Oppitunti "Funktion y=sinx, sen ominaisuudet ja kaavio". Piirrä funktio y = sin x Piirrä funktio y sinx

Tässä oppitunnissa tarkastelemme yksityiskohtaisesti funktiota y \u003d sin x, sen pääominaisuuksia ja kuvaajaa. Oppitunnin alussa annamme trigonometrisen funktion y \u003d sin t määritelmän koordinaattiympyrässä ja tarkastelemme funktion kuvaajaa ympyrällä ja suoralla. Esitetään tämän funktion jaksollisuus kaaviossa ja tarkastellaan funktion pääominaisuuksia. Oppitunnin lopussa ratkaisemme yksinkertaisia ​​tehtäviä käyttämällä funktion ja sen ominaisuuksien kuvaajaa.

Aihe: Trigonometriset funktiot

Oppitunti: Funktio y=sinx, sen pääominaisuudet ja graafi

Kun tarkastellaan funktiota, on tärkeää liittää yksi funktion arvo jokaiseen argumentin arvoon. Tämä kirjeenvaihdon laki ja sitä kutsutaan funktioksi.

Määritellään vastaavuuslaki .

Mikä tahansa reaaliluku vastaa yhtä pistettä yksikköympyrässä, jolla on yksi ordinaatta, jota kutsutaan luvun siniksi (kuva 1).

Jokaiselle argumentin arvolle on määritetty yksittäinen funktioarvo.

Ilmeiset ominaisuudet seuraavat sinin määritelmästä.

Kuva osoittaa sen koska on yksikköympyrän pisteen ordinaatta.

Harkitse funktiokaaviota. Muistakaamme argumentin geometrinen tulkinta. Argumentti on keskikulma radiaaneina mitattuna. Piirrämme akselille reaaliluvut tai kulmat radiaaneina, akselia pitkin vastaavat funktioarvot.

Esimerkiksi yksikköympyrän kulma vastaa kaavion pistettä (kuva 2)

Saimme funktion graafin sivustolta, mutta kun tiedämme sinin jakson, voimme kuvata funktion kuvaajaa koko määritelmäalueella (kuva 3).

Toiminnon pääjakso on Tämä tarkoittaa, että kuvaaja voidaan saada segmentistä ja jatkaa sitten koko määritelmäalueelle.

Harkitse funktion ominaisuuksia:

1) Määritelmäalue:

2) Arvoalue:

3) Pariton toiminto:

4) Pienin positiivinen jakso:

5) Kuvaajan ja x-akselin leikkauspisteiden koordinaatit:

6) Kuvaajan ja y-akselin leikkauspisteen koordinaatit:

7) Aikavälit, joilla funktio saa positiivisia arvoja:

8) Aikavälit, jolloin funktio saa negatiivisia arvoja:

9) Lisääntyvät välit:

10) Laskevat välit:

11) Alhaiset pisteet:

12) Vähimmäisominaisuudet:

13) Huippupisteet:

14) Enimmäisominaisuudet:

Olemme tarkastelleet funktion ja sen graafin ominaisuuksia. Ominaisuuksia tullaan käyttämään toistuvasti ongelmien ratkaisemisessa.

Bibliografia

1. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Oppikirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Tehtäväkirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaattinen analyysi luokalle 10 (oppikirja koulujen ja luokkien opiskelijoille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu) - M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin perusteellinen tutkimus.-M .: Education, 1997.

5. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille (toimituksesta M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen kouluttaja.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebran tehtävät ja analyysin alku (käsikirja yleisten oppilaitosten luokkien 10-11 opiskelijoille).-M .: Education, 2003.

8. Karp A.P. Algebran tehtäväkokoelma ja analyysin alku: oppikirja. korvaus 10-11 solulle. syvällä opiskella matematiikka.-M.: Koulutus, 2006.

Kotitehtävät

Algebra ja analyysin alku, luokka 10 (kahdessa osassa). Tehtäväkirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Muita verkkoresursseja

3. Koulutusportaali tenttiin valmistautumista varten ().

Miten piirretään funktio y=sin x? Tarkastellaan ensin intervallin sinin kuvaajaa.

