Matriisin neliöintikaava. Matriisin eksponentio verkossa

Tässä jatkamme ensimmäisessä osassa aloitettua aihetta matriisien operaatioista ja katsomme pari esimerkkiä, joissa useita operaatioita tulee soveltaa kerralla.

Matriisin nostaminen potenssiin.

Olkoon k ei-negatiivinen kokonaisluku. Kaikille neliömatriisille $A_(n\times n)$ meillä on: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; kertaa) $$

Tässä tapauksessa oletetaan, että $A^0=E$, missä $E$ on vastaavan järjestyksen identiteettimatriisi.

Esimerkki nro 4

Annettu matriisi $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Etsi matriisit $A^2$ ja $A^6$.

Määritelmän mukaan $A^2=A\cdot A$, ts. löytääksemme $A^2$ meidän täytyy vain kertoa matriisi $A$ itsestään. Aiheen ensimmäisessä osassa käsiteltiin matriisin kertolaskua, joten tässä kirjoitetaan yksinkertaisesti ratkaisuprosessi ilman yksityiskohtaisia selityksiä:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cpiste (-3) \\ -1\cpiste 1+(-3)\cpiste (-1) & -1\cpiste 2+(-3)\cpiste (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Matriisin $A^6$ löytämiseksi meillä on kaksi vaihtoehtoa. Vaihtoehto yksi: on triviaalia jatkaa $A^2$:n kertomista matriisilla $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Voit kuitenkin valita hieman yksinkertaisemman reitin käyttämällä matriisikertomisen assosiatiivisuusominaisuutta. Laitetaan sulkeet lausekkeen $A^6$ lausekkeeseen:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cdot A^2. $$

Jos ensimmäisen menetelmän ratkaiseminen vaatisi neljä kertolaskua, niin toinen menetelmä vaatisi vain kaksi. Mennään siis toiseen suuntaan:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4) )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ aloita(taulukko) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( taulukko) \oikea)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Vastaus: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Esimerkki nro 5

Annetut matriisit $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \oikea)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (taulukko) \oikea)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ oikea) $. Etsi matriisi $D=2AB-3C^T+7E$.

Aloitamme matriisin $D$ laskemisen etsimällä tulon $AB$ tuloksen. Matriisit $A$ ja $B$ voidaan kertoa, koska matriisin $A$ sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin $B$ rivien määrä. Merkitään $F=AB$. Tässä tapauksessa matriisissa $F$ on kolme saraketta ja kolme riviä, ts. on neliö (jos tämä johtopäätös ei vaikuta ilmeiseltä, katso tämän aiheen ensimmäisessä osassa oleva matriisikertolasku). Etsitään matriisi $F$ laskemalla kaikki sen elementit:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(tasattu) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cpiste 1+0\cpiste (-1)+(-1)\cpiste (-2)+2\cpiste 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9) )+(-2)\cpiste 2+5\cpiste 0+0\cpiste 1=-31;\\ & f_(22)=3\cpiste 1+(-2)\cpiste (-1)+5\cpiste (-2)+0\cpiste 5=-5;\\ & f_(23)=3\cpiste 0+(-2)\cpiste 4+5\cpiste 3+0\cpiste 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(tasattu) $$

Joten $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Mennään pidemmälle. Matriisi $C^T$ on transponoitu matriisi matriisille $C$, ts. $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Mitä tulee matriisiin $E$, se on identiteettimatriisi. Tässä tapauksessa tämän matriisin järjestys on kolme, ts. $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Periaatteessa voimme jatkaa askel askeleelta, mutta on parempi tarkastella jäljellä olevaa ilmaisua kokonaisuutena ilman, että aputoiminnot häiritsevät. Itse asiassa meille jää vain operaatiot matriisien kertomiseksi luvulla sekä yhteen- ja vähennysoperaatiot.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ oikea)+7\cdot \left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Kerrotaan yhtälön oikealla puolella olevat matriisit vastaavilla luvuilla (eli 2:lla, 3:lla ja 7:llä):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ aloita(taulukko) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$

Suoritetaan viimeiset vaiheet: vähennys ja yhteenlasku:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (taulukko) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right). $$

Ongelma ratkaistu, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Vastaus: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Esimerkki nro 6

Olkoon $f(x)=2x^2+3x-9$ ja matriisi $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Etsi $f(A)$:n arvo.

