Une fraction peut être convertie en nombre entier ou en nombre décimal. Une fraction impropre, dont le numérateur est supérieur au dénominateur et divisible par celui-ci sans reste, est convertie en un nombre entier, par exemple : 20/5. Divisez 20 par 5 et obtenez le nombre 4. Si la fraction est correcte, c'est-à-dire que le numérateur est inférieur au dénominateur, convertissez-la en nombre (fraction décimale). Vous pouvez obtenir plus d'informations sur les fractions dans notre section -.

Façons de convertir une fraction en nombre

• La première façon de convertir une fraction en nombre convient à une fraction qui peut être convertie en un nombre qui est une fraction décimale. Voyons d’abord s’il est possible de convertir la fraction donnée en fraction décimale. Pour ce faire, faisons attention au dénominateur (le nombre qui se trouve en dessous de la ligne ou à droite de la ligne inclinée). Si le dénominateur peut être factorisé (dans notre exemple - 2 et 5), qui peut être répété, alors cette fraction peut en fait être convertie en une fraction décimale finale. Par exemple : 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Cette fraction commune sera convertie en un nombre (décimal) avec un nombre fini de décimales. Mais la fraction 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) sera convertie en un nombre avec nombre infini décimales. Autrement dit, lors du calcul précis d'une valeur numérique, il est assez difficile de déterminer la décimale finale, car il existe un nombre infini de ces signes. Par conséquent, pour résoudre des problèmes, il faut généralement arrondir la valeur au centième ou au millième. Ensuite, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre tel que le dénominateur produise les nombres 10, 100, 1000, etc. Par exemple : 11/40 =(11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
• La deuxième façon de convertir une fraction en nombre est plus simple : vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Pour appliquer cette méthode, nous effectuons simplement une division et le nombre obtenu sera la fraction décimale souhaitée. Par exemple, vous devez convertir la fraction 2/15 en nombre. Divisez 2 par 15. Nous obtenons 0,1333... - une fraction infinie. Nous l'écrivons ainsi : 0.13(3). Si la fraction est une fraction impropre, c'est-à-dire que le numérateur est supérieur au dénominateur (par exemple, 345/100), sa conversion en nombre entraînera une valeur numérique entière ou une fraction décimale avec une partie fractionnaire entière. Dans notre exemple, ce sera 3h45. Pour convertir une fraction mixte comme 3 2 / 7 en un nombre, vous devez d'abord la convertir en une fraction impropre : (3∙7+2)/7 = 23/7. Ensuite, divisez 23 par 7 et obtenez le nombre 3,2857143, que nous réduisons à 3,29.

Le moyen le plus simple de convertir une fraction en nombre consiste à utiliser une calculatrice ou un autre appareil informatique. Nous indiquons d’abord le numérateur de la fraction, puis appuyons sur le bouton avec l’icône « diviser » et entrons le dénominateur. Après avoir appuyé sur la touche "=", nous obtenons le numéro souhaité.

Conversion d'une fraction en décimal

Disons que nous voulons nous convertir fraction commune 11/4 en décimal. La façon la plus simple de procéder est la suivante :

						2∙2∙5∙5

Nous avons réussi car dans ce cas la décomposition du dénominateur en facteurs premiers n'est constituée que de deux. Nous avons complété cette expansion avec deux autres cinq, profité du fait que 10 = 2∙5 et obtenu une fraction décimale. Une telle procédure est évidemment possible si et seulement si la décomposition du dénominateur en facteurs premiers ne contient que deux et cinq. Si un autre nombre premier est présent dans le développement du dénominateur, une telle fraction ne peut pas être convertie en nombre décimal. Néanmoins, nous essaierons de le faire, mais seulement d'une manière différente, que nous connaîtrons en utilisant l'exemple de la même fraction 11/4. Divisons 11 par 4 en utilisant le « coin » :

Dans la ligne de réponse, nous avons reçu la partie entière (2), et nous avons également le reste (3). Auparavant, nous terminions la division ici, mais nous savons maintenant que nous pouvons ajouter une virgule et plusieurs zéros à droite du dividende (11), ce que nous allons maintenant faire mentalement. Après la virgule décimale vient la dixième place. On ajoute le zéro qui apparaît au dividende dans ce chiffre au reste résultant (3) :

Désormais, la division peut continuer comme si de rien n’était. N'oubliez pas de mettre une virgule après toute la partie dans la ligne de réponse :

Maintenant, nous ajoutons un zéro au reste (2), qui est à la centième place du dividende, et complétons la division :

En conséquence, on obtient, comme précédemment,

Essayons maintenant de calculer exactement de la même manière à quoi est égale la fraction 27/11 :

Nous avons reçu le chiffre 2,45 dans la ligne de réponse et le chiffre 5 dans la ligne restante. Mais nous avons déjà rencontré un tel vestige auparavant. Par conséquent, nous pouvons immédiatement dire que si nous continuons notre division avec un « coin », alors le chiffre suivant dans la ligne de réponse sera 4, puis le chiffre 5 viendra, puis encore 4 et encore 5, et ainsi de suite, à l'infini. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Nous avons ce qu'on appelle périodique une fraction décimale avec une période de 45. Pour de telles fractions, une notation plus compacte est utilisée, dans laquelle le point n'est écrit qu'une seule fois, mais il est mis entre parenthèses :

2,454545454545... = 2,(45).

