Artikkelissa tarkastellaan kokonaislukujen jakamista jäännöksellä. Todistetaan lause kokonaislukujen jaettavuudesta jäännöksellä ja tarkastellaan osinkojen ja jakajien, epätäydellisten osamääräjen ja jäännösten välisiä yhteyksiä. Tarkastellaan sääntöjä, kun jaetaan kokonaislukuja jäännöksillä, tarkastellaan niitä yksityiskohtaisesti esimerkkien avulla. Ratkaisun lopussa suoritamme tarkistuksen.

Yleinen käsitys kokonaislukujen jaosta jäännöksillä

Kokonaislukujen jako jäännösjäännöksellä katsotaan yleistetyksi jakoksi luonnollisten lukujen jäännöksellä. Tämä tapahtuu, koska luonnolliset luvut ovat osa kokonaislukuja.

Jako mielivaltaisen luvun jäännöksellä tarkoittaa, että kokonaisluku a jaetaan luvulla b, joka on muu kuin nolla. Jos b = 0, älä jaa jäännöksellä.

Aivan kuten luonnollisten lukujen jakaminen jäännöksellä, kokonaisluvut a ja b jaetaan c:llä ja d:llä, kun b ei ole nolla. Tässä tapauksessa a:ta ja b:tä kutsutaan osinkoksi ja jakajaksi, ja d on jaon jäännösosa, c on kokonaisluku tai epätäydellinen osamäärä.

Jos oletetaan, että jäännös on ei-negatiivinen kokonaisluku, niin sen arvo ei ole suurempi kuin luvun b moduuli. Kirjoitetaan se näin: 0 ≤ d ≤ b. Tätä epäyhtälöketjua käytetään verrattaessa kolmea tai useampaa lukua.

Jos c on epätäydellinen osamäärä, niin d on kokonaisluvun a jakojäännös b:llä, joka voidaan ilmaista lyhyesti: a: b = c (jäännös d).

Jakojäännös, kun luvut a jaetaan b:llä, voi olla nolla, silloin he sanovat, että a on jaollinen b:llä kokonaan, eli ilman jäännöstä. Jakoa ilman jäännöstä pidetään jaon erikoistapauksena.

Jos jaamme nollan jollain luvulla, tulos on nolla. Jaon loppuosa on myös nolla. Tämä voidaan jäljittää teoriasta nollan jakamisesta kokonaisluvulla.

Tarkastellaan nyt kokonaislukujen jakamisen merkitystä jäännöksellä.

Tiedetään, että positiiviset kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja, jolloin jakamalla jäännöksellä saadaan sama merkitys kuin jaettaessa luonnollisia lukuja jäännöksellä.

Negatiivisen kokonaisluvun a jakaminen positiivisella kokonaisluvulla b on järkevää. Katsotaanpa esimerkkiä. Kuvittele tilanne, jossa meillä on a:n suuruinen esinevelka, joka b henkilön on maksettava takaisin. Tämän saavuttamiseksi kaikkien on panostettava tasapuolisesti. Jotta voit määrittää kunkin velan määrän, sinun on kiinnitettävä huomiota yksityisten s:n arvoon. Jäännös d osoittaa, että nimikkeiden lukumäärä velkojen maksamisen jälkeen on tiedossa.

Katsotaanpa esimerkkiä omenoista. Jos 2 ihmistä on velkaa 7 omenaa. Jos lasketaan, että jokaisen on palautettava 4 omenaa, täyden laskennan jälkeen heillä on 1 omena jäljellä. Kirjoitetaan tämä yhtälöksi: (− 7) : 2 = − 4 (alkaen t. 1) .

Minkä tahansa luvun a jakaminen kokonaisluvulla ei ole järkevää, mutta se on mahdollista vaihtoehtona.

Lause kokonaislukujen jaetavuudesta jäännöksellä

Olemme tunnistaneet, että a on osinko, sitten b on jakaja, c on osaosamäärä ja d on jakoosa. Ne ovat yhteydessä toisiinsa. Näytämme tämän yhteyden käyttämällä yhtälöä a = b · c + d. Niiden välistä yhteyttä luonnehtii jakolause ja jäännös.

Lause

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää vain kokonaisluvun ja nollasta poikkeavan luvun b kautta tällä tavalla: a = b · q + r, missä q ja r ovat joitain kokonaislukuja. Tässä on 0 ≤ r ≤ b.

Todistakaamme a = b · q + r:n olemassaolon mahdollisuus.

