Butterworth suodattimet. Kurssityö: Butterworth-ylipäästösuodatin Esimerkkejä Butterworth-ominaisuuden omaavan suodattimen laskemisesta

Suunnitelma:

Johdanto

• 1 arvostelu
  • 1.1 Normalisoidut Butterworth-polynomit
  • 1.2 Maksimaalinen sileys
  • 1.3 Korkeataajuinen roll-off
• 2 Suodattimen suunnittelu
  • 2.1 Cauer-topologia
  • 2.2 Sallen-Kayn topologia
• 3 Vertailu muihin lineaarisiin suodattimiin
• 4 Esimerkki
Kirjallisuus

Johdanto

Butterworth suodatin- yksi elektronisten suodattimien tyypeistä. Tämän luokan suodattimet eroavat muista suunnittelumenetelmän suhteen. Butterworth-suodatin on suunniteltu siten, että sen amplitudi-taajuusvaste on mahdollisimman tasainen päästökaistataajuuksilla.

Tällaisia ​​suodattimia kuvaili ensimmäisen kerran brittiläinen insinööri Stefan Butterworth artikkelissa "Suodatinvahvistimien teoriasta". Suodatinvahvistimien teoriasta ), lehdessä Langaton insinööri vuonna 1930.

1. Tarkista

Butterworth-suodattimen taajuusvaste on maksimaalisen tasainen päästökaistataajuuksilla ja laskee lähes nollaan pysäytyskaistataajuuksilla. Kun piirretään Butterworth-suodattimen taajuusvaste logaritmiseen vaihevasteeseen, amplitudi pienenee kohti miinus ääretöntä pysäytyskaistan taajuuksilla. Ensimmäisen kertaluvun suodattimen tapauksessa taajuusvaste vaimentaa -6 desibeliä oktaavia kohden (-20 desibeliä vuosikymmenessä) (itse asiassa kaikki ensimmäisen asteen suodattimet ovat tyypistä riippumatta identtisiä ja niillä on sama Taajuusvaste). Toisen asteen Butterworth-suotimella taajuusvaste vaimenee -12 dB oktaavia kohti, kolmannen asteen suodattimen -18 dB ja niin edelleen. Butterworth-suodattimen taajuusvaste on monotonisesti laskeva taajuuden funktio. Butterworth-suodatin on ainoa suodatin, joka säilyttää taajuusvasteen muodon korkeammissa arvoissa (lukuun ottamatta ominaiskäyrän jyrkempää siirtymistä vaimennuskaistalla), kun taas monet muut suodattimet (Bessel-suodatin, Chebyshev-suodatin, elliptinen suodatin) ovat eri muotoisia taajuusvasteella eri järjestyksessä.

Verrattuna Chebyshev-tyypin I ja II suodattimiin tai elliptiseen suodattimeen, Butterworth-suodattimella on tasaisempi rolloff, ja sen vuoksi sen on oltava korkeampi (mitä on vaikeampi toteuttaa), jotta se voi tarjota halutun suorituskyvyn pysäytyskaistataajuuksilla. Butterworth-suodattimella on kuitenkin lineaarisempi vaihetaajuusvaste päästökaistan taajuuksilla.

Alipäästö Butterworth-suodattimien taajuusvaste on luokkaa 1-5. Ominaisuuden jyrkkyys on 20 n dB/vuosikymmen, missä n- suodatinjärjestys.

Kuten kaikissa suodattimissa, taajuusominaisuuksia harkittaessa käytetään alipäästösuodatinta, josta saa helposti ylipäästösuodattimen, ja kytkemällä useita tällaisia ​​suodattimia sarjaan, kaistanpäästösuodatin tai lovisuodatin.

Kolmannen asteen Butterworth-suodattimen taajuusvaste saadaan siirtofunktiosta:

On helppo nähdä, että äärettömillä arvoilla taajuusvaste muuttuu suorakaiteen muotoiseksi funktioksi ja rajataajuuden alapuolella olevat taajuudet ohitetaan vahvistuksella ja rajataajuuden yläpuolella olevat taajuudet vaimentuvat kokonaan. Äärillisillä arvoilla ominaisuuden heikkeneminen on lievää.

Käyttämällä muodollista korvausta esitämme lausekkeen seuraavasti:

Siirtofunktion navat sijaitsevat ympyrässä, jonka säde on yhtä kaukana toisistaan ​​vasemmassa puolitasossa. Toisin sanoen Butterworth-suodattimen siirtofunktio voidaan määrittää vain määrittämällä sen siirtofunktion navat s-tason vasemmassa puolitasossa. Napa määritetään seuraavasta lausekkeesta:

Siirtofunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Samanlainen päättely pätee digitaalisiin Butterworth-suodattimiin, sillä ainoa ero on, että suhteita ei ole kirjoitettu s-lentokone ja varten z-lentokone.

Tämän siirtofunktion nimittäjää kutsutaan Butterworthin polynomiksi.