De manière générale, si vous divisez une chose en un « coin » nombre naturel d'autre part, en écrivant la réponse sous la forme d'une fraction décimale, alors seulement deux résultats sont possibles : (1) soit tôt ou tard nous obtiendrons zéro dans la ligne de reste, (2) soit il y aura un reste que nous ont déjà rencontré auparavant (l'ensemble des restes possibles est limité, puisqu'ils sont tous évidemment inférieurs au diviseur). Dans le premier cas, le résultat de la division est une fraction décimale finie, dans le second cas, une fraction périodique.

Convertir une décimale périodique en fraction

Donnons-nous une fraction décimale périodique positive avec une partie entière nulle, par exemple :

un = 0,2(45).

Comment puis-je reconvertir cette fraction en une fraction commune ?

Multiplions-le par 10 k, Où k est le nombre de chiffres entre le point décimal et la parenthèse ouvrante indiquant le début du point. Dans ce cas k= 1 et 10 k = 10:

un∙ 10 k = 2,(45).

Multipliez le résultat par 10 n, Où n- la « longueur » du point, c'est-à-dire le nombre de chiffres mis entre parenthèses. Dans ce cas n= 2 et 10 n = 100:

un∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Calculons maintenant la différence

un∙ 10 k ∙ 10 n − un∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Puisque les parties fractionnaires du minuend et du soustrahend sont les mêmes, alors la partie fractionnaire de la différence est égale à zéro, et nous arrivons à équation simple relativement un:

un∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Cette équation est résolue à l'aide des transformations suivantes :

un∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

un∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Nous n'avons volontairement pas encore terminé les calculs, afin qu'il soit clairement visible comment ce résultat peut être immédiatement écrit, en omettant les arguments intermédiaires. La fin du numérateur (245) est la partie fractionnaire du nombre

un = 0,2(45)

si vous effacez les parenthèses dans son entrée. Le sous-trahend au numérateur (2) est la partie non périodique du nombre UN, situé entre la virgule et la parenthèse ouvrante. Le premier facteur du dénominateur (10) est une unité à laquelle sont attribués autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique ( k). Le deuxième facteur du dénominateur (99) est égal à autant de neuf qu'il y a de chiffres dans la période ( n).

Nos calculs peuvent maintenant être complétés :

Ici, le numérateur contient le point et le dénominateur contient autant de neuf qu'il y a de chiffres dans le point. Après réduction par 9, la fraction résultante est égale à

De la même façon,

Fractions

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Les fractions ne sont pas vraiment une nuisance au lycée. Pour le moment. Jusqu'à ce que vous rencontriez des puissances avec des exposants rationnels et des logarithmes. Et là... Vous appuyez et appuyez sur la calculatrice, et elle affiche un affichage complet de certains nombres. Il faut penser avec sa tête comme en troisième année.

Trouvons enfin les fractions ! Eh bien, à quel point pouvez-vous vous y perdre !? De plus, tout est simple et logique. Donc, quels sont les types de fractions ?

Types de fractions. Transformations.

Il y a des fractions trois types.

1. Fractions communes , Par exemple:

Parfois, au lieu d'une ligne horizontale, ils mettent une barre oblique : 1/2, 3/4, 19/5, enfin, et ainsi de suite. Ici, nous utiliserons souvent cette orthographe. Le numéro du haut est appelé numérateur, inférieur - dénominateur. Si vous confondez constamment ces noms (ça arrive...), dites-vous la phrase : " Zzzzz souviens-toi! Zzzzz dénominateur - regarde zzzzz euh!" Écoutez, tout sera rappelé zzzz.)

Le tiret, qu'il soit horizontal ou incliné, signifie division le nombre du haut (numérateur) vers le bas (dénominateur). C'est tout ! Au lieu d'un tiret, il est tout à fait possible de mettre un signe de division - deux points.

Lorsqu’une division complète est possible, cela doit être fait. Ainsi, au lieu de la fraction « 32/8 », il est bien plus agréable d'écrire le chiffre « 4 ». Ceux. 32 est simplement divisé par 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Je ne parle même pas de la fraction « 4/1 ». Ce qui est aussi juste "4". Et si ce n’est pas complètement divisible, on le laisse sous forme de fraction. Parfois il faut faire l’opération inverse. Convertissez un nombre entier en fraction. Mais nous en reparlerons plus tard.

2. Décimales , Par exemple:

C'est sous cette forme que vous devrez noter les réponses aux tâches « B ».

3. Numéros mixtes , Par exemple:

Les nombres mixtes ne sont pratiquement pas utilisés au lycée. Pour pouvoir travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Mais il faut absolument être capable de le faire ! Sinon, vous rencontrerez un tel numéro dans un problème et vous vous figerez... Sorti de nulle part. Mais on retiendra cette procédure ! Un peu plus bas.

Le plus polyvalent fractions communes. Commençons par eux. D'ailleurs, si une fraction contient toutes sortes de logarithmes, sinus et autres lettres, cela ne change rien. Dans le sens où tout les actions avec des expressions fractionnaires ne sont pas différentes des actions avec des fractions ordinaires!

