Võrrandite lahendamine. Lineaarvõrrand ühes muutujas

§ 23. Ühe muutujaga lineaarvõrrand. Lineaarvõrrandite lahendamine ühes muutujas ja võrrandid, mis taandavad neile

Teame, kuidas lahendada võrrandeid 2x = -8; x - 5; 0,01 x -17.

Kõik need võrrandid on kujul ax = b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud.

Arve a ja b nimetatakse võrrandi koefitsientideks.

Kui a ≠ 0, siis võrrandit ax = b nimetatakse ühe muutujaga esimese astme võrrandiks. Jagades võrrandi mõlemad pooled a -ga, saame x =, st selle võrrandi ainus juur on arv

Kui a - 0 ja b - 0, siis on lineaarvõrrandi kuju 0x - 0. Sellise võrrandi juur on suvaline arv, kuna iga x väärtuse korral on võrrandi vasaku ja parema külje väärtused võrdne ja võrdne nulliga. Seetõttu on võrrand 0x = 0 juurte hulk.

Kui a - 0 ja b ≠ 0, on lineaarvõrrand kujul 0x - b. Samal ajal pole muutujal x väärtust, mis teisendaks võrrandi vasaku ja parema külje samaks arvuks. Lõppude lõpuks on võrrandi vasaku külje väärtus iga x väärtuse korral võrdne nulliga ja parema külje väärtus on nullist erinev arv b. Seetõttu pole võrrandil 0x = b, kui b ≠ 0 on juured.

Süstematiseerime andmed lineaarvõrrandi ax = b lahenduse kohta skeemi kujul:

Näide 1. Lahendage võrrand:

jaotis

1) 0,2 x = 7; x = 7: 0,2; x = 35.

Vastus: - 4.

3) 0x = 7; võrrandil pole juuri.

Vastus: sellel pole juuri.

Paljude võrrandite lahendamise protsess on nende võrrandite vähendamine liilia teeks võrrandite omaduste poolest samaväärsete teisenduste abil.

Näide 2. Lahendage võrrand:

1) 3 (x + 1) - 2x = 6 - 4x;

jaotis

1. Vabanegem nimetajatest (kui neid on):

1) 3 (x + 3) - 2x = 6 - 4x.

Korrutage võrrandi mõlemad pooled 6-ga (6 on murdude väikseim ühisnimetaja). Meil on:

3 (x + 1) + 2 (5 - x) = x + 13.

2. Laiendame sulgusid (kui neid on):

3x + 9 - 2x = 6 - 4x;

3x + 3 + 10 - 2x = x + 13.

3. Liigutage muutujat sisaldavad terminid vasakule ja ülejäänud paremale, muutes nende terminite märgid vastupidiseks:

3x - 2x + 4x = 6 - 9;

3x - 2x - x = 13 - 3 - 10.

4. Teeme sarnaste terminite kokkuvõtte:

5. Lahendame saadud lineaarvõrrandi:

Vastus: -0,6.

x - suvaline arv.

Vastus: suvaline number.

Näide 3. Lahendage võrrand 5 (x + r) = 3x - 7p x suhtes.

jaotis Avame võrrandi vasakul küljel olevad sulud: 5x + 5p - 3x - 7p. Liigutage terminit 3x vasakule ja 5p paremale. Meil on: 5x - 3x = -7p - 5p; 2x = -12r. Siis x = (-12p): 2; x = (-12:2) g; x = -6p.

Vastus: -6 rubla.

Millist võrrandit nimetatakse lineaarseks ühe muutuja võrrandiks? Too näiteid lineaarvõrranditest. Millal on võrrandil ax - b üks juur? Igal juhul on võrrandi juur b-suvaline arv? Millal ei ole võrrandil ax = b juuri?

848. (Suuline) Milline võrrand on lineaarne:

5) x + 7 = x 2;

849. (Suuline) Mitu juurt on võrrandil:

850. Uurige, millisel neist võrranditest on ainult üks lahendus, millel pole lahendeid, millel on lõpmatu arv lahendeid:

851. (Sõnaliselt) Lahenda võrrand:

2) 0,5 x = -2,5;

3) -2,5 x = 7,5;

852. Lahendage võrrand:

6) -0,01 x = 0,17;

8) -1,2 x = -4,2;

853. Leidke võrrandi juur:

6) 0,1 x = 0,18.

854. Määrake, mis tuleks kirjutada võrrandis tühikute asemel paremale, kui selle juur on teada:

855. Leidke võrrandi juur:

1) 7x + 14 = 0;

2) 0,3x - 21 = 0,5x - 23;

3) 1x + 3 = 6x - 13;

4) 5x + (3x - 7) = 9;

5) 47 = 10 - (9x + 2);

6) (3x + 2) - (8x + 6) = 14.

856. Lahendage võrrand:

2) 1,4 x - 12 = 0,9 x + 4;

3) 3x + 14 = 5x - 16;

4) 12 - (5x + 10) = -3;

5) 6 - (8x + 11) = -1;

6) (3x - 4) - (6 - 4x) = 4.