1.1. Normalisoidut Butterworth-polynomit

Butterworth-polynomit voidaan kirjoittaa kompleksiseen muotoon, kuten yllä on esitetty, mutta ne kirjoitetaan yleensä suhteina todellisten kertoimien kanssa (kompleksiset konjugaattiparit yhdistetään kertolaskulla). Polynomit normalisoidaan rajataajuudella: . Normalisoiduilla Butterworth-polynomeilla on siis seuraava kanoninen muoto:

, - parillinen , - pariton

Alla on Butterworthin polynomikertoimet kahdeksalle ensimmäiselle tilaukselle:

Polynomikertoimet 1 2 3 4 5 6 7 8

1.2. Maksimaalinen sileys

Ottaen ja , amplitudiominaisuuksien derivaatta suhteessa taajuuteen näyttää tältä:

Se pienenee monotonisesti kaikille, koska voitto on aina positiivinen. Siten Butterworth-suodattimen taajuusvasteessa ei ole aaltoilua. Kun amplitudiominaisuus laajennetaan sarjaksi, saadaan:

Toisin sanoen kaikki amplitudi-taajuusominaiskäyrän derivaatat taajuuteen 2 asti n- ovat yhtä suuria kuin nolla, mikä tarkoittaa "maksimaalista sileyttä".

1.3. Korkeataajuinen roll-off

Hyväksyttyään löydämme taajuusvasteen logaritmin kulmakertoimen korkeilla taajuuksilla:

Desibeleinä korkeataajuisen asymptootin kaltevuus on −20 n dB/vuosikymmen.

2. Suodattimen suunnittelu

On olemassa useita erilaisia ​​suodatintopologioita, joilla lineaariset analogiset suodattimet toteutetaan. Nämä kaaviot eroavat vain elementtien arvoista, mutta rakenne pysyy ennallaan.

2.1. Cauer-topologia

Cauerin topologiassa käytetään passiivisia elementtejä (kapasitanssi ja induktanssi). Butteworth-suodatin tietyllä siirtofunktiolla voidaan rakentaa tyypin 1 Cowherin muotoon. Suodatinelementti k. saadaan suhteella:

; k outoa ; k on parillinen

2.2. Sallen-Kayn topologia

Sallen-Kay-topologiassa käytetään passiivisten lisäksi myös aktiivisia elementtejä (operaatiovahvistimia ja kondensaattoreita). Jokainen Sallen-Kay-piirin vaihe on osa suodatinta, jota matemaattisesti kuvaa monimutkaisten konjugaattinapojen pari. Koko suodatin saadaan yhdistämällä kaikki vaiheet sarjaan. Jos kelvollinen napa löytyy, se tulee toteuttaa erikseen, yleensä RC-piirinä, ja sisällyttää kokonaispiiriin.

Sallen-Kay-piirin kunkin vaiheen siirtofunktio on muotoa:

Nimittäjän on oltava yksi Butterworthin polynomin tekijöistä. Hyväksyttyämme saamme:

Viimeinen relaatio antaa kaksi tuntematonta, jotka voidaan valita mielivaltaisesti.

3. Vertailu muihin lineaarisiin suodattimiin

Alla oleva kuva näyttää Butterworth-suodattimen taajuusvasteen verrattuna muihin suosittuihin saman (viidennen) luokan lineaarisiin suodattimiin:

Kuvasta voidaan nähdä, että Butterworth-suodattimen roll-off on hitain neljästä, mutta sillä on myös tasaisin taajuusvaste päästökaistan taajuuksilla.

4. Esimerkki

Analoginen alipäästö-Butterworth-suodatin (Cauer-topologia), jonka rajataajuus seuraavilla elementtiarvoilla: farad, ohm ja henry.

Siirtofunktion H(s) logaritminen tiheyskäyrä kompleksisella argumenttitasolla kolmannen asteen Butterworth-suodattimelle, jonka rajataajuus on . Kolme napaa sijaitsevat yksikkösäteen ympyrällä vasemmassa puolitasossa.

Harkitse kolmannen asteen analogista alipäästö Butterworth -suodatinta, jossa on farad, ohm ja henry. Ilmaisee kondensaattoreiden kokonaisresistanssin C Miten 1/Cs ja induktanssien impedanssi L Miten Ls, jossa on monimutkainen muuttuja, ja käyttämällä yhtälöitä sähköisten piirien laskemiseen, saamme seuraavan siirtofunktion tällaiselle suodattimelle:

Taajuusvaste saadaan kaavalla:

ja vaihevaste saadaan yhtälöllä:

Ryhmäviive määritellään miinus vaiheen derivaatta suhteessa ympyrätaajuuteen ja on signaalin vaihevääristymän mitta eri taajuuksilla. Tällaisen suodattimen logaritmisessa taajuusvasteessa ei ole aaltoilua päästökaistalla eikä vaimennuskaistalla.

Siirtofunktion moduulin kuvaaja kompleksitasossa osoittaa selvästi kolme napaa vasemmassa puolitasossa. Siirtofunktio määräytyy täysin näiden napojen sijainnin mukaan yksikköympyrässä symmetrisesti todellisen akselin ympäri.

Korvaamalla jokainen induktanssi kapasitanssilla ja kapasitanssit induktanssilla saadaan ylipäästö Butterworth-suodatin.