La propriété principale d'une fraction.

Alors, c'est parti ! Pour commencer, je vais vous surprendre. Toute la variété des transformations de fractions est assurée par une seule propriété ! C'est comme ça que ça s'appelle propriété principale d'une fraction. Souviens-toi: Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés (divisés) par le même nombre, la fraction ne change pas. Ceux:

Il est clair que vous pouvez continuer à écrire jusqu’à ce que vous ayez le visage bleu. Ne vous laissez pas dérouter par les sinus et les logarithmes, nous y reviendrons plus loin. L'essentiel est de comprendre que toutes ces diverses expressions sont la même fraction . 2/3.

En avons-nous besoin, toutes ces transformations ? Oui! Maintenant, vous verrez par vous-même. Pour commencer, utilisons la propriété de base d'une fraction pour fractions réductrices. Cela semblerait être une chose élémentaire. Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre et c'est tout ! Il est impossible de se tromper ! Mais... l'homme est un être créateur. Vous pouvez faire une erreur n’importe où ! Surtout si vous devez réduire non pas une fraction comme 5/10, mais une expression fractionnaire avec toutes sortes de lettres.

Comment réduire correctement et rapidement des fractions sans effectuer de travail supplémentaire peut être lu dans la section spéciale 555.

Un étudiant normal ne prend pas la peine de diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre (ou expression) ! Il raye simplement tout ce qui est pareil en haut et en bas ! C'est là que ça se cache erreur typique, un bêtisier, si vous voulez.

Par exemple, vous devez simplifier l'expression :

Il n’y a rien à penser ici, rayez la lettre « a » en haut et le « 2 » en bas ! On obtient :

Tout est correct. Mais en réalité tu es divisé tous numérateur et tous le dénominateur est "a". Si vous avez l'habitude de simplement rayer, alors, à la hâte, vous pouvez rayer le « a » dans l'expression

et récupère-le à nouveau

Ce qui serait catégoriquement faux. Parce qu'ici tous le numérateur sur "a" est déjà non partagé! Cette fraction ne peut pas être réduite. D'ailleurs, une telle réduction est, euh... un sérieux défi pour l'enseignant. Ce n'est pas pardonné ! Vous souvenez-vous? Lors de la réduction, vous devez diviser tous numérateur et tous dénominateur!

Réduire les fractions rend la vie beaucoup plus facile. Vous obtiendrez une fraction quelque part, par exemple 375/1000. Comment puis-je continuer à travailler avec elle maintenant ? Sans calculatrice ? Multipliez, disons, additionnez, mettez au carré !? Et si vous n'êtes pas trop paresseux, et réduisez-le soigneusement de cinq, et de cinq encore, et même... pendant qu'on le raccourcit, bref. Prenons 3/8 ! Beaucoup plus sympa, non ?

La propriété principale d'une fraction vous permet de convertir des fractions ordinaires en décimales et vice versa sans calculatrice! C'est important pour l'examen d'État unifié, n'est-ce pas ?

Comment convertir des fractions d'un type à un autre.

Avec les fractions décimales, tout est simple. Comme on l’entend, ainsi c’est écrit ! Disons 0,25. C'est zéro virgule vingt-cinq centièmes. On écrit donc : 25/100. On réduit (on divise le numérateur et le dénominateur par 25), on obtient la fraction habituelle : 1/4. Tous. Cela arrive et rien n'est réduit. Comme 0,3. C'est trois dixièmes, c'est-à-dire 3/10.

Et si les entiers ne sont pas nuls ? C'est bon. Nous écrivons la fraction entière sans aucune virgule au numérateur et au dénominateur - ce qui est entendu. Par exemple : 3.17. C'est trois virgule dix-sept centièmes. On écrit 317 au numérateur et 100 au dénominateur. On obtient 317/100. Rien n'est réduit, cela veut dire tout. C'est la réponse. Élémentaire, Watson ! De tout ce qui a été dit, une conclusion utile : n'importe quelle fraction décimale peut être convertie en une fraction commune .

Mais certaines personnes ne peuvent pas effectuer la conversion inverse de l’ordinaire en décimal sans calculatrice. Et c'est nécessaire ! Comment allez-vous écrire la réponse à l'examen d'État unifié !? Lisez attentivement et maîtrisez ce processus.

Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est Toujours coûte 10, ou 100, ou 1000, ou 10000 et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, 4/10 = 0,4. Ou 7/100 = 0,07. Ou 12/10 = 1,2. Et si la réponse à la tâche de la section « B » s'avérait être 1/2 ? Qu’écrirons-nous en réponse ? Les décimales sont obligatoires...

Souvenons-nous propriété principale d'une fraction ! Les mathématiques vous permettent avantageusement de multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. N'importe quoi, d'ailleurs ! Sauf zéro, bien sûr. Alors utilisons cette propriété à notre avantage ! Par quoi le dénominateur peut-il être multiplié, c'est-à-dire 2 pour que ça devienne 10, ou 100, ou 1000 (plus petit c'est mieux, bien sûr...) ? A 5 heures, évidemment. N'hésitez pas à multiplier le dénominateur (c'est nous nécessaire) par 5. Mais alors le numérateur doit également être multiplié par 5. C'est déjà mathématiques exige! Nous obtenons 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. C'est ça.