Otamme muistikirjan yhden segmentin, jonka pituus on 2 solua. Merkitsemme yksikön Oy-akselille.

Mukavuuden vuoksi pyöristämme luvun π/2 1,5:een (eikä 1,6:een, kuten pyöristyssäännöt edellyttävät). Tässä tapauksessa segmentti, jonka pituus on π/2, vastaa 3 solua.

Ox-akselilla emme merkitse yksittäisiä segmenttejä, vaan segmenttejä, joiden pituus on π / 2 (joka 3 solua). Sen mukaisesti segmentti, jonka pituus on π, vastaa 6 solua, segmentti, jonka pituus on π/6, vastaa yhtä solua.

Tällä yksittäisen segmentin valinnalla muistivihkon arkilla laatikossa oleva kuvaaja vastaa mahdollisimman paljon funktion y=sin x kuvaajaa.

Tehdään taulukko siniarvoista intervallista:

Tuloksena saadut pisteet on merkitty koordinaattitasolle:

Koska y=sin x on pariton funktio, sinigraafi on symmetrinen alkupisteen O(0;0) suhteen. Ottaen huomioon tämän tosiasian, jatkamme kaavion piirtämistä vasemmalle, sitten pisteet -π:

Funktio y=sin x on jaksollinen jaksolla T=2π. Siksi väliltä [-π; π] otettu funktion kuvaaja toistetaan äärettömän monta kertaa oikealle ja vasemmalle.

Tässä oppitunnissa tarkastelemme yksityiskohtaisesti funktiota y \u003d sin x, sen pääominaisuuksia ja kuvaajaa. Oppitunnin alussa annamme trigonometrisen funktion y \u003d sin t määritelmän koordinaattiympyrässä ja tarkastelemme funktion kuvaajaa ympyrällä ja suoralla. Esitetään tämän funktion jaksollisuus kaaviossa ja tarkastellaan funktion pääominaisuuksia. Oppitunnin lopussa ratkaisemme yksinkertaisia ​​tehtäviä käyttämällä funktion ja sen ominaisuuksien kuvaajaa.

Aihe: Trigonometriset funktiot

Oppitunti: Funktio y=sinx, sen pääominaisuudet ja graafi

Kun tarkastellaan funktiota, on tärkeää liittää yksi funktion arvo jokaiseen argumentin arvoon. Tämä kirjeenvaihdon laki ja sitä kutsutaan funktioksi.

Määritellään vastaavuuslaki .

Mikä tahansa reaaliluku vastaa yhtä pistettä yksikköympyrässä, jolla on yksi ordinaatta, jota kutsutaan luvun siniksi (kuva 1).

Jokaiselle argumentin arvolle on määritetty yksittäinen funktioarvo.

Ilmeiset ominaisuudet seuraavat sinin määritelmästä.

Kuva osoittaa sen koska on yksikköympyrän pisteen ordinaatta.

Harkitse funktiokaaviota. Muistakaamme argumentin geometrinen tulkinta. Argumentti on keskikulma radiaaneina mitattuna. Piirrämme akselille reaaliluvut tai kulmat radiaaneina, akselia pitkin vastaavat funktioarvot.

Esimerkiksi yksikköympyrän kulma vastaa kaavion pistettä (kuva 2)

Saimme funktion graafin sivustolta, mutta kun tiedämme sinin jakson, voimme kuvata funktion kuvaajaa koko määritelmäalueella (kuva 3).

Toiminnon pääjakso on Tämä tarkoittaa, että kuvaaja voidaan saada segmentistä ja jatkaa sitten koko määritelmäalueelle.

Harkitse funktion ominaisuuksia:

1) Määritelmäalue:

2) Arvoalue:

3) Pariton toiminto:

4) Pienin positiivinen jakso:

5) Kuvaajan ja x-akselin leikkauspisteiden koordinaatit:

6) Kuvaajan ja y-akselin leikkauspisteen koordinaatit:

7) Aikavälit, joilla funktio saa positiivisia arvoja:

8) Aikavälit, jolloin funktio saa negatiivisia arvoja:

9) Lisääntyvät välit:

10) Laskevat välit:

11) Alhaiset pisteet:

12) Vähimmäisominaisuudet:

13) Huippupisteet:

14) Enimmäisominaisuudet:

Olemme tarkastelleet funktion ja sen graafin ominaisuuksia. Ominaisuuksia tullaan käyttämään toistuvasti ongelmien ratkaisemisessa.

