det ubestemte integral (egenskaber af antiderivatet).

∫ f (x) d x " = F (x) + C " = f (x)

• Den afledte af integrationsresultatet er lig med integranden.

∫ d (F (x)) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C

• Det ubestemte integral af differentialet af en funktion er lig med summen af ​​selve funktionen og en vilkårlig konstant.

∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x , hvor k er en vilkårlig konstant. Koefficienten kan tages ud som et tegn på det ubestemte integral.

• Det ubestemte integral af summen/forskellen af ​​funktioner er lig med summen/forskellen af ​​de ubestemte integraler af funktioner.

∫ f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Vi har givet mellemlige ligheder af den første og anden egenskab af det ubestemte integral som en forklaring.

For at bevise den tredje og fjerde egenskab er det nødvendigt at finde derivaterne af lighedernes højre side:

k · ∫ f (x) d x " = k · ∫ d (x) d x " = k · f (x) ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x " = ∫ f (x) d x " ± ∫ g (x) d x " = f (x) ± g (x)

Afledte af lighedernes højre side er lig med integranderne, hvilket er bevis på den første egenskab. Vi bruger det i de sidste overgange.

Som du kan se, er integrationsproblemet den omvendte proces i forhold til differentieringsproblemet. Begge disse opgaver hænger tæt sammen.

Den første egenskab kan bruges til at udføre en integrationstest. For at kontrollere skal vi bare beregne den afledte af resultatet. Hvis den resulterende funktion er lig med integranden, udføres integrationen korrekt.

Takket være den anden egenskab, givet den kendte differential af en funktion, kan vi finde dens antiderivative og bruge den til at beregne det ubestemte integral.

Lad os se på et eksempel.

Eksempel 1

Lad os finde antiderivatet af funktionen f (x) = 1 x, hvis værdi er lig med en ved x = 1.

Løsning

Ved at bruge tabellen over afledte grundlæggende elementære funktioner får vi

d (ln x) = (ln x) " d x = d x x = f (x) d x ∫ f (x) d x = ∫ d x x = ∫ d (ln (x))

Ved at bruge den anden egenskab ∫ d (ln (x)) = ln (x) + C, får vi sættet af antiderivater ln (x) + C. For x = 1 får vi værdien ln (1) + C = 0 + C = C. Ifølge betingelserne for problemet skal denne værdi være lig med én, derfor er C = 1. Det nødvendige antiderivat vil have formen ln (x) + 1.

Svar: f (x) = 1 x = ln (x) + 1

Eksempel 2

Det er nødvendigt at finde det ubestemte integral ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x og kontrollere resultatet af beregningen ved differentiering.

Løsning

For at udføre beregningerne bruger vi dobbeltvinkelsinusformlen fra trigonometrikurset 2 sin x 2 cos x 2 = sin x, vi får ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = ∫ sin x d x.

Ved at bruge tabellen over afledte for trigonometriske funktioner får vi:

d (cos x) = cos x " d x = - sin x d x ⇒ sin x d x = - d (cos x)

Det vil sige ∫ sin x d x = ∫ (- d (cos x))

Ved at bruge den tredje egenskab af det ubestemte integral kan vi skrive ∫ - d (cos x) = - ∫ d (cos x) .

Ved den anden egenskab får vi - ∫ d (cos x) = - (cos x + C)

Derfor er ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C .

Lad os tjekke resultatet opnået ved differentiering.

Lad os skelne mellem det resulterende udtryk:
- cos x - C " = - (cos x) " - (C) " = - (- sin x) = sin x = 2 sin x 2 cos x 2

Som et resultat af kontrollen fik vi integrand-funktionen. Det betyder, at vi har gennemført integrationen korrekt. For at lave den sidste overgang brugte vi dobbeltvinkelsinusformlen.

Svar:∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C

Hvis tabellen over derivater af grundlæggende elementære funktioner omskrives i form af differentialer, kan en tabel med antiderivater kompileres fra den ved hjælp af den anden egenskab af det ubestemte integral.