Cependant, toutes sortes de dénominateurs apparaissent. Vous rencontrerez par exemple la fraction 3/16. Essayez de trouver par quoi multiplier 16 pour obtenir 100 ou 1000... Ça ne marche pas ? Ensuite vous pourrez simplement diviser 3 par 16. En l’absence de calculatrice, vous devrez diviser avec un coin, sur une feuille de papier, comme dans classes juniors enseigné. Nous obtenons 0,1875.

Et il y a aussi de très mauvais dénominateurs. Par exemple, il n’existe aucun moyen de transformer la fraction 1/3 en une bonne décimale. À la fois sur la calculatrice et sur une feuille de papier, nous obtenons 0,3333333... Cela signifie que 1/3 est une fraction décimale exacte non traduit. Identique à 1/7, 5/6 et ainsi de suite. Il y en a beaucoup, intraduisibles. Cela nous amène à une autre conclusion utile. Toutes les fractions ne peuvent pas être converties en nombre décimal !

D'ailleurs, ceci informations utiles pour un autotest. Dans la section « B », vous devez écrire une fraction décimale dans votre réponse. Et vous avez, par exemple, 4/3. Cette fraction n'est pas convertie en décimale. Cela signifie que vous avez fait une erreur quelque part en cours de route ! Revenez en arrière et vérifiez la solution.

Nous avons donc compris les fractions ordinaires et décimales. Il ne reste plus qu'à traiter des nombres mixtes. Pour travailler avec eux, ils doivent être convertis en fractions ordinaires. Comment faire cela ? Vous pouvez attraper un élève de sixième et lui demander. Mais un élève de sixième ne sera pas toujours à portée de main... Vous devrez le faire vous-même. Ce n'est pas difficile. Vous devez multiplier le dénominateur de la partie fractionnaire par la partie entière et ajouter le numérateur de la partie fractionnaire. Ce sera le numérateur de la fraction commune. Et le dénominateur ? Le dénominateur restera le même. Cela semble compliqué, mais en réalité tout est simple. Regardons un exemple.

Supposons que vous soyez horrifié de voir le numéro dans le problème :

Calmement, sans panique, réfléchissons-nous. La partie entière est 1. Unité. La partie fractionnaire est 3/7. Le dénominateur de la partie fractionnaire est donc 7. Ce dénominateur sera le dénominateur de la fraction ordinaire. On compte le numérateur. 7 multiplié par 1 ( partie entière) et ajoutez 3 (le numérateur de la partie fractionnaire). Nous obtenons 10. Ce sera le numérateur d'une fraction commune. C'est ça. Cela semble encore plus simple dans notation mathématique:

Est-ce clair ? Alors assurez votre succès ! Convertissez en fractions ordinaires. Vous devriez obtenir 10/7, 7/2, 23/10 et 21/4.

L’opération inverse – convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire – est rarement requise au lycée. Eh bien, si c'est le cas... Et si vous n'êtes pas au lycée, vous pouvez consulter l'article spécial 555. À propos, vous y découvrirez également les fractions impropres.

Eh bien, c'est pratiquement tout. Vous vous êtes souvenu des types de fractions et avez compris Comment les transférer d'un type à un autre. La question demeure : Pour quoi faire ça ? Où et quand appliquer ces connaissances approfondies ?

Je réponds. Tout exemple lui-même suggère les actions nécessaires. Si dans l’exemple des fractions ordinaires, des décimales et même des nombres fractionnaires sont mélangés, nous convertissons le tout en fractions ordinaires. Cela peut toujours être fait. Eh bien, si cela dit quelque chose comme 0,8 + 0,3, alors nous le comptons de cette façon, sans aucune traduction. Pourquoi avons-nous besoin travail supplémentaire? Nous choisissons la solution qui vous convient nous !

Si la tâche est entièrement décimales, mais euh... certains méchants, allez vers les ordinaires, essayez-les ! Écoute, tout s'arrangera. Par exemple, vous devrez mettre au carré le nombre 0,125. Ce n’est pas si simple si on n’a pas l’habitude d’utiliser une calculatrice ! Non seulement il faut multiplier les nombres dans une colonne, mais il faut aussi réfléchir à l'endroit où insérer la virgule ! Cela ne fonctionnera certainement pas dans votre tête ! Et si on passait à une fraction ordinaire ?

0,125 = 125/1000. On le réduit de 5 (c'est pour commencer). Nous obtenons 25/200. Encore une fois à 5 heures. Nous obtenons 5/40. Oh, ça rétrécit encore ! Retour à 5 ! Nous obtenons 1/8. Nous pouvons facilement le mettre au carré (dans notre esprit !) et obtenir 1/64. Tous!

Résumons cette leçon.

1. Il existe trois types de fractions. Nombres communs, décimaux et mixtes.

2. Décimaux et nombres fractionnaires Toujours peut être converti en fractions ordinaires. Transfert inversé pas toujours possible

3. Le choix du type de fractions à utiliser avec une tâche dépend de la tâche elle-même. Sous réserve de disponibilité différents types fractions dans une tâche, le plus fiable est de passer aux fractions ordinaires.

Vous pouvez maintenant vous entraîner. Tout d’abord, convertissez ces fractions décimales en fractions ordinaires :

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Vous devriez obtenir des réponses comme celle-ci (dans le désordre !) :

Terminons cela. Dans cette leçon, nous avons rafraîchi notre mémoire points clés par fractions. Il arrive cependant qu'il n'y ait rien de particulier à rafraîchir...) Si quelqu'un l'a complètement oublié, ou ne l'a pas encore maîtrisé... Alors vous pouvez vous rendre dans une section spéciale 555. Toutes les bases y sont abordées en détail. Beaucoup soudainement tout comprendre commencent. Et ils résolvent des fractions à la volée).

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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Nombres décimaux tels que 0,2 ; 1,05 ; 3.017, etc. comme ils sont entendus, ainsi ils sont écrits. Zéro virgule deux, on obtient une fraction. Un virgule cinq centièmes, on obtient une fraction. Trois virgule dix-sept millièmes, on obtient la fraction. Les nombres avant la virgule décimale représentent la partie entière de la fraction. Le nombre après la virgule est le numérateur de la fraction future. S'il y a un nombre à un chiffre après la virgule décimale, le dénominateur sera 10, s'il y a un nombre à deux chiffres - 100, un nombre à trois chiffres - 1000, etc. Certaines fractions résultantes peuvent être réduites. Dans nos exemples

Conversion d'une fraction en nombre décimal

C'est l'inverse de la transformation précédente. Quelle est la caractéristique d’une fraction décimale ? Son dénominateur est toujours 10, ou 100, ou 1 000, ou 10 000, et ainsi de suite. Si votre fraction commune a un dénominateur comme celui-ci, il n'y a pas de problème. Par exemple, ou

Si la fraction est, par exemple . Dans ce cas, il faut utiliser la propriété de base d'une fraction et convertir le dénominateur en 10 ou 100, ou 1000... Dans notre exemple, si on multiplie le numérateur et le dénominateur par 4, on obtient une fraction qui peut être écrit sous forme de nombre décimal 0,12.

Certaines fractions sont plus faciles à diviser qu’à convertir le dénominateur. Par exemple,

Certaines fractions ne peuvent pas être converties en décimales !
Par exemple,

Conversion d'une fraction mixte en fraction impropre

Une fraction mixte, par exemple, peut être facilement convertie en fraction impropre. Pour ce faire, vous devez multiplier la partie entière par le dénominateur (en bas) et l'ajouter au numérateur (en haut), en laissant le dénominateur (en bas) inchangé. C'est

Lors de la conversion fraction mixte au mauvais, vous pouvez vous rappeler que vous pouvez utiliser l'addition de fractions

Conversion d'une fraction impropre en fraction mixte (mise en évidence de la partie entière)

Une fraction impropre peut être convertie en fraction mixte en mettant en évidence la partie entière. Regardons un exemple. Nous déterminons combien de fois entières « 3 » rentrent dans « 23 ». Ou divisez 23 par 3 sur une calculatrice, le nombre entier à la virgule décimale est celui souhaité. C'est "7". Ensuite, nous déterminons le numérateur de la fraction future : nous multiplions le « 7 » obtenu par le dénominateur « 3 » et soustrayons le résultat du numérateur « 23 ». Comment retrouver le surplus qui reste du numérateur « 23 » si l’on enlève quantité maximale"3". Nous laissons le dénominateur inchangé. Tout est fait, notez le résultat

Nous avons déjà dit qu'il existe des fractions ordinaire Et décimal. Sur à l'heure actuelle Nous avons un peu étudié les fractions. Nous avons appris qu'il existe des fractions régulières et impropres. Nous avons également appris que les fractions communes peuvent être réduites, additionnées, soustraites, multipliées et divisées. Et nous avons également appris qu'il existe des nombres dits mixtes, composés d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire.

Nous n’avons pas encore entièrement exploré les fractions communes. Il y a de nombreuses subtilités et détails qui devraient être discutés, mais aujourd'hui nous allons commencer à étudier décimal fractions, puisque les fractions ordinaires et décimales doivent souvent être combinées. Autrement dit, pour résoudre des problèmes, vous devez utiliser les deux types de fractions.

Cette leçon peut sembler compliquée et déroutante. C'est tout à fait normal. Ce genre de leçons nécessite qu’elles soient étudiées et non superficiellement parcourues.

Contenu de la leçon

Exprimer des quantités sous forme fractionnaire

Parfois, il est pratique de montrer quelque chose sous forme fractionnaire. Par exemple, un dixième de décimètre s’écrit ainsi :

Cette expression signifie qu'un décimètre était divisé par dix parties égales, et de ces dix parts, une part fut prise. Et une partie sur dix dans ce cas est égale à un centimètre :

Considérons exemple suivant. Montrez 6 cm et 3 mm supplémentaires en centimètres sous forme fractionnaire.

Il faut donc afficher 6 cm et 3 mm en centimètres, mais sous forme fractionnaire. Nous avons déjà 6 centimètres entiers :

Mais il reste encore 3 millimètres. Comment afficher ces 3 millimètres, et en centimètres ? Les fractions viennent à la rescousse. Un centimètre équivaut à dix millimètres. Trois millimètres, c'est trois parties sur dix. Et trois parties sur dix s'écrivent en cm

L'expression cm signifie qu'un centimètre a été divisé en dix parties égales, et de ces dix parties trois parties ont été prises.

En conséquence, nous avons six centimètres entiers et trois dixièmes de centimètre :

Dans ce cas, 6 indique le nombre de centimètres entiers et la fraction indique le nombre de centimètres fractionnaires. Cette fraction se lit comme "six virgule trois centimètres".

Les fractions dont le dénominateur contient les nombres 10, 100, 1000 peuvent être écrites sans dénominateur. Écrivez d'abord la partie entière, puis le numérateur de la partie fractionnaire. La partie entière est séparée du numérateur de la partie fractionnaire par une virgule.

Par exemple, écrivons-le sans dénominateur. Nous écrivons d’abord toute la partie. La partie entière est 6

La partie entière est enregistrée. Immédiatement après avoir écrit toute la partie, nous mettons une virgule :

Et maintenant, nous écrivons le numérateur de la partie fractionnaire. Dans un nombre fractionnaire, le numérateur de la partie fractionnaire est le nombre 3. On écrit un trois après la virgule décimale :

Tout nombre représenté sous cette forme est appelé décimal.

Par conséquent, vous pouvez afficher 6 cm et 3 mm supplémentaires en centimètres en utilisant une fraction décimale :

6,3 cm

Cela ressemblera à ceci :

En fait, les décimales sont identiques aux fractions ordinaires et aux nombres fractionnaires. La particularité de telles fractions est que le dénominateur de leur partie fractionnaire contient les nombres 10, 100, 1000 ou 10000.

Comme un nombre fractionnaire, une fraction décimale comporte une partie entière et une partie fractionnaire. Par exemple, dans un nombre fractionnaire, la partie entière est 6 et la partie fractionnaire est .

Dans la fraction décimale 6.3, la partie entière est le nombre 6 et la partie fractionnaire est le numérateur de la fraction, c'est-à-dire le nombre 3.

Il arrive aussi que des fractions ordinaires au dénominateur dont les nombres 10, 100, 1000 sont donnés sans partie entière. Par exemple, une fraction est donnée sans une partie entière. Pour écrire une telle fraction sous forme décimale, écrivez d’abord 0, puis mettez une virgule et écrivez le numérateur de la fraction. Une fraction sans dénominateur s'écrira comme suit :

Se lit comme "zéro virgule cinq".

Conversion de nombres mixtes en décimales

Lorsque nous écrivons des nombres fractionnaires sans dénominateur, nous les convertissons ainsi en fractions décimales. Lors de la conversion de fractions en décimales, vous devez savoir certaines choses dont nous parlerons maintenant.

Une fois la partie entière écrite, il est nécessaire de compter le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire, car le nombre de zéros de la partie fractionnaire et le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale doivent être les mêmes. même. Qu'est-ce que ça veut dire? Prenons l'exemple suivant :

D'abord

Et vous pouvez immédiatement écrire le numérateur de la partie fractionnaire et la fraction décimale est prête, mais vous devez absolument compter le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire.

Ainsi, on compte le nombre de zéros dans la partie fractionnaire d’un nombre fractionnaire. Le dénominateur de la partie fractionnaire a un zéro. Cela signifie que dans une fraction décimale, il y aura un chiffre après la virgule et ce chiffre sera le numérateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire, c'est-à-dire le nombre 2.

Ainsi, une fois converti en fraction décimale, un nombre fractionnaire devient 3,2.

Cette fraction décimale se lit comme suit :

"Trois virgule deux"

« Dixièmes » car le nombre 10 est dans la partie fractionnaire d'un nombre fractionnaire.

Exemple 2. Convertissez un nombre mixte en nombre décimal.

Écrivez la partie entière et mettez une virgule :

Et vous pouvez immédiatement écrire le numérateur de la partie fractionnaire et obtenir la fraction décimale 5,3, mais la règle dit qu'après la virgule décimale, il doit y avoir autant de chiffres qu'il y a de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire. Et on voit que le dénominateur de la partie fractionnaire a deux zéros. Cela signifie que notre fraction décimale doit avoir deux chiffres après la virgule, pas un.

Dans de tels cas, le numérateur de la partie fractionnaire doit être légèrement modifié : ajoutez un zéro avant le numérateur, c'est-à-dire avant le chiffre 3.

Vous pouvez maintenant convertir ce nombre fractionnaire en fraction décimale. Écrivez la partie entière et mettez une virgule :

Et notez le numérateur de la partie fractionnaire :

La fraction décimale 5.03 se lit comme suit :

"Cinq virgule trois"

« Centaines » car le dénominateur de la partie fractionnaire d’un nombre fractionnaire contient le nombre 100.

Exemple 3. Convertissez un nombre mixte en nombre décimal.

