Mi az a kitevő, vagy hogyan lehet a teát kevésbé gyorsan kihűteni. Exponenciális függőség a természetes folyamatokban Exponenciálisan növekszik
Ha a populáció növekedése arányos az egyedek számával, akkor a populáció mérete exponenciálisan nő.
Az „exponenciális növekedés” kifejezés bekerült a lexikonunkba, és azt jelenti, hogy gyors, általában ellenőrizhetetlen növekedést jelent. Gyakran használják például a városok gyors növekedésének vagy a népesség növekedésének leírására. A matematikában azonban ennek a kifejezésnek pontos jelentése van, és egy bizonyos típusú növekedést jelöl.
Exponenciális növekedés azokban a populációkban következik be, amelyekben a népesség növekedése (a születések száma mínusz a halálozások száma) arányos a populáció egyedszámával. Egy emberi populáció esetében például a születési ráta nagyjából arányos a szaporodó párok számával, a halálozási arány pedig nagyjából a népesség létszámával (nevezzük N-nek). Ezután ésszerű közelítéssel
népességnövekedés = születések száma - halálozások száma
(Itt r az ún. arányossági együttható, amely lehetővé teszi, hogy az arányossági kifejezést egyenletként írjuk fel.)
Legyen dN a dt idő alatt a populációhoz hozzáadott egyedek száma, akkor ha a populációban összesen N egyed van, akkor az exponenciális növekedés feltételei teljesülnek, ha
Mivel Isaac Newton feltalálta a differenciálszámítást a 17. században, tudjuk, hogyan kell megoldani ezt az egyenletet N-re, a populáció mindenkori méretére. (Referenciaként: egy ilyen egyenletet differenciálnak neveznek.) Íme a megoldása:
ahol N 0 a populáció egyedeinek száma a visszaszámlálás kezdetén, t pedig az ettől a pillanattól eltelt idő. Az e szimbólum ezt a speciális számot jelöli, ezt a természetes logaritmus alapjának nevezik (és körülbelül 2,7), az egyenlet teljes jobb oldalát pedig exponenciális függvénynek nevezzük.
Hogy jobban megértsük, mi az exponenciális növekedés, képzeljünk el egy populációt, amely kezdetben egy baktériumból áll. Egy bizonyos idő elteltével (néhány óra vagy perc) a baktérium két részre osztódik, ezzel megkétszerezve a populáció méretét. A következő idő elteltével e két baktérium mindegyike ismét ketté válik, és a populáció mérete ismét megduplázódik – most négy baktérium lesz. Tíz ilyen megkettőzés után több mint ezer baktérium lesz, húsz után több mint egymillió, és így tovább. Ha a népesség minden felosztással megduplázódik, növekedése a végtelenségig folytatódik.
Van egy legenda (valószínűleg nem igaz), hogy a sakk feltalálója olyan örömet szerzett szultánjának, hogy megígérte, hogy teljesíti bármelyik kérését. A férfi megkérte a szultánt, hogy tegyen egy búzaszemet a sakktábla első mezőjére, kettőt a másodikra, négyet a harmadikra, és így tovább. A szultán ezt az igényt az általa nyújtott szolgáltatáshoz képest jelentéktelennek tartotta, kérte alattvalóját, hogy terjesszen elő újabb kérést, de az elutasította. Természetes, hogy a 64. duplázódásra a szemek száma olyannyira vált, hogy az egész világon nem lesz elegendő búza ennek a kérésnek a kielégítésére. A legenda általam ismert változatában a szultán abban a pillanatban elrendelte, hogy vágják le a feltaláló fejét. Az erkölcs, ahogy tanítványaimnak is mondom: néha nem szabad túl okosnak lenni!
A sakktábla-példa (valamint a képzeletbeli baktériumok) azt mutatja, hogy egyetlen populáció sem nőhet örökké. Előbb-utóbb egyszerűen kifogy az erőforrásokból – hely, energia, víz, bármi. Ezért a populációk csak egy ideig tudnak exponenciálisan növekedni, és előbb-utóbb növekedésüknek le kell lassulnia. Ehhez meg kell változtatni az egyenletet, hogy amikor a populáció mérete megközelíti a lehetséges maximumot (amit a külső környezet támogathat), a növekedés üteme lelassul. Nevezzük ezt a maximális populációméretet K-nak. Ekkor a módosított egyenlet így fog kinézni:
dN = rN(1 - (N/K)) dt
Ha N sokkal kisebb, mint K, akkor az N/K tag figyelmen kívül hagyható, és visszatérünk a közönséges exponenciális növekedés eredeti egyenletéhez. Amikor azonban N megközelíti a maximális K értékét, az 1 - (N/K) érték nullára hajlik, és ennek megfelelően a népességnövekedés is nullára. A teljes populáció mérete ebben az esetben stabilizálódik és a K szinten marad. Az egyenlet által leírt görbének, valamint magának az egyenletnek több neve is van - S-görbe, logisztikai egyenlet, Volterra egyenlet, Lotka-Volterra egyenlet. (Vito Volterra (1860–1940) jeles olasz matematikus és tanár; Alfred Lotka (1880–1949) amerikai matematikus és biztosítási elemző.) Bárhogy is hívják, meglehetősen egyszerű kifejezése a növekvő népesség méretének. élesen exponenciálisan, majd egy bizonyos határhoz közeledve lelassul. És sokkal jobban tükrözi a valós populációk növekedését, mint a szokásos exponenciális függvény.