857. Milline võrranditest on võrdne võrrandiga 5x = 10:

3) x + 2 = x + 1;

5) x = 8 - 3x;

6) 1x - 7 = 4x?

858. Kas võrrandid on samaväärsed:

1) 4x - x = 17 3x = 17;

2) 5x - 9 = 3x ja 6x = 21;

3) 2x = -12 ja x + 6 = 0;

4) 12x = 0 15x = 15?

859.

1) 3x + 7 võrdub -2;

2) 4 (x + 1) on võrdne avaldise 5x - 9 väärtusega?

860. Millise y väärtusega:

1) avaldise 5y - 13 väärtus on võrdne -3;

2) kas avaldiste 3 (c - 2) ja 13y - 8 väärtused on võrdsed?

861. Lahendage võrrand:

2) 2x - y = 1;

862. Leidke võrrandi juur:

863. Koostage lineaarvõrrand, mille juur on:

1) arv -2;

2) arv on -0,2.

864. Koostage lineaarne võrrand:

1) tal pole juuri;

2) milline juur on suvaline arv.

865. Tehke juurega lineaarne võrrand:

1) arv -8;

2) suvaline arv.

866. Leidke võrrandi juur:

1) (4x - 2) + (5x - 4) - 9 - (5 - 11x);

2) (7 - 8x) - (9 - 12x) - (5x + 4) = -16;

3) 3 (4x - 5) - 10 (2x - 1) = 33;

4) 9 (3 (x + 1) 2x) = 7 (x + 1).

867. Lahendage võrrand:

1) (9x - 4) + (15x - 5) = 18 - (25-22x);

2) (10x + 6) - (9 - 9x) + (8 - 11x) = -19;

3) 7 (x - 1) - 3 (2x + 1) = -x - 15;

4) 5 (4 (x - 1) - 3x) = 9x.

868.

1) 2x + a = x + a;

2) b + x = c - x;

3) 6x + 2m = x - 8m;

4) 9a + x = 3b - 2x.

jaotis

4) 9a - x = 3b - 2x; x + 2x = 3b - 9a; 3x = 3 (b - 3a). Jagame võrrandi mõlemad pooled 3-ga. Saame: x = b - 3a.

Vastus: b - 3a.

869. Lahendage x võrrand:

1) 7x + m = 2x + m;

2) a + x = 2m - x;

3) 3x + b = 9b - x;

4) 5p + 2x = 10 - 3x.

870. Kas võrrandid on samaväärsed:

1) 2x - 4 = 2 ja 5 (x - 3) + 1 = 3x - 8;

2) 5x + 3 = 8 ja 7 (x - 2) + 20 = 4x + 3;

3) 5x = 0 ja 0x = 5;

4) 7x + 1 = 7x 2 ja 5 (x + 1) = 5x + 5;

5) 0: x = 7 ja 0 ∙ x = 7;

6) 3 (x - 2) = 3x - 6 ja 2 (x + 7) - 2 (x + 1) + 12?

871. Millise väärtusega on avaldise väärtus:

1) 5y + 7 on kolm korda suurem avaldise y + 5 väärtusest;

2) 2y - 4 on 7,4 võrra suurem kui avaldise 3 - 7y väärtus?

872. Millise x väärtuse juures on avaldise väärtus:

1) 7x + 8 on kahekordne avaldise x + 7 väärtus;

2) 5x - 8 pa 17,2 vähem kui avaldise x + 2 väärtus?

873. Koostage võrrand, mis oleks võrdne võrrandiga 7 (2x - 8) = 5 (7x - 8) - 15x.

874. Millise a väärtusega on võrrand:

1) 2ax = 16 juur on 4;

2) 3x juur on võrdne;

3) Kas 5 (a + 1) x = 40 juure on -1?

875. Millise b väärtuse juures on võrrandi juur:

1) 3b x = -24 on arv -4;

2) (2a - 5) x = 45 s arv 3?

876. Lahendage võrrand:

1) 4x + 7 = 3 (x - 2) + x:

2) 2x + 5 - 2 (x - 4) + 13;

3) 2x (1 - 3x) + 5x (3 - x) = 17x - 8x 2;

4) (7x - 3 + 2x 2 - 4x - 5) - (6x 3 - x 2 + 2x) = 3x 2 - (6x - x 3).

877. Leidke võrrandi juur:

1) 3 (x - 2) + 4x = 7 (x -1) + 1;

2) 2 (x + 1) + x = 6 (x + 3);

3) 3x (2 + x) - 4 (1 - x 2) = 7x 2 + 6x;

4) (x 2 + 4x - 8) - (7x - 2x 2-5) = 3x 2 - (3x + 3).

878. Lahenda võrrand.

§ 1 Mis on võrrand

Võrrand on tundmatut sisaldav võrrand, mille väärtus tuleb leida. Näiteks kirjed:

ei ole võrrandid. Võrdsust pole ja muutuja väärtust pole vaja leida. Need on lihtsalt sõnasõnalised väljendid. Ja siin on sissekanded:

13x - 14 = 2x + 4

on võrrandid.