Grâce aux exemples précédents, nous avons appris que pour réussir à convertir un nombre fractionnaire en nombre décimal, le nombre de chiffres au numérateur de la fraction et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction doivent être les mêmes.

Avant de convertir un nombre fractionnaire en fraction décimale, sa partie fractionnaire doit être légèrement modifiée, notamment pour s'assurer que le nombre de chiffres au numérateur de la partie fractionnaire et le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire sont les mêmes. même.

Tout d’abord, regardons le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire. On voit qu'il y a trois zéros :

Notre tâche est d'organiser trois chiffres dans le numérateur de la partie fractionnaire. Nous avons déjà un chiffre - c'est le chiffre 2. Il reste à ajouter deux chiffres supplémentaires. Ce seront deux zéros. Ajoutez-les avant le nombre 2. En conséquence, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur seront les mêmes :

Vous pouvez maintenant commencer à convertir ce nombre fractionnaire en fraction décimale. Nous écrivons d’abord la partie entière et mettons une virgule :

et notez immédiatement le numérateur de la partie fractionnaire

3,002

On voit que le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire sont les mêmes.

La fraction décimale 3,002 se lit comme suit :

"Trois virgule deux millièmes"

« Millièmes » car le dénominateur de la partie fractionnaire du nombre fractionnaire contient le nombre 1000.

Conversion de fractions en décimales

Les fractions courantes avec des dénominateurs de 10, 100, 1 000 ou 10 000 peuvent également être converties en décimales. Puisqu'une fraction ordinaire n'a pas de partie entière, notez d'abord 0, puis mettez une virgule et notez le numérateur de la partie fractionnaire.

Ici aussi, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur doivent être les mêmes. Par conséquent, vous devriez être prudent.

Exemple 1.

La partie entière est manquante, donc d'abord nous écrivons 0 et mettons une virgule :

Examinons maintenant le nombre de zéros au dénominateur. On voit qu'il y a un zéro. Et le numérateur a un chiffre. Cela signifie que vous pouvez continuer en toute sécurité la fraction décimale en écrivant le chiffre 5 après la virgule décimale.

Dans la fraction décimale résultante 0,5, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

La fraction décimale 0,5 se lit comme suit :

"Zéro virgule cinq"

Exemple 2. Convertissez une fraction en nombre décimal.

Il manque toute une partie. Nous écrivons d’abord 0 et mettons une virgule :

Examinons maintenant le nombre de zéros au dénominateur. On voit qu'il y a deux zéros. Et le numérateur n’a qu’un seul chiffre. Pour que le nombre de chiffres et le nombre de zéros soient identiques, ajoutez un zéro au numérateur avant le chiffre 2. La fraction prendra alors la forme . Désormais, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur sont les mêmes. Vous pouvez donc continuer la fraction décimale :

Dans la fraction décimale résultante 0,02, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

La fraction décimale 0,02 se lit comme suit :

"Zéro virgule deux."

Exemple 3. Convertissez une fraction en nombre décimal.

Écrivez 0 et mettez une virgule :

Maintenant, nous comptons le nombre de zéros au dénominateur de la fraction. Nous voyons qu’il y a cinq zéros et qu’il n’y a qu’un seul chiffre au numérateur. Pour que le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur soient identiques, vous devez ajouter quatre zéros au numérateur avant le nombre 5 :

Désormais, le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur sont les mêmes. Nous pouvons donc continuer avec la fraction décimale. Écrivez le numérateur de la fraction après la virgule

Dans la fraction décimale résultante 0,00005, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

La fraction décimale 0,00005 se lit comme suit :

"Zéro virgule cinq cent millièmes."

Conversion de fractions impropres en décimales

Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur. Il existe des fractions impropres dont le dénominateur contient les nombres 10, 100, 1 000 ou 10 000. Ces fractions peuvent être converties en nombres décimaux. Mais avant de les convertir en fraction décimale, ces fractions doivent être séparées en parties entières.

Exemple 1.

La fraction est une fraction impropre. Pour convertir une telle fraction en décimal, vous devez d’abord en sélectionner la partie entière. Rappelons comment isoler toute la partie des fractions impropres. Si vous l'avez oublié, nous vous conseillons d'y revenir et de l'étudier.

Alors, soulignons toute la partie dans la fraction impropre. Rappelons qu'une fraction signifie division - dans ce cas, diviser le nombre 112 par le nombre 10

Regardons cette image et collectons un nouveau nombre mixte, comme créateur pour enfants. Le nombre 11 sera la partie entière, le nombre 2 sera le numérateur de la partie fractionnaire et le nombre 10 sera le dénominateur de la partie fractionnaire.

Nous avons un numéro mixte. Convertissons-le en fraction décimale. Et nous savons déjà comment convertir de tels nombres en fractions décimales. Nous écrivons d’abord la partie entière et mettons une virgule :

Maintenant, nous comptons le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire. On voit qu'il y a un zéro. Et le numérateur de la partie fractionnaire a un chiffre. Cela signifie que le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire et le nombre de chiffres au numérateur de la partie fractionnaire sont les mêmes. Cela nous donne la possibilité d'écrire immédiatement le numérateur de la partie fractionnaire après la virgule décimale :

Dans la fraction décimale résultante 11.2, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

Moyens fraction impropre une fois converti en fraction décimale, il devient 11,2

La fraction décimale 11.2 se lit comme suit :

"Onze virgule deux."