Bibliografia

1. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Oppikirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Tehtäväkirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaattinen analyysi luokalle 10 (oppikirja koulujen ja luokkien opiskelijoille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu) - M .: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin perusteellinen tutkimus.-M .: Education, 1997.

5. Matematiikan tehtäväkokoelma teknisiin korkeakouluihin hakijoille (toimituksesta M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen kouluttaja.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebran tehtävät ja analyysin alku (käsikirja yleisten oppilaitosten luokkien 10-11 opiskelijoille).-M .: Education, 2003.

8. Karp A.P. Algebran tehtäväkokoelma ja analyysin alku: oppikirja. korvaus 10-11 solulle. syvällä opiskella matematiikka.-M.: Koulutus, 2006.

Kotitehtävät

Algebra ja analyysin alku, luokka 10 (kahdessa osassa). Tehtäväkirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Muita verkkoresursseja

3. Koulutusportaali tenttiin valmistautumista varten ().

Toimintoy = syntix

Funktion kuvaaja on sinimuotoinen.

Siniaallon täydellistä ei-toistuvaa osaa kutsutaan siniaaltoksi.

Siniaallon puoliaaltoa kutsutaan siniaallon puoliaaltoksi (tai kaareksi).

Toiminnon ominaisuudety = syntix:

Piirrä funktio y= synti x On kätevää käyttää seuraavia vaakoja:

Solun arkilla otamme kahden solun pituuden segmentin yksikkönä.

akselilla x mitataan pituus π. Samaan aikaan mukavuussyistä 3,14 esitetään luvulla 3 - eli ilman murto-osaa. Sitten arkilla solussa π on 6 solua (kolme kertaa 2 solua). Ja jokainen solu saa luonnollisen nimensä (ensimmäisestä kuudenteen): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Nämä ovat arvoja x.

Merkitse y-akselille 1, joka sisältää kaksi solua.

Tehdään funktioarvoista taulukko arvojemme avulla x:

Seuraavaksi tehdään kaavio. Saat puoliaallon, jonka korkein piste on (π / 2; 1). Tämä on funktion kaavio y= synti x segmentillä. Lisätään muodostettuun graafiin symmetrinen puoliaalto (symmetrinen origon suhteen eli segmentillä -π). Tämän puoliaallon harja on x-akselin alla koordinaattein (-1; -1). Tuloksena on aalto. Tämä on funktion kaavio y= synti x segmentillä [-π; π].

Aaltoa on mahdollista jatkaa rakentamalla se segmentille [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] jne. Kaikissa näissä segmenteissä funktion kaavio näyttää samalta kuin segmentillä [-π; π]. Saat jatkuvan aaltoviivan samoilla aalloilla.

Toimintoy = cosx.

Funktion kuvaaja on siniaalto (joskus kutsutaan kosiniaalto).

Toiminnon ominaisuudety = cosx:

Toimintoy = mf(x).

Ota edellinen toiminto y= cos x. Kuten jo tiedät, sen kaavio on siniaalto. Jos kerromme tämän funktion kosinin tietyllä luvulla m, niin aalto venyy akselilta x(tai kutistuu m:n arvosta riippuen).
Tämä uusi aalto on funktion y = mf(x) kuvaaja, jossa m on mikä tahansa reaaliluku.

Siten funktio y = mf(x) on tavallinen funktio y = f(x) kerrottuna m:llä.

Josm< 1, то синусоида сжимается к оси x kertoimen mukaanm. Josm > 1, silloin sinimuotoa venytetään akseliltax kertoimen mukaanm.

Kun suoritat venytystä tai puristamista, voit ensin rakentaa vain yhden siniaallon puoliaallon ja täydentää sitten koko kaavion.

Toimintoy= f(kx).

Jos toiminto y=mf(x) johtaa sinusoidin venymiseen akselilta x tai puristus akseliin x, niin funktio y = f(kx) johtaa laajenemiseen akselilta y tai puristus akseliin y.