Todiste

Jos on kaksi lukua a ja b ja a on jaollinen b:llä ilman jäännöstä, niin määritelmästä seuraa, että on olemassa luku q ja yhtälö a = b · q on tosi. Tällöin yhtälöä voidaan pitää tosi: a = b · q + r kun r = 0.

Sitten on otettava q sellainen, että epäyhtälön b · q antama< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Meillä on, että lausekkeen a − b · q arvo on suurempi kuin nolla eikä suurempi kuin luvun b arvo, tästä seuraa, että r = a − b · q. Havaitsemme, että luku a voidaan esittää muodossa a = b · q + r.

Nyt on tarpeen harkita mahdollisuutta esittää a = b · q + r negatiivisille b:n arvoille.

Luvun moduuli osoittautuu positiiviseksi, jolloin saadaan a = b · q 1 + r, jossa arvo q 1 on jokin kokonaisluku, r on kokonaisluku, joka täyttää ehdon 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Todiste ainutlaatuisuudesta

Oletetaan, että a = b q + r, q ja r ovat kokonaislukuja, joiden ehto 0 ≤ r totta< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Ja r 1 on joitain numeroita missä q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Kun epäyhtälö vähennetään vasemmalta ja oikealta puolelta, saadaan 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, mikä vastaa r - r 1 = b · q 1 - q. Koska moduulia käytetään, saadaan yhtälö r - r 1 = b · q 1 - q.

Annettu ehto sanoo, että 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Ja q 1- kokonaisena ja q ≠ q 1, sitten q 1 - q ≥ 1. Tästä on, että b · q 1 - q ≥ b. Tuloksena olevat epäyhtälöt r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Tästä seuraa, että lukua a ei voi esittää millään muulla tavalla kuin kirjoittamalla a = b · q + r.

Osingon, jakajan, osittaisosamäärän ja jäännöksen välinen suhde

Yhtälön a = b · c + d avulla voit löytää tuntemattoman jaon a, kun jakaja b epätäydellisellä osamäärällä c ja jäännös d tunnetaan.

Esimerkki 1

Määritä osinko, jos jaettaessa saamme -21, osaosamäärä on 5 ja jakoosa on 12.

Ratkaisu

On tarpeen laskea osinko a tunnetulla jakajalla b = − 21, epätäydellinen osamäärä c = 5 ja jakojäännös d = 12. Meidän on käännyttävä yhtälöön a = b · c + d, josta saadaan a = (− 21) · 5 + 12. Jos noudatamme toimintojen järjestystä, kerromme -21 5:llä, minkä jälkeen saadaan (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.

Vastaus: - 93 .

Jakajan ja osittaisosamäärän ja jäännöksen välinen yhteys voidaan ilmaista yhtälöillä: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b ja d = a − b · c . Niiden avulla voimme laskea jakajan, osamäärän ja jäännöksen. Tämä tarkoittaa sitä, että jäännös löytyy jatkuvasti, kun jaetaan kokonaisluku a:lla b:llä, jolla on tiedossa oleva osinko, jakaja ja osaosamäärä. Kaavaa d = a − b · c sovelletaan. Katsotaanpa ratkaisua yksityiskohtaisesti.

Esimerkki 2

Etsi jakojäännös, kun jaetaan kokonaisluku -19 kokonaisluvulla 3 tunnetulla epätäydellisellä osamäärällä -7.

Ratkaisu

Jaon jäännösosan laskemiseksi käytetään kaavaa muotoa d = a − b · c. Ehdon mukaan kaikki tiedot ovat saatavilla: a = −19, b = 3, c = −7. Tästä saadaan d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (ero − 19 − (− 21). Tämä esimerkki on laskettu vähennyssääntöä käyttämällä negatiivinen kokonaisluku.

Vastaus: 2 .

Kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja. Tästä seuraa, että jako suoritetaan kaikkien jakosääntöjen mukaan luonnollisten lukujen jäännöksellä. Jakonopeus luonnollisten lukujen jäännöksillä on tärkeä, koska siihen ei perustu vain positiivisten lukujen jako, vaan myös mielivaltaisten kokonaislukujen jakamissäännöt.

Kätevin jakomenetelmä on sarake, koska epätäydellinen tai yksinkertaisesti osamäärä jäännöksen kanssa on helpompi ja nopeampi saada. Katsotaanpa ratkaisua tarkemmin.

Esimerkki 3

Jaa 14671 luvulla 54.

Ratkaisu

Tämä jako on tehtävä sarakkeessa:

Eli osittaisosamäärä on 271 ja jäännösosa on 37.

Vastaus: 14 671: 54 = 271. (loput 37)

Sääntö positiivisen kokonaisluvun jakamisesta jäännöksellä negatiivisella kokonaisluvulla, esimerkkejä

Jos haluat jakaa positiivisen luvun jäännöksellä negatiivisella kokonaisluvulla, sinun on muotoiltava sääntö.

Määritelmä 1

Positiivisen kokonaisluvun a ja negatiivisella kokonaisluvulla b epätäydellinen osamäärä tuottaa luvun, joka on vastakkainen lukujen a moduulien jakamisen epätäydelliselle osamäärälle b:llä. Sitten jäännös on yhtä suuri kuin jäännös, kun a jaetaan b:llä.

Tästä syystä meillä on, että epätäydellinen osamäärä, jossa positiivinen kokonaisluku jaetaan negatiivisella kokonaisluvulla, katsotaan ei-positiiviseksi kokonaisluvuksi.

Saamme algoritmin:

• jaetaan osingon moduuli jakajan moduulilla, niin saadaan epätäydellinen osamäärä ja
• loput;
• Kirjataan ylös päinvastainen luku kuin mitä saimme.

Katsotaanpa esimerkkiä algoritmista positiivisen kokonaisluvun jakamiseksi negatiivisella kokonaisluvulla.

Esimerkki 4

Jaa lopulla 17:llä - 5.

Ratkaisu

Sovelletaan algoritmia positiivisen kokonaisluvun jakamiseksi negatiivisella kokonaisluvulla. On tarpeen jakaa 17:llä - 5 modulo. Tästä saadaan, että osaosamäärä on 3 ja jäännösosamäärä on 2.

Saamme, että vaadittu luku jakamalla 17 luvulla - 5 = - 3 ja jäännös on 2.

Vastaus: 17: (− 5) = − 3 (jäljellä 2).

Esimerkki 5

Sinun on jaettava 45 luvulla 15.

Ratkaisu

On tarpeen jakaa luvut modulo. Jaetaan luku 45 15:llä, saadaan osamäärä 3 ilman jäännöstä. Tämä tarkoittaa, että luku 45 on jaollinen 15:llä ilman jäännöstä. Vastaus on - 3, koska jako suoritettiin modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Vastaus: 45: (− 15) = − 3 .

Jäännöksellä jakamista koskevan säännön muotoilu on seuraava.

Määritelmä 2

Saadaksesi epätäydellisen osamäärän c, kun jaat negatiivisen kokonaisluvun a positiivisella b:llä, sinun on sovellettava annetun luvun vastakohtaa ja vähennettävä siitä 1, jolloin jäännös d lasketaan kaavalla: d = a − b · c.

Säännön perusteella voimme päätellä, että jakamalla saamme ei-negatiivisen kokonaisluvun. Ratkaisun tarkkuuden varmistamiseksi käytä algoritmia a:n jakamiseksi b:llä jäännöksellä:

• etsi osingon ja jakajan moduulit;
• jakaa modulo;
• kirjoita ylös annetun luvun vastakohta ja vähennä 1;
• käytä kaavaa jäännökselle d = a − b · c.

Katsotaanpa esimerkkiä ratkaisusta, jossa tätä algoritmia käytetään.

Esimerkki 6

Etsi jaon osittaisosamäärä ja jäännös - 17 luvulla 5.

Ratkaisu

Jaamme annetut luvut modulo. Havaitsemme, että jakamalla osamäärä on 3 ja jäännös on 2. Koska saimme 3, päinvastoin on 3. Sinun on vähennettävä 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Haluttu arvo on yhtä suuri kuin -4.

Jäännöksen laskemiseksi tarvitset a = − 17, b = 5, c = − 4, sitten d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3.

Tämä tarkoittaa, että jaon epätäydellinen osamäärä on luku - 4 ja jäännös on 3.

Vastaus:(− 17) : 5 = − 4 (jäljellä 3).

Esimerkki 7

Jaa negatiivinen kokonaisluku - 1404 positiivisella 26:lla.

Ratkaisu

On tarpeen jakaa sarakkeen ja moduulin mukaan.

Saimme lukumoduulien jaon ilman jäännöstä. Tämä tarkoittaa, että jako suoritetaan ilman jäännöstä ja haluttu osamäärä = -54.

Vastaus: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Jakolasääntö, jossa on jäännös negatiivisille kokonaisluvuille, esimerkkejä

On tarpeen muotoilla sääntö jakamiseen negatiivisten kokonaislukujen jäännöksellä.