Exponenciális növekedésAmikor Albert Einsteint arra kérték, hogy nevezze meg a világ leghatalmasabb erejét, habozás nélkül azt válaszolta: „Kompos kamat”.
Ahhoz, hogy valóban megértsük a hosszú növekedési időszak természetét és következményeit, zsenire van szükség. Kísérletek kimutatták, hogy még a matematikában jól képzett emberek is jelentősen alábecsülik a növekedés hatásait. Például egy tanulmányban* az alanyokat arra kérték, hogy becsüljék meg egy traktorgyár szükséges termelékenységét, amely 1976-ban kezdte meg működését évi 1000 traktor gyártásával, majd a kereslet minden évben 6 százalékkal nőtt. Azt kérdezték tőlük, hány traktort kell gyártani az üzemnek 1990-ben, 2020-ban, 2050-ben és 2080-ban? A tipikus válaszok fokozatos lineáris növekedésen alapultak, ezért az 1990 előtti keresletbecslések meglehetősen közel álltak a helyes válaszhoz. A helyes válaszok későbbi száma azonban „ugrásszerűen” megugrott, miközben a válaszadók pontszámai továbbra is folyamatos növekedésen alapultak. A legtöbb válaszadó azt válaszolta, hogy 2080-ban körülbelül 30 000 traktorra lesz igény, míg a helyes válasz körülbelül 350 000, ami több mint 10-szerese!
Most találd ki a rejtvényt. Egy 13 ezer négyzetméteres tóban. láb, egy tavirózsa levél lebeg, 1 négyzetméter területet elfoglalva. láb. Egy héttel később már két levél van. Két hét múlva négy. Számolja ki, mennyi időbe telik, amíg a tavirózsa beborítja az egész tavat.
16 hét alatt beborítják a tó felét. Most mondd meg, mennyi időbe telik, amíg az egész tavat tavirózsa borítja? 16 hétbe telt, mire a tavirózsa ellepte a tó felét. De a második felének lefedéséhez egy hét is elég lesz, mivel a levélfelület minden héten megduplázódik. A végső válasz 17 hét.
* cm: ^ Dietrich Dörner. A kudarc logikája: miért mennek rosszul a dolgok, és mit tehetünk a javításuk érdekében (Dietrich Dorner. A kudarc logikája: Miért mennek rosszul a dolgok, és mit tehetünk, hogy helyreállítsuk? 1996, Metropolitan Books, New York). Az eredeti példány 1989-ben jelent meg Németországban "Die Logik des Misslingcns" címmel, a Rowohlt Verlag kiadónál.
Emlékszel a mesére az indiai királyról, aki meg akarta jutalmazni a sakk feltalálóját? A feltaláló csak néhány szem rizst kért: tegyen egyet az egyik cellára, kettőt a másodikra, négyet a harmadikra, és így tovább az összes többi cellára. A király úgy gondolta, hogy a bölcs szerénykedik – amíg kiderült, hogy csak egy utolsó sejtnek kell 9 223 372 036 000 000 000 gabonát, vagyis körülbelül 153 milliárd tonnát, vagyis több mint két és fél millió hatalmas (egyenként 60 000 tonnás) szárazteherhajót rakni. oldaláig rizzsel megtöltve. És mindez az „exponenciális” növekedésnek köszönhető, jelen esetben az egyes cellákon a rizsszemek megduplázódásának.
^ Mi az exponenciális növekedés lényege?
A kitevő egy szám, amely megmutatja, hogy egy mennyiséget hányszor kell megszorozni önmagával. Például, ha a kitevő 3 és a magnitúdó 4, akkor a 4 3 kifejezés 4 x 4x4-et jelent, ami 64. Matematikai kifejezés nál nél 2 eszközök nál nél x nál nél, A a 2-es szám a kitevő.
Miben különbözik az exponenciális növekedés a lineáris növekedéstől? Lineáris növekedés esetén az érték minden szakaszban növekszik ugyanaz okés nem bekapcsolva többszörös szám. Ha az induló tőkém 1000 dollár és évente 100 dollárral növekszik, akkor 10 év múlva megduplázom, és 2000 dollárom lesz. Ez lineáris növekedés, minden évben ugyanannyival. De ha az 1000 dolláros kezdőtőkém minden évben 10 százalékkal nő, akkor tíz év múlva 2594 dollárom lesz. Ez egy példa az exponenciális növekedésre, amelynek állandó éves növekedése 1,1-es többszöröse. Ha további 10 évig folytatom a vállalkozásomat, a lineáris növekedés összesen 3000 dollárt, míg az exponenciális növekedés összesen 6727 dollárt ad.