Ja k on mikä tahansa reaaliluku.

Klo 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y kertoimen mukaank. Josk > 1, silloin sinusoidi puristuu akseliiny kertoimen mukaank.

Kun muodostat tämän funktion kuvaajaa, voit ensin rakentaa yhden siniaallon puoliaallon ja täydentää sitten koko kaavion käyttämällä sitä.

Toimintoy = tgx.

Funktiokaavio y=tg x on tangentoidi.

Riittää, kun rakennat osan graafista välille 0 - π/2, ja sitten sitä voidaan jatkaa symmetrisesti välillä 0 - 3π/2.

Toiminnon ominaisuudety = tgx:

Toimintoy = ctgx

Funktiokaavio y=ctg x on myös tangentoidi (jota kutsutaan joskus kotangentoidiksi).

Toiminnon ominaisuudety = ctgx:

Opetusvideo ”Funktion y = sinx, sen ominaisuudet ja kaavio” esittelee aiheeseen liittyvää visuaalista materiaalia sekä siihen liittyviä kommentteja. Demonstroinnin aikana tarkastellaan funktion muotoa, sen ominaisuuksia, käyttäytymistä koordinaattitason eri segmenteillä, kuvaajan ominaisuuksia kuvataan yksityiskohtaisesti, kuvataan esimerkki sinin sisältävien trigonometristen yhtälöiden graafisesta ratkaisusta. Videotunnin avulla opettajan on helpompi muodostaa opiskelijan käsitys tästä toiminnosta, opettaa ratkaisemaan ongelmia graafisesti.

Videotunnilla käytetään työkaluja, jotka helpottavat opetustiedon muistamista ja ymmärtämistä. Kaavioiden esittämisessä ja tehtävien ratkaisun kuvauksessa käytetään animaatioefektejä, jotka auttavat ymmärtämään funktion käyttäytymistä, esittämään ratkaisun edistymistä peräkkäin. Myös materiaalin äänestys täydentää sitä tärkeillä kommenteilla, jotka korvaavat opettajan selityksen. Näin ollen tätä materiaalia voidaan käyttää myös visuaalisena apuvälineenä. Ja itsenäisenä osana oppituntia opettajan selityksen sijaan uudesta aiheesta.

Esittely alkaa esittelemällä oppitunnin aihe. Esitetään funktio sini, jonka kuvaus on korostettu muistilaatikossa - s=sint, jossa argumentti t voi olla mikä tahansa reaaliluku. Tämän funktion ominaisuuksien kuvaus alkaa laajuudesta. On huomattava, että funktion määritelmäalue on reaalilukujen koko numeerinen akseli, eli D(f)=(- ∞;+∞). Toinen ominaisuus on sinifunktion parittomuus. Opiskelijoita muistutetaan, että tätä ominaisuutta tutkittiin luokalla 9, jolloin todettiin, että parittoman funktion yhtälö f(-x)=-f(x) pätee. Sinin osalta funktion parittomuuden vahvistus esitetään neljänneksiin jaetulla yksikköympyrällä. Kun tiedetään, minkä merkin funktio saa koordinaattitason eri neljänneksissä, havaitaan, että vastakkaisten etumerkkien argumenttien kohdalla pariton ehto täyttyy sinin pisteiden L(t) ja N(-t) esimerkkiä käyttäen. Siksi s=sint on pariton funktio. Tämä tarkoittaa, että funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Sinin kolmas ominaisuus näyttää funktion kasvu- ja laskuvälit. Se huomauttaa, että tämä funktio kasvaa aikavälillä ja pienenee välillä [π/2;π]. Ominaisuus on esitetty kuvassa, joka esittää yksikköympyrää ja pisteestä A vastapäivään siirryttäessä ordinaatta kasvaa, eli funktion arvo kasvaa arvoon π/2. Kun siirrytään pisteestä B paikkaan C, eli kun kulma muuttuu arvosta π / 2 arvoon π, ordinaatan arvo pienenee. Ympyrän kolmannella neljänneksellä, kun siirrytään pisteestä C pisteeseen D, ordinaatta laskee 0:sta -1:een, eli sinin arvo pienenee. Viimeisellä neljänneksellä siirryttäessä pisteestä D pisteeseen A ordinaatan arvo kasvaa -1:sta 0:aan. Näin voidaan tehdä yleinen johtopäätös funktion käyttäytymisestä. Näytöllä näkyy tulos, joka sint kasvaa segmentillä [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], pienentyen välillä [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] mille tahansa kokonaisluvulle k.