Võrrandid on reaalsete olukordade algebralised mudelid. Mudeliga töötamise käigus lahendame võrrandi.

Võrrandi lahendamine tähendab kõigi selle juurte leidmist või näitamist, et neid pole olemas. Võrrandi juur on selline muutuja väärtus, mille korral võrrand muutub tõeliseks numbriliseks võrdsuseks. Näiteks kaaluge võrrandit:

Kui x = 4, on võrrand arvulise võrrandi kujul:

2 ∙ 4 - 1 = 5 või 7 = 5

See ei ole kehtiv numbriline võrdus, mis tähendab, et 4 ei ole võrrandi juur. Kui x = 3, saab võrrand arvulise võrdsuse kujul:

2 ∙ 3 ​​- 1 = 5 või 5 = 5

See on kehtiv arvuline võrdus, mis tähendab, et arv 3 on võrrandi juur. Ja muid juuri pole.

§ 2 Lineaarvõrrandid ühes muutujas

Võrrandit kujul ax + b = 0 nimetatakse ühe muutujaga lineaarvõrrandiks.

Siin on a ja b koefitsiendid, neid saab väljendada suvaliste numbritega.

Vaatame erinevaid juhtumeid.

1) Kui a = 0 ja b = 0, siis on võrrand kujul 0 ∙ х + 0 = 0. Ilmselgelt on sellel võrrandil lõpmata palju juuri, kuna iga arv nulliga korrutatuna annab 0. Seega on tulemus alati õige numbriline võrdsus.

2) Kui a = 0, siis b ≠ 0. Siis on võrrand kujul 0 ∙ х + b = 0. Võite märgata, et sellisel võrrandil pole ühtegi juurt. Tõepoolest, kui suvaline arv korrutada 0-ga, on tulemus alati 0, kuid nullist erineva arvu summa annab nullist erineva tulemuse, mis tähendab, et igal juhul saadakse vale numbriline võrdus.

3) Koefitsient a on nullist erinev, see on kõige levinum juhtum. Põhjendame nii:

Esiteks kanname teadaoleva liikme võrrandi paremal poolel b-sse, muutes märki. Saame:

Seejärel jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga a. Saame:

Seega on võrrandil antud juhul ainult üks juur, nimelt:

Ülaltoodut kokku võttes võime järeldada:

Ühe tundmatuga lineaarvõrranditel võib olla üks juur, lõpmatult palju juuri või mitte üks juur.

Aga mis siis, kui võrrand on kirjutatud keerulisemal kujul? Näiteks kujul:

4 (x - 4) = 2x + 6

Sel juhul peame esmalt läbi viima rea ​​teisendusi.

Esmalt laiendame sulgusid. Saame:

4x - 16 = 2x + 6

Seejärel kanname tundmatud liikmed võrrandi vasakusse serva ja teadaolevad paremale poole, unustamata ülekande käigus liikme märki muuta. Saame:

4x - 2x = 6 + 16

Nüüd anname sarnased terminid. Saame:

Jagades võrrandi mõlemad pooled 2 -ga, saame x = 11.

§ 3 Näited mõiste "lineaarvõrrand" kasutamisest

Vaatame veel mõnda näidet, kasutades mõistet "lineaarvõrrand".

Näide 1. Määrake võrrandi 3x + 15 = 3 (x +2) + 9 juurte arv.

See on lineaarne ühe muutuja võrrand. Küsimusele vastamiseks peate esmalt selle võrrandi teisendama. Selleks avage sulud, saame:

3x + 15 = 3x + 6 + 9

Kanname teadaolevad terminid võrrandi paremale poolele ja tundmatud vasakule. Saame:

3x - 3x = 6 + 9 - 15

Anname sarnaseid termineid, saame:

See võrdsus kehtib iga x väärtuse kohta, seega on võrrandil lõpmatult palju juuri.

Näide 2. Millise muutuja väärtuse juures on avaldise 4y - 1 väärtus võrdne avaldise 3y + 5 väärtusega?

Siin on selgelt määratletud kahe avaldise võrdsuse tingimus. Kirjutades selle võrdsuse, saame:

4y - 1 = 3y + 5

Lahendades selle võrrandi näite 1 meetodil, saame y = 6.

Vastus: avaldiste väärtused on võrdsed, kui y = 6.

Näide 3. Ema ja tütar koos 35 aastat. Kui vana on teie tütar, kui ta on oma emast 25 aastat noorem?