Bármely piac vagy vállalkozás, amely hosszabb időn keresztül 10 százalékos vagy annál nagyobb növekedést tart fenn, sokkal nagyobb értékteremtésben fog megtörténni, mint azt intuitív becsléseink szerint becsüljük. Egyes cégek - mint például az IBM vagy a McDonald's az 1950-től tartó időszakra
1985 vagy a Microsoft az 1990-es években - évi 15 százalékot meghaladó növekedési ütemet sikerült elérniük, és többszörösére növelték tőkéjüket. Ha 100 dollárral kezdi, és 15 éven keresztül évi 15 százalékkal növeli tőkéjét, akkor 3292 dollárt kap, ami közel 33-szorosa annak, amivel kezdett. A növekedési százalék kismértékű növekedése nagy különbséget jelent az eredményekben.
William O'Neill amerikai tőzsdeügynök például létrehozott egy alapot osztálytársai számára, és 1961 és 1986 között kezelte. Ez idő alatt a kezdeti 850 dollár az összes adó megfizetése után 51 653 dollárra változott * 25 év alatt az átlagos növekedés 17,85 volt százalék évente, ami az eredeti összeg 61-szeres növekedését jelenti. Így azt látjuk, hogy ha 25 év felett 15 százalékos növekedés 33-szorosára növeli a tőkét, akkor az éves növekedési ütemhez kevesebb, mint 3 százalékponttal növelve a növekedést. eredménye 33-szor.
Az exponenciális növekedés nemcsak mennyiségileg, hanem minőségileg is megváltoztatja a dolgokat. Például az iparág gyors növekedésével - Peter Drucker 10 év alatt 40 százalékra teszi ezt a számot - maga szerkezete is megváltozik, és új piacvezetők kerülnek előtérbe. A piacok gyors növekedését az innováció, a minták hiánya, az új termékek, technológiák vagy a fogyasztók vezérlik. Az innovátorok értelemszerűen másképp csinálják a dolgokat, mint mindenki más. Ritkán léteznek új utak a meglévő cégek szokásaival, elképzeléseivel, eljárásaival és struktúráival. Az innovátoroknak gyakran lehetőségük van több éven át kifutni, amíg a hagyományos vezetők úgy döntenek, hogy ellentámadást indítanak, de akkor már késő lehet.
^ Fibonacci nyulak
Szeretnék egy érdekes rejtvényt feladni az exponenciális növekedés témájában. 1220-ban Pisai Leonardo, aki 600 évvel később megkapta a „Fibonacci” becenevet, a következőkkel állt elő:
* ^ William J. O'Neil. Hogyan lehet pénzt keresni a tőzsdéken ( William J. A Neil. Hogyan keress pénzt részvényekkel. 1991, McGraw-Hill, New York. 132. o.).
valós forgatókönyv. Kezdjük egy pár nyúllal. Aztán képzeld el, hogy minden pár egy évvel később szül egy másikat, és egy évvel később egy másikat. Ezt követően a nyulak túl öregek lesznek a szaporodáshoz. Hogyan fog növekedni a párok száma, és van valami nagyszerű ebben a modellben?
Ha akarod, magad is sorba rendezheted a párok éves számát, de rögtön meg is nézheted a választ:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
Észrevesz valami szokatlant?
Szigorúan véve két érdekes pont van itt. Az egyik az, hogy a harmadiktól kezdve minden következő számjegy az előző kettő összege. A második, hogy az egyes évek (a harmadik utáni) számának az előzőhöz viszonyított aránya szinte állandó együttható, amely hamarosan megközelíti az 1,618-at. Más szóval, állandó növekedési ütem van, valamivel több mint 60 százalék.
Idővel egy rejtély ^ Nyulak Fibonacci átfogó matematikai magyarázatot kapott, de ennek itt szerencsére nincs helye*. Ezek a nyulak azonban remekül szemléltetik az exponenciális növekedést, valamint azt a tényt, hogy még az ilyen, látszólag korlátozott növekedés sem tarthat sokáig. 144 év múlva a Fibonacci nyulak térfogata meghaladja az Univerzum térfogatát, és minden ember meghal, megfulladva a pihe-puha tömeg alatt. Ez tényleg túlzás!
^ Ősrobbanás
Az exponenciális növekedés egy másik, szélsőségesebb formája állhat az univerzum keletkezésének hátterében. Manapság szinte minden csillagász és fizikus egyetért ezzel Az ősrobbanás elmélet, amely szerint a világegyetem elkezdődött
* A matematika szerelmesei érdemes átnézni Peter M. Higgins „Math for the Curious” című könyvét. (Peter M. Higgins. Matematika a kíváncsiskodóknak. 1998, Oxford University Press, Oxford).
elképzelhetetlenül kis térfogatból, majd a másodperc töredéke alatt 100-szorosára megduplázta a méretét, így úgy néz ki, mint egy kis grapefruit. A „kidudorodó” vagy exponenciális növekedésnek ez az időszaka aztán véget ért, utat engedve a lineáris növekedésnek, amely során egy táguló tűzgömb hozta létre a mai Világegyetemet.
Az exponenciális növekedés minden kreativitás szerves része. Az érdekes tanulság az, hogy exponenciális növekedés esetén nem kell valami nagy dologgal kezdeni. Valójában a legkisebb dolgokkal is kezdheti. Ha az Univerzum valami olyan kicsivel kezdhetné, hogy nem tudjuk elképzelni, és a jelenlegi elképzelhetetlenül végtelen méretre tágulhatna, akkor az új üzlet kezdeti méretének tényezőjét teljesen irrelevánsnak kell tekinteni. A fő mutató az exponenciális növekedés időszaka, amelyet egy hosszabb lineáris növekedés követ.
^ Következtetések a növekedés fogalmából
A kreativitás és a növekedés legjobb lehetőségei a kiegyensúlyozatlanság időszakaiban adódnak, vagy más szóval, amikor egy fordulópontot elérünk, és közvetlenül azt követően.
Az egyensúlyhiány és a billenőpontok nem hirtelen jönnek létre. Mindig van egy, néha meglehetősen hosszú előzetes bemelegítési időszak, amikor a meglévő rendszer az instabilitás jeleit mutatja, és az új csendben erőre kap. Mindenben, ami új technológiákra vagy terméktípusokra vonatkozik, csak azután érjük el a fordulópontot, hogy az innováció tömegpiaci „regisztrációt” kap. Ez azt jelenti, hogy eladását a hagyományos profitkritériumokon kell alapul venni, és a változás forradalmi jellegét (ha van) álcázni kell.
A gyors változások és a nagy exponenciális növekedés időszakai általában nem tartanak sokáig. Nemsokára új egyensúly jön létre új domináns technológiával és/vagy új versenyhelyzettel. Innen ered a bűvölet és a szokatlan bizonytalanság érzése, amely az egyensúlyhiány időszakaihoz kapcsolódik. Innen erednek azok a kivételes előnyök, amelyekből azok a személyek részesülnek, akiknek sikerült domináns pozíciókat megszerezniük ebben a rövid időszakban. Ez a dominancia inkább az ügyes marketing és pozicionálás eredménye, mint maga a technológia felsőbbrendűsége.
A legtöbb újító kudarcot vall. A siker eléréséhez „át kell lépniük a szakadékot” – vagy át kell lépniük a fordulópontot –, és be kell jutniuk a tömegpiacra. A kulcsfontosságú tényező itt a gyorsulás. Amíg egy új termék vagy technológia nem kezd el gyorsan szaporodni, kevés esélye van a túlélésre.
^ Say gazdasági választottbíráskodás törvénye
1803-ban Jean-Baptiste Say (1767-1832) francia közgazdász kiadott egy figyelemre méltó művet, a Politikai gazdaságtan értekezését. Thomas Jefferson ezt mondta róla:
"Kiváló munka... zseniálisan elrendezett, ötletek világosak, stílusa tiszta, és az egész mű kétszer olyan finom, mint [Adam] Smith könyve."*
Az értekezés számos megdöbbentő újítást tartalmazott, köztük a „vállalkozó” kifejezést és a gazdasági arbitrázs első elméletét, amelyeket ugyanabban a mondatban fogalmaztak meg.
A vállalkozó gazdasági erőforrásokat mozgat az alacsonyabb termelékenységű területről a magasabb termelékenységű területre, és ebből profitál.
Jóval azelőtt, hogy a tőkemegtérülés fogalmát népszerűsítették volna, Say a gazdasági kreativitás és haladás egyik legfontosabb motorjaként azonosította. Az erőforrások definíció szerint korlátozottak, így a növekedés kevésbé függ a természeti erőforrások feltárásától és kiaknázásától, mint a teljesebb körű felhasználástól.
* Thomas Jefferson Joseph Milligannek írt levelében, 1816. április 6-án. Ez egy kiváló cikk, és ezt felhasználtam a beszámolómban.
az egyes erőforrás-egységek hatékony felhasználása. Ez részben a fejlettebb technológiák és technikák függvénye, de nem lehet figyelmen kívül hagyni a vállalkozó azon képességét, hogy ezeket az erőforrásokat oda szállítsa, ahol a legtermékenyebbek lesznek.