Vi vil overveje dette emne mere detaljeret i det næste afsnit, "Tabel over antiderivater (tabel over ubestemte integraler)."

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

En gennemgang af metoder til beregning af ubestemte integraler præsenteres. De vigtigste metoder til integration overvejes, som omfatter integration af sum og forskel, placering af en konstant uden for integraltegn, erstatning af en variabel og integration af dele. Særlige metoder og teknikker til integration af brøker, rødder, trigonometriske og eksponentielle funktioner diskuteres også.

Indhold

Regel for integration af summer (differencer)

Flytning af konstanten uden for integraltegnet

Lad c være en konstant uafhængig af x. Så kan det tages ud af integraltegnet:

Variabel udskiftning

Lad x være en funktion af variablen t, x = φ(t), så
.
Eller omvendt, t = φ(x) ,
.

Ved at bruge en variabelændring kan du ikke kun beregne simple integraler, men også forenkle beregningen af ​​mere komplekse.

Integration af dele regel

Integration af brøker (rationelle funktioner)

Lad os introducere notationen. Lad P k (x), Q m (x), R n (x) betegne polynomier med henholdsvis grader k, m, n med hensyn til variablen x.

Overvej et integral bestående af en brøkdel af polynomier (den såkaldte rationelle funktion):

Hvis k ≥ n, skal du først vælge hele delen af ​​brøken:
.
Integralet af polynomiet S k-n (x) beregnes ved hjælp af tabellen over integraler.

Integralen forbliver:
, hvor m< n .
For at beregne det skal integranden dekomponeres i simple brøker.

For at gøre dette skal du finde rødderne til ligningen:
Qn (x) = 0 .
Ved at bruge de opnåede rødder skal du repræsentere nævneren som et produkt af faktorer:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Her er s koefficienten for x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Herefter nedbrydes brøken i sin enkleste form:

Ved at integrere får vi et udtryk bestående af simplere integraler.
Formens integraler

reduceres til tabelsubstitution t = x - a.

Overvej integralet:

Lad os omdanne tælleren:
.
Ved at indsætte i integranden får vi et udtryk, der inkluderer to integraler:
,
.
Den første, ved substitution t = x 2 + ex + f, reduceres til en tabelform.
For det andet ifølge reduktionsformlen:

reduceres til integralet

Lad os reducere dens nævner til summen af ​​kvadrater:
.
Derefter ved substitution, integralet

er også opstillet.

Integration af irrationelle funktioner

Lad os introducere notationen. Lad R(u 1, u 2, ..., u n) betyde en rationel funktion af variablerne u 1, u 2, ..., u n. Det er
,
hvor P, Q er polynomier i variablerne u 1, u 2, ..., u n.

Fraktionel lineær irrationalitet

Lad os overveje integraler af formen:
,
hvor er rationelle tal, m 1, n 1, ..., m s, n s er heltal.
Lad n være fællesnævneren for tallene r 1, ..., r s.
Derefter reduceres integralet til integralet af rationelle funktioner ved substitution:
.

Integraler fra differentiale binomialer

Overvej integralet:
,
hvor m, n, p er rationelle tal, a, b er reelle tal.
Sådanne integraler reduceres til integraler af rationelle funktioner i tre tilfælde.

1) Hvis p er et heltal. Substitution x = t N, hvor N er fællesnævneren for brøkerne m og n.
2) Hvis - et heltal. Substitution a x n + b = t M, hvor M er nævneren for tallet p.
3) Hvis - et heltal. Substitution a + b x - n = t M, hvor M er nævneren for tallet p.

Hvis ingen af ​​de tre tal er et heltal, så kan integraler af denne type ifølge Chebyshevs teorem ikke udtrykkes ved en endelig kombination af elementære funktioner.

I nogle tilfælde er det først nyttigt at reducere integralet til mere bekvemme værdier m og p. Dette kan gøres ved hjælp af reduktionsformler:
;
.