Sinin neljäs ominaisuus ottaa huomioon funktion rajallisuuden. On huomattava, että sint-funktio on rajoitettu sekä ylä- että alapuolelta. Opiskelijat muistuttavat 9. luokan algebran tietoja tutustuessaan funktion rajallisuuden käsitteeseen. Näytöllä näkyy ylhäältä rajatun funktion ehto, jolle on jokin luku, jolle epäyhtälö f(x)>=M täyttyy missä tahansa funktion kohdassa. Muistamme myös alla rajatun funktion ehdon, jolle on olemassa luku m pienempi kuin funktion jokainen piste. Sintin ehto on -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Viides ominaisuus ottaa huomioon funktion pienimmän ja suurimman arvon. Pienimmän arvon -1 saavuttaminen kussakin pisteessä t=-(π/2)+2πk ja suurimman - pisteissä t=(π/2)+2πk merkitään.

Tarkastettujen ominaisuuksien perusteella sint-funktion kuvaaja piirretään välille . Funktion muodostamiseen käytetään vastaavien pisteiden sinin taulukkoarvoja. Pisteiden π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π koordinaatit on merkitty koordinaattitasolle. Merkittyään funktion taulukkoarvot näihin pisteisiin ja yhdistämällä ne tasaisella viivalla, rakennamme kaavion.

Funktion sint piirtämiseksi segmentille [-π; π] käytetään funktion symmetriaominaisuutta suhteessa origoon. Kuvassa näkyy, kuinka rakentamisen tuloksena saatu viiva siirtyy tasaisesti symmetrisesti alkupisteen suhteen segmenttiin [-π; 0].

Käyttämällä sint-funktion ominaisuutta, joka ilmaistaan ​​pelkistyskaavalla sin (x + 2π) \u003d sin x, havaitaan, että sinikaavio toistuu joka 2π. Siten välillä [π; 3π] kuvaaja on sama kuin [-π;π]. Siten tämän funktion graafi on toistuva fragmentti [-π; π] koko määritelmäalueen yli. Erikseen on huomattava, että tällaista funktiokaaviota kutsutaan sinusoidiksi. Esitetään myös siniaallon käsite - segmentille [-π; π] rakennettu graafin fragmentti ja segmentille rakennettu sinikaari. Nämä fragmentit näytetään uudelleen muistamista varten.

On huomattava, että sint-funktio on jatkuva funktio koko määrittelyalueen alueella, ja myös, että funktion alue on intervallin [-1;1] arvojoukossa.

Opetusvideon lopussa tarkastellaan yhtälön sin x \u003d x + π graafista ratkaisua. Ilmeisesti yhtälön graafinen ratkaisu on vasemman puolen lausekkeen antaman funktion ja oikean puolen lausekkeen antaman funktion graafin leikkauspiste. Ongelman ratkaisemiseksi muodostetaan koordinaattitaso, jolle hahmotellaan vastaava sinimuoto y \u003d sin x, ja muodostetaan suora funktion y \u003d x + π kuvaajaa vastaava viiva. Rakennetut kuvaajat leikkaavat yhdessä pisteessä В(-π;0). Siksi x \u003d - π on yhtälön ratkaisu.

Videotunti "Funktion y = sinx, sen ominaisuudet ja kaavio" auttaa lisäämään perinteisen matematiikan tunnin oppitunnin tehokkuutta koulussa. Voit myös käyttää visuaalista materiaalia etäopiskelussa. Käsikirja voi auttaa aiheen hallitsemisessa opiskelijoille, jotka tarvitsevat lisätunteja materiaalin syvempään ymmärtämiseen.

TEKSTIN TULKINTA:

Oppituntimme aiheena on "Funktion y \u003d sin x, sen ominaisuudet ja kaavio."