Määritelmä 3

Jotta saadaan epätäydellinen osamäärä c jakamalla negatiivinen kokonaisluku a negatiivisella kokonaisluvulla b, on suoritettava modulolaskelmat, sitten lisätään 1, jolloin voidaan suorittaa laskutoimituksia kaavalla d = a − b · c.

Tästä seuraa, että negatiivisten kokonaislukujen jakamisen epätäydellinen osamäärä on positiivinen luku.

Muotoilkaamme tämä sääntö algoritmin muodossa:

• etsi osingon ja jakajan moduulit;
• jakaa osingon moduuli jakajan moduulilla saadaksesi epätäydellinen osamäärä
• loput;
• lisäämällä 1 epätäydelliseen osamäärään;
• jäännöksen laskeminen kaavan d = a − b · c perusteella.

Tarkastellaan tätä algoritmia esimerkin avulla.

Esimerkki 8

Etsi osittaisosamäärä ja jäännös, kun jaetaan -17 luvulla -5.

Ratkaisu

Ratkaisun oikeellisuuden varmistamiseksi käytämme jakoalgoritmia jäännöksellä. Ensin jaetaan luvut modulo. Tästä saadaan, että epätäydellinen osamäärä = 3 ja jäännös on 2. Säännön mukaan sinun on lisättävä epätäydellinen osamäärä ja 1. Saamme, että 3 + 1 = 4. Tästä saamme, että annettujen lukujen jakamisen osamäärä on yhtä suuri kuin 4.

Laskemaan loput käytämme kaavaa. Ehdolla on, että a = − 17, b = − 5, c = 4, jolloin kaavalla saadaan d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Vaadittu vastaus eli jäännösosa on yhtä suuri kuin 3 ja osaosamäärä on 4.

Vastaus:(− 17) : (− 5) = 4 (jäljellä 3).

Tarkistetaan kokonaislukujen jakamisen tulos jäännöksellä

Kun luvut on jaettu jäännöksellä, sinun on suoritettava tarkistus. Tämä tarkistus sisältää 2 vaihetta. Ensin tarkastetaan jäännös d ei-negatiivisuuden suhteen, ehto 0 ≤ d täyttyy< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki 9

Jako tehdään - 521 x - 12. Osamäärä on 44, jäännös on 7. Suorita tarkistus.

Ratkaisu

Koska jäännös on positiivinen luku, sen arvo on pienempi kuin jakajan moduuli. Jakaja on -12, mikä tarkoittaa, että sen moduuli on 12. Voit siirtyä seuraavaan tarkistuspisteeseen.

Ehdolla meillä on, että a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Tästä lasketaan b · c + d, jossa b · c + d = −12 · 44 + 7 = −528 + 7 = −521. Tästä seuraa, että tasa-arvo on totta. Vahvistus läpäissyt.

Esimerkki 10

Suorita jakotarkistus (− 17): 5 = − 3 (jäljellä − 2). Onko tasa-arvo totta?

Ratkaisu

Ensimmäisen vaiheen pointti on, että on tarpeen tarkistaa kokonaislukujen jako jäännöksellä. Tästä on selvää, että toiminto suoritettiin väärin, koska annettiin jäännös, joka on yhtä suuri kuin -2. Loppuosa ei ole negatiivinen luku.

Meillä on, että toinen ehto täyttyy, mutta se ei riitä tähän tapaukseen.

Vastaus: Ei.

Esimerkki 11

Luku - 19 jaettiin - 3:lla. Osaosamäärä on 7 ja jäännös on 1. Tarkista, onko tämä laskelma suoritettu oikein.

Ratkaisu

Annettu jäännös, joka on yhtä suuri kuin 1. Hän on positiivinen. Arvo on pienempi kuin jakajamoduuli, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen vaihe on suoritettu. Siirrytään toiseen vaiheeseen.

Lasketaan lausekkeen b · c + d arvo. Ehdolla on, että b = − 3, c = 7, d = 1, mikä tarkoittaa, että numeroarvot korvaamalla saadaan b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Tästä seuraa, että a = b · c + d yhtälö ei päde, koska ehto antaa a = -19.

Tästä seuraa, että jako tehtiin virheellisesti.