Integraler, der indeholder kvadratroden af ​​et kvadrattrinomium

Her betragter vi integraler af formen:
,

Euler udskiftninger

Sådanne integraler kan reduceres til integraler af rationelle funktioner af en af ​​tre Euler-substitutioner:
, for a > 0;
for c > 0;
, hvor x 1 er roden af ​​ligningen a x 2 + b x + c = 0. Hvis denne ligning har reelle rødder.

Trigonometriske og hyperbolske substitutioner

Direkte metoder

I de fleste tilfælde resulterer Euler-substitutioner i længere beregninger end direkte metoder. Ved hjælp af direkte metoder reduceres integralet til en af ​​nedenstående former.

Type I

Integral af formularen:
,
hvor P n (x) er et polynomium af grad n.

Sådanne integraler findes ved metoden med ubestemte koefficienter ved hjælp af identiteten:

Ved at differentiere denne ligning og sidestille venstre og højre side finder vi koefficienterne A i.

Type II

Integral af formularen:
,
hvor P m (x) er et polynomium af grad m.

Substitution t = (x - a) -1 dette integral er reduceret til den tidligere type. Hvis m ≥ n, så skal brøken have en heltalsdel.

III type

Den tredje og mest komplekse type:
.

Her skal du lave en erstatning:
.
Hvorefter integralet vil have formen:
.
Dernæst skal konstanterne α, β vælges således, at koefficienterne for t bliver nul:
B = 0, B1 = 0.
Derefter dekomponerer integralet til summen af ​​integraler af to typer:
;
,
som er integreret, henholdsvis ved substitutioner:
z2 = A1t2 + C1;
y2 = Ai + C1t-2.

Generel sag

Integration af transcendentale (trigonometriske og eksponentielle) funktioner

Lad os på forhånd bemærke, at de metoder, der er anvendelige for trigonometriske funktioner, også er anvendelige for hyperbolske funktioner. Af denne grund vil vi ikke overveje integrationen af ​​hyperbolske funktioner separat.

Integration af rationelle trigonometriske funktioner af cos x og sin x

Lad os overveje integraler af trigonometriske funktioner af formen:
,
hvor R er en rationel funktion. Dette kan også omfatte tangenter og cotangenter, som bør konverteres ved hjælp af sinus og cosinus.

Når du integrerer sådanne funktioner, er det nyttigt at huske på tre regler:
1) hvis R( cos x, sin x) ganget med -1 fra fortegnsændringen før en af ​​størrelserne fordi x eller synd x, da er det nyttigt at betegne den anden af ​​dem med t.
2) hvis R( cos x, sin x)ændres ikke på grund af ændring i fortegn på samme tid før fordi x Og synd x, så er det nyttigt at sætte tg x = t eller barneseng x = t.
3) substitution fører i alle tilfælde til integralet af en rationel brøk. Desværre resulterer denne substitution i længere beregninger end de tidligere, hvis det er relevant.

Produkt af potensfunktioner af cos x og sin x

Lad os overveje integraler af formen:

Hvis m og n er rationelle tal, så er en af ​​substitutionerne t = synd x eller t = fordi x integralet reduceres til integralet af differentialbinomialet.

Hvis m og n er heltal, så beregnes integralerne ved integration af dele. Dette giver følgende reduktionsformler:

;
;
;
.

Integration af dele

Anvendelse af Eulers formel

Hvis integranden er lineær i forhold til en af ​​funktionerne
cos økse eller sinax, så er det praktisk at anvende Eulers formel:
e iax = cos økse + isin økse(hvor i 2 = - 1 ),
erstatte denne funktion med e iax og fremhæve den rigtige (ved udskiftning cos økse) eller imaginær del (ved udskiftning sinax) fra det opnåede resultat.

Referencer:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Samling af problemer i højere matematik, "Lan", 2003.

Se også:

UBESTEMMET INTEGRAL

Vi begynder at studere integraler, som er meget udbredt inden for mange teknologiområder. Lad os starte vores undersøgelse med det ubestemte integral.