Ja kolmannen asteen Butterworth-suodattimen ryhmäviive katkaisutaajuudella

Kirjallisuus

• V.A. Lucas Automaattisen ohjauksen teoria. - M.: Nedra, 1990.
• B.H. Krivitsky Käsikirja radioelektroniikan teoreettisista perusteista. - M.: Energia, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Suodatinsuunnittelu signaalinkäsittelyä varten MATLAB©:n ja Mathematica©:n avulla. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Lähentämismenetelmät elektronisen suodattimen suunnitteluun. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith Digitaalisen signaalinkäsittelyn tutkijan ja insinöörin opas. - Toinen painos. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Lähentämismenetelmät elektronisen suodattimen suunnitteluun. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Mukautuva signaalinkäsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptiivisen suodattimen teoria. - 4. painos. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Mukautuvat suodattimet – rakenteet, algoritmit ja sovellukset. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineaarinen puheen ennustaminen. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Puhesignaalien digitaalinen käsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digitaalinen signaalinkäsittely VLSI:ssä. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digitaalinen signaalinkäsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold Digitaalisen signaalinkäsittelyn teoria ja sovellus. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Johdatus digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

Suodattimissa laskenta alkaa yleensä suodatinparametrien asettamisesta, joista tärkein on taajuusvaste. Kuten artikkelissa olemme jo käsitelleet, ensin tuodaan tietyn suodattimen vaatimukset alipäästösuodattimen prototyypin vaatimuksiin. Esimerkki suunnitellun suodattimen alipäästösuodattimen prototyypin amplitudi-taajuusvasteen vaatimuksista on esitetty kuvassa 1.

Kuva 1. Esimerkki alipäästösuodattimen normalisoidusta amplitudi-taajuusvasteesta

Tämä kaavio näyttää suodattimen lähetyskertoimen riippuvuuden normalisoidusta taajuudesta ξ , Missä ξ = f/f V

Kuvan 1 käyrä osoittaa, että siirtokertoimen sallittu epätasaisuus on määritelty päästökaistassa. Pysäytyskaistalla asetetaan häiritsevän signaalin vaimennuskerroin. Todellinen suodatin voi olla minkä muotoinen tahansa. Tärkeintä on, että se ei ylitä määritettyjen vaatimusten rajoja.

Suodatin laskettiin melko pitkään valitsemalla amplitudi-taajuusvaste vakiolinkeillä (m-link tai k-link). Tätä menetelmää kutsuttiin sovellusmenetelmäksi. Se oli melko monimutkainen eikä tarjonnut optimaalista suhdetta kehitetyn suodattimen laatuun ja linkkien määrään. Siksi on kehitetty matemaattisia menetelmiä amplitudi-taajuusvasteen approksimoimiseksi annetuilla ominaisuuksilla.

Matematiikassa approksimaatio on monimutkaisen suhteen esitys jollain tunnetulla funktiolla. Yleensä tämä toiminto on melko yksinkertainen. Suodatinta kehitettäessä on tärkeää, että approksimoiva funktio on helposti toteutettavissa piiriin. Tätä varten toiminnot toteutetaan neliporttisen verkon, tässä tapauksessa suodattimen, siirtokertoimen nollia ja napoja käyttäen. Ne on helppo toteuttaa käyttämällä LC-piirejä tai takaisinkytkentäsilmukoita.

Yleisin suodattimen taajuusvasteen approksimaatiotyyppi on Butterworth-approksimaatio. Tällaisia ​​suodattimia kutsutaan Butterworth-suodattimiksi.

Butterworth suodattimet

Butterworth-suodattimen amplitudi-taajuusvasteen erottuva piirre on minimien ja maksimien puuttuminen päästökaistalla ja viivekaistalla. Taajuusvasteen rolloff näiden suodattimien päästökaistan reunalla on 3 dB. Jos suodattimella vaaditaan pienempi aaltoiluarvo päästökaistalla, oikea suodatintaajuus f in on valittu päästökaistan määritellyn ylätaajuuden yläpuolelle. Butterworth-suodattimen alipäästösuodattimen prototyypin taajuusvasteen approksimaatiofunktio on seuraava:

(1),

Missä ξ — normalisoitu taajuus;
n- suodatinjärjestys.

Tässä tapauksessa kehitettävän suodattimen todellinen amplitudi-taajuusominaisuus saadaan kertomalla normalisoitu taajuus ξ suodattimen rajataajuuteen. Alipäästö Butterworth-suodattimen taajuusvasteen approksimaatiofunktio näyttää tältä:

(2).

Huomioikaa nyt, että suodattimia laskettaessa käytetään laajalti kompleksisen s-tason käsitettä, jolle piirretään ympyrätaajuus ordinaatta-akselia pitkin. jω, ja x-akselia pitkin on laatutekijän käänteisluku. Tällä tavalla on mahdollista määrittää suodatinpiiriin kuuluvien LC-piirien pääparametrit: viritystaajuus (resonanssitaajuus) ja laatutekijä. Siirtyminen s-tasoon suoritetaan käyttämällä .

Yksityiskohtainen johtaminen Butterworth-suodattimen napapaikoista kompleksisella s-tasolla on annettu. Meille tärkeintä on, että tämän suodattimen navat sijaitsevat yksikköympyrässä yhtä etäisyydellä toisistaan. Napojen lukumäärä määräytyy suodattimen järjestyksen mukaan.

Kuva 2 näyttää napojen sijainnit ensimmäisen kertaluokan Butterworth-suodattimelle. Taajuusvaste, joka vastaa tiettyä napajärjestelyä kompleksisessa s-tasossa, on esitetty lähellä.

Kuva 2. Ensimmäisen kertaluokan Butterworth-suodattimen napojen sijainti ja taajuusvaste

Kuvasta 2 näkyy, että ensimmäisen asteen suodattimessa napa on viritettävä nollataajuudelle ja sen laatutekijän tulee olla yhtä suuri kuin yksikkö. Taajuusvastekaavio osoittaa, että navan viritystaajuus on todellakin nolla ja navan laatutekijä on sellainen, että normalisoidun Butterworth-suotimen rajataajuudella, joka on yhtä suuri, sen lähetyskerroin on −3 dB.