Vastaus: Ei.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Numeroiden jaollisuuden merkit- nämä ovat sääntöjä, joiden avulla voit suhteellisen nopeasti selvittää jakamatta, onko tämä luku jaollinen tietyllä luvulla ilman jäännöstä.
Jotkut niistä jaottelun merkkejä melko yksinkertaista, jotkut monimutkaisempaa. Tältä sivulta löydät sekä alkulukujen jaollisuuden merkit, kuten esimerkiksi 2, 3, 5, 7, 11, että yhdistelmälukujen jaollisuuden merkit, kuten 6 tai 12.
Toivottavasti näistä tiedoista on sinulle hyötyä.
Hyvää oppimista!

Testaa jaollisuus 2:lla

Tämä on yksi yksinkertaisimmista jaotettavuuden merkeistä. Se kuulostaa tältä: jos luonnollisen luvun merkintä päättyy parilliseen numeroon, niin se on parillinen (jaollinen ilman jäännöstä 2:lla), ja jos luvun merkintä päättyy parilliseen numeroon, tämä luku on pariton.
Toisin sanoen, jos luvun viimeinen numero on 2 , 4 , 6 , 8 tai 0 - luku on jaollinen kahdella, jos ei, niin se ei ole jaollinen
Esimerkiksi numerot: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 ovat jaollisia kahdella, koska ne ovat parillisia.
A numerot: 23 5 , 137 , 2303
Ne eivät ole jaollisia kahdella, koska ne ovat parittomia.

Testaa jaollisuus 3:lla

Tällä jaollisuusmerkillä on täysin erilaiset säännöt: jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, niin luku on jaollinen kolmella; Jos luvun numeroiden summa ei ole jaollinen kolmella, niin luku ei ole jaollinen kolmella.
Tämä tarkoittaa, että ymmärtääksesi, onko luku jaollinen kolmella, sinun tarvitsee vain laskea yhteen sen muodostavat luvut.
Se näyttää tältä: 3987 ja 141 ovat jaollisia kolmella, koska ensimmäisessä tapauksessa 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - jaollinen 3:lla), ja toisessa 1+4+1= 6 (6:3=2 - myös jaollinen 3:lla).
Mutta luvut: 235 ja 566 eivät ole jaollisia kolmella, koska 2+3+5= 10 ja 5+6+6= 17 (ja tiedämme, että 10 ja 17 eivät ole jaollisia 3:lla ilman jäännöstä).

Testaa jaollisuus 4:llä

Tämä jaotettavuuden merkki on monimutkaisempi. Jos luvun 2 viimeistä numeroa muodostavat 4:llä jaollisen luvun tai se on 00, niin luku on jaollinen 4:llä, muuten annettu luku ei ole jaollinen 4:llä ilman jäännöstä.
Esimerkiksi: 1 00 ja 3 64 ovat jaollisia 4:llä, koska ensimmäisessä tapauksessa luku päättyy 00 , ja toisessa päällä 64 , joka puolestaan ​​on jaollinen 4:llä ilman jäännöstä (64:4=16)
Numerot 3 57 ja 8 86 eivät ole jaollisia 4:llä, koska eivät kumpikaan 57 ei kumpikaan 86 eivät ole jaettavissa 4:llä, mikä tarkoittaa, että ne eivät täytä tätä jaollisuuskriteeriä.

Jakotesti viidellä

Ja taas meillä on melko yksinkertainen jakomerkki: jos luonnollisen luvun merkintä päättyy numeroon 0 tai 5, niin tämä luku on jaollinen 5:llä ilman jäännöstä, jos luvun merkintä päättyy toiseen numeroon luku ei ole jaollinen viidellä ilman jäännöstä.
Tämä tarkoittaa, että kaikki numerot, jotka päättyvät numeroihin 0 Ja 5 esimerkiksi 1235 5 ja 43 0 , kuuluvat säännön piiriin ja ovat jaollisia viidellä.
Ja esimerkiksi 1549 3 ja 56 4 älä pääty numeroon 5 tai 0, mikä tarkoittaa, että niitä ei voida jakaa viidellä ilman jäännöstä.

Testaa jaollisuus 6:lla

Meillä on edessämme yhdistelmäluku 6, joka on lukujen 2 ja 3 tulo. Siksi myös jaollisuuden merkki 6:lla on yhdistetty: jotta luku olisi jaollinen 6:lla, sen on vastattava kahta jaollisuus samaan aikaan: jaollisuuden etumerkki 2:lla ja jaollisuuden etumerkki kolmella. Huomaa, että sellaisella yhdistelmäluvulla kuin 4 on yksilöllinen jakomerkki, koska se on luvun 2 tulo itsellään. Mutta palataanpa 6:lla jaollisen testiin.
Numerot 138 ja 474 ovat parillisia ja täyttävät kolmella jaollisuuden kriteerit (1+3+8=12, 12:3=4 ja 4+7+4=15, 15:3=5), mikä tarkoittaa, että ne ovat jaollisia. Mutta 123 ja 447, vaikka ne ovat jaollisia kolmella (1+2+3=6, 6:3=2 ja 4+4+7=15, 15:3=5), mutta ne ovat parittomia, mikä tarkoittaa, että ne eivät vastaa kahdella jaollisuuden kriteeriä eivätkä siten vastaa 6:lla jaollisuuden kriteeriä.

Testaa jaollisuus 7:llä

Tämä jaollisuustesti on monimutkaisempi: luku on jaollinen 7:llä, jos tämän luvun kymmenien lukumäärästä vähennetään kaksi kertaa viimeinen numero, joka on jaollinen 7:llä tai yhtä suuri kuin 0.
Se kuulostaa melko hämmentävältä, mutta käytännössä se on yksinkertainen. Katso itse: numero 95 9 on jaollinen 7:llä, koska 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 jaetaan 7:llä ilman jäännöstä). Lisäksi, jos muunnoksen aikana saadun luvun kanssa ilmenee vaikeuksia (sen koon vuoksi on vaikea ymmärtää, onko se jaollinen 7:llä vai ei, tätä menettelyä voidaan jatkaa niin monta kertaa kuin katsot tarpeelliseksi).
Esimerkiksi, 45 5 ja 4580 1:llä on jaollisuuden ominaisuudet 7:llä. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki on melko yksinkertaista: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Toisessa tapauksessa teemme näin: 4580 -2*1=4580-2=4578. Meidän on vaikea ymmärtää, onko 457 8 x 7, joten toistetaan prosessi: 457 -2*8=457-16=441. Ja jälleen käytämme jakotestiä, koska meillä on vielä kolminumeroinen luku edessämme 44 1. Joten, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, so. 42 on jaollinen 7:llä ilman jäännöstä, mikä tarkoittaa, että 45801 on jaollinen 7:llä.
Tässä ovat numerot 11 1 ja 34 5 ei ole jaollinen 7:llä, koska 11 -2*1=11-2=9 (9 ei ole jaollinen 7:llä) ja 34 -2*5=34-10=24 (24 ei ole jaollinen 7:llä ilman jäännöstä).

Jakotesti 8:lla

Testi jaollisuudelle 8:lla kuulostaa tältä: jos viimeiset 3 numeroa muodostavat 8:lla jaollisen luvun tai se on 000, niin annettu luku on jaollinen 8:lla.
Numerot 1 000 tai 1 088 jaollinen 8:lla: ensimmäinen päättyy 000 , toinen 88 :8=11 (jaollinen 8:lla ilman jäännöstä).
Ja tässä on numerot 1 100 tai 4 757 eivät ole jaollisia 8:lla, koska numerot 100 Ja 757 eivät ole jaollisia 8:lla ilman jäännöstä.

Jakotesti 9:llä

Tämä jaollisuuden merkki on samanlainen kuin jaollisuuden merkki kolmella: jos luvun numeroiden summa on jaollinen 9:llä, niin luku on jaollinen 9:llä; Jos luvun numeroiden summa ei ole jaollinen 9:llä, niin luku ei ole jaollinen 9:llä.
Esimerkiksi: 3987 ja 144 ovat jaollisia 9:llä, koska ensimmäisessä tapauksessa 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - jaollinen 9:llä) ja toisessa 1+4+4= 9 (9:9=1 - myös jaollinen 9:llä).
Mutta luvut: 235 ja 141 eivät ole jaollisia 9:llä, koska 2+3+5= 10 ja 1+4+1= 6 (ja tiedämme, että 10 ja 6 eivät ole jaollisia 9:llä ilman jäännöstä).

10:llä, 100:lla, 1000:lla ja muilla numeroyksiköillä jaettavissa olevat merkit

Yhdistin nämä jakomerkit, koska ne voidaan kuvata samalla tavalla: luku jaetaan numeroyksiköllä, jos luvun lopussa olevien nollien määrä on suurempi tai yhtä suuri kuin nollien määrä tietyssä numeroyksikössä .
Toisin sanoen meillä on esimerkiksi seuraavat numerot: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . joista kaikki ovat jaollisia 1:llä 0 ; 46400 ja 867 000 ovat myös jaollisia 1:llä 00 ; ja vain yksi niistä on 867 000 jaollinen 1:llä 000 .
Numerot, joiden lopussa on vähemmän nollia kuin numeroyksikkö, eivät ole jaollisia kyseisellä numeroyksiköllä, esimerkiksi 600 30 ja 7 93 ei jaettavissa 1 00 .