Antiderivat og ubestemt integral

Differentialregningens hovedopgave er differentieringen af ​​givne funktioner, med andre ord opgaven med at finde ændringshastigheden for en given funktion. Talrige spørgsmål om videnskab og teknologi fører til formuleringen af ​​det omvendte problem: givet en funktion f (x), rekonstruer en funktion F (x), for hvilken f (x) ville være en afledt: F ¢ (x) = f (x) ).

Definition. En funktion F(x) kaldes antiderivat for f (x) if

F ¢ (x) = f (x) eller dF(x) = f (x) dx.

Eksempler. 1) f(x) = 3x2, F(x) = x3;

2) f (x) = cosx, F(x) = sinx.

Det er let at se, at denne funktion f (x) = 3x 2 ikke svarer til én antiafledning, men til en mængde: x 3 ; x 3 + 1; x 3-1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Faktisk, (x 3)¢ = 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x2; (x 3 - 1) ¢ = 3 x 2; . . . . (x 3 + C)¢ = 3x 2.

Generelt, hvis F(x) er en antiderivat af en given funktion f(x), så vil funktionen F(x) + c, "СОR også være en antiderivativ funktion, da:

¢ = F¢(x) = f (x).

Er mængden af ​​alle antiderivater af f (x) udtømt af udtryk på formen F(x) + C, eller er der antiderivater af denne funktion, som ikke kan opnås fra F(x) + C for nogen værdi af C? Det viser sig, at udsagnet er sandt: der er ingen andre antiderivater af funktionen f (x). Med andre ord, hvis F 1 (x) og F 2 (x) er to antiderivater for f (x), så F 1 (x) = F 2 (x) + C,

hvor C er en konstant.

Faktisk fordi F 1 (x) og F 2 (x) er antiderivater for f (x), så

Lad os overveje forskellen for alle x.

Lad x 0 være en fast værdi af argumentet,

x er en vilkårlig anden værdi.

Efter Lagranges formel

hvor er et tal mellem x 0 og x. Fordi:

Har hver funktion f (x) en antiderivativ?

Sætning. Hvis en funktion f (x) er kontinuert på et eller andet interval, så har den en antiderivativ på sig (intet bevis).

Definition. Hvis F (x) er en slags antiderivat for f (x), så kaldes udtrykket F (x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant, et ubestemt integral og betegnes: , mens f (x) kaldes en integrandfunktion, og udtrykket f (x) dx - ved integranden:

Handlingen med at finde et ubestemt integral, ellers at finde alle antiderivater af en given funktion, kaldes integration denne funktion. Det er indlysende, at operationerne med differentiering og integration er gensidigt omvendt.

Addition og subtraktion, eksponentiering og rodekstraktion, multiplikation og division giver eksempler på inverse matematiske operationer.

IKTIB ITA SFU

FOREDRAGSKURSUS I MATEMATIK

Kapitel 5 Integralregning
funktioner af en variabel

Forelæsning 21 Antiderivativ, ubestemt integral

Foredragsoversigt

Antiderivat og ubestemt integral. Egenskaber for det ubestemte integral. Tabel integration. Invariansegenskab for integrationsformler. Indsendelse af differentialtegnet. Ændring af en variabel i et ubestemt integral. Integration af dele. Faktorering af polynomier. Dekomponering af egentlige rationelle brøker til deres enkleste brøker. Integration af simple og rationelle brøker. Integration af trigonometriske funktioner og nogle irrationelle udtryk.

Begrebet antiderivat og ubestemt integral

Hvad er et integral? Er det rigtigt, at integration er det modsatte af differentiering? Lad os besvare disse og andre spørgsmål.

Definition 1 . En antiderivat af en funktion er en funktion sådan, at .

Så et antiderivat er en funktion, hvis afledte er lig med den givne funktion. Bemærk, at antiderivatet for en given funktion ikke er entydigt bestemt. For eksempel er den afledede af en funktion lig med funktionen. Derfor er funktionen et antiderivat af funktionen. Men den afledede af en funktion er også lig med funktionen. Følgelig er funktionen også en antiderivat af funktionen, ligesom funktionen er, hvor er en vilkårlig konstant.