Koostame selle reaalse olukorra algebralise mudeli. Olgu tütar x-aastane, siis on ema x + 25-aastane. Kuna tingimuse järgi on nad koos 35-aastased, koostame võrrandi:

x + (x + 25) = 35

Selle võrrandi lahendamisel leiame:

Kuna tütre vanust tähistasime tähega x, on leitud number vastuseks probleemi küsimusele. Vastus: minu tütar on 5-aastane.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Mordkovich A.G., Algebra klass 7 kahes osas, 1. osa, Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. - 10. väljaanne, muudetud - Moskva, "Mnemosyne", 2007
2. Mordkovich AG, Algebra 7. klass kahes osas, 2. osa, Probleemide raamat haridusasutustele / [A.G. Mordkovitš ja teised]; toimetanud A.G. Mordkovich - 10. väljaanne, muudetud - Moskva, "Mnemozina", 2007
3. TEMA. Tultšinskaja, algebra 7. klass. Blitz -uuring: käsiraamat haridusasutuste õpilastele, 4. trükk, muudetud ja laiendatud, Moskva, "Mnemozina", 2008
4. Alexandrova L.A., algebra klass 7. Temaatilised testid uuel kujul üldharidusasutuste õpilastele, toimetanud A.G. Mordkovitš, Moskva, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra klass 7. Iseseisev töö õppeasutuste õpilastele, toimetanud A.G. Mordkovitš - 6. trükk, stereotüüpne, Moskva, "Mnemosyne", 2010

Jne on loogiline tutvuda teist tüüpi võrranditega. Järgmised on järjekorras lineaarvõrrandid, mille eesmärgipärane õppimine algab 7. klassi algebratundidest.

On selge, et kõigepealt peate selgitama, mis on lineaarvõrrand, andma lineaarvõrrandi definitsiooni, selle koefitsiendid, näitama selle üldist vormi. Seejärel saate aru saada, kui palju lahendusi on lineaarvõrrandil sõltuvalt koefitsientide väärtustest ja kuidas juured leitakse. See võimaldab teil minna näidete lahenduseni ja seeläbi õpitud teooriat kinnistada. Selles artiklis teeme seda: käsitleme üksikasjalikult kõiki teoreetilisi ja praktilisi punkte, mis on seotud lineaarvõrrandite ja nende lahendamisega.

Ütleme kohe, et siin käsitleme ainult ühe muutujaga lineaarseid võrrandeid ja juba eraldi artiklis uurime lahendamise põhimõtteid lineaarvõrrandid kahes muutujas.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on lineaarvõrrand?

Lineaarvõrrandi definitsiooni annab selle kirjutamisviis. Veelgi enam, erinevates matemaatika ja algebra õpikutes on lineaarvõrrandite definitsioonide sõnastustes mõningaid erinevusi, mis ei mõjuta probleemi olemust.

Näiteks Yu.N. Makarychev jt algebra õpikus 7. klassile on lineaarvõrrand defineeritud järgmiselt:

Definitsioon.

Vormi võrrand a x = b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud, kutsutakse lineaarvõrrand ühes muutujas.

Toome näiteid lineaarvõrranditest, mis vastavad kõlalisele definitsioonile. Näiteks 5 x = 10 on lineaarvõrrand ühe muutujaga x, siin on koefitsient a 5 ja arv b 10. Teine näide: −2,3 y = 0 - see on samuti lineaarne võrrand, kuid muutujaga y, milles a = −2,3 ja b = 0. Ja lineaarsetes võrrandites x = -2 ja -x = 3,33 a ei esine selgelt ja on vastavalt 1 ja -1, samas kui b = -2 esimeses võrrandis ja b = 3,33 teises võrrandis.

Ja aasta varem peeti matemaatikaõpikus Vilenkin N. Ya. lisaks võrranditele kujul ax = b ka ühe tundmatuga lineaarvõrrandeid võrranditeks, mida saab sellesse vormi taandada, kandes üle termineid ühest osast. võrrand teisele vastandmärgiga, samuti kasutades sarnaste terminite taandamist. Selle definitsiooni järgi võrrandid kujul 5 x = 2 x + 6 jne. ka lineaarne.

A.G. Mordkovichi algebraõpikus 7 klassi jaoks on omakorda antud järgmine määratlus:

Definitsioon.

Lineaarvõrrand ühe muutujaga x On võrrand kujul ax + b = 0, kus a ja b on mõned arvud, mida nimetatakse lineaarvõrrandi kordajateks.

Näiteks on seda tüüpi lineaarvõrrandid 2x - 12 = 0, siin on koefitsient a 2 ja b võrdub −12 ning 0,2y + 4,6 = 0 koos koefitsientidega a = 0,2 ja b = 4,6. Kuid samal ajal on näiteid lineaarvõrranditest, mille kuju ei ole a x + b = 0, vaid a x = b, näiteks 3 x = 12.

Et meil edaspidi lahknevusi ei oleks, siis ühe muutujaga x lineaarsete võrrandite ning koefitsientide a ja b all mõistame võrrandit kujul a x + b = 0. Seda tüüpi lineaarvõrrandid näivad olevat kõige õigustatud, kuna lineaarvõrrandid on nii algebralised võrrandid esimene kraad. Ja kõiki teisi ülalnimetatud võrrandeid, samuti võrrandeid, mis samaväärsete teisenduste abil taandatakse kujule a x + b = 0, nimetatakse võrrandid, mis taanduvad lineaarvõrranditeks... Selle lähenemisviisi korral on võrrand 2 x + 6 = 0 lineaarne võrrand ja 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 jne. Need on võrrandid, mis taanduvad lineaarseteks.