Jos $f(x)=2x^2+3x-9$, niin $f(A)$ ymmärretään matriisina:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Näin määritellään polynomi matriisista. Joten meidän täytyy korvata matriisi $A$ lausekkeessa $f(A)$ ja saada tulos. Koska kaikista toimista keskusteltiin yksityiskohtaisesti aiemmin, annan tässä yksinkertaisesti ratkaisun. Jos toiminnon $A^2=A\cdot A$ suorittamisprosessi on sinulle epäselvä, suosittelen tutustumaan tämän aiheen ensimmäisessä osassa olevaan matriisikerronnan kuvaukseen.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Vastaus: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Heinäkuussa 2020 NASA käynnistää tutkimusmatkan Marsiin. Avaruusalus toimittaa Marsiin sähköisen välineen, jossa on kaikkien rekisteröityjen retkikunnan osallistujien nimet.

Jos tämä viesti ratkaisi ongelmasi tai pidit siitä vain, jaa linkki siihen ystävillesi sosiaalisessa mediassa.

Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai välittömästi tagin jälkeen. Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto valvoo ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos lisäät toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML:n, LaTeX:n ja ASCIIMathML:n merkintäsyntaksi, ja olet valmis lisäämään matemaattisia kaavoja sivustosi verkkosivuille.

Taas uudenvuodenaatto... pakkas sää ja lumihiutaleet ikkunalasissa... Kaikki tämä sai minut taas kirjoittamaan... fraktaaleista ja siitä, mitä Wolfram Alpha tietää siitä. Tästä aiheesta on mielenkiintoinen artikkeli, joka sisältää esimerkkejä kaksiulotteisista fraktaalirakenteista. Tässä tarkastellaan monimutkaisempia esimerkkejä kolmiulotteisista fraktaaleista.

Fraktaali voidaan visuaalisesti esittää (kuvata) geometrisena hahmona tai kappaleena (eli molemmat ovat joukko, tässä tapauksessa joukko pisteitä), joiden yksityiskohdat ovat saman muotoisia kuin alkuperäinen kuvio itse. Tämä on siis itseään samankaltainen rakenne, jonka yksityiskohtia tarkasteltaessa näemme suurennettuna saman muodon kuin ilman suurennusta. Tavallisen geometrisen hahmon (ei fraktaalin) tapauksessa suurennuksessa näemme yksityiskohtia, jotka ovat muodoltaan yksinkertaisempia kuin alkuperäinen kuvio itse. Esimerkiksi riittävän suurella suurennuksella osa ellipsistä näyttää suoralta segmentiltä. Näin ei tapahdu fraktaalien kanssa: niiden kasvaessa näemme jälleen saman monimutkaisen muodon, joka toistuu yhä uudelleen ja uudelleen jokaisella lisäyksellä.

Fraktaalitieteen perustaja Benoit Mandelbrot kirjoitti artikkelissaan Fractals and Art in the Name of Science: "Fraktaalit ovat geometrisia muotoja, jotka ovat yksityiskohdiltaan yhtä monimutkaisia kuin kokonaismuodoltaan. Eli jos ne ovat osa fraktaaleja. laajenee kokonaisuuden kokoiseksi, se näkyy kokonaisuutena, joko tarkalleen tai ehkä hieman muodonmuutoksineen."

Joitakin matriisien operaatioiden ominaisuuksia.
Matriisilausekkeet

Ja nyt aiheelle tulee jatkoa, jossa pohdimme uuden materiaalin lisäksi myös toimia matriiseilla.

Joitakin matriisien operaatioiden ominaisuuksia

Matriisioperaatioihin liittyviä ominaisuuksia on melko paljon, samassa Wikipediassa voit ihailla vastaavien sääntöjen järjestyneitä rivejä. Käytännössä monet kiinteistöt ovat kuitenkin tietyssä mielessä "kuollut", koska vain harvat niistä ovat käytössä todellisten ongelmien ratkaisemisessa. Tavoitteeni on tarkastella ominaisuuksien käytännön soveltamista erityisillä esimerkeillä, ja jos tarvitset tiukkaa teoriaa, käytä toista tietolähdettä.

Katsotaanpa joitain poikkeuksia sääntöön, joita tarvitaan käytännön tehtävien suorittamiseen.

Jos neliömatriisilla on käänteismatriisi, niin niiden kertolasku on kommutatiivista:

Identiteettimatriisi on neliömatriisi, jonka päädiagonaali yksiköt sijaitsevat, ja loput elementit ovat yhtä suuria kuin nolla. Esimerkiksi: , jne.

Tässä tapauksessa seuraava ominaisuus on totta: jos mielivaltainen matriisi kerrotaan vasemmalla tai oikealla sopivan kokoisella identiteettimatriisilla, tuloksena on alkuperäinen matriisi:

Kuten näette, tässä tapahtuu myös matriisin kertolaskujen kommutatiivisuus.

