Lignes du second ordre.
Ellipse et son équation canonique. Cercle

Après une étude approfondie lignes droites dans l'avion Nous continuons à étudier la géométrie du monde bidimensionnel. L'enjeu est doublé et je vous invite à visiter une galerie pittoresque d'ellipses, d'hyperboles, de paraboles, qui en sont des représentants typiques. lignes de deuxième commande. L'excursion a déjà commencé, et d'abord une brève information sur l'ensemble de l'exposition aux différents étages du musée :

Le concept de droite algébrique et son ordre

Une ligne sur un avion s'appelle algébrique, si dans système de coordonnées affines son équation a la forme , où est un polynôme constitué de termes de la forme ( – nombre réel, – nombres entiers non négatifs).

Comme vous pouvez le constater, l'équation d'une droite algébrique ne contient pas de sinus, cosinus, logarithmes et autres beau monde fonctionnel. Seuls les X et les Y sont présents entiers non négatifs degrés.

Ordre de ligneégal à la valeur maximale des termes qui y sont inclus.

D'après le théorème correspondant, la notion de droite algébrique, ainsi que son ordre, ne dépendent pas du choix système de coordonnées affines, par conséquent, pour faciliter l'existence, nous supposons que tous les calculs ultérieurs ont lieu dans Coordonnées cartésiennes.

Équation générale la deuxième ligne de commande a la forme , où – nombres réels arbitraires (Il est d'usage de l'écrire avec un facteur deux), et les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Si , alors l'équation se simplifie en , et si les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps, alors c'est exactement équation générale d'une droite "plate", ce qui représente première ligne de commande.

Beaucoup ont compris le sens des nouveaux termes, mais néanmoins, pour maîtriser à 100% la matière, on met les doigts dans la douille. Pour déterminer l'ordre des lignes, vous devez itérer tous les termes ses équations et trouver pour chacune d'elles somme de degrés variables entrantes.

Par exemple:

le terme contient « x » à la puissance 1 ;
le terme contient « Y » à la puissance 1 ;
Il n’y a pas de variables dans le terme, donc la somme de leurs puissances est nulle.

Voyons maintenant pourquoi l'équation définit la droite deuxième commande:

le terme contient « x » à la puissance 2 ;
la somme a la somme des puissances des variables : 1 + 1 = 2 ;
le terme contient « Y » à la puissance 2 ;
tous les autres termes - moins degrés.

Valeur maximale : 2

Si nous ajoutons en plus, disons, à notre équation, alors elle déterminera déjà troisième ligne de commande. Il est évident que la forme générale de l'équation linéaire du 3ème ordre contient un « ensemble complet » de termes, dont la somme des puissances des variables est égale à trois :
, où les coefficients ne sont pas égaux à zéro en même temps.

Dans le cas où vous ajoutez un ou plusieurs termes appropriés contenant , alors nous en parlerons déjà Lignes de 4ème ordre, etc.

Nous devrons rencontrer plus d'une fois des droites algébriques des ordres 3e, 4e et supérieur, notamment lors de la familiarisation avec système de coordonnées polaires.

Cependant, revenons à l'équation générale et rappelons ses variantes scolaires les plus simples. A titre d'exemples, on trouve une parabole dont l'équation peut être facilement réduite à une forme générale, et une hyperbole avec une équation équivalente. Cependant, tout ne se passe pas si bien...

Un inconvénient majeur de l’équation générale est qu’il n’est presque toujours pas clair quelle ligne elle définit. Même dans le cas le plus simple, vous ne réaliserez pas immédiatement qu’il s’agit d’une hyperbole. De telles dispositions ne sont bonnes que pour une mascarade, donc au cours de la géométrie analytique, un problème typique est considéré amener l'équation de la droite du 2ème ordre à la forme canonique.

Quelle est la forme canonique d’une équation ?

Il s'agit de la forme standard généralement acceptée d'une équation, lorsqu'en quelques secondes il devient clair quel objet géométrique elle définit. De plus, la forme canonique est très pratique pour résoudre de nombreuses tâches pratiques. Ainsi, par exemple, selon l'équation canonique "plat" droit, d'une part, il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une ligne droite, et d'autre part, le point qui lui appartient et le vecteur directeur sont facilement visibles.

Il est évident que tout 1ère ligne de commande est une ligne droite. Au deuxième étage, ce n'est plus le gardien qui nous attend, mais une compagnie bien plus diversifiée de neuf statues :

Classification des lignes de second ordre

À l'aide d'un ensemble spécial d'actions, toute équation d'une droite du second ordre est réduite à l'une des formes suivantes :

(et sont des nombres réels positifs)

1) – équation canonique de l'ellipse ;

2) – équation canonique d'une hyperbole ;

3) – équation canonique d'une parabole ;

4) – imaginaire ellipse;

5) – une paire de lignes qui se croisent ;

6) – paire imaginaire lignes sécantes (avec un seul point d'intersection valide à l'origine) ;

7) – une paire de lignes parallèles ;

8) – paire imaginaire lignes parallèles;

9) – une paire de lignes coïncidentes.