Jakotesti luvulla 11

Jotta voit selvittää, onko luku jaollinen 11:llä, sinun on saatava ero tämän luvun parillisten ja parittomien numeroiden summien välillä. Jos tämä ero on yhtä suuri kuin 0 tai jaollinen 11:llä ilman jäännöstä, niin itse luku on jaollinen 11:llä ilman jäännöstä.
Selvyyden vuoksi suosittelen katsomaan esimerkkejä: 2 35 4 on jaollinen luvulla 11, koska ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 on myös jaollinen luvulla 11, koska ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Tässä on 1 1 1 tai 4 35 4 ei ole jaollinen luvulla 11, koska ensimmäisessä tapauksessa saamme (1+1)- 1 =1, ja toisessa ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Jakotesti luvulla 12

Numero 12 on yhdistelmä. Sen jakomerkki on 3:lla ja 4:llä jaettavien merkkien noudattaminen samanaikaisesti.
Esimerkiksi 300 ja 636 vastaavat sekä jaollisuuden merkkejä 4:llä (viimeiset 2 numeroa ovat nollia tai jaollisia 4:llä) että jaollisuusmerkkejä 3:lla (sekä ensimmäisen että kolmannen luvun numeroiden summa on jaollinen luvulla 3), mutta lopuksi ne ovat jaollisia 12:lla ilman jäännöstä.
Mutta 200 tai 630 eivät ole jaollisia 12:lla, koska ensimmäisessä tapauksessa luku täyttää vain jaollisuuskriteerin 4:llä, ja toisessa - vain jaollisuuskriteerin 3:lla, mutta ei molempia kriteerejä samanaikaisesti.

Jakotesti luvulla 13

Merkki jaollisuudesta 13:lla on, että jos tämän luvun yksiköihin lisättyjen luvun kymmenien lukumäärä kerrottuna 4:llä on 13:n kerrannainen tai yhtä suuri kuin 0, niin itse luku on jaollinen 13:lla.
Otetaan esimerkiksi 70 2. Joten, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 on jaollinen 13:lla ilman jäännöstä), mikä tarkoittaa 70 2 on jaollinen 13:lla ilman jäännöstä. Toinen esimerkki on numero 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Luku 130 on jaollinen 13:lla ilman jäännöstä, mikä tarkoittaa, että annettu luku vastaa 13:lla jaollisuuden kriteeriä.
Jos otamme numerot 12 5 tai 21 2, niin saamme 12 +4*5=32 ja 21 +4*2=29, eivätkä 32 ja 29 ole jaollisia 13:lla ilman jäännöstä, mikä tarkoittaa, että annetut luvut eivät ole jaollisia 13:lla ilman jäännöstä.

Lukujen jaollisuus

Kuten yllä olevasta voidaan nähdä, voidaan olettaa, että jollekin luonnolliselle luvulle voit valita oman yksilöllisen jakomerkkisi tai ”yhdistetyn” merkin, jos luku on usean eri luvun kerrannainen. Mutta kuten käytäntö osoittaa, periaatteessa mitä suurempi numero, sitä monimutkaisempi sen merkki. On mahdollista, että jakokriteerin tarkistamiseen käytetty aika voi olla yhtä suuri tai suurempi kuin itse jako. Siksi käytämme yleensä yksinkertaisimpia jakomerkkejä.

Katsotaanpa yksinkertaista esimerkkiä:
15:5=3
Tässä esimerkissä jaoimme luonnollisen luvun 15 täysin 3:lla ilman jäännöstä.

Joskus luonnollista lukua ei voida jakaa kokonaan. Mieti esimerkiksi ongelmaa:
Kaapissa oli 16 lelua. Ryhmässä oli viisi lasta. Jokainen lapsi otti saman määrän leluja. Kuinka monta lelua kullakin lapsella on?