^ Freud valóságelve
1900-ban Sigmund Freud (1856-1939) kiadta Az álmok interpretációját, és megalapította a pszichoanalízis új tudományát. Egyik kulcsfogalma az volt A valóság elve azt állítja, hogy az egyetlen dolog, ami visszatart minket attól, hogy más embereket önző célokra használjunk, az az, hogy ők is ugyanezt akarják tenni velünk. Amikor a valósággal (valósággal) szembesülünk, kénytelenek vagyunk alkalmazkodni mások szükségleteihez és a külvilág igényeihez, hogy ki tudjuk elégíteni saját ösztöneinket.
Freud koncepciója minden bizonnyal nagy értéket képvisel, de egy meglehetősen váratlan fordulatot ugyanebben az ötletben kortársa, George Bernard Shaw drámaíró adott:
„A racionális ember alkalmazkodik a világhoz [Freud valóságelve szerint]: az ésszerűtlen ember kitartóan próbálja a világot önmagához igazítani. Következésképpen minden előrelépés az ésszerűtlen személyen múlik."
A kreativitást és a vállalkozói szellemet új ötleteknek, új módszereknek és oktalan megközelítéseknek kell táplálniuk. Vajon Henry Ford ésszerű volt, amikor ragaszkodott ahhoz, hogy az autók hozzáférhetők legyenek a dolgozók számára? Nyilvánvalóan nem követte a keresletet, hiszen az autók iránti kereslet csak a gazdagok körében volt. Ford nem volt hajlandó elfogadni a körülötte létező világot; továbbra is megpróbálta a világot a látásmódjához igazítani. Összeszerelősorral és maximális szabványosítással a Ford az 1908-as 850 dollárról 1922-re 300 dollárra csökkentette a Model T költségét, és sikeresen teljesítette küldetését, hogy "demokratizálja az autót".
^ Sikeres vállalkozó
A Genezis könyve és az Ősrobbanás elmélete egy dologban megegyezik: a világnak csak egy eredeti teremtménye volt. Ezért a haladás csak a feltételek átrendezése. Nincs új a nap alatt.
Ez a nézőpont egyáltalán nem komor, és biztató. Az emberi jólétnek csak annyi kell, hogy bizonyos erőforrásokat vegyen fel, és azokat az alacsony termelékenységű területekről a magas termelékenységű területekre helyezze át.
Minden gazdasági fejlődés ezen a fajta gazdasági arbitrázson alapul. Ez jó hír. Könnyebb az arbitrázsban részt venni, mint a kreativitás. Mindenkinek képesnek kell lennie arra, hogy kitaláljon valamit, ami hasznot húzhat a gazdasági arbitrázsból, a hatékonyabban felhasználható erőforrások azonosításából.
Az igazi vállalkozók nem arra várnak, hogy a piackutatók megmondják nekik, mit tegyenek. Megvan a saját elképzelésük arról, hogyan lehet valamit jobban és másképp csinálni. Olyan módszereket dolgoznak ki, amelyekkel kevesebb erőfeszítéssel többet érhetnek el. Kicserélik a kevésbé jövedelmező erőforrás-felhasználásokat jövedelmezőbbekre, és továbbra is kitartóak és ésszerűtlenek, amíg a világ el nem fogadja az álláspontjukat.
^ A csökkenő hozam törvénye
A piacok és a vállalkozások működésének egyik legbefolyásosabb és legnépszerűbb koncepciója A csökkenő hozam törvénye, amelyet 1767 körül Robert Jacques Turgot francia közgazdász fogalmazott meg.
A törvény kimondja, hogy egy bizonyos pont után a többletkifejezés vagy befektetés megtérülése csökken, azaz csökken az értéknövekedés. Egy éhes ember számára egy kenyér nagyon értékes. A második cipó értéke kisebb. A tizediknek már szinte semmi értéke nem lesz. Ha több további gazdát vesz fel egy földterület megművelésére, akkor egy bizonyos pont után a csökkenő hozam törvénye lép életbe.
Száz évvel később a brit klasszikus közgazdászok Alfred Marshall vezetésével kiterjesztették ezt az elképzelést a piacokra és a cégekre. A piacvezető termékek vagy vállalatok a csökkenő hozamok csapdájába esnek. A nagy méretek ára az üzleti életben - nagy piaci részesedés, nagy gyár, széles választék - tetőzik, majd csökken. Nos, ez teljesen ésszerűen hangzik.
De a klasszikus közgazdászok tovább mentek. Kijelentették, hogy előbb-utóbb létrejön az árak és a piaci részesedés kiszámítható egyensúlya, és a tisztességes verseny a csökkenő hozamok törvényével együttműködve végső soron a többletnyereség ellehetetlenüléséhez vezet. Ez az elmélet indokolta a piacok kormányzati szabályozását – ha nagyon magas a profit, az csak egy dolgot jelent: a monopolisták mesterségesen felduzzasztják az árakat és megakadályozzák a tisztességes versenyt.
Exponenciális növekedés- mennyiségnövekedés, ha a növekedés üteme magának a mennyiségnek az értékével arányos. Beküldi exponenciális törvény. Az exponenciális növekedés szemben áll a lassabb (kellően hosszú időn át tartó) lineáris vagy hatványtörvényes függőségekkel. Egyenlő időközökkel rendelkező diszkrét definíciós tartomány esetén ezt geometriai növekedésnek vagy geometriai romlásnak is nevezik (a függvény értékei geometriai progressziót alkotnak). Az exponenciális növekedési modellt Malthusi növekedési modellnek is nevezik.
Tulajdonságok
Minden exponenciálisan növekvő mennyiség esetén minél nagyobb értéket vesz fel, annál gyorsabban növekszik. Ez azt is jelenti, hogy a függő változó nagysága és növekedési üteme egyenesen arányos. Ugyanakkor, ellentétben a hiperbolikus görbével, az exponenciális görbe soha nem megy a végtelenbe véges időn belül.
Az exponenciális növekedés végül gyorsabbnak bizonyul, mint bármely hatalomtörvény, és különösen a lineáris növekedés.
Matematikai jelölés
Az exponenciális növekedést a differenciálegyenlet írja le:
Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása exponenciális:
Példák
Az exponenciális növekedés példája a baktériumok számának növekedése egy kolóniában, mielőtt az erőforrások korlátozása bekövetkezne. Az exponenciális növekedés másik példája a kamatos kamat.
Lásd még
Írjon véleményt az "Exponenciális növekedés" című cikkről
Linkek
Exponenciális növekedést leíró részlet
Későn ébredt. Az ébredés során fellépő őszinteség világosan megmutatta neki, mi foglalkoztatta leginkább apja betegsége idején. Felébredt, hallgatta, mi van az ajtó mögött, és hallva a nyögését, sóhajtva azt mondta magában, hogy ez még mindig ugyanaz.- Miért kellene ennek megtörténnie? mit akartam? Azt akarom, hogy meghaljon! – ordította magában undorral.
Felöltözött, megmosakodott, imát mondott és kiment a verandára. A tornácra ló nélküli kocsikat hoztak, amelyekbe a dolgokat pakolták.
A reggel meleg és szürke volt. Marya hercegnő megállt a verandán, nem szűnt meg szörnyülködni lelki utálatosságán, és igyekezett rendet tenni gondolataiban, mielőtt belépett volna.
Az orvos lejött a lépcsőn, és odament hozzá.
„Ma jobban érzi magát” – mondta az orvos. - Kerestelek. Meg lehet érteni valamit abból, amit mond, frissebb fejjel. Gyerünk. Ő hív téged...
Marya hercegnő szíve olyan hevesen dobogott erre a hírre, hogy elsápadva az ajtónak dőlt, nehogy elessen. Fájdalmasan örömteli és rettenetes volt látni őt, beszélni vele, a tekintete alá esni, amikor Marya hercegnő egész lelkét megtöltötte ez a szörnyű bűnöző kísértés.
– Menjünk – mondta az orvos.
Marya hercegnő belépett az apjába, és az ágyhoz ment. Magasan feküdt a hátán, kicsi, csontos kezével lila csomós erekkel borított a takarón, bal szeme egyenesen meredt, jobb szeme hunyorogva, mozdulatlan szemöldökkel és ajkakkal. Olyan vékony volt, kicsi és szánalmas. Az arca összezsugorodott vagy megolvadt, vonásai összezsugorodtak. Marya hercegnő odalépett és kezet csókolt neki. A bal keze megszorította a lány kezét, így egyértelmű volt, hogy már régóta vár rá. Megrántotta a kezét, a szemöldöke és az ajka dühösen mozgott.
Félve nézett rá, és próbálta kitalálni, mit akar tőle. Amikor megváltoztatta a helyzetét, és úgy mozgott, hogy bal szeme lássa az arcát, a férfi megnyugodott, és néhány másodpercig nem vette le róla a tekintetét. Aztán az ajka és a nyelve megmozdult, hangok hallatszottak, és beszélni kezdett, félénken és könyörgőn nézett rá, láthatóan attól félve, hogy a nő nem fogja megérteni őt.
Amikor egy hógolyó legurul a hegyről, egyre nagyobb lesz. Minél nagyobb lesz, annál gyorsabban gurul, minél gyorsabban gurul, annál gyorsabban nő.
A matematikusok és fizikusok előszeretettel írják le a világot számokkal. És még több - funkciók segítségével. A függvény egy olyan szabály, amely szerint egy szám (pl. x) levelezésbe kerül egy másikkal (például y). A funkciók lehetnek egyszerűek, pl y=10x vagy y=x2, de vannak bonyolultabbak is, mint pl y=10*sin(7x2+3x-9). Ha ahelyett xÉs y helyettesítsünk bizonyos fizikai paramétereket és találjuk meg az őket összekötő függvényt, természettörvényt kapunk.