Certains lecteurs pourront avoir l’impression que la liste est incomplète. Par exemple, au point n°7, l'équation précise le couple direct, parallèle à l'axe, et la question se pose : où est l'équation qui détermine les droites parallèles à l'axe des ordonnées ? Réponse : il pas considéré comme canonique. Les lignes droites représentent le même cas standard, tourné de 90 degrés, et l'entrée supplémentaire dans la classification est redondante, car elle n'apporte rien de fondamentalement nouveau.

Ainsi, il existe neuf et seulement neuf types différents de lignes de 2ème ordre, mais en pratique les plus courantes sont ellipse, hyperbole et parabole.

Regardons d'abord l'ellipse. Comme d'habitude, je me concentre sur les points qui sont d'une grande importance pour résoudre les problèmes, et si vous avez besoin d'une dérivation détaillée de formules, de preuves de théorèmes, veuillez vous référer, par exemple, au manuel de Bazylev/Atanasyan ou d'Aleksandrov.

Ellipse et son équation canonique

Orthographe... veuillez ne pas répéter les erreurs de certains utilisateurs de Yandex qui s'intéressent à « comment construire une ellipse », « la différence entre une ellipse et un ovale » et « l'excentricité d'une ellipse ».

L'équation canonique d'une ellipse a la forme , où sont des nombres réels positifs, et . Je formulerai la définition même d'une ellipse plus tard, mais pour l'instant, il est temps de faire une pause dans le salon de la discussion et de résoudre un problème courant :

Comment construire une ellipse ?

Oui, prenez-le et dessinez-le. La tâche est fréquente et une partie importante des étudiants ne gère pas correctement le dessin :

Exemple 1

Construire l'ellipse donnée par l'équation

Solution: Tout d’abord, mettons l’équation sous forme canonique :

Pourquoi apporter ? L'un des avantages de l'équation canonique est qu'elle permet de déterminer instantanément sommets de l'ellipse, qui sont situés en des points. Il est facile de voir que les coordonnées de chacun de ces points satisfont à l’équation.

Dans ce cas:


Segment appelé axe majeur ellipse;
segment – petit axe;
nombre appelé arbre semi-majeur ellipse;
nombre – petit axe.
dans notre exemple : .

Pour imaginer rapidement à quoi ressemble une ellipse particulière, il suffit de regarder les valeurs de « a » et « be » de son équation canonique.

Tout va bien, lisse et beau, mais il y a un bémol : j'ai fait le dessin à l'aide du programme. Et vous pouvez réaliser le dessin en utilisant n’importe quelle application. Cependant, dans la dure réalité, il y a un morceau de papier à carreaux sur la table et des souris dansent en rond sur nos mains. Les personnes ayant un talent artistique peuvent bien sûr discuter, mais vous avez aussi des souris (bien que plus petites). Ce n’est pas en vain que l’humanité a inventé la règle, le compas, le rapporteur et d’autres appareils simples pour dessiner.

Pour cette raison, il est peu probable que nous soyons capables de dessiner avec précision une ellipse en connaissant uniquement ses sommets. Ce n'est pas grave si l'ellipse est petite, par exemple avec des demi-axes. Alternativement, vous pouvez réduire l'échelle et, par conséquent, les dimensions du dessin. Mais dans le cas général, il est hautement souhaitable de trouver des points supplémentaires.

Il existe deux approches pour construire une ellipse : géométrique et algébrique. Je n’aime pas la construction à l’aide d’un compas et d’une règle car l’algorithme n’est pas le plus court et le dessin est très encombré. En cas d'urgence, merci de vous référer au manuel, mais en réalité il est beaucoup plus rationnel d'utiliser les outils de l'algèbre. A partir de l'équation de l'ellipse dans le brouillon on exprime rapidement :

L’équation se décompose alors en deux fonctions :
– définit l'arc supérieur de l'ellipse ;
– définit l'arc inférieur de l'ellipse.

L'ellipse définie par l'équation canonique est symétrique par rapport aux axes de coordonnées, ainsi que par rapport à l'origine. Et c'est génial : la symétrie est presque toujours un signe avant-coureur de cadeaux. Évidemment, il suffit de traiter le 1er quartier de coordonnées, il nous faut donc la fonction . Cela pose la question de trouver des points supplémentaires avec des abscisses . Tapons trois messages SMS sur la calculatrice :

Bien sûr, il est également agréable que si une erreur grave est commise dans les calculs, cela devienne immédiatement évident lors de la construction.

Marquez les points sur le dessin (rouge), les points symétriques sur les arcs restants (bleu) et reliez soigneusement toute l'entreprise avec une ligne :


Il est préférable de dessiner le croquis initial très finement, puis d'appliquer ensuite une pression avec un crayon. Le résultat devrait être une ellipse tout à fait correcte. Au fait, aimeriez-vous savoir quelle est cette courbe ?

Définition d'une ellipse. Foyers d'ellipse et excentricité d'ellipse

Une ellipse est un cas particulier d’ovale. Le mot « ovale » ne doit pas être compris dans le sens philistin (« l'enfant a dessiné un ovale », etc.). Il s'agit d'un terme mathématique qui a une formulation détaillée. Le but de cette leçon n’est pas de considérer la théorie des ovales et de leurs différents types, qui ne reçoivent pratiquement aucune attention dans le cours standard de géométrie analytique. Et, selon des besoins plus pressants, on passe immédiatement à la définition stricte d'une ellipse :

Ellipse est l'ensemble de tous les points du plan, la somme des distances à chacun d'eux à partir de deux points donnés, appelée astuces ellipse, est une quantité constante, numériquement égale à la longueur du grand axe de cette ellipse : .
Dans ce cas, les distances entre les foyers sont inférieures à cette valeur : .

Maintenant, tout deviendra plus clair :

Imaginez que le point bleu « voyage » le long d’une ellipse. Ainsi, quel que soit le point de l’ellipse que l’on prend, la somme des longueurs des segments sera toujours la même :

Assurons-nous que dans notre exemple la valeur de la somme est bien égale à huit. Placez mentalement le point « euh » au sommet droit de l'ellipse, puis : , c'est ce qu'il fallait vérifier.

Une autre façon de le dessiner repose sur la définition d’une ellipse. Les mathématiques supérieures sont parfois la cause de tensions et de stress, il est donc temps de faire une autre séance de déchargement. Veuillez prendre du papier Whatman ou une grande feuille de carton et épinglez-le sur la table avec deux clous. Ce seront des astuces. Attachez un fil vert aux têtes de clous saillantes et tirez-le jusqu'au bout avec un crayon. La mine du crayon finira à un certain point qui appartient à l'ellipse. Commencez maintenant à dessiner le crayon le long de la feuille de papier, en gardant le fil vert bien tendu. Continuez le processus jusqu'à ce que vous reveniez au point de départ... super... le dessin peut être vérifié par le médecin et le professeur =)

Comment trouver les foyers d’une ellipse ?

Dans l'exemple ci-dessus, j'ai représenté des points focaux « prêts à l'emploi », et nous allons maintenant apprendre à les extraire des profondeurs de la géométrie.

Si une ellipse est donnée par une équation canonique, alors ses foyers ont des coordonnées , où est-ce distance de chaque foyer au centre de symétrie de l'ellipse.

Les calculs sont plus simples que simples :

! Les coordonnées spécifiques des foyers ne peuvent pas être identifiées avec la signification de « tse » ! Je répète que c'est DISTANCE de chaque foyer au centre(qui dans le cas général ne doit pas nécessairement être situé exactement à l'origine).
Et par conséquent, la distance entre les foyers ne peut pas non plus être liée à la position canonique de l’ellipse. En d’autres termes, l’ellipse peut être déplacée vers un autre endroit et la valeur restera inchangée, tandis que les foyers changeront naturellement leurs coordonnées. Veuillez en tenir compte lorsque vous approfondirez le sujet.

Excentricité de l'ellipse et sa signification géométrique

L'excentricité d'une ellipse est un rapport qui peut prendre des valeurs comprises dans l'intervalle .

Dans notre cas :

Voyons comment la forme d'une ellipse dépend de son excentricité. Pour ça fixer les sommets gauche et droit de l'ellipse considérée, c'est-à-dire que la valeur du demi-grand axe restera constante. Alors la formule d'excentricité prendra la forme : .

Commençons par rapprocher la valeur d'excentricité de l'unité. Ceci n'est possible que si. Qu'est-ce que ça veut dire? ... souviens-toi des astuces . Cela signifie que les foyers de l'ellipse « s'écarteront » le long de l'axe des abscisses vers les sommets latéraux. Et comme « les segments verts ne sont pas en caoutchouc », l'ellipse commencera inévitablement à s'aplatir, se transformant en une saucisse de plus en plus fine enfilée sur un axe.

Ainsi, plus la valeur de l'excentricité de l'ellipse est proche de l'unité, plus l'ellipse est allongée.

Modélisons maintenant le processus inverse : les foyers de l'ellipse se dirigèrent l'un vers l'autre, s'approchant du centre. Cela signifie que la valeur de « ce » devient de plus en plus petite et, par conséquent, l'excentricité tend vers zéro : .
Dans ce cas, les « segments verts » deviendront au contraire « encombrés » et commenceront à « pousser » la ligne d'ellipse de haut en bas.

Ainsi, plus la valeur de l'excentricité est proche de zéro, plus l'ellipse est similaire à... regardez le cas limite où les foyers sont réunis avec succès à l'origine :

Un cercle est un cas particulier d'ellipse

En effet, en cas d'égalité des demi-axes, l'équation canonique de l'ellipse prend la forme , qui se transforme par réflexe en l'équation d'un cercle de centre à l'origine du rayon « a », bien connu de l'école.

En pratique, la notation avec la lettre « parlante » « er » est plus souvent utilisée : . Le rayon est la longueur d'un segment, chaque point du cercle étant éloigné du centre d'une distance de rayon.

A noter que la définition d'une ellipse reste tout à fait correcte : les foyers coïncident, et la somme des longueurs des segments coïncidents pour chaque point du cercle est une constante. Puisque la distance entre les foyers est , alors l'excentricité de tout cercle est nulle.

Construire un cercle est simple et rapide, il suffit d’utiliser une boussole. Cependant, il est parfois nécessaire de connaître les coordonnées de certains de ses points, dans ce cas nous suivons la voie familière - nous amenons l'équation à la forme joyeuse de Matanov :

– fonction du demi-cercle supérieur ;
– fonction du demi-cercle inférieur.

Ensuite, nous trouvons les valeurs requises, différencier, intégrer et faire d'autres bonnes choses.

L'article, bien sûr, est uniquement à titre de référence, mais comment pouvez-vous vivre dans un monde sans amour ? Tâche créative pour une solution indépendante

Exemple 2

Composez l'équation canonique d'une ellipse si l'un de ses foyers et son demi-petit axe sont connus (le centre est à l'origine). Trouvez des sommets, des points supplémentaires et tracez une ligne sur le dessin. Calculez l'excentricité.

Solution et dessin à la fin de la leçon

Ajoutons une action :

Faire pivoter et traduire parallèlement une ellipse

Revenons à l'équation canonique de l'ellipse, c'est-à-dire à la condition dont le mystère tourmente les esprits curieux depuis la première mention de cette courbe. Alors nous avons regardé l'ellipse , mais n’est-il pas possible en pratique de répondre à l’équation ? Après tout, ici aussi, cela semble être une ellipse !

Ce genre d’équation est rare, mais il existe. Et cela définit en fait une ellipse. Démystifions :

À la suite de la construction, notre ellipse native a été obtenue, tournée de 90 degrés. C'est, - Ce entrée non canonique ellipse . Enregistrer!– équation ne définit aucune autre ellipse, puisqu'il n'y a pas de points (foyers) sur l'axe qui satisferaient à la définition d'une ellipse.

Circonférence est une courbe plane fermée dont tous les points sont équidistants d'un point donné (le centre du cercle). La distance entre n’importe quel point du cercle \(P\left((x,y) \right)\) et son centre est appelée rayon. Le centre du cercle et le cercle lui-même se trouvent dans le même plan. Équation d'un cercle de rayon \(R\) de centre à l'origine ( équation canonique d'un cercle ) a la forme
\((x^2) + (y^2) = (R^2)\).

Équation d'un cercle rayon \(R\) avec centre en un point arbitraire \(A\left((a,b) \right)\) s'écrit
\((\left((x - a) \right)^2) + (\left((y - b) \right)^2) = (R^2)\).



Équation d'un cercle passant par trois points , écrit sous la forme : \(\left| (\begin(array)(*(20)(c)) ((x^2) + (y^2)) & x & y & 1\\ (x_1^ 2 + y_1^2) & ((x_1)) & ((y_1)) & 1\\ (x_2^2 + y_2^2) & ((x_2)) & ((y_2)) & 1\\ (x_3^ 2 + y_3^2) & ((x_3)) & ((y_3)) & 1 \end(array)) \right|
Ici \(A\left(((x_1),(y_1)) \right)\), \(B\left(((x_2),(y_2)) \right)\), \(C\left(( (x_3),(y_3)) \right)\) sont trois points situés sur le cercle.



Équation d'un cercle sous forme paramétrique
\(\left\( \begin(aligned) x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
où \(x\), \(y\) sont les coordonnées des points du cercle, \(R\) est le rayon du cercle, \(t\) est le paramètre.

Équation générale d'un cercle
\(A(x^2) + A(y^2) + Dx + Ey + F = 0\)
soumis à \(A \ne 0\), \(D^2 + E^2 > 4AF\).
Le centre du cercle est situé au point de coordonnées \(\left((a,b) \right)\), où
\(a = - \large\frac(D)((2A))\normalsize,\;\;b = - \large\frac(E)((2A))\normalsize.\)
Le rayon du cercle est
\(R = \sqrt (\large\frac(((D^2) + (E^2) - 4AF))((2\left| A \right|))\normalsize) \)

Ellipse est une courbe plane pour chaque point dont la somme des distances à deux points donnés ( foyers d'ellipse ) est constante. La distance entre les foyers s'appelle distance focale et est noté \(2c\). Le milieu du segment reliant les foyers est appelé le centre de l'ellipse . Une ellipse a deux axes de symétrie : le premier ou axe focal, passant par les foyers, et le deuxième axe qui lui est perpendiculaire. Les points d'intersection de ces axes avec l'ellipse sont appelés pics. Le segment reliant le centre de l'ellipse au sommet est appelé demi-axe de l'ellipse . Le demi-grand axe est noté \(a\), le demi-petit axe par \(b\). Une ellipse dont le centre est à l'origine et dont les demi-axes se trouvent sur des lignes de coordonnées est décrite comme suit équation canonique :
\(\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize + \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ taille normale = 1.\)



La somme des distances de n'importe quel point de l'ellipse à ses foyers constante:
\((r_1) + (r_2) = 2a\),
où \((r_1)\), \((r_2)\) sont les distances d'un point arbitraire \(P\left((x,y) \right)\) aux foyers \((F_1)\) et \(( F_2)\), \(a\) est le demi-grand axe de l'ellipse.



La relation entre les demi-axes de l'ellipse et la distance focale
\((a^2) = (b^2) + (c^2)\),
où \(a\) est le demi-grand axe de l'ellipse, \(b\) est le demi-petit axe, \(c\) est la moitié de la distance focale.

Excentricité de l'ellipse
\(e = \large\frac(c)(a)\normalsize

Équations des directrices d'ellipse
La directrice d'une ellipse est une ligne droite perpendiculaire à son axe focal et le coupant à une distance \(\large\frac(a)(e)\normalsize\) du centre. L'ellipse a deux directrices situées de part et d'autre du centre. Les équations directrices s'écrivent sous la forme
\(x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize.\)

Équation d'une ellipse sous forme paramétrique
\(\left\( \begin(aligned) x &= a\cos t \\ y &= b\sin t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
où \(a\), \(b\) sont les demi-axes de l'ellipse, \(t\) est le paramètre.

Équation générale de l'ellipse
\(A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
où \((B^2) - 4AC

Équation générale d'une ellipse dont les demi-axes sont parallèles aux axes de coordonnées
\(A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0\),
où \(AC > 0\).

Périmètre de l'ellipse
\(L = 4aE\gauche(e \droite)\),
où \(a\) est le demi-grand axe de l'ellipse, \(e\) est l'excentricité, \(E\) est intégrale elliptique complète du deuxième type.

Formules approximatives pour le périmètre d'une ellipse
\(L \approx \pi \left[ (\large\frac(3)(2)\normalsize\left((a + b) \right) - \sqrt (ab) ) \right],\;\;L \approx \pi \sqrt (2\left(((a^2) + (b^2)) \right)),\)
où \(a\), \(b\) sont les demi-axes de l'ellipse.

Aire de l'ellipse
\(S = \pi ab\)

En astronomie, lorsqu'on considère le mouvement des corps cosmiques sur des orbites, le concept d'« ellipse » est souvent utilisé, car leurs trajectoires sont précisément caractérisées par cette courbe. Dans l'article, nous examinerons la question de savoir ce que représente le chiffre marqué et donnerons également la formule pour la longueur de l'ellipse.

Qu'est-ce qu'une ellipse ?

Selon la définition mathématique, une ellipse est une courbe fermée pour laquelle la somme des distances de l'un de ses points à deux autres points spécifiques situés sur l'axe principal, appelés foyers, est une valeur constante. Vous trouverez ci-dessous une figure qui explique cette définition.

Sur la figure, la somme des distances PF" et PF est égale à 2 * a, c'est-à-dire PF" + PF = 2 * a, où F" et F sont les foyers de l'ellipse, "a" est la longueur de son demi-grand axe. Le segment BB" est appelé demi-petit axe, et la distance CB = CB" = b - longueur du demi-petit axe Ici, le point C détermine le centre de la figure.

L’image ci-dessus montre également une méthode simple avec une corde et deux clous qui est largement utilisée pour dessiner des courbes elliptiques. Une autre façon d'obtenir ce chiffre est de l'effectuer sous n'importe quel angle par rapport à son axe, qui n'est pas égal à 90 o.

Si l’ellipse tourne le long de l’un de ses deux axes, elle forme alors une figure tridimensionnelle, appelée sphéroïde.

Formule pour la circonférence d'une ellipse

Bien que la figure en question soit assez simple, la longueur de sa circonférence peut être déterminée avec précision en calculant les intégrales dites elliptiques du deuxième type. Cependant, le mathématicien hindou autodidacte Ramanujan, au début du XXe siècle, a proposé une formule assez simple pour la longueur d'une ellipse, qui se rapproche du résultat des intégrales marquées par le bas. Autrement dit, la valeur en question calculée à partir de celle-ci sera légèrement inférieure à la longueur réelle. Cette formule ressemble à : P ≈ pi *, où pi = 3,14 est le nombre pi.

Par exemple, que les longueurs des deux demi-axes de l'ellipse soient égales à a = 10 cm et b = 8 cm, alors sa longueur P = 56,7 cm.

Tout le monde peut vérifier que si a = b = R, c'est-à-dire qu'on considère un cercle ordinaire, alors la formule de Ramanujan se réduit à la forme P = 2 * pi * R.

A noter que dans les manuels scolaires une autre formule est souvent donnée : P = pi * (a + b). C'est plus simple, mais aussi moins précis. Ainsi, si on l'applique au cas considéré, on obtient la valeur P = 56,5 cm.

En astronomie, lorsqu'on considère le mouvement des corps cosmiques sur des orbites, le concept d'« ellipse » est souvent utilisé, car leurs trajectoires sont précisément caractérisées par cette courbe. Dans l'article, nous examinerons la question de savoir ce que représente le chiffre marqué et donnerons également la formule pour la longueur de l'ellipse.

Qu'est-ce qu'une ellipse ?

Selon la définition mathématique, une ellipse est une courbe fermée pour laquelle la somme des distances de l'un de ses points à deux autres points spécifiques situés sur l'axe principal, appelés foyers, est une valeur constante. Vous trouverez ci-dessous une figure qui explique cette définition.

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Sur la figure, la somme des distances PF" et PF est égale à 2 * a, c'est-à-dire PF" + PF = 2 * a, où F" et F sont les foyers de l'ellipse, "a" est la longueur de son demi-grand axe. Le segment BB" est appelé demi-petit axe, et la distance CB = CB" = b - longueur du demi-petit axe Ici, le point C détermine le centre de la figure.

L’image ci-dessus montre également une méthode simple avec une corde et deux clous qui est largement utilisée pour dessiner des courbes elliptiques. Une autre façon d'obtenir ce chiffre est de couper le cône à n'importe quel angle par rapport à son axe, qui n'est pas égal à 90o.

Si l’ellipse tourne le long de l’un de ses deux axes, elle forme alors une figure tridimensionnelle, appelée sphéroïde.

Formule pour la circonférence d'une ellipse

Bien que la figure en question soit assez simple, la longueur de sa circonférence peut être déterminée avec précision en calculant les intégrales dites elliptiques du deuxième type. Cependant, le mathématicien hindou autodidacte Ramanujan, au début du XXe siècle, a proposé une formule assez simple pour la longueur d'une ellipse, qui se rapproche du résultat des intégrales marquées par le bas. Autrement dit, la valeur en question calculée à partir de celle-ci sera légèrement inférieure à la longueur réelle. Cette formule ressemble à : P ≈ pi *, où pi = 3,14 est le nombre pi.

Par exemple, que les longueurs des deux demi-axes de l'ellipse soient égales à a = 10 cm et b = 8 cm, alors sa longueur P = 56,7 cm.

Tout le monde peut vérifier que si a = b = R, c'est-à-dire qu'on considère un cercle ordinaire, alors la formule de Ramanujan se réduit à la forme P = 2 * pi * R.

A noter que dans les manuels scolaires une autre formule est souvent donnée : P = pi * (a + b). C'est plus simple, mais aussi moins précis. Ainsi, si on l'applique au cas considéré, on obtient la valeur P = 56,5 cm.

Lorsqu’il s’agit de baignoires rondes, tout est assez simple. En effet, il y a des diamètres - supérieur et inférieur, il y a la hauteur des rivets, il n'est pas difficile de calculer le périmètre... Il ne reste plus qu'à réaliser un gabarit et à le planifier soi-même, en gagnant la largeur totale des rivets requise . Mais que se passe-t-il si notre produit est ovale ? Combien de modèles sont nécessaires pour le réaliser, et de quel type ? Comment se forme cette ligne lisse, passant de petits rayons aux extrémités du produit à de grands côtés avec une courbure relativement légère ?

Pour comprendre ce problème, commençons par la méthode décrite par G. Ya. Fedotov dans le livre « Les secrets de la coopération ».

C'est ce que nous propose l'auteur dans le chapitre « Ancre », consacré à la fabrication de ce canon plat portable, qui présente une section ovale.

Méthode géométrique de calcul des paramètres ovales selon Fedotov

Comme vous le savez, un ovale se compose de quatre arcs conjugués - deux grands et deux petits. Le cadre semble être assemblé à partir des rivets d'un grand et d'un petit tonneau. En fait, c’est comme ça. Seulement, bien sûr, le maître fabrique spécialement deux types de rivets - certains, pour ainsi dire, pour un petit canon, d'autres - pour un grand. Puis, les disposant dans un certain ordre, il les serre avec des cerceaux, obtenant ainsi un cadre aux côtés emboutis et à section ovale. Afin de déterminer exactement quels types de rivets d'un type ou d'un autre doivent être, combien d'entre eux doivent être inclus dans le jeu de cadres, il est nécessaire d'effectuer certains calculs. Tout d’abord, sur une feuille de papier grandeur nature, dessinez une coupe ovale du cadre dans sa partie la plus large. A l'aide d'un compas, tracez un cercle auxiliaire dont le diamètre doit être égal à la hauteur du canon. (). Son centre est marqué par deux lignes axiales perpendiculaires entre elles. L'axe vertical est divisé en cinq parties égales. Deux petits cercles sont tracés autour des points 1 et 4, tangents au grand cercle auxiliaire. Des lignes droites sont tracées passant par les points d'intersection de la ligne médiane horizontale avec le cercle auxiliaire et les centres des petits cercles. A l'intersection de ces lignes avec les arcs de petits cercles, il y aura ce qu'on appelle des points de connexion. Ils sont reliés à l'aide d'une boussole à grands arcs. Les centres de ces arcs seront à l'intersection de la ligne médiane horizontale et de l'arc majeur du cercle auxiliaire.

Guidés par l'ovale dessiné sur papier, deux gabarits sont réalisés. Les contours de l'un d'eux doivent correspondre au petit arc de l'ovale et l'autre au grand.

Afin de déterminer exactement combien de rivets sont nécessaires pour assembler le cadre du canon, il est nécessaire de déterminer son périmètre. Elle sera égale à la somme des longueurs des arcs majeur et mineur. La longueur de chaque arc se trouve comme suit. Tout d’abord, déterminez le périmètre de cercles complets, dont font partie les arcs qui composent l’ovale. Les périmètres sont fixés selon la formule 2πR, où π=3,14. Ensuite, en divisant le périmètre du petit cercle en 3 parties, on obtient la longueur du petit arc. À son tour, le périmètre du grand cercle est divisé en six parties et la longueur du grand arc est déterminée. La longueur totale des deux arcs est doublée et le périmètre de l'ovale est obtenu.

N'est-ce pas tout simple ? Cette méthode fonctionne vraiment et fonctionne parfaitement.

Mais que se passe-t-il si notre produit ovale est une baignoire d'un volume de 500 litres ?

Le dessiner en taille réelle n’est pas la tâche la plus simple. Mais vous avez besoin de deux de ces dessins - pour l'ovale supérieur et inférieur.

Mise à l'échelle ? C'est semé d'imprécisions...

De la géométrie de construction donnée par G. Ya Fedotov, il n'est pas difficile de dériver des formules à l'aide desquelles les mêmes quantités peuvent être obtenues sans rien dessiner sur papier.

Méthode algébrique de calcul des paramètres ovales selon Fedotov

Malgré le fait que Gennady Yakovlevich ne donne pas ces formules dans le livre, nous appellerons toujours la méthode par son nom, car elle n'est correcte que pour le dessin donné ci-dessus et, en fait, le remplace simplement.

Soit donc L la longueur de l'ovale, l sa largeur, r le rayon du petit cercle, R le rayon du grand cercle.

1) Trouvez le rayon du petit cercle :

r=L/5

2) Trouver la grandeur auxiliaire h - la distance entre le point d'intersection des lignes axiales et le centre du petit cercle A 1 :

h=1,5r

3) Trouvez la quantité auxiliaire c - la distance entre deux droites parallèles B 2 A 1 et A 2 B 1 :

c= √ [(L/2) 2 +h 2 ]

4) Trouver le rayon de l'arc majeur R :

R=c+r

5) Trouver la quantité auxiliaire q - la distance entre le point B 1 (B 2) et le point d'intersection du grand arc de l'ovale et de la ligne médiane horizontale :

q=L-R.

6) Trouvez la largeur de l'ovale l :

je=L-2q

7) Multipliez les rayons R et r par 2 pour trouver les paramètres D et d. Ce sont nos diamètres - ceux nécessaires à la réalisation de gabarits.

8) Trouver la longueur de l'arc mineur m :

m=πd/3

9) Trouver la longueur de l'arc majeur M :

M=πD/6

10) Et enfin, trouvez le périmètre de l'ovale p :

p=2(M+m)

Ce calcul devra être répété pour trouver les paramètres du deuxième ovale (le bas ou le haut de notre baignoire).

Lors du calcul d'un ovale selon Fedotov, vous devez garder à l'esprit certaines caractéristiques.

Premièrement, le maître ne peut définir que la longueur de l'ovale L. Sa largeur l est déjà calculée, c'est-à-dire qu'elle s'avère strictement liée à une certaine valeur de longueur. En d’autres termes, si nous devons modifier la largeur, nous devrons modifier la longueur. Ce n'est pas pratique.

Deuxièmement, lors du calcul selon cette méthode, il s'avère que les grands et petits arcs de notre produit ont des conicités différentes. Ainsi, pour un bain de 500 litres,
qui est calculé exactement de cette manière, les diamètres des grands arcs en haut et en bas sont respectivement de 204 et 234 cm, et les diamètres des petits sont de 52 et 60. Ainsi, avec une hauteur de rivetage de 85 cm, le le coefficient de conicité pour le petit arc est de 0,094 et pour le grand de 0,353. Pour un tel ovale, les modèles décrits dans l'article « Conicité d'un produit de tonnelier » ne fonctionnent pas et la fiabilité de la fixation des cerceaux en bois à une certaine hauteur doit être déterminée expérimentalement.

Formules universelles pour calculer les paramètres ovales

Cependant, il s'avère que l'axe vertical de l'ovale sur notre dessin ne doit pas nécessairement être divisé exactement en cinq parties. Il peut être divisé en quatre parties, ou en trois, ou en six. De plus, il n’est généralement pas nécessaire de le diviser en parts égales. L'angle formé par la ligne axiale horizontale et les lignes AB peut généralement être quelconque (dans les limites du dessin bien entendu).

Notons cet angle par le symbole γ. Et laissez les axes de l'ovale (sa longueur et sa largeur, respectivement) être égaux à a et b.

Ensuite, les formules universelles pour calculer les paramètres ovales ressembleront à ceci :

R=[(b/2*(sin(γ)-1)+(a/2*cos γ)] /

r=[(b/2*cos (γ/2)) - (a/2*sin (γ/2))] / [(cos (γ/2)-sin(γ/2)]

Est-ce qu'ils ont l'air effrayants ? Hmm, c'est peut-être vrai. Mais, à l'aide de ces formules, on peut fixer librement trois paramètres : la longueur de l'ovale, sa largeur et l'angle auxiliaire γ. Cela signifie que nous pouvons calculer un ovale avec n'importe quelles dimensions globales a et b données, et plusieurs. Avec les mêmes valeurs de a et b, nous pouvons obtenir autant d'ovales différents que possible avec différentes valeurs de l'angle auxiliaire γ qui correspondent au dessin.

Expliquons avec un exemple. Il nous faut calculer un ovale dont les axes sont respectivement de 150 et 84 cm (les paramètres du grand ovale de notre baignoire de 500 litres). Le tableau montre comment les diamètres D et d, les longueurs des arcs majeurs et mineurs M et m, ainsi que le périmètre de l'ovale p évolueront en fonction de l'évolution de l'angle γ.

Longueur ovale, a, cm	Largeur ovale, b, cm		Diamètre de l'arc majeur, D, cm	Petit diamètre d'arc, d, cm	Longueur de l'arc majeur, M, cm	Longueur de l'arc mineur, m, cm	Périmètre ovale, p, cm

Tous ces ovales auront des contours légèrement différents, mais les mêmes dimensions hors tout - 150x84 cm.

Dans le même temps, en définissant des valeurs pour les grands et petits ovales de notre produit, nous pouvons librement définir le même cône pour les grands et petits arcs, ce qui donnera l'impression que nos ovales s'emboîtent uniformément les uns dans les autres vus de dessus. . Pour de tels produits, la différence entre les grands et les petits diamètres sera la même et, par conséquent, le coefficient de conicité sera le même. Un exemple d'un tel produit est notre pouf,
ayant les paramètres suivants : diamètres des grands arcs - 96 et 90 cm, diamètres des petits arcs - 36 et 30 cm, longueurs des grands et petits ovales - 66 et 60 cm, et leurs largeurs - 44 et 38 cm. , la différence se situe dans les diamètres, et en dimensions hors tout elle est égale à 6 cm partout. Le coefficient de conicité pour une hauteur de rivetage de 45 cm est de 0,133. Les cerceaux en bois sont tendus uniformément sur toute la surface du produit et solidement fixés à une hauteur donnée.

Afin d'éviter d'avoir à effectuer des calculs complexes à chaque fois, il suffit de saisir une fois les formules ci-dessus dans un programme informatique. Ci-dessous, vous pouvez télécharger un document Excel dans lequel vous entrez uniquement les valeurs de a et b (vous devez entrer les mêmes valeurs dans toutes les lignes), après quoi le programme générera automatiquement tous les paramètres nécessaires de ces ovales pour une large gamme d'angles γ. Assurez-vous simplement de ne rien saisir à la main dans les autres colonnes afin de ne pas remplacer les formules par des valeurs numériques.