Olemme jo aiemmin tutustuneet funktioon s = sin t, missä tϵR (es on yhtä kuin te:n sini, missä te kuuluu reaalilukujen joukkoon). Tarkastellaan tämän funktion ominaisuuksia:

YKSILÖ 1. Määritelmäalue on reaalilukujen joukko R (er), eli D (f) = (-; +) (de ef:stä edustaa väliä miinus äärettömyydestä plus äärettömään).

OMAISUUS 2. Funktio s = sin t on pariton.

9. luokan tunneilla opimme, että funktiota y \u003d f (x), x ϵX (y on yhtä kuin eff x:stä, missä x kuuluu joukkoon x on suuri) kutsutaan parittomaksi, jos mille tahansa arvolle x joukko X tasa-arvo

f (- x) \u003d - f (x) (ef miinus x:stä on yhtä suuri kuin miinus ef x:stä).

Ja koska abskissa-akselin suhteen symmetristen pisteiden L ja N ordinaatit ovat vastakkaisia, niin sin (- t) = -sint.

Eli s \u003d sin t on pariton funktio ja funktion s \u003d sin t kuvaaja on symmetrinen origon suhteen suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tos(te o es).

Harkitse OMINAISUUDET 3. Välillä [ 0; ] (nollasta pi:ksi kahdella) funktio s = sin t kasvaa ja pienenee välillä [; ](pi:stä kahdella piiksi).

Tämä näkyy selvästi kuvissa: kun piste liikkuu numeroympyrää pitkin nollasta pi:hen kahdella (pisteestä A pisteeseen B), ordinaatta kasvaa vähitellen 0:sta 1:een ja siirryttäessä pi:stä kahdella pisteeseen ( pisteestä B C), ordinaatta pienenee vähitellen 1:stä 0:aan.

Siirrettäessä pistettä pitkin kolmatta neljännestä (pisteestä C pisteeseen D), liikkuvan pisteen ordinaatta laskee nollasta miinus yhteen, ja kun siirretään neljättä neljännestä pitkin, ordinaatta kasvaa miinus yhdestä nollaan. Tästä voidaan tehdä yleinen johtopäätös: funktio s = sin t kasvaa välissä

(miinuspi:stä kahdella plus kahdella huipulla pi:ksi kahdella plus kahdella huipulla), ja pienenee välillä [; (pi:stä kaksi plus kaksi pi ka kolmeen pi kaksi plus kaksi pi ka), missä

(ka kuuluu kokonaislukujen joukkoon).

OMAISUUS 4. Funktio s = sin t on rajoitettu ylhäältä ja alhaalta.

Muista 9. luokan kurssilta rajallisuuden määritelmä: funktiota y \u003d f (x) kutsutaan alhaalta rajatuksi, jos funktion kaikki arvot eivät ole pienempiä kuin jokin luku m m siten, että mille tahansa funktion alueen arvolle x epäyhtälö f (x) ≥ m(ef x:stä on suurempi tai yhtä suuri kuin em). Funktiota y \u003d f (x) kutsutaan ylhäältä rajatuksi, jos kaikki funktion arvot eivät ole suurempia kuin jokin luku M, mikä tarkoittaa, että siellä on numero M siten, että mille tahansa funktion alueen arvolle x epäyhtälö f (x) ≤ M(ef x:stä on pienempi tai yhtä suuri kuin em.) Funktiota kutsutaan rajatuksi, jos se on rajoitettu sekä alhaalta että ylhäältä.

Palataan funktioomme: rajallisuus seuraa siitä, että mille tahansa te:lle epäyhtälö on tosi - 1 ≤ sint ≤ 1. (te:n sini on suurempi tai yhtä suuri kuin miinus yksi, mutta pienempi tai yhtä suuri kuin yksi).

OMINAISUUDET 5. Funktion pienin arvo on yhtä suuri kuin miinus yksi ja funktio saavuttaa tämän arvon missä tahansa muodossa t = (te on yhtä suuri kuin miinus pi kahdella plus kahdella huipulla, ja funktion suurin arvo on yhtä suuri yhdeksi ja saavutetaan funktiolla missä tahansa muodossa t = (te on yhtä kuin pi kahdella plus kahdella pi kalla).