A függvényeknek származékai is vannak. Ez egy függvény változási sebessége. Vagyis mennyit fog változni y kis változtatással x. Például a függvény esetében y=10x a derivált mindig állandó: y mindig 10-szer gyorsabban fog növekedni, mint x. Függvény esetén pedig y=x2 a derivált megváltozik. Ha növeljük x 0-tól 1-ig, akkor y szintén 0-ról 1-re fog növekedni. És ha növeljük x akkor 1-től 2-ig y 1-ről 4-re fog növekedni. Vagyis a derivált növekedéssel x megnövekedett.
Egy függvényt kitevőnek nevezünk y=e x, Ahol e- egy trükkös matematikai szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,72-vel. Van egy figyelemre méltó tulajdonsága: származéka önmagával egyenlő. Vagyis ha a hógolyó által megtett távolság exponenciálisként függ az időtől, akkor a sebességét ugyanaz az exponenciális fejezi ki. Ez a tulajdonság nagyban segíti a matematikusokat különféle differenciálegyenletek megoldásában. Nagyon szeretnek vele dolgozni, és különféle más függvényeket próbálnak exponenciális függvényekké alakítani a grafikon eltolásával, nyújtásával vagy átfordításával. Minden ilyen függvény exponenciálisnak nevezhető. Az exponenciálisan előforduló folyamatoknak van egy közös tulajdonsága: ugyanazon időintervallum alatt paramétereik ugyanannyiszor változnak. A bankbetétek minden évben 7%-kal nőnek, a hógolyók mérete percenként megháromszorozódik, az atomerőművekben az urán-235 mennyisége pedig 700 millió évenként felére csökken. Az exponenciális függvények körülöttünk vannak. Minden olyan jelenség, amelyben visszacsatolás van, amikor az eredmény befolyásolja a folyamat sebességét, exponenciálisan fejlődik. Hógolyó esetén a visszajelzés pozitív: minél nagyobb az eredmény, annál gyorsabb a folyamat. És a hógolyó tömege és sebessége y idővel exponenciálisan növekszik x. Hasonlóan viselkedik a pénz a bankban rögzített kamat mellett. Minél több pénz, annál nagyobb az éves növekedés – és annál gyorsabban lesz elég a pénz egy házhoz a Maldív-szigeteken. Az állatok száma külső veszélyek hiányában is nő: minél nagyobb az állomány, minél több a költő egyed, annál gyorsabban növekszik. És ha a mikrofont a hangszóró közelébe viszi, a leghalkabb susogás pillanatok alatt csengő zümmögéssé változik.
Előfordul, hogy a visszajelzés negatív: minél nagyobb az eredmény, annál lassabb a folyamat. Például amikor éhesek vagyunk, gyorsan elkezdjük felszívni az ételt, de amint az éhségérzet csökken, nyugodtan kezdünk enni, majd lustán befejezzük a desszertet. A tea is exponenciálisan hűl: minél nagyobb a hőmérsékletkülönbség a tea és a levegő között, annál gyorsabban hűl. Tehát, ha sürgősen 15 perces figyelemelterelésre van szüksége, de forró teát szeretne inni, öntsön bele hideg tejet vagy vizet. Ekkor a hőmérsékletkülönbség csökken, és a tea nem hűl ki olyan gyorsan, mintha forró lenne.
Minél gyorsabban mozog egy gitárhúr, annál gyorsabban lassul a levegővel szemben, így a húr pengetése után a hang hangereje exponenciálisan csökken. Egy másik példa a nukleáris bomlás. Minden atommag elbomolhat egy véletlenszerű pillanatban, de minél több atommag van, annál több bomlás következik be egy perc alatt. Minél gyorsabban bomlanak le az atommagok, annál kevesebb lesz, ami azt jelenti, hogy a sugárzás intenzitása idővel csökken.
Az emberek nem túl jó előrejelzői a jövőnek. A történelem nagy részében tapasztalataink „lokálisak és lineárisak” voltak: ugyanazokat az eszközöket használtuk, ugyanazokat az ételeket ettük, egy bizonyos helyen éltünk. Ennek eredményeként előrejelző képességeink az intuíción és a múltbeli tapasztalatokon alapulnak. Olyan ez, mint egy létra: néhány lépés megtétele után megértjük, mi lesz a hátralévő út ezen a létrán. Életünk során elvárjuk, hogy minden új nap hasonló legyen az előzőhöz. Most azonban minden megváltozik.