Otetaan jokin matriisi, no, sanotaan, matriisi edellisestä tehtävästä: .

Kiinnostuneet voivat tarkistaa ja varmistaa, että:

Matriisien yksikkömatriisi on analogia numeroiden numeeriselle yksikölle, mikä käy erityisen selvästi ilmi juuri käsitellyistä esimerkeistä.

Numeerisen tekijän kommutatiivisuus suhteessa matriisikerrokseen

Matriiseille ja reaaliluvuille seuraavat ominaisuudet ovat voimassa:

Eli numeerista tekijää voidaan (ja pitää) siirtää eteenpäin niin, että se "ei häiritse" matriisien kertomista.

Huomautus : yleisesti ottaen ominaisuuden muotoilu on epätäydellinen - "lambda" voidaan sijoittaa mihin tahansa matriisien väliin, jopa loppuun. Sääntö pysyy voimassa, jos kolme tai useampi matriisi kerrotaan.

Esimerkki 4

Laske tuote

Ratkaisu :

(1) Omaisuuden mukaan siirtää numeerista kerrointa eteenpäin. Itse matriiseja ei voi järjestää uudelleen!

(2) – (3) Suorita matriisikerto.

(4) Tässä voit jakaa jokaisen luvun 10:llä, mutta tällöin matriisin elementtien joukkoon ilmestyy desimaalimurtolukuja, mikä ei ole hyvä. Huomaamme kuitenkin, että kaikki matriisin luvut ovat jaollisia viidellä, joten kerromme jokaisen elementin luvulla .

Vastaus:

Pieni seikkailu, jonka voit ratkaista itse:

Esimerkki 5

Laske jos

Ratkaisu ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Mikä tekniikka on tärkeää tällaisten esimerkkien ratkaisemisessa? Selvitetään numerot viimeiseksi .

Kiinnitetään veturiin toinen vaunu:

Kuinka kertoa kolme matriisia?

Ensinnäkin, MITÄ kolmen matriisin kertomisesta pitäisi saada aikaan? Kissa ei synnytä hiirtä. Jos matriisin kertolasku on mahdollista, tuloksena tulee myös matriisi. Hmm, algebra-opettajani ei ymmärrä miten selitän algebrallisen rakenteen sulkeutumisen suhteessa sen elementteihin =)

Kolmen matriisin tulo voidaan laskea kahdella tavalla:

1) etsi ja kerro sitten matriisilla "ce": ;

2) joko etsi ensin ja kerro sitten .

Tulokset ovat varmasti samat, ja teoriassa tätä ominaisuutta kutsutaan matriisin kertolaskujen assosiatiivisuudeksi:

Esimerkki 6

Kerro matriisit kahdella tavalla

Ratkaisualgoritmi on kaksivaiheinen: löydämme kahden matriisin tulon, sitten taas löydämme kahden matriisin tulon.

1) Käytä kaavaa

Toimi yksi:

Toimi kaksi:

2) Käytä kaavaa

Toimi yksi:

Toimi kaksi:

Vastaus:

Ensimmäinen ratkaisu on tietysti tutumpi ja vakio, jossa "kaikki näyttää olevan kunnossa". Muuten, mitä tulee tilaukseen. Käsiteltävänä olevassa tehtävässä syntyy usein illuusio, että puhutaan jonkinlaisesta matriisien permutaatiosta. He eivät ole täällä. Muistutan vielä kerran, että yleisesti ottaen MATRIISIEN MUOKKAAMINEN ON MAHDOLLINEN. Joten toisessa kappaleessa, toisessa vaiheessa, suoritamme kertolaskun, mutta emme missään tapauksessa . Tavallisilla luvuilla tällainen luku toimisi, mutta matriiseilla se ei toimisi.

Assosiatiivisen kertolasku ominaisuus pätee paitsi neliöille myös mielivaltaisille matriiseille - niin kauan kuin ne kerrotaan:

Esimerkki 7

Etsi kolmen matriisin tulo

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Esimerkkiratkaisussa laskelmat suoritetaan kahdella tavalla: analysoidaan, kumpi polku on kannattavampi ja lyhyempi.

Matriisikertoimen assosiatiivisuusominaisuus koskee myös useampaa tekijää.

Nyt on aika palata matriisien potenssiin. Matriisin neliötä harkitaan heti alussa ja esityslistalla oleva kysymys on:

Kuinka kuutioida matriisi ja korkeammat voimat?