Kuidas lahendada lineaarvõrrandeid?

Nüüd on aeg välja mõelda, kuidas lahendatakse lineaarvõrrandid ax + b = 0. Teisisõnu, on aeg välja selgitada, kas lineaarvõrrandil on juured ja kui on, siis kui palju ja kuidas neid leida.

Lineaarvõrrandi juurte olemasolu sõltub koefitsientide a ja b väärtustest. Sel juhul on lineaarvõrrand a x + b = 0

• unikaalne juur ≠ 0 jaoks,
• ei ole juure a = 0 ja b ≠ 0 jaoks,
• on a = 0 ja b = 0 jaoks lõpmatult palju juuri, sel juhul on mis tahes arv lineaarvõrrandi juur.

Selgitame, kuidas need tulemused saadi.

Teame, et võrrandite lahendamiseks võite minna algsest võrrandist samaväärsetele võrranditele, st samade juurtega võrranditele või, nagu originaal, ilma juurteta. Selleks saate kasutada järgmisi samaväärseid teisendusi:

• termini ülekandmine võrrandi ühelt küljelt teisele vastandmärgiga,
• ja võrrandi mõlema poole korrutamine või jagamine sama nullist erineva arvuga.

Seega saame lineaarvõrrandis ühe muutujaga kujul a x + b = 0 kanda termini b vasakult küljelt vastupidise märgiga paremale poole. Sel juhul on võrrand kujul a · x = −b.

Ja siis viitab võrrandi mõlema poole jagamine arvuga a. Kuid on üks asi: arv a võib olla võrdne nulliga, sel juhul on selline jaotus võimatu. Selle probleemiga toimetulekuks eeldame kõigepealt, et number a on null ja nulli a juhtumit käsitletakse eraldi veidi hiljem.

Seega, kui a ei ole võrdne nulliga, saame võrrandi ax = −b mõlemad pooled jagada a-ga, pärast seda teisendatakse see kujule x = (- b): a, selle tulemuse saab kirjutada kasutades a murdosa riba nagu.

Seega, kui a ≠ 0, on lineaarvõrrand a x + b = 0 samaväärne võrrandiga, kust on näha selle juur.

Seda on lihtne näidata, et see juur on ainulaadne, see tähendab, et lineaarvõrrandil pole muid juuri. See võimaldab teil muuta meetodi vastuoluliseks.

Tähistame juurt kui x 1. Oletame, et lineaarvõrrandil on veel üks juur, mida tähistame x 2 -ga, pealegi x 2 ≠ x 1, mis tulenevalt võrdsete arvude määramine erinevuse kaudu on samaväärne tingimusega x 1 - x 2 ≠ 0. Kuna x 1 ja x 2 on lineaarvõrrandi a x + b = 0 juured, siis leiavad aset arvulised võrrandid a x 1 + b = 0 ja a x 2 + b = 0. Nende võrrandite vastavad osad saame lahutada, mis võimaldab teha arvuliste võrrandite omadusi, meil on ax 1 + b− (ax 2 + b) = 0−0, kust a (x 1 - x 2) + ( b − b) = 0 ja edasi a (x 1 −x 2) = 0. Ja see võrdsus on võimatu, kuna nii a ≠ 0 kui ka x 1 - x 2 ≠ 0. Nii jõudsime vastuoluni, mis tõestab lineaarvõrrandi juure a x + b = 0 unikaalsust a ≠ 0 korral.

Nii lahendasime a ≠ 0 jaoks lineaarvõrrandi ax + b = 0. Selle jaotise alguses antud esimene tulemus on õigustatud. Järele on jäänud veel kaks, mis vastavad tingimusele a = 0.

Kui a = 0, on lineaarvõrrand a x + b = 0 kujul 0 x + b = 0. Sellest võrrandist ja arvude korrutamise nullist omadusest järeldub, et olenemata sellest, millise arvu võtame x -ks, kui see asendatakse võrrandiga 0 x + b = 0, saame arvväärtuse b = 0. See võrdsus on tõene, kui b = 0, ja muudel juhtudel, kui b ≠ 0 on see võrdus vale.

Seetõttu on a = 0 ja b = 0 korral suvaline arv lineaarvõrrandi a x + b = 0 juur, kuna sellistel tingimustel annab x -i asemel mis tahes arvu asendamine õige arvväärtuse 0 = 0. Ja kui a = 0 ja b ≠ 0, pole lineaarvõrrandil a x + b = 0 juuri, kuna nendel tingimustel viib suvalise arvu asendamine x asemel vale arvulise võrrandiga b = 0.