Toisen asteen Butterworth-suodattimen navat määritetään täsmälleen samalla tavalla. Tällä kertaa napaviritystaajuus valitaan yksikköympyrän leikkauspisteestä, joka kulkee ympyrän keskipisteen läpi 45°:n kulmassa. Esimerkki napojen sijainnista kompleksisessa s-tasossa Toisen asteen Butterworth-suodattimen taajuusvaste on esitetty kuvassa 3.

Kuva 3. Toisen asteen Butterworth-suodattimen napojen sijainti ja taajuusvaste

Tässä tapauksessa navan resonanssitaajuus sijaitsee lähellä normalisoidun suodattimen rajataajuutta. Se on yhtä suuri kuin 0,707. Napojen sijaintikäyrän mukainen napalaatukerroin on kaksi kertaa korkeampi juuri kuin ensimmäisen asteen Butterworth-suodattimen napalaatutekijä, joten amplitudi-taajuusvasteen kaltevuus on suurempi. (Kiinnitä huomiota kaavion oikealla puolella oleviin numeroihin. Taajuusvirityksellä 2 vaimennus on jo 13 dB) Napan amplitudi-taajuusvasteen vasen puoli osoittautuu tasaiseksi. Tämä johtuu negatiivisella taajuusvyöhykkeellä sijaitsevan navan vaikutuksesta.

Kolmannen asteen Butterworth-suodattimen napojen sijainti ja amplitudi-taajuusvaste on esitetty kuvassa 4.

Kuva 4. Kolmannen asteen Butterworth-suodattimen napajärjestely

Kuten kuvissa 2...5 esitetyistä kaavioista näkyy, Butterworth-suotimen järjestyksen kasvaessa amplitudi-taajuusvasteen jyrkkyys kasvaa ja vaadittu laatukerroin toteuttavan toisen asteen piirin (piirin) suodattimen siirtokäyrän napa kasvaa. Juuri vaaditun laatutekijän kasvu rajoittaa suodattimen maksimijärjestystä, joka voidaan toteuttaa. Tällä hetkellä Butterworth-suodattimia on mahdollista toteuttaa kahdeksanteen - kymmenenteen luokkaan asti.

Chebyshev suodattimet

Chebyshev-suodattimissa amplitudi-taajuusvaste on likimääräinen seuraavasti:

(3),

Tässä tapauksessa todellisen Chebyshev-suodattimen amplitudi-taajuusvaste, aivan kuten Butterworth-suodattimessa, voidaan saada kertomalla normalisoitu taajuus ξ kehitettävän suodattimen rajataajuuteen. Alipäästösuotimelle Chebyshev-suodattimelle amplitudi-taajuusvaste voidaan määrittää seuraavasti:

(4).

Alipäästösuotimen Chebyshev-suodattimen amplitudi-taajuusvasteelle on ominaista jyrkempi taajuusalueen lasku yläpäästötaajuuden yläpuolella. Tämä vahvistus saavutetaan johtuen taajuusvasteen epätasaisuudesta päästökaistassa. Chebyshev-suodattimen taajuusvasteen approksimaatiofunktion epätasaisuus johtuu napojen korkeammasta laatutekijästä.

Yksityiskohtainen johtaminen Chebyshev-suodattimen approksimoivan funktion napojen sijainnista s-tasolla on annettu. Meille on tärkeää, että Chebyshev-suotimen navat sijaitsevat ellipsillä, jonka pääakseli on sama kuin normalisoitujen taajuuksien akseli. Tällä akselilla ellipsi kulkee alipäästösuodattimen rajataajuuspisteen läpi.

Normalisoidussa versiossa tämä piste on yhtä suuri kuin yksi. Toisen akselin määrää taajuusvasteen approksimaatiofunktion epätasaisuus päästökaistalla. Mitä suurempi päästökaistan sallittu aaltoilu on, sitä pienempi tämä akseli on. Butterworth-suodattimen yksikköympyrässä on eräänlainen "litistyminen". Napat näyttävät lähestyvän taajuusakselia. Tämä vastaa suodatinnapojen laatutekijän kasvua. Mitä suurempi päästökaistan epätasaisuus, sitä suurempi on napojen laatutekijä, sitä suurempi on vaimennusnopeus Chebyshev-suodattimen pysäytyskaistassa. Taajuusvasteen approksimaatiofunktion napojen lukumäärä määräytyy Chebyshev-suodattimen järjestyksen mukaan.

On huomattava, että ei ole olemassa ensimmäisen asteen Chebyshev-suodatinta. Toisen asteen Chebyshev-suotimen napojen sijainti ja taajuusvaste on esitetty kuvassa 5. Tšebyšev-suodattimen ominaisuus on mielenkiintoinen siinä mielessä, että napojen taajuudet näkyvät siinä selvästi. Ne vastaavat päästökaistan maksimitaajuusvastetta. Toisen asteen suodattimelle napataajuus vastaa ξ =0.707.

Butterworth-suodattimen taajuusvastetta kuvaa yhtälö

Butterworth-suodattimen ominaisuudet: epälineaarinen vaihevaste; katkaisutaajuus napojen lukumäärästä riippumaton; transienttivasteen värähtelevä luonne askeltulosignaalin kanssa. Kun suodatinjärjestys kasvaa, värähtelevä luonne kasvaa.