Nämä operaatiot on myös määritelty vain neliömatriiseille. Neliömatriisin kuutioimiseksi sinun on laskettava tulo:

Itse asiassa tämä on kolmen matriisin kertomisen erityinen tapaus matriisikertomisen assosiatiivisuusominaisuuden mukaan: . Ja itsellään kerrottu matriisi on matriisin neliö:

Siten saamme työkaavan:

Toisin sanoen tehtävä suoritetaan kahdessa vaiheessa: ensin matriisi on neliöitävä ja sitten tuloksena oleva matriisi kerrottava matriisilla.

Esimerkki 8

Rakenna matriisi kuutioksi.

Tämä on pieni ongelma, joka on ratkaistava itse.

Matriisin nostaminen neljänteen potenssiin tapahtuu luonnollisella tavalla:

Matriisikertolaskun assosiatiivisuutta käyttämällä johdetaan kaksi työkaavaa. Ensinnäkin: – tämä on kolmen matriisin tulo.

1) . Toisin sanoen etsimme ensin , sitten kerromme sen "olla" - saamme kuution, ja lopuksi suoritamme kertolaskun uudelleen - tulee neljäs potenssi.

2) Mutta on olemassa yksi askel lyhyempi ratkaisu: . Eli ensimmäisessä vaiheessa löydämme neliön ja ohittaen kuution suoritamme kertolaskun

Lisätehtävä esimerkille 8:

Nosta matriisi neljänteen potenssiin.

Kuten juuri todettiin, tämä voidaan tehdä kahdella tavalla:

1) Koska kuutio tunnetaan, suoritamme kertolaskun.

2) Kuitenkin, jos tehtävän ehtojen mukaan on tehtävä matriisi vain neljänteen tehoon, silloin on edullista lyhentää polkua - etsi matriisin neliö ja käytä kaavaa.

Molemmat ratkaisut ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Samalla tavalla matriisi nostetaan viidenteen ja korkeampaan tehoon. Käytännön kokemuksesta voin sanoa, että joskus törmäsin esimerkkeihin neljänteen tehoon nostamisesta, mutta en muista viidennestä tehosta mitään. Mutta varmuuden vuoksi annan optimaalisen algoritmin:

1) löytää;
2) löytää ;
3) nosta matriisi viidenteen potenssiin: .

Nämä ovat ehkä kaikki matriisioperaatioiden perusominaisuudet, joista voi olla hyötyä käytännön ongelmissa.

Oppitunnin toisessa osassa odotetaan yhtä värikästä yleisöä.

Matriisilausekkeet

Toistetaan tavalliset koululausekkeet numeroilla. Numeerinen lauseke koostuu numeroista, matemaattisista symboleista ja suluista, esimerkiksi: . Laskennassa käytetään tuttua algebrallista prioriteettia: ensin, suluissa, sitten teloitettu eksponentio / juurruttaminen, Sitten kerto/jako Ja viimeisenä muttei vähäisimpänä - yhteenlasku/vähennys.

Jos numeerinen lauseke on järkevä, sen arvioinnin tulos on luku, esimerkiksi:

Matriisilausekkeet toimivat melkein samalla tavalla! Sillä erolla, että päähenkilöt ovat matriiseja. Lisäksi joitakin erityisiä matriisioperaatioita, kuten transponointi ja matriisin käänteisarvon löytäminen.

Harkitse matriisilauseketta , missä on joitain matriiseja. Tässä matriisilausekkeessa kolme termiä ja yhteen-/vähennysoperaatiot suoritetaan viimeisenä.

Ensimmäisellä termillä sinun on ensin transponoitava matriisi "be": , sitten suoritettava kertolasku ja syötettävä "kaksi" tuloksena olevaan matriisiin. Huomaa, että transponointioperaatiolla on korkeampi prioriteetti kuin kertolaskulla. Sulut, kuten numeerisissa lausekkeissa, muuttavat toimintojen järjestystä: - tässä suoritetaan ensin kertolasku, sitten tuloksena oleva matriisi transponoidaan ja kerrotaan 2:lla.

Toisella termillä matriisin kertolasku suoritetaan ensin ja käänteinen matriisi löydetään tuotteesta. Jos poistat sulut: , sinun on ensin löydettävä käänteimatriisi ja kerrottava sitten matriisit: . Matriisin käänteisarvon löytäminen menee myös kertolaskua edelle.

Kolmannella termillä kaikki on selvää: nostamme matriisin kuutioon ja syötämme "viisi" tuloksena olevaan matriisiin.

Jos matriisilausekkeella on järkeä, sen arvioinnin tulos on matriisi.

Kaikki tehtävät tulevat oikeista testeistä, ja aloitamme yksinkertaisimmasta:

Esimerkki 9

Annetut matriisit . Löytö: