Intégrale indéfinie, ses propriétés et son calcul. Primitive et intégrale indéfinie

GBOU SPO "Navashinsky Marine Mechanical College" Intégrale indéfinie. Méthodes de calcul

Eudoxe de Cnide c. 408 - env. 355 avant JC e. Le calcul intégral est apparu au cours de la période antique de développement de la science mathématique et a commencé avec la méthode d'épuisement, développée par les mathématiciens de la Grèce antique, et était un ensemble de règles développées par Eudoxe de Cnide. En utilisant ces règles, les surfaces et les volumes ont été calculés

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Le symbole ∫ a été introduit par Leibniz (1675). Ce signe est une modification de la lettre latine S (la première lettre du mot summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton et Leibniz ont découvert indépendamment un fait connu sous le nom de formule de Newton-Leibniz.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Les travaux de Cauchy et Weierstrass résument le développement séculaire du calcul intégral.

Des mathématiciens russes ont participé au développement du calcul intégral : M.V. Ostrogradsky (1801 – 1862) V.Ya. Bouniakovski (1804 – 1889) P.L. Tchebychev (1821 – 1894)

INDEMNITE INTEGRAL Une intégrale indéfinie d'une fonction continue f(x) sur l'intervalle (a; b) est l'une de ses fonctions primitives. Où C est une constante arbitraire (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx Définir la correspondance. Trouver une forme générale de primitive qui correspond à la fonction donnée. tg x +С

Propriétés de l'intégrale

Propriétés de l'intégrale

Méthodes de base d'intégration Tabulaire. 2. Réduction à un tableau en transformant l'intégrande en une somme ou une différence. 3.Intégration par remplacement de variables (substitution). 4.Intégration par parties.

Trouver les primitives des fonctions : F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6x² 6) f(x) = 3-2x

Est-il vrai que : a) c) b) d)

Exemple 1. L'intégrale de la somme des expressions est égale à la somme des intégrales de ces expressions. Le facteur constant peut être soustrait du signe de l'intégrale.

Exemple 2. Vérifiez la solution Notez la solution :

Exemple 3. Vérifiez la solution Notez la solution :

Exemple 4. Vérifier la solution Écrire la solution : Introduire une nouvelle variable et exprimer les différentielles :

Exemple 5. Vérifiez la solution Notez la solution :

C travail indépendant Trouver l'intégrale indéfinie Vérifier la solution Niveau « A » (à « 3 ») Niveau « B » (à « 4 ») Niveau « C » (à « 5 »)

Tâche Établir la correspondance. Trouver une forme générale de primitive qui correspond à la fonction donnée.

Diapositive 1

Diapositive 2

Informations historiques Le calcul intégral est né de la nécessité de créer une méthode générale pour trouver des surfaces, des volumes et des centres de gravité. Cette méthode a été utilisée sous sa forme embryonnaire par Archimède. Il a connu un développement systématique au XVIIe siècle dans les œuvres de Cavalieri, Torricelli, Fermame et Pascal. En 1659, I. Barrow établit un lien entre le problème de la recherche de la zone et le problème de la recherche de la tangente. Newton et Leib-Nitz, dans les années 70 du XVIIe siècle, ont détourné ce lien des problèmes géométriques particuliers mentionnés. Ainsi, un lien a été établi entre le calcul intégral et le calcul différentiel. Cette connexion a été utilisée par Newton, Leibniz et leurs étudiants pour développer la technique de l'intégration. Les méthodes d'intégration ont principalement atteint leur état actuel dans les travaux de L. Euler. Les travaux de M.V. Ostrogradsky-Go et P.L. Chebyshev ont complété le développement de ces méthodes.

Diapositive 3

Le concept d'intégrale. Soit la droite MN donnée par l'équation Et nous devons trouver l'aire F du trapèze curviligne aABb. Divisons le segment ab en n parties (égales ou inégales) et construisons une figure en escalier, représentée par des hachures sur le dessin 1. Son aire, son aire est égale à (1) Si nous introduisons la notation, alors la formule (1) va prendre la forme (3) L'aire requise est la limite de la somme ( 3) pour n infiniment grand. Leibniz a introduit la notation de cette limite (4) Dans laquelle (italique s) est la lettre initiale du mot summa (somme), E l'expression indique la forme typique des termes individuels. Leibniz a commencé à appeler l'expression intégrale - du mot latin Integralis - intégrale. J.B. Fourier a amélioré la notation de Leibniz en lui donnant la forme Ici les valeurs initiales et finales de x sont explicitement indiquées.

Diapositive 4

Le lien entre intégration et différenciation. Nous considérerons a comme une constante et b comme une variable. Alors l’intégrale sera fonction de b. Le différentiel de cette fonction est égal à

Diapositive 5

Fonction primitive. Soit la fonction une dérivée de la fonction, T.S. Il existe une différentielle d'une fonction : Alors la fonction est appelée une primitive de la fonction

Diapositive 6

Un exemple de recherche d'une primitive. La fonction est primitive de T.S. Il existe une différentielle d’une fonction. Une fonction est une primitive d’une fonction.

Diapositive 7

Intégrale indéfinie. L'intégrale indéfinie d'une expression donnée est la forme la plus générale de sa fonction primitive. L'intégrale indéfinie d'une expression est notée L'expression est appelée expression intégrande, la fonction est appelée fonction intégrande et la variable x est appelée variable d'intégration. Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction donnée est appelé intégration.

Primitive. Problème de calcul différentiel : étant donné une fonction donnée, trouver sa dérivée. Problème de calcul intégral : trouver une fonction connaissant sa dérivée. Une fonction F(x) est appelée primitive pour une fonction f(x) sur un intervalle donné si pour tout x de cet intervalle l'égalité F ʹ (x)=f(x) est vraie.

Théorème. Si une fonction F(x) est une primitive d'une fonction f(x) sur un certain intervalle, alors l'ensemble de toutes les primitives de cette fonction a la forme F(x)+C, où C R. y x 0 Géométriquement : F (x)+C est une famille de courbes obtenues à partir de chacune d'elles par transfert parallèle le long de l'axe de l'ampli-op. Courbe intégrale C

Exemple 2. Trouvez toutes les fonctions primitives f(x)=2x et représentez-les géométriquement. oui x

Intégrande - intégrande - signe de l'intégrale indéfinie x - variable d'intégration F(x) + C - ensemble de toutes les primitives C - constante d'intégration Le processus de recherche d'une fonction primitive est appelé intégration, et la branche des mathématiques est appelée calcul intégral .

Propriétés de l'intégrale indéfinie La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, et la dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

Méthodes de base d'intégration. Méthode d'intégration directe. L'intégration directe est une méthode de calcul d'intégrales dans laquelle elles sont réduites à des intégrales tabulaires en leur appliquant les propriétés de base de l'intégrale indéfinie. Dans ce cas, la fonction intégrale est généralement transformée en conséquence.

Anoshina O.V.

Littérature de base

1. Shipachev V. S. Mathématiques supérieures. Cours de base : manuel et
atelier pour bacheliers [Grift Ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie] / V.S.
Shipatchev ; édité par A. N. Tikhonova. - 8e éd., révisée. et supplémentaire Moscou : Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Shipachev V. S. Mathématiques supérieures. Cours complet : manuel
pour académicien Licence [Griff UMO] / V. S. Shipachev ; édité par UN.
N. Tikhonova. - 4e éd., rév. et supplémentaire - Moscou : Yurayt, 2015. - 608
Avec
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Mathématiques supérieures
dans les exercices et les tâches. [Texte] / P.E. Danko, A.G. Popov, T. Ya.
Kojevnikova. A 14h - M. : Lycée, 2007. - 304+415c.

Rapports

1.
Test. Réalisé conformément à :
Devoirs et directives pour passer les tests
dans la discipline "MATHEMATIQUES APPLIQUÉES", Ekaterinbourg, établissement d'enseignement autonome de l'État fédéral
VO "Pédagogie professionnelle de l'État russe
Université", 2016 - 30 p.
Sélectionnez l'option de test par le dernier chiffre du numéro
carnet de notes.
2.
Examen

Intégrale indéfinie, ses propriétés et calcul Primitive et intégrale indéfinie

Définition. La fonction F x est appelée
fonction primitive f x définie sur
un certain intervalle, si F x f x pour
chaque x de cet intervalle.
Par exemple, la fonction cos x est
primitive de la fonction sin x, puisque
cos x péché x .

Évidemment, si F x est une primitive
fonction f x , alors F x C , où C est une constante, est également
primitive de la fonction f x .
Si F x est une primitive
fonctions f x , alors toute fonction de la forme
Ф x F x C est aussi
fonction primitive f x et tout
la primitive peut être représentée sous cette forme.

Définition. La totalité de tout
primitives de la fonction f x ,
défini sur certains
l'intervalle est appelé
intégrale indéfinie de
fonctions f x sur cet intervalle et
noté f x dx.

Si F x est une primitive de la fonction
f x , alors ils écrivent f x dx F x C , bien que
il serait plus correct d'écrire f x dx F x C .
Selon la tradition établie, nous écrirons
f x dx F x C .
Donc le même symbole
f x dx désignera l'intégralité
un ensemble de primitives de la fonction f x ,
et tout élément de cet ensemble.

Propriétés de l'intégrale

La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à
fonction d'intégrande et son expression différentielle d'intégrande. Vraiment:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Propriétés de l'intégrale

3. Intégrale indéfinie de
différentiel en continu (x)
la fonction étant différentiable est égale à elle-même
cette fonction à une constante près :
d (x) (x)dx (x)C,
puisque (x) est une primitive de (x).

Propriétés de l'intégrale

4.Si les fonctions f1 x et f 2 x ont
sont des primitives, alors la fonction f1 x f 2 x
a également une primitive, et
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
un 1
x
2. xa dx
C, (un 1) .
un 1
dx
3. ln x C .
x
x
un
4.a x dx
C.
dans un
5. e x dx e x C .
6. péché xdx cos x C .
7. cos xdx péché x C .
dx
8. 2 ctgx C .
péché x
dx
9. 2 tgx C.
parce que x
dx
arctgx C.
10.
2
1x

Tableau des intégrales indéfinies

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arc C .
un
un
un x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C..
un
dx
1
xa
dans
C
2
2
2a x un
xa
dx
1
un x
une 2 x 2 2a ln une x C .
dx
16.
x2 un
ln x x 2 une C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x merci C .
dx
cthx C.
2
merde x

Propriétés des différentiels

Pratique à utiliser lors de l’intégration
propriétés : 1
1. dx d (hache)
un
1
2. dx d (hache b),
un
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Exemples

Exemple. Calculez cos 5xdx.
Solution. Dans le tableau des intégrales on trouve
cos xdx péché x C .
Transformons cette intégrale en une intégrale tabulaire,
profitant du fait que d ax adx .
Alors:
ré 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= péché 5 x C .
5

Exemples

Exemple. Calculer x
3x x 1 dx.
Solution. Puisque sous le signe intégral
est la somme de quatre termes, alors
développer l'intégrale à la somme de quatre
intégrales :
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
xC
3
4
2

Indépendance du type de variable

Lors du calcul des intégrales, il est pratique
utiliser les propriétés suivantes
intégrales :
Si f x dx F x C , alors
f x b dx F x b C .
Si f x dx F x C , alors
1
fax b dx Fax b C .
un

Exemple

Calculons
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Méthodes d'intégration Intégration par parties

Cette méthode est basée sur la formule udv uv vdu.
En utilisant la méthode d'intégration par parties, on prend les intégrales suivantes :
a) x n sin xdx, où n 1,2...k ;
b) x n e x dx , où n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx, où n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, où n 0, 1, 2,... k.
Lors du calcul des intégrales a) et b), entrez
n°1
notation : x n u , puis du nx dx , et, par exemple
sin xdx dv, alors v cos x.
Lors du calcul des intégrales c), d), u est noté par la fonction
arctgx, ln x et pour dv, prenez x n dx.

Exemples

Exemple. Calculez x cos xdx .
Solution.
u x, du dx
=
x parce que xdx
dv cos xdx, v péché x
x péché x péché xdx x péché x cos x C .

Exemples

Exemple. Calculer
x ln xdx
dx
tu ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
dans x
=
2
2 fois
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
dans x
C.
=
2
2
2
2 2

Méthode de remplacement des variables

Soit il faut trouver f x dx , et
sélectionner directement la primitive
pour f x on ne peut pas, mais on sait que
ça existe. Il est souvent possible de trouver
primitive en introduisant une nouvelle variable,
selon la formule
f x dx f t t dt , où x t et t sont nouveaux
variable

Intégration de fonctions contenant un trinôme quadratique

Considérons l'intégrale
hache b
dx,
xpxq
contenant un trinôme quadratique dans
dénominateur de l'intégrande
expressions. Une telle intégrale peut également être prise
par la méthode de substitution de variables,
ayant préalablement alloué en
le dénominateur est un carré parfait.
2

Exemple

Calculer
dx
.
x4x5
Solution. Transformons x 2 4 x 5 ,
2
sélectionner un carré complet en utilisant la formule a b 2 a 2 2ab b 2.
On obtient alors :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 tonnes
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Exemple

Trouver
1x
1x
2
dx
tdt
1 tonne
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 tonne
2
dt
1 tonne
1 tonne
ré(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 tonne
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 à 2 1
1 tonne
2
dt

Intégrale définie, ses propriétés fondamentales. Formule de Newton-Leibniz. Applications d'une intégrale définie.

Conduit au concept d’intégrale définie
problème de trouver l'aire d'une curviligne
trapèzes.
Soit donné à un certain intervalle
fonction continue y f (x) 0
Tâche:
Construisez son graphique et trouvez F l'aire de la figure,
délimitée par cette courbe, deux droites x = a et x
= b, et en dessous – le segment de l'axe des abscisses entre les points
x = a et x = b.

La figure aABb s’appelle
trapèze courbé

Définition

b
f(x)dx
Sous l'intégrale définie
un
d'une fonction continue donnée f(x) à
ce segment est compris
son incrément correspondant
primitive, c'est-à-dire
F (b) F (a) F (x) /
b
un
Les nombres a et b sont les limites de l'intégration,
– intervalle d'intégration.

Règle:

L'intégrale définie est égale à la différence
valeurs de l'intégrande primitive
fonctions pour limites supérieure et inférieure
intégration.
En introduisant la notation de la différence
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
un
Formule de Newton-Leibniz.

Propriétés de base d'une intégrale définie.

1) La valeur de l'intégrale définie ne dépend pas de
notation pour la variable d'intégration, c'est-à-dire
b
b
un
un
f (x)dx f (t)dt
où x et t sont des lettres.
2) Intégrale définie avec identique
dehors
l'intégration est nulle
un
f (x)dx F (a) F (a) 0
un

3) Quand on réaménage les limites de l’intégration
l'intégrale définie change de signe en l'opposé
b
un
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
un
b
(propriété d'additivité)
4) Si l'intervalle est divisé en un nombre fini
intervalles partiels, puis une intégrale définie,
prise sur l'intervalle, est égale à la somme de certains
intégrales prises sur tous ses intervalles partiels.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
un
un
f(x)dx

5) Le multiplicateur constant peut être ajusté
pour le signe de l’intégrale définie.
6) Intégrale définie de l'algébrique
sommes d'un nombre fini de continus
les fonctions sont égales à la même algébrique
la somme des intégrales définies de ces
fonctions.

3. Changement de variable dans une intégrale définie.

3. Remplacer une variable dans un certain
intégral.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
un
a(), b(), (t)
Où
pour t [ ; ] , les fonctions (t) et (t) sont activées en continu ;
5
Exemple:
1
=
x 1dx
=
x1 5
t 0 4
x 1 tonne
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Intégrales incorrectes.

Intégrales incorrectes.
Définition. Soit la fonction f(x) définie sur
intervalle infini, où b< + . Если
existe
b
lim
f(x)dx,
b
un
alors cette limite est dite impropre
intégrale de la fonction f(x) sur l'intervalle
}