Chebyshev suodatin

Chebyshev-suodattimen taajuusvastetta kuvaa yhtälö

,

Missä T n 2 (ω/ω n ) – Chebyshev-polynomi n- järjestys.

Chebyshev-polynomi lasketaan käyttämällä toistuvaa kaavaa

Chebyshev-suodattimen ominaisuudet: lisääntynyt vaihevasteen epätasaisuus; aaltomainen ominaisuus päästökaistalla. Mitä suurempi suodattimen taajuusvasteen epätasaisuuskerroin päästökaistalla on, sitä voimakkaampi on siirtymäalueen lasku samassa järjestyksessä. Porrastetun tulosignaalin transienttivärähtely on suurempi kuin Butterworth-suodattimen. Chebyshev-suodattimen napojen laatukerroin on korkeampi kuin Butterworth-suodattimen.

Besselin suodatin

Bessel-suodattimen taajuusvastetta kuvaa yhtälö

,

Missä
;B n 2 (ω/ω cp h ) – Besselin polynomi n- järjestys.

Besselin polynomi lasketaan käyttämällä toistuvaa kaavaa

Bessel-suodattimen ominaisuudet: melko tasainen taajuusvaste ja vaihevaste, Gaussin funktion likiarvo; suodattimen vaihesiirto on verrannollinen taajuuteen, ts. suodattimella on taajuudesta riippumaton ryhmäviive. Katkaisutaajuus muuttuu suodattimen napojen lukumäärän muuttuessa. Suodattimen taajuusvaste on yleensä tasaisempi kuin Butterworthin ja Chebyshevin. Tämä suodatin sopii erityisen hyvin pulssipiireihin ja vaiheherkkään signaalinkäsittelyyn.

Cauer-suodatin (elliptinen suodatin)

Yleiskuva Cauer-suodattimen siirtotoiminnosta

.

Cauer-suodattimen ominaisuudet: epätasainen taajuusvaste päästökaistalla ja pysäytyskaistalla; jyrkin pudotus taajuusvasteessa kaikista yllä olevista suodattimista; toteuttaa tarvittavat siirtotoiminnot pienemmällä suodatinjärjesyksellä kuin käytettäessä muun tyyppisiä suodattimia.

Suodattimien järjestyksen määrittäminen

Tarvittava suodatinjärjestys määritetään alla olevilla kaavoilla ja pyöristetään lähimpään kokonaislukuarvoon. Butterworth-suodatintilaus

.

Chebyshev-suodattimen tilaus

.

Bessel-suodattimelle ei ole olemassa kaavaa järjestyksen laskemiseksi. Sen sijaan tarjotaan taulukoita, jotka vastaavat suodattimen järjestystä vaadittua vähimmäispoikkeamaa yksiköstä tietyllä taajuudella ja häviön tasoa dB).

Besselin suodatinjärjestystä laskettaessa määritetään seuraavat parametrit:

Ryhmän viiveajan sallittu prosentuaalinen poikkeama tietyllä taajuudella ω ω cp h ;

Suodattimen vahvistusvaimennustaso voidaan asettaa desibeleinä taajuudella ω , normalisoitu suhteessa ω cp h .

Näiden tietojen perusteella määritetään Bessel-suodattimen tarvittava järjestys.

1. ja 2. luokan alipäästösuodattimien kaskadipiirit

Kuvassa Kuvat 12.4, 12.5 esittävät tyypillisiä alipäästösuodatinkaskadien piirejä.

A) b)

Riisi. 12.4. Butterworthin, Chebyshevin ja Besselin alipäästösuodatinkaskadit: A - 1. järjestys; b – 2. järjestys

A) b)

Riisi. 12.5. Cauer-alipäästösuodatinkaskadit: A - 1. järjestys; b – 2. järjestys

Yleiskuva ensimmäisen ja toisen asteen Butterworthin, Chebyshevin ja Besselin alipäästösuodattimien siirtotoiminnoista

,
.

Yleiskuva 1. ja 2. kertaluvun Cauer-alipäästösuodattimen siirtotoiminnoista

,
.

avainero 2. asteen Cauer-suodattimen ja kaistanestosuodattimen välillä on se, että Cauer-suodattimen siirtofunktiossa taajuussuhde Ω s ≠ 1.

Laskentamenetelmä Butterworthin, Chebyshev- ja Besselin alipäästösuodattimille

Tämä tekniikka perustuu taulukoissa annettuihin kertoimiin ja pätee Butterworth-, Chebyshev- ja Bessel-suodattimiin. Cauer-suodattimien laskentamenetelmä esitetään erikseen. Butterworthin, Chebyshevin ja Besselin alipäästösuodattimien laskenta alkaa niiden järjestyksen määrittämisellä. Kaikille suodattimille asetetaan minimi- ja maksimivaimennusparametrit sekä rajataajuus. Chebyshev-suotimille määritetään lisäksi taajuusvasteen epätasaisuuskerroin päästökaistassa ja Bessel-suodattimille ryhmäviiveaika. Seuraavaksi määritetään suodattimen siirtofunktio, joka voidaan ottaa taulukoista, ja lasketaan sen 1. ja 2. kertaluvun kaskadit, noudatetaan seuraavaa laskentamenettelyä:

Suodattimen järjestyksestä ja tyypistä riippuen valitaan sen kaskadien piirit, kun taas parillisen järjestyksen suodatin koostuu n/2 2. asteen kaskadia ja pariton suodatin - yhdestä 1. asteen kaskadista ja ( n– 1)/2 toisen asteen kaskadit;

Ensimmäisen tilauksen kaskadin laskeminen:

Valittu suodatintyyppi ja järjestys määräävät arvon b 1 1. asteen kaskadi;

Vähentämällä käytössä olevaa pinta-alaa valitaan kapasiteettiluokitus C ja laskettu R kaavan mukaan (voit myös valita R, mutta on suositeltavaa valita C, tarkkuussyistä)

;

Voitto lasketaan TO klo U 1 1. asteen kaskadi, joka määritetään suhteesta

,

Missä TO klo U– suodattimen vahvistus kokonaisuutena; TO klo U 2 , …, TO klo Un– 2. asteen kaskadien vahvistustekijät;

Voiton saavuttamiseksi TO klo U 1 vastukset on asetettava seuraavan suhteen perusteella

R B = R A ּ (TO klo U1 –1) .

Toisen asteen kaskadin laskeminen:

Vähentämällä miehitettyä pinta-alaa, konttien nimellisarvot valitaan C 1 = C 2 = C;

Kertoimet valitaan taulukoista b 1 i Ja K pi toisen asteen kaskadeille;

Tietyn kondensaattorin nimellisarvon mukaan C vastukset lasketaan R kaavan mukaan

;

Valitulle suodatintyypille on asetettava oikea vahvistus TO klo Ui = 3 – (1/K pi) jokaisesta 2. asteen vaiheesta asettamalla vastukset seuraavan suhteen perusteella

R B = R A ּ (TO klo Ui –1) ;

Bessel-suodattimille on tarpeen kertoa kaikkien kondensaattorien nimellisarvot vaaditulla ryhmäviiveellä.

Suodattimia analysoitaessa ja niiden parametreja laskettaessa käytetään aina joitain vakiotermejä ja niistä kannattaa pitää kiinni alusta alkaen.

Oletetaan, että haluat alipäästösuodattimen tasaisella päästökaistalla ja terävällä siirtymällä pysäytyskaistaan. Vasteen lopullinen jyrkkyys pysäytyskaistalla on aina 6n dB/oktaavi, missä n on napojen lukumäärä. Yksi kondensaattori (tai kela) tarvitaan napaa kohden, joten suodattimen lopulliset rullausnopeusvaatimukset määräävät karkeasti sen monimutkaisuuden.

Oletetaan nyt, että päätät käyttää 6-napaista alipäästösuodatinta. Sinulle on taattu lopullinen roll-off korkeilla taajuuksilla 36 dB/oktaavi. Nyt on puolestaan ​​mahdollista optimoida suodattimen rakenne siinä mielessä, että se tuottaa tasaisimman vasteen päästökaistalla vähentämällä siirtymän kaltevuutta päästökaistalta estokaistalle. Toisaalta sallimalla jonkin verran aaltoilua päästökaistassa voidaan saavuttaa jyrkempi siirtyminen päästökaistalta estokaistalle. Kolmas kriteeri, joka voi olla tärkeä, kuvaa suodattimen kykyä läpäistä signaaleja, joiden spektri on päästökaistan sisällä vääristämättä niiden muotoa vaihesiirtojen vuoksi. Voit myös olla kiinnostunut nousuajasta, ylityksestä ja asettumisajasta.

Tunnetaan suodattimen suunnittelumenetelmiä, jotka soveltuvat minkä tahansa näiden ominaisuuksien tai niiden yhdistelmien optimointiin. Todella älykäs suodattimen valinta ei tapahdu yllä kuvatulla tavalla; Pääsääntöisesti ensin asetetaan päästökaistan ominaiskäyrän vaadittu tasaisuus ja vaadittu vaimennus tietyllä taajuudella päästökaistan ulkopuolella ja muut parametrit. Tämän jälkeen valitaan sopivin piiri, jonka napojen määrä riittää täyttämään kaikki nämä vaatimukset. Muutamissa seuraavissa osissa tarkastellaan kolmea suosituinta suodatintyyppiä, nimittäin Butterworth-suodatin (tasain päästökaistavaste), Chebyshev-suodatin (jyrkin siirtymä päästökaistasta pysäytyskaistaan) ja Bessel-suodatin (tasain viiveaikavaste). . Mikä tahansa näistä suodatintyypeistä voidaan toteuttaa käyttämällä erilaisia ​​suodatinpiirejä; Keskustelemme joistakin niistä myöhemmin. Ne kaikki sopivat yhtä hyvin ali- ja ylipäästösuodattimien ja kaistanpäästösuodattimien rakentamiseen.

Butterworth ja Chebyshev suodattimet. Butterworth-suodatin tarjoaa tasaisimman vasteen päästökaistalla, mikä tulee siirtymäalueen sileyden kustannuksella, ts. päästökaistojen ja viivekaistojen välillä. Kuten myöhemmin osoitetaan, sillä on myös huono vaihetaajuusvaste. Sen amplitudi-taajuusominaisuus saadaan seuraavalla kaavalla:
U ulos / U sisään = 1/ 1/2,
missä n määrittää suodattimen järjestyksen (napojen lukumäärä). Napojen lukumäärän lisääminen mahdollistaa päästökaistan ominaiskäyrän osan tasoittamisen ja päästökaistalta vaimennuskaistalle tapahtuvan jyrkkyyden lisäämisen, kuten kuvassa 1 on esitetty. 5.10.

Riisi. 5.10 Butterworth-alipäästösuodattimien normalisoidut ominaisuudet. Huomioi ominaisen jyrkkyyden kasvu suodatinjärjestyksen kasvaessa.

Kun valitset Butterworth-suodattimen, uhraamme kaiken muun tasaisimpien ominaisuuksien vuoksi. Sen ominaisuus menee vaakasuoraan, alkaen nollataajuudesta, sen taivutus alkaa rajataajuudella ƒ s - tämä taajuus vastaa yleensä -3 dB pistettä.

Useimmissa sovelluksissa tärkeintä on, että päästökaistan aaltoilu ei saa ylittää tiettyä määrää, esimerkiksi 1 dB. Chebyshev-suodatin täyttää tämän vaatimuksen, kun taas tietyt ominaisuuden epätasaisuudet sallitaan koko päästökaistalla, mutta samalla sen katkeamisen terävyys kasvaa huomattavasti. Chebyshev-suodattimelle on määritetty napojen lukumäärä ja päästökaistan epätasaisuus. Kun päästökaistan epätasaisuudet sallitaan, saadaan terävämpi mutka. Tämän suodattimen amplitudi-taajuusvaste saadaan seuraavasta suhteesta
U ulos / U sisään = 1/ 1/2,
missä C n on ensimmäisen luokan n Chebyshev-polynomi ja ε on vakio, joka määrää ominaisuuden epätasaisuuden päästökaistalla. Chebyshev-suodattimella, kuten Butterworth-suodattimella, on vaihetaajuusominaisuudet, jotka ovat kaukana ihanteellisista ominaisuuksista. Kuvassa Kuvassa 5.11 verrataan 6-napaisten Chebyshev- ja Butterworth-alipäästösuodattimien ominaisuuksia. Kuten voit helposti nähdä, molemmat ovat paljon parempia kuin 6-napainen RC-suodatin.

Riisi. 5.11. Joidenkin yleisesti käytettyjen 6-napaisten alipäästösuodattimien ominaisuuksien vertailu. Samojen suodattimien ominaisuudet esitetään sekä logaritmisella (ylhäällä) että lineaarisella (alhaalla) asteikolla. 1 - Bessel-suodatin; 2 - Butterworth-suodatin; 3 - Chebyshev-suodatin (ripple 0,5 dB).

Itse asiassa Butterworth-suodatin, jolla on erittäin tasainen päästökaistavaste, ei ole niin houkutteleva kuin miltä se saattaa näyttää, koska joka tapauksessa sinun on siedettävä päästökaistan epätasaisuutta (Butterworth-suodattimella tämä heikentää vastetta asteittain taajuus lähestyy arvoa ƒ c, ja Chebyshev-suotimessa - aaltoilua koko päästökaistalle). Lisäksi aktiivisilla suodattimilla, jotka on rakennettu elementeistä, joiden luokituksilla on jokin toleranssi, tulee lasketusta poikkeava ominaisuus, mikä tarkoittaa, että Butterworth-suodattimen ominaiskäyrän päästökaistassa on todellisuudessa aina jonkin verran epätasaisuutta. Kuvassa Kuva 5.12 havainnollistaa kondensaattorin kapasitanssin ja vastuksen resistanssin arvojen ei-toivottujen poikkeamien vaikutusta suodattimen ominaisuuksiin.

Riisi. 5.12 Elementtiparametrien muutosten vaikutus aktiivisen suodattimen ominaisuuksiin.

Yllä olevan valossa erittäin rationaalinen rakenne on Chebyshev-suodatin. Joskus sitä kutsutaan tasaaaltosuodattimeksi, koska sen ominaisuudella siirtymäalueella on suurempi jyrkkyys johtuen siitä, että päästökaistalle jakautuu useita samankokoisia pulsaatioita, joiden lukumäärä kasvaa suodattimen järjestyksen mukaan. Jopa suhteellisen pienillä väreillä (noin 0,1 dB), Chebyshev-suodatin tarjoaa paljon suuremman kaltevuuden siirtymäalueella kuin Butterworth-suodatin. Tämän eron kvantifioimiseksi oletetaan, että tarvitaan suodatin, jonka päästökaistan tasaisuus on enintään 0,1 dB ja vaimennus 20 dB taajuudella, joka poikkeaa 25 % päästökaistan rajataajuudesta. Laskenta osoittaa, että tässä tapauksessa tarvitaan 19-napainen Butterworth-suodatin tai vain 8-napainen Chebyshev-suodatin.

Ajatus siitä, että päästökaistassa voidaan sietää aaltoilua siirtymäosan jyrkkyyden lisäämisen vuoksi, viedään loogiseen päätelmäänsä ns. elliptisen suodattimen (tai Cauer-suodattimen) ideassa, jossa aaltoilu on sallittua. sekä päästökaistalla että viiveellä sen varmistamiseksi, että siirtymäosan jyrkkyys on jopa suurempi kuin Chebyshev-suodattimen ominaiskäyrä. Tietokoneen avulla elliptiset suodattimet voidaan suunnitella yhtä yksinkertaisesti kuin klassiset Chebyshev- ja Butterworth-suodattimet. Kuvassa Kuva 5.13 esittää graafisen kuvauksen suodattimen amplitudi-taajuusvasteesta. Tässä tapauksessa (alipäästösuodatin) suodattimen vahvistuksen (eli aaltoilun) hyväksyttävä alue päästökaistalla, vähimmäistaajuus, jolla ominaiskäyrä lähtee päästökaistalta, maksimitaajuus, jolla ominaisuus tulee pysäytyskaistalle, ja pienin vaimennus säilöönotto.

Riisi. 5.13. Suodattimen taajuusvasteen parametrien asettaminen.

Bessel-suodattimet. Kuten aiemmin todettiin, suodattimen amplitudi-taajuusvaste ei anna täydellistä tietoa siitä. Suodattimella, jolla on tasainen amplitudi-taajuusvaste, voi olla suuria vaihesiirtoja. Tämän seurauksena signaalin muoto, jonka spektri on päästökaistalla, vääristyy kulkiessaan suodattimen läpi. Tilanteissa, joissa aaltomuoto on ensiarvoisen tärkeä, on toivottavaa, että käytettävissä on lineaarinen vaihesuodatin (vakioviivesuodatin). Suodattimen vaatiminen, joka varmistaa lineaarisen muutoksen vaihesiirrossa taajuuden funktiona, vastaa jatkuvan viiveajan vaatimista signaalille, jonka spektri sijaitsee päästökaistalla, eli signaalin muodon vääristymättömyyttä. Bessel-suodattimella (kutsutaan myös Thomson-suodattimeksi) on littein osa päästökaistan viiveaikakäyrästä, aivan kuten Butterworth-suodattimella on littein taajuusvaste. Ymmärtääksesi Bessel-suodattimen tarjoaman aikatason parannuksen, katso kuva. Kuva 5.14 näyttää taajuusnormalisoidut viiveaikakäyrät 6-napaisille Bessel- ja Butterworth-alipäästösuotimille. Butterworth-suodattimen huonot viive-ominaisuudet aiheuttavat ylitystyyppisiä vaikutuksia, kun pulssisignaalit kulkevat suodattimen läpi. Toisaalta Bessel-suodattimen viiveaikojen pysyvyydestä joutuu maksamaan sillä, että sen amplitudi-taajuusominaiskäyrä on jopa litteämpi siirtymäalue päästökaistan ja pysäytyskaistan välillä kuin edes Butterworth-suodattimen ominaisuudella.

Riisi. 5.14. 6-kaistaisten Bessel (1) ja Butterworth (2) alipäästösuodattimien aikaviiveiden vertailu. Bessel-suodatin tuottaa erinomaisten aika-alueen ominaisuuksiensa ansiosta vähiten aaltomuodon vääristymiä.

On olemassa monia erilaisia ​​suodattimien suunnittelutekniikoita, jotka yrittävät parantaa Bessel-suodattimen aika-alueen suorituskykyä, uhraten osittain jatkuvan viiveajan nousuajan lyhentämiseksi ja taajuusvasteen parantamiseksi. Gauss-suodattimella on lähes yhtä hyvät vaiheominaisuudet kuin Bessel-suodattimella, mutta parannetulla transienttivasteella. Toinen mielenkiintoinen luokka ovat suodattimet, jotka mahdollistavat identtisten aaltoilujen saavuttamisen päästökaistan viiveaikakäyrässä (samanlaiset kuin Chebyshev-suodattimen amplitudi-taajuusominaisuuden aaltoilut) ja tarjoavat suunnilleen saman viiveen signaaleille, joiden spektri on enintään pysäytysnauha. Toinen tapa luoda suodattimia, joilla on jatkuva viiveaika, on käyttää all-pass-suodattimia, joita kutsutaan muuten aika-alueen taajuuskorjaimiksi. Näillä suodattimilla on vakio amplitudi-taajuusvaste, ja vaihesiirtoa voidaan muuttaa erityisvaatimusten mukaan. Siten niitä voidaan käyttää kaikkien suodattimien, erityisesti Butterworth- ja Chebyshev-suodattimien, viiveajan tasaamiseen.

Suodattimien vertailu. Huolimatta aikaisemmista kommenteista Bessel-suodattimien transienttivasteesta, sillä on edelleen erittäin hyvät aikatason ominaisuudet verrattuna Butterworth- ja Chebyshev-suodattimiin. Itse Chebyshev-suodattimella, sen erittäin sopivalla amplitudi-taajuusvasteella, on kaikkien näiden kolmen suodatintyypin aika-alueen huonoimmat parametrit. Butterworth-suodatin tekee kompromissin taajuuksien ja ajoitusominaisuuksien välillä. Kuvassa Kuva 5.15 tarjoaa tietoa näiden kolmen tyyppisten suodattimien suorituskykyominaisuuksista aika-alueella, täydentäen aiempia amplitudi-taajuusominaisuuksien kaavioita. Näiden tietojen perusteella voimme päätellä, että tapauksissa, joissa aikatason suodatinparametrit ovat tärkeitä, on suositeltavaa käyttää Bessel-suodatinta.

Riisi. 5.15. 6-napaisten alipäästösuodattimien transientti vertailu. Käyrät normalisoidaan vähentämällä 3 dB:n vaimennusarvo 1 Hz:n taajuuteen. 1 - Bessel-suodatin; 2 - Butterworth-suodatin; 3 - Chebyshev-suodatin (ripple 0,5 dB).