Ülaltoodud põhjendused võimaldavad teil moodustada toimingute jada, mis võimaldab teil lahendada mis tahes lineaarvõrrandi. Niisiis, lineaarvõrrandi lahendamise algoritm Kas see on:

• Esiteks, kirjutades lineaarse võrrandi, leiame koefitsientide a ja b väärtused.
• Kui a = 0 ja b = 0, siis sellel võrrandil on lõpmatult palju juuri, nimelt on selle lineaarvõrrandi juureks suvaline arv.
• Kui a ei ole null, siis
• koefitsient b kantakse vastupidise märgiga paremale poole ja lineaarvõrrand teisendatakse kujule a x = −b,
• mille järel saadud võrrandi mõlemad pooled jagatakse nullist erineva arvuga a, mis annab algse lineaarvõrrandi soovitud juure.

Kirjalik algoritm on ammendav vastus küsimusele, kuidas lahendada lineaarvõrrandeid.

Selle punkti kokkuvõtteks tuleb öelda, et sarnast algoritmi kasutatakse vormide a x = b võrrandite lahendamiseks. Selle erinevus seisneb selles, et a ≠ 0 korral jagatakse võrrandi mõlemad pooled kohe selle arvuga, siin on b juba võrrandi vajalikus osas ja selle ülekandmist pole vaja teha.

Vorm a x = b võrrandite lahendamiseks kasutatakse järgmist algoritmi:

• Kui a = 0 ja b = 0, siis on võrrandil lõpmatult palju juuri, mis on suvalised arvud.
• Kui a = 0 ja b ≠ 0, siis algsel võrrandil pole juuri.
• Kui a on nullist erinev, jagavad võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga a, mis annab võrrandi ainsa juure, mis on võrdne b / a-ga.

Näited lineaarvõrrandite lahendamisest

Hakkame harjutama. Vaatame, kuidas rakendatakse lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi. Anname lahendused tüüpilistele näidetele, mis vastavad lineaarvõrrandite koefitsientide erinevatele väärtustele.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrand 0 x − 0 = 0.

Lahendus.

Selles lineaarses võrrandis a = 0 ja b = −0, mis on sama, b = 0. Seetõttu on sellel võrrandil lõpmata palju juuri, mis tahes arv on selle võrrandi juur.

Vastus:

x on suvaline arv.

Näide.

Kas lineaarvõrrandis on lahendid 0x + 2,7 = 0?

Lahendus.

Sel juhul on koefitsient a null ja selle lineaarvõrrandi koefitsient b on 2,7, st nullist erinev. Seetõttu pole lineaarvõrrandil juuri.

Selles videos analüüsime tervet rida lineaarvõrrandeid, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid ka kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja mis on neist kõige lihtsam?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Too sarnased terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $ x $ koefitsiendiga.

Loomulikult ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $ x $ koefitsient nulliks. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $ 0 \ cdot x = 8 $, st. vasakul on null ja paremal nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme korraga mitut põhjust, miks selline olukord võimalik on.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on võrrand taandatud konstruktsiooniks $ 0 \ cdot x = 0 $. On täiesti loogiline, et ükskõik, mis $ x $ me asendame, selgub ikkagi "null võrdub nulliga", s.t. õige numbriline võrdsus.

Nüüd vaatame, kuidas see kõik tegelikes probleemides toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Täna tegeleme lineaarsete võrranditega ja ainult kõige lihtsamatega. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see ulatub ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse umbes samal viisil:

1. Kõigepealt peate sulgusid laiendama, kui neid on (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks haara kinni muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - tuleks üle kanda ühes suunas ja kõik, mis sellest ilma jääb, tuleks üle kanda teisele poole.

Seejärel peate reeglina tooma saadud võrdsuse mõlemale küljele sarnased ja pärast seda jääb üle ainult jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" arvutamisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahendiks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõige lihtsamate ülesannetega.

Lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui need on olemas.
2. Sekreteerime muutujaid, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiks "x" juures.

Muidugi ei tööta see skeem alati, selles on teatud peensusi ja nippe ning nüüd saame nendega tuttavaks.

Lihtsate lineaarvõrrandite eluliste näidete lahendamine

Probleem number 1

Esimeses etapis peame sulgusid laiendama. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle etapi vahele. Teises etapis peame muutujad kinni võtma. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Kirjutame:

Esitame sarnaseid termineid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu liigume edasi neljanda sammu juurde: jagame koefitsiendiga:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Nii et saime vastuse.

Probleem number 2

Selle probleemi puhul saame sulgusid jälgida, nii et laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid läheme edasi algoritmi järgi, s.t. eraldame muutujad:

Siin on sarnased:

Millistel juurtel seda tehakse. Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $ x $ on suvaline number.

Probleem number 3

Kolmas lineaarvõrrand on huvitavam:

\ [\ vasak (6-x \ parem) + \ vasak (12 + x \ parem)-\ vasak (3-2 x \ parem) = 15 \]

Siin on mitu sulgu, aga neid ei korruta millegagi, vaid nende ees on erinevad märgid. Avame need:

Teostame teise meile juba teadaoleva sammu:

\ [-x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Loeme:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Liiga lihtsate ülesannete kõrval tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on olemas, võib nende hulgas olla null - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi diskrimineerida ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude avamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine... Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide abil: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Selle lihtsa fakti mõistmine võimaldab teil vältida keskkooli rumalaid ja haavavaid vigu, kui selliseid toiminguid peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerukamaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisendusprotsessis tühistatakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomiaalid.