Sætning 1 . (Generel form for antiderivater for en given funktion) Lad funktionen være en antiderivat for funktionen . Så er enhver antiderivat af en funktion repræsenteret i formen , hvor er en vilkårlig konstant. Og omvendt, for enhver funktion er en antiderivat af funktionen.

Bevis . Den anden del af sætningen er indlysende, fordi åbenbart . Nu er det nok at bevise, at hvis afledte af to funktioner er lige store, så adskiller disse funktioner sig med en konstant. Faktisk er det nok at bevise, at hvis den afledede af en funktion (forskellen mellem de nævnte funktioner) er lig med 0, så er det en afledt af en konstant. Men dette er sandt. Lad os tage to punkter. Forskellen mellem værdierne af funktionen ved disse punkter i henhold til Lagrange-formlen for finit stigning er lig med den afledede på et mellemliggende punkt ganget med forskellen i argumenterne ( ). Men den afledede er lig med 0 overalt, derfor er inkrementet af funktionen altid lig med 0, dvs. funktionen er lig med en konstant. Sætningen er bevist.

Definition 2 . Mættet af alle antiderivater for en funktion kaldes det ubestemte integral af funktionen og er angivet med symbolet.

Så, faktisk, at beregne et ubestemt integral betyder at gøre det modsatte af at beregne den afledte. Derudover, under hensyntagen til sætning 1, er formlen til beregning af det ubestemte integral gyldig , (1) hvor er en af ​​antiderivaterne for funktionen, som kaldes sub s integreret funktion.

Vi ved allerede, at den afledede af en funktion har adskillige anvendelser. I applikationer taler vi selvfølgelig om betydningen af ​​afledte på individuelle punkter, altså om tal. Bemærk, at et ubestemt integral er en samling af funktioner. Derfor er den direkte anvendelse af det ubestemte integral meget begrænset. I applikationer er der andre typer integraler, hvor resultatet er et tal, og teknisk set reduceres beregningen til at finde den antiafledte funktion. Derfor er det meget vigtigt at lære, hvordan man beregner det ubestemte integral.

1. Ud fra hvilke funktioner kan man beregne
ubestemt integral

Vi ved, at vi kan beregne den afledede af en hvilken som helst elementær funktion ved at bruge tabellen over afledte af grundlæggende elementære funktioner og reglerne for beregning af afledte (afledte af en sum, forskel, produkt, kvotient, kompleks funktion).

Herfra kan du skrive en tabel over antiderivater ved at læse tabellen over afledte fra højre mod venstre. Det er også muligt at formulere regler svarende til reglerne for beregning af den afledte. Med sum, forskel og subtraktion af et numerisk sæt er reglerne for differentiering og integration identiske. Men med produktet, kvotienten og beregningen af ​​den afledede af en kompleks funktion er situationen mere kompliceret. Når alt kommer til alt, er derivatet af f.eks. et produkt ikke lig med "produktet af derivater". Derfor tillader tabellen over antiderivater og reglerne for beregning af antiderivater ikke, at man kan finde antiderivatet af nogen elementær funktion. Der er såkaldte "kan ikke tages" integraler af elementære funktioner. For eksempel ser det ud til, at et simpelt integral ikke kan beregnes i vores forståelse, da der blandt de elementære funktioner ikke er nogen funktion, hvis afledede er lig med . En antiderivat for en kontinuerlig funktion eksisterer altid, men i dette tilfælde er den ikke blandt de elementære. Sådanne funktioner kaldes specielle. Mange af dem er nødvendige i applikationer og studeres specifikt.

Så i modsætning til at beregne den afledede af en funktion, er vi ikke forpligtet til at kunne beregne det ubestemte integral af en elementær funktion. Vi vil studere visse typer af elementære funktioner, hvorfra vi skal lære at evaluere ubestemte integraler.

Tabel over de enkleste ubestemte integraler

Lad os huske tabellen over afledte af grundlæggende elementære funktioner:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

På mange måder genererer den en tabel over de enkleste ubestemte integraler. Der er også andre integraler her. Alle kan nemt verificeres ved at beregne den afledte af højre side.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)

	|	næste foredrag ==>
	|

Antiderivatfunktion og ubestemt integral

Fakta 1. Integration er den omvendte handling af differentiering, nemlig at genoprette en funktion fra den kendte afledte af denne funktion. Funktionen er således genoprettet F(x) Hedder antiderivat til funktion f(x).

Definition 1. Funktion F(x f(x) på et eller andet interval x, hvis for alle værdier x fra dette interval holder ligheden F "(x)=f(x), det vil sige denne funktion f(x) er derivatet af antiderivatfunktionen F(x). .

For eksempel funktionen F(x) = synd x er en antiderivat af funktionen f(x) = cos x på hele tallinjen, da for enhver værdi af x (synd x)" = (cos x) .

Definition 2. Ubestemt integral af en funktion f(x) er sættet af alle dets antiderivater. I dette tilfælde bruges notationen

∫

f(x)dx

,

hvor er skiltet ∫ kaldet integraltegn, funktionen f(x) – integrand funktion, og f(x)dx – integrant udtryk.

Således, hvis F(x) – noget antiderivat til f(x) , At

∫

f(x)dx = F(x) +C

Hvor C - vilkårlig konstant (konstant).

For at forstå betydningen af ​​sættet af antiderivater af en funktion som et ubestemt integral, er følgende analogi passende. Lad der være en dør (traditionel trædør). Dens funktion er at "være en dør." Hvad er døren lavet af? Lavet af træ. Det betyder, at mængden af ​​antiderivater af integranden af ​​funktionen "at være en dør", det vil sige dens ubestemte integral, er funktionen "at være et træ + C", hvor C er en konstant, hvilket i denne sammenhæng kan angiver for eksempel trætypen. Ligesom en dør er lavet af træ ved hjælp af nogle værktøjer, er en afledt funktion af en funktion "lavet" ud fra en antiafledt funktion vha. formler, vi lærte, mens vi studerede den afledede .

Så er tabellen over funktioner for almindelige genstande og deres tilsvarende antiderivater ("at være en dør" - "at være et træ", "at være en ske" - "at være metal" osv.) svarende til tabellen over grundlæggende ubestemte integraler, som vil blive givet nedenfor. Tabellen over ubestemte integraler viser almindelige funktioner med en angivelse af de antiderivater, som disse funktioner er "lavet" af. I en del af problemerne med at finde det ubestemte integral er der givet integrander, der kan integreres direkte uden stor indsats, det vil sige ved at bruge tabellen over ubestemte integraler. I mere komplekse problemer skal integranden først transformeres, så tabelintegraler kan bruges.

Fakta 2. Når vi gendanner en funktion som en antiderivativ, skal vi tage højde for en vilkårlig konstant (konstant) C, og for ikke at skrive en liste over antiderivater med forskellige konstanter fra 1 til uendeligt, skal du skrive et sæt antiderivater med en vilkårlig konstant C for eksempel sådan her: 5 x³+C. Så en vilkårlig konstant (konstant) er inkluderet i udtrykket af antiderivatet, da antiderivatet kan være en funktion, for eksempel 5 x³+4 eller 5 x³+3 og når differentieret, 4 eller 3, eller enhver anden konstant går til nul.

Lad os stille integrationsproblemet: for denne funktion f(x) finde en sådan funktion F(x), hvis afledte svarende til f(x).

Eksempel 1. Find mængden af ​​antiderivater af en funktion

Løsning. For denne funktion er antiderivatet funktionen

Fungere F(x) kaldes et antiderivat for funktionen f(x), hvis derivatet F(x) er lig med f(x), eller, som er det samme, differential F(x) er lige f(x) dx, dvs.

(2)

Derfor er funktionen et antiderivat af funktionen. Det er dog ikke det eneste antiderivat til . De tjener også som funktioner

Hvor MED– vilkårlig konstant. Dette kan verificeres ved differentiering.

Således, hvis der er én antiderivat for en funktion, så er der for den et uendeligt antal antiderivater, der adskiller sig med et konstant led. Alle antiderivater for en funktion er skrevet i ovenstående form. Dette følger af følgende sætning.

Sætning (formel kendsgerning 2). Hvis F(x) – antiderivat for funktionen f(x) på et eller andet interval x, derefter ethvert andet antiderivat for f(x) på samme interval kan repræsenteres i formen F(x) + C, Hvor MED– vilkårlig konstant.

I det næste eksempel vender vi os til tabellen over integraler, som vil blive givet i afsnit 3, efter egenskaberne for det ubestemte integral. Vi gør dette, før vi læser hele tabellen, så essensen af ​​ovenstående er klar. Og efter tabellen og ejendommene vil vi bruge dem i deres helhed under integrationen.

Eksempel 2. Find sæt af antiafledte funktioner:

Løsning. Vi finder sæt af antiafledte funktioner, hvorfra disse funktioner er "lavet". Når du nævner formler fra tabellen over integraler, skal du nu bare acceptere, at der er sådanne formler der, og vi vil studere selve tabellen over ubestemte integraler lidt længere.

1) Anvendelse af formel (7) fra tabellen over integraler for n= 3, får vi

2) Brug af formel (10) fra tabellen over integraler for n= 1/3, vi har

3) Siden

derefter ifølge formel (7) med n= -1/4 finder vi

Det er ikke selve funktionen, der er skrevet under integraltegnet. f, og dets produkt ved forskellen dx. Dette gøres primært for at angive, med hvilken variabel antiderivatet søges. For eksempel,

, ;

her er integranden i begge tilfælde lig med , men dens ubestemte integraler i de betragtede tilfælde viser sig at være forskellige. I det første tilfælde betragtes denne funktion som en funktion af variablen x, og i den anden - som en funktion af z .

Processen med at finde det ubestemte integral af en funktion kaldes at integrere denne funktion.

Geometrisk betydning af det ubestemte integral

Antag, at vi skal finde en kurve y=F(x) og vi ved allerede, at tangenten af ​​tangentvinklen i hvert af dens punkter er en given funktion f(x) abscisse af dette punkt.

Ifølge den geometriske betydning af den afledte, tangenten til hældningsvinklen for tangenten ved et givet punkt på kurven y=F(x) lig med værdien af ​​derivatet F"(x). Så vi skal finde sådan en funktion F(x), for hvilket F"(x)=f(x). Funktion påkrævet i opgaven F(x) er et antiderivat af f(x). Betingelserne for problemet opfyldes ikke af en kurve, men af ​​en familie af kurver. y=F(x)- en af ​​disse kurver, og enhver anden kurve kan opnås fra den ved parallel translation langs aksen Åh.

Lad os kalde grafen for den antiderivative funktion af f(x) integral kurve. Hvis F"(x)=f(x), derefter grafen for funktionen y=F(x) der er en integralkurve.

Faktum 3. Det ubestemte integral er geometrisk repræsenteret af familien af ​​alle integralkurver , som på billedet nedenfor. Afstanden af ​​hver kurve fra oprindelsen af ​​koordinater bestemmes af en vilkårlig integrationskonstant C.

Egenskaber for det ubestemte integral

Fakta 4. Sætning 1. Den afledede af et ubestemt integral er lig med integranden, og dets differential er lig med integranden.

Fakta 5. Sætning 2. Ubestemt integral af differentialet af en funktion f(x) er lig med funktionen f(x) op til en konstant periode , dvs.

(3)

Sætning 1 og 2 viser, at differentiering og integration er gensidigt omvendte operationer.

Fakta 6. Sætning 3. Konstantfaktoren i integranden kan tages ud af fortegnet for det ubestemte integral , dvs.