Ratkaisu:
Jaa luku 16 viidellä sarakkeen avulla ja saa:

Tiedämme, että 16:ta ei voi jakaa viidellä. Lähin pienempi luku, joka on jaollinen 5:llä, on 15 ja jäännös 1. Voimme kirjoittaa luvun 15 muodossa 5⋅3. Tuloksena (16 – osinko, 5 – jakaja, 3 – epätäydellinen osamäärä, 1 – jäännös). Vastaanotettu kaava jako jäännöksellä joka voidaan tehdä tarkistamassa ratkaisua.

a= b⋅ c+ d
a - jaettavissa,
b -jakaja,
c – epätäydellinen osamäärä,
d - loput.

Vastaus: Jokainen lapsi ottaa 3 lelua ja yksi lelu jää.

Jaoston loput

Jäännöksen on aina oltava pienempi kuin jakaja.

Jos jaon aikana jäännös on nolla, tämä tarkoittaa, että osinko jaetaan täysin tai ilman jakajan jäännöstä.

Jos jakamisen aikana jäännös on suurempi kuin jakaja, tämä tarkoittaa, että löydetty luku ei ole suurin. On suurempi luku, joka jakaa osingon, ja loppuosa on pienempi kuin jakaja.

Kysymyksiä aiheesta "Jako loppuosaan":
Voiko jäännös olla suurempi kuin jakaja?
Vastaus: ei.

Voiko jäännös olla yhtä suuri kuin jakaja?
Vastaus: ei.

Kuinka löytää osinko epätäydellinen osamäärä, jakaja ja jäännös?
Vastaus: korvaamme osittaisosamäärän, jakajan ja jäännöksen arvot kaavaan ja löydämme osingon. Kaava:
a=b⋅c+d

Esimerkki 1:
Suorita jako jäännöksellä ja tarkista: a) 258:7 b) 1873:8

Ratkaisu:
a) Jaa sarakkeittain:

258 – osinko,
7 – jakaja,
36 – epätäydellinen osamäärä,
6 – loppuosa. Jäännös on pienempi kuin jakaja 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Jaa sarakkeella:

1873 - jaollinen,
8 – jakaja,
234 – epätäydellinen osamäärä,
1 – loppuosa. Jäännös on pienempi kuin jakaja 1<8.

Korvataan se kaavaan ja tarkistetaan, ratkaisimmeko esimerkin oikein:
8⋅234+1=1872+1=1873

Esimerkki 2:
Mitä jäännöksiä saadaan jaettaessa luonnollisia lukuja: a) 3 b)8?

Vastaus:
a) Jäännös on pienempi kuin jakaja, joten pienempi kuin 3. Meidän tapauksessamme jäännös voi olla 0, 1 tai 2.
b) Jäännös on pienempi kuin jakaja, joten pienempi kuin 8. Meidän tapauksessamme jäännös voi olla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tai 7.

Esimerkki #3:
Mikä on suurin jäännös, joka voidaan saada jaettaessa luonnollisia lukuja: a) 9 b) 15?

Vastaus:
a) Jäännös on pienempi kuin jakaja, joten pienempi kuin 9. Mutta meidän on osoitettava suurin jäännös. Eli jakajaa lähinnä oleva luku. Tämä on numero 8.
b) Jäännös on pienempi kuin jakaja, joten pienempi kuin 15. Mutta meidän on osoitettava suurin jäännös. Eli jakajaa lähinnä oleva luku. Tämä luku on 14.

Esimerkki #4:
Etsi osinko: a) a:6=3(lop.4) b) c:24=4(lop.11)

Ratkaisu:
a) Ratkaise kaavalla:
a=b⋅c+d
(a – osinko, b – jakaja, c – osaosamäärä, d – jäännös.)
a:6=3(lop.4)
(a – osinko, 6 – jakaja, 3 – osaosamäärä, 4 – jäännös.) Korvataan luvut kaavaan:
a=6⋅3+4=22
Vastaus: a = 22

b) Ratkaise kaavalla:
a=b⋅c+d
(a – osinko, b – jakaja, c – osaosamäärä, d – jäännös.)
s:24=4(lop.11)
(c – osinko, 24 – jakaja, 4 – osaosamäärä, 11 – jäännös.) Korvataan luvut kaavaan:
с=24⋅4+11=107
Vastaus: c=107

Tehtävä:

Johto 4m. tulee leikata 13 cm:n paloiksi. Kuinka monta tällaista kappaletta tulee olemaan?

Ratkaisu:
Ensin sinun on muutettava metrit senttimetreiksi.
4m = 400cm.
Voimme jakaa sarakkeella tai saamme mielessämme:
400:13=30(loput 10)
Tarkistetaan:
13⋅30+10=390+10=400

Vastaus: Saat 30 kappaletta ja 10 cm lankaa jää jäljelle.