Näide nr 1

Ilmselgelt on esimene samm sulgude laiendamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Nüüd privaatsuse kohta:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Siin on sarnased:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastusesse:

\ [\ varnothing \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Järgime samu samme. Esimene samm:

Liigutage kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on sarnased:

Ilmselt pole sellel lineaarvõrrandil lahendust, seega kirjutame selle nii:

\ [\ varnothing \],

või pole juuri.

Lahendusnüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime taas, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei pruugi kõik nii lihtne olla: juure võib olla üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul kaalusime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avalikustamist peate kõik korrutama "X-ga". Märkus: korrutab iga üksiku terminiga... Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatud.

Ja alles pärast nende esmapilgul elementaarsete, kuid väga oluliste ja ohtlike teisenduste sooritamist saate sulgu laiendada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on lõpetatud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik, mis läheb alla, muudab lihtsalt märke. Sel juhul kaovad sulgud ise ja mis kõige tähtsam - ka juhtmiinus.

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et juhin tähelepanu nendele väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad jälle nii lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev ja lihvite need oskused automatismi. Enam ei pea iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutad kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, on juba raske nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Probleem number 1

\ [\ vasak (7x + 1 \ parem) \ vasak (3x-1 \ parem) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme eraldatuse:

Siin on sarnased:

Viime läbi viimase sammu:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (-4) \]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et ruutfunktsiooniga koefitsientide lahendamise protsessis nad üksteist hävitasid, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Probleem number 2

\ [\ vasak (1-4x \ parem) \ vasak (1-3x \ parem) = 6x \ vasak (2x-1 \ parem) \]

Teeme esimese sammu korralikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku peaks pärast teisendusi olema neli uut terminit:

Nüüd korrutame hoolikalt iga termini:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Siin on sarnased terminid:

Taaskord saime lõpliku vastuse.

Lahendusnüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutage iga elemendiga teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebraline summa

Viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1–7 dollari all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutage ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". Nii erineb algebraline summa tavalisest aritmeetilisest.

Kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste probleemide lahendamiseks peame oma algoritmile lisama veel ühe sammu. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Laiendage sulud.
2. Eraldi muutujad.
3. Tooge sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks osutub see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures murdosade ees täiesti sobimatuks. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Kõik on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt murdudest vabanemine. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Laiendage sulud.
3. Eraldi muutujad.
4. Tooge sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks saab seda teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja järgi numbrilised, st. igal pool on nimetajas vaid arv. Seega, kui me korrutame võrrandi mõlemad pooled selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\ [\ frac (\ vasak (2x + 1 \ parem) \ vasak (2x-3 \ parem)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\ [\ frac (\ vasak (2x + 1 \ parem) \ vasak (2x-3 \ parem) \ cdot 4) (4) = \ vasak (((x) ^ (2)) - 1 \ parem) \ cdot 4\]

Pöörake tähelepanu: kõik korrutatakse "neljaga" üks kord, st. see, et teil on kaks sulgu, ei tähenda, et peate need kõik neljaga korrutama. Paneme kirja:

\ [\ vasak (2x + 1 \ parem) \ vasak (2x-3 \ parem) = \ vasak (((x) ^ (2)) - 1 \ parem) \ cdot 4 \]

Nüüd avame:

Teeme muutuja eraldamise:

Teostame sarnaste tingimuste vähendamist:

\ [- 4x = -1 \ vasakule | : \ vasak (-4 \ parem) \ parem. \]

\ [\ frac (-4x) (-4) = \ frac (-1) (-4) \]

Saime lõpplahenduse, minge teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\ [\ frac (\ vasak (1-x \ parem) \ vasak (1 + 5x \ parem)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\ [\ frac (\ vasak (1-x \ parem) \ vasak (1 + 5x \ parem) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Probleem on lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioone, tõenäoliselt need kahanevad edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, täisarvu sirge on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika edasiseks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!

Õppetunni teema:

Lineaarvõrrand ühes muutujas

Kudelko jahisadam

Tunni eesmärgid:

Hariduslik: kinnistada võrrandi mõistet, võrrandi juuri, jätta meelde, mida tähendab võrrandi lahendamine, tutvustada ja õppida ekvivalentvõrrandi, lineaarvõrrandi mõistet, osata leida lineaarvõrrandeid ja õppida neid lahendama , peaksid õpilased teadma, mitu juurt võib lineaarvõrrandil olla.

Arendav: Arendada õpilaste registreerimistäpsust, õpilaste arvutusoskust, kujundada huvi ja armastust aine vastu, mälu ja vaimseid toiminguid, kujundada oskust selgelt ja selgelt väljendada oma mõtteid, kujundada selgelt küsimusi.

Haridus: edendada õpilaste võimete tuvastamist ja avalikustamist, sisendada iseseisvust.