Exemple 2. Convertissez une fraction impropre en décimale.

C'est une fraction impropre car le numérateur est supérieur au dénominateur. Mais il peut être converti en fraction décimale, puisque le dénominateur contient le nombre 100.

Tout d’abord, sélectionnons toute la partie de cette fraction. Pour cela, divisez 450 par 100 avec un coin :

Rassemblons un nouveau nombre mixte - nous obtenons . Et nous savons déjà comment convertir des nombres fractionnaires en fractions décimales.

Écrivez la partie entière et mettez une virgule :

Maintenant, nous comptons le nombre de zéros au dénominateur de la partie fractionnaire et le nombre de chiffres au numérateur de la partie fractionnaire. On voit que le nombre de zéros au dénominateur et le nombre de chiffres au numérateur sont les mêmes. Cela nous donne la possibilité d'écrire immédiatement le numérateur de la partie fractionnaire après la virgule décimale :

Dans la fraction décimale résultante 4,50, le nombre de chiffres après la virgule décimale et le nombre de zéros au dénominateur de la fraction sont les mêmes. Cela signifie que la fraction est traduite correctement.

Cela signifie qu'une fraction impropre devient 4,50 lorsqu'elle est convertie en nombre décimal.

Lors de la résolution de problèmes, s'il y a des zéros à la fin de la fraction décimale, ils peuvent être supprimés. Laissons également tomber le zéro dans notre réponse. On obtient alors 4,5

C'est l'un des fonctionnalités intéressantes fractions décimales. Cela réside dans le fait que les zéros qui apparaissent à la fin d’une fraction ne donnent aucun poids à cette fraction. Autrement dit, les décimales 4,50 et 4,5 sont égales. Mettons un signe égal entre eux :

4,50 = 4,5

La question se pose : pourquoi cela arrive-t-il ? Après tout, ça ressemble à 4,50 et 4,5 différentes fractions. Tout le secret réside dans la propriété fondamentale des fractions, que nous avons étudiée plus tôt. Nous essaierons de prouver pourquoi les fractions décimales 4,50 et 4,5 sont égales, mais après avoir étudié le sujet suivant, appelé « conversion d'une fraction décimale en un nombre fractionnaire ».

Conversion d'un nombre décimal en nombre fractionnaire

Toute fraction décimale peut être reconvertie en nombre fractionnaire. Pour ce faire, il suffit de savoir lire des fractions décimales. Par exemple, convertissons 6,3 en nombre fractionnaire. 6,3 équivaut à six virgule trois. Nous écrivons d’abord six nombres entiers :

et à côté de trois dixièmes :

Exemple 2. Convertir le nombre décimal 3,002 en nombre mixte

3,002 équivaut à trois entiers et deux millièmes. Nous écrivons d'abord trois entiers

et à côté nous écrivons deux millièmes :

Exemple 3. Convertir le nombre décimal 4,50 en nombre fractionnaire

4,50 équivaut à quatre virgule cinquante. Écrivez quatre entiers

et cinquante centièmes suivants :

Au fait, rappelons le dernier exemple du sujet précédent. Nous avons dit que les décimales 4,50 et 4,5 sont égales. Nous avons également dit que le zéro pouvait être supprimé. Essayons de prouver que les décimales 4,50 et 4,5 sont égales. Pour ce faire, nous convertissons les deux fractions décimales en nombres fractionnaires.

Une fois converti en nombre fractionnaire, la décimale 4,50 devient , et la décimale 4,5 devient

Nous avons deux nombres fractionnaires et . Convertissons ces nombres fractionnaires en fractions impropres :

Nous avons maintenant deux fractions et . Il est temps de rappeler la propriété fondamentale d'une fraction, qui dit que lorsque vous multipliez (ou divisez) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, la valeur de la fraction ne change pas.

Divisons la première fraction par 10

Nous avons obtenu , et c'est la deuxième fraction. Cela signifie que les deux sont égaux l’un à l’autre et égaux à la même valeur :

Essayez d'utiliser une calculatrice pour diviser d'abord 450 par 100, puis 45 par 10. Ce sera une chose amusante.

Conversion d'une fraction décimale en fraction

Toute fraction décimale peut être reconvertie en fraction. Pour ce faire, encore une fois, il suffit de savoir lire des fractions décimales. Par exemple, convertissons 0,3 en une fraction commune. 0,3 est zéro virgule trois. Nous écrivons d’abord les entiers zéro :

et à côté de trois dixièmes 0. Zéro n'est traditionnellement pas écrit, donc la réponse finale ne sera pas 0, mais simplement .

Exemple 2. Convertissez la fraction décimale 0,02 en fraction.

0,02 est zéro virgule deux. On n'écrit pas zéro, donc on écrit immédiatement deux centièmes

Exemple 3. Convertir 0,00005 en fraction

0,00005 équivaut à zéro virgule cinq. On n'écrit pas zéro, donc on écrit immédiatement cinq cent millièmes

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