Funktion suurin ja pienin arvo s = sin t ovat s min. ja s max. .

Saatujen ominaisuuksien avulla piirrämme funktion y \u003d sin x (y on yhtä kuin sini x), koska tunnemme paremmin merkinnän y \u003d f (x), eikä s \u003d f (t).

Aluksi valitaan asteikko: ordinaatta-akselia pitkin otamme yhden segmentin, kaksi solua ja abskissa-akselia pitkin kaksi solua - tämä on pi kolmella (koska ≈ 1). Rakennetaan ensin segmentille funktio y \u003d sin x kuvaaja. Tarvitsemme tämän segmentin funktioarvojen taulukon, jonka rakentamiseen käytämme vastaavien kosini- ja sinikulmien arvotaulukkoa:

Näin ollen argumenttien ja funktioarvojen taulukon rakentamiseksi on välttämätöntä muistaa tämä X(x) on luku, joka on vastaavasti yhtä suuri kuin kulma nollasta pi:iin, ja klo(Kreikka) Tämän kulman sinin arvo.

Merkitään nämä pisteet koordinaattitasolle. Segmentin KIINTEISTÖ 3:n mukaan

[0; ] (nollasta pi:hen kahdella) funktio y \u003d sin x kasvaa, mutta pienenee segmentillä [; ] (pi:stä kahdella pi:hen) ja yhdistämällä saadut pisteet tasaisella viivalla, saamme osan kaaviosta. (Kuva 1)

Käyttämällä parittoman funktion kaavion symmetriaa origon suhteen saadaan funktion y \u003d sin x kuvaaja jo segmentillä

[-π; π ] (miinus pi:stä pi:hen). (Kuva 2)

Muista, että sin(x + 2π)= sinx

(x:n sini plus kaksi pi on yhtä kuin x:n sini). Tämä tarkoittaa, että pisteessä x + 2π funktio y = sin x saa saman arvon kuin pisteessä x. Ja koska (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus kaksi pi kuuluu segmenttiin pi:stä kolmeen pi:iin), jos xϵ[-π; π ], sitten välillä [π; 3π ] funktion kuvaaja näyttää täsmälleen samalta kuin välillä [-π; π]. Vastaavasti segmenteillä , , [-3π; -π] ja niin edelleen, funktion y \u003d sin x kuvaaja näyttää samalta kuin segmentillä

[-π; π]. (Kuva 3)

Suoraa, joka on funktion y \u003d sin x kuvaaja, kutsutaan sinimuotoiseksi. Kuvassa 2 näkyvää siniaallon osaa kutsutaan siniaaltoksi ja kuvassa 1 siniaallon kaareksi tai puoliaaltoksi.

Muodostetun graafin avulla kirjoitamme vielä muutamia tämän funktion ominaisuuksia.

OMAISUUS 6. Funktio y \u003d sin x on jatkuva funktio. Tämä tarkoittaa, että funktion kuvaaja on jatkuva, eli siinä ei ole hyppyjä ja pisteitä.

OMAISUUS 7. Funktion y \u003d sin x alue on segmentti [-1; 1] (miinus yhdestä yhteen) tai se voidaan kirjoittaa seuraavasti: (e arvosta eff on yhtä suuri kuin segmentti miinus yhdestä yhteen).

Harkitse ESIMERKKIÄ. Ratkaise graafisesti yhtälö sin x \u003d x + π (sini x on x plus pi).

Ratkaisu. Rakennetaan funktioiden kuvaajia y= synti X Ja y = x + π.

Funktion y \u003d sin x kuvaaja on sinimuoto.

y \u003d x + π on lineaarinen funktio, jonka kuvaaja on suora viiva, joka kulkee pisteiden läpi, joiden koordinaatit (0; π) ja (- π; 0).

Rakennetuissa kaavioissa on yksi leikkauspiste - piste B (- π; 0) (ole koordinaatit miinus pi, nolla). Tämä tarkoittaa, että tällä yhtälöllä on vain yksi juuri - pisteen B - -π abskissa. Vastaus: X = - π.