Tunni tüüp: uue materjali õppimine.

Tunniplaan:

.Kodutööde kontroll (5 minutit)

Kuna tänane tund on uue materjali õppimise tund, siis pole aega kodutööde kontrollimiseks, kogun märkmikud kontrollimiseks, olles õpilasi ette hoiatanud. Õpilased panevad vihikud laua servale.

.Põhiteadmiste värskendamine

Tunni alguses tuleb koos õpilastega meelde tuletada juba tuttavad võrrandi mõisted, võrrandi juur, meenutada võrrandi lahendamise nõude tähendust. Õpetaja viib läbi frontaalse küsitluse. Ja ka õpetaja koostas nende küsimuste kohta eelnevalt tahvlile väikesed näited, õpilased lähevad tahvli juurde ja otsustavad ise, soovitavalt ilma õpetaja abita, kuna see on juba kaetud materjal.

Tõesta, et kõik arvud -5, 0, 3 on võrrandi juur:

A) z (z-3) (z + 5) = 0;

Lahendage võrrand:

Leidke võrrandi juur:

Kuna antud teemas on vaja töötada õpilastele tundmatu mõistega, siis tuleb see esmalt tutvustada. See mõiste on samaväärne võrranditega. Esmalt võite esitada mitu võrrandit, paluge õpilastel need lahendada. Seejärel küsige, mis on võrrandite vahel ühist. Selgub, et võrranditel on ühist nende identsed juured. Kui õpilased kohe aru ei saa, tuleks tuua veel paar näidet. Ja öelda, et seda tüüpi võrrandeid nimetatakse samaväärseteks. Need. Ekvivalentsed võrrandid on võrrandid, millel on samad juured.

Kas võrrandid on samaväärsed???

Tahvlile (või interaktiivsele tahvlile) võite tuua märgid:

3. Uue materjali õppimine

Nüüd, kui vajalikud mõisted on meelde tuletatud, mõned mõisted on edukalt kasutusele võetud, jätkame uue materjali uurimisega.

Õpetaja on eelnevalt koostanud tahvlile joonise (või esitluse sellel teemal, mis on palju parem).

Õpetaja esitab õpilastele probleemi.

Lahendame võrrandi, mida saab joonistel visualiseerida: lineaarjuur on võrdne võrrandiga

Võrrandi tingimuse esitasime pildi kujul, mis on õpilastele palju selgem ja arusaadavam. Meile antakse kaalud, millel on teetassid ja raskused ning tasakaalustavad üksteist.

Nüüd vaidleme, mis juhtub meie kaaludega, kui lahutame või lisame sama arvu pakke teed.

Võite arutleda nii. Kella tasakaal ei muutu, kui igast tassist eemaldatakse 3 pakki teed. (Seda on näha joonisel 2) Kui 2 pakki teed (!! sama kaaluga !!) kaaluvad 150g, siis üks pakk teed kaalub 150g. : 2 = 75 g.

Need kaalutlused näitavad sellist võrrandi lahendamise viisi. Lahutage avaldis võrrandi vasakust ja paremast küljest. Saame:

Tingimused ja - paremal pool annavad nulli. Seetõttu saame:

See tähendab vastust: õpetaja teeb neid toiminguid koos õpilastega, nad peavad teda õhutama ja aitama. Õpetaja võib paluda öeldut korrata või, mis on parem, seda probleemi üksteisele paarikaupa selgitada ja siis üks või paar õpilast tahvli juures. Õpetaja ei unusta õpilasi kiitmast.

Seejärel lahendame koos, frontaalselt, järgmise näite.

Lahendame võrrandi:

Kui igale võrrandi osale lisada avaldis, siis pärast sarnaste kummitust paremal ei tule muutujaga termineid, teeme ära (õpetaja palub õpilastel toimingud valjusti hääldada, ta saab paluge ühel õpilasel rääkida või selgitada):

(Tsiteerime sarnaseid ja pange tähele, et 3x ja -3x on vastastikku tühistatud.)

Võrreldes saadud võrrandit andmetega, märgime, et termin - läks paremalt küljelt vasakule vastupidise märgiga. Anname sarnased vasakul:

Pange tähele, et võrrand saadakse võrrandist pärast arvu ülekandmist võrrandi vasakult küljelt vastupidise märgiga paremale poolele.

Lõpuks leiame:

Märgime, et kui võrrandis kantakse mõni liige ühest osast teise, muutes selle märki, siis saadakse antud võrrand.

Nad edastavad termini mitte lihtsalt niisama, vaid nii, et vasakus servas on terminid, mille nimi on muutuja ja teisel pool teadaolevad numbrid. Vasakul - tundmatud, paremal - tuntud.

Kui võrrand sisaldab sulgusid, peate need esmalt laiendama.

Õpetamine

Vajate abi mõne teema uurimisel?

Meie eksperdid nõustavad või pakuvad juhendamisteenust teile huvipakkuvatel teemadel.
Saatke päring koos teema märkimisega kohe, et saada teada konsultatsiooni saamise võimalusest.