A híres amerikai feltaláló és futurista Raymond Kurzweil a „The Singularity Is Near” című könyvében azt írja, hogy a technológiai fejlődésben az elmúlt évtizedekben tapasztalt ugrás számos területen felgyorsította a fejlődést. Ez nem csak a generációk között, hanem azokon belül is nem várt technológiai és társadalmi változásokhoz vezetett. A jövő előrejelzésének intuitív megközelítése most nem működik. A jövő már nem lineárisan, hanem exponenciálisan bontakozik ki: egyre nehezebb megjósolni, mi lesz ezután és mikor. A technológiai fejlődés üteme folyamatosan meglep bennünket, és ahhoz, hogy lépést tudjunk tartani vele, és megtanuljuk megjósolni a jövőt, először meg kell tanulnunk exponenciálisan gondolkodni.
Mi az exponenciális növekedés?
Ellentétben a lineáris növekedéssel, amely egy állandó állandó összeadásának eredménye, az exponenciális növekedés az ismételt szorzás eredménye. Ha a lineáris növekedés egy egyenes vonal, amely időben stabil, akkor az exponenciális növekedési vonal hasonló a felszálláshoz. Minél nagyobb az érték, annál gyorsabban nő tovább.
Képzeld el, hogy az úton sétálsz, és minden lépésed egy méter hosszú. Hat lépést teszel, és most hat métert mozdultál. További 24 lépés megtétele után 30 méterre leszel attól a helytől, ahol elindultál. Ez lineáris növekedés.
Most képzeld el (bár a tested erre nem képes), képzeld el, hogy minden alkalommal, amikor a lépésed hossza megduplázódik. Vagyis először lépsz egy métert, aztán kettőt, majd négyet, majd nyolcat és így tovább. Hat ilyen lépésben 32 métert tesz meg - ez sokkal több, mint hat 1 méteres lépésben. Nehéz elhinni, de ha ugyanabban a tempóban haladsz tovább, akkor a harmincadik lépés után milliárd méterre találod magad a kiindulóponttól. Ez 26 Föld körüli út. Ez pedig exponenciális növekedés.
Érdekes, hogy minden ilyen növekedéssel járó új lépés az összes korábbi összege. Vagyis 29 lépés után 500 millió métert tett meg, és ugyanennyit tesz meg egy következő, harmincadik lépésben. Ez azt jelenti, hogy bármely korábbi lépése összehasonlíthatatlanul kicsi a robbanásszerű növekedés következő néhány lépéséhez képest, és a legtöbb viszonylag rövid idő alatt történik. Ha úgy gondolja, hogy ez a növekedés A pontból B pontba mozog, akkor a mozgásban a legnagyobb előrelépés az utolsó szakaszban fog bekövetkezni.
A korai szakaszban gyakran figyelmen kívül hagyjuk az exponenciális trendeket, mivel az exponenciális növekedés kezdeti üteme lassú és fokozatos, és nehéz megkülönböztetni a lineáris növekedéstől. Emellett gyakran hihetetlennek tűnnek azok az előrejelzések, amelyek azon a feltételezésen alapulnak, hogy valamilyen jelenség exponenciálisan fog fejlődni, és mi elutasítjuk őket.
„Amikor 1990-ben megkezdődött az emberi genom szkennelése, a kritikusok megjegyezték, hogy a folyamat kezdeti sebességét tekintve több ezer évbe telne a genom szkennelése. A projekt azonban már 2003-ban befejeződött.”- Raymond Kurzweil mond egy példát.
Az utóbbi időben a technológia fejlődése ugrásszerű: minden évtizeddel, minden évvel összehasonlíthatatlanul többet tehetünk, mint korábban.
Véget érhet valaha az exponenciális növekedés?
A gyakorlatban az exponenciális trendek nem tartanak örökké. Néhányuk azonban hosszú ideig folytatódhat, ha a feltételek megfelelőek a robbanásszerű fejlődéshez.
Az exponenciális trend jellemzően egymást követő S-alakú technológiai életciklusok vagy S-alakú görbék sorozatából áll. Mindegyik görbe úgy néz ki, mint az "S" betű, a növekedés három szakasza miatt: kezdeti lassú növekedés, robbanásszerű növekedés és a technológia kifejlődése során történő kiegyenlítés. Ezek az S-görbék metszik egymást, és amikor az egyik technológia lelassul, egy új emelkedni kezd. Minden egyes új S-alakú fejlesztéssel egyre rövidebb lesz a magasabb teljesítményszint eléréséhez szükséges idő.
Például, amikor a technológia múlt századi fejlődését tárgyalja, Kurzweil öt számítási paradigmát sorol fel: elektromechanikus, relék, vákuumcsövek, diszkrét tranzisztorok és integrált áramkörök. Amikor az egyik technológia kimerítette a benne rejlő lehetőségeket, a következő fejlődésnek indult, és ez gyorsabban ment, mint elődei.
Exponenciális jövő tervezése
Exponenciális fejlődés körülményei között nagyon nehéz megjósolni, mi vár ránk a jövőben. Egy geometriai progresszión alapuló grafikon felépítése egy dolog, de egészen más megbecsülni, hogyan fog változni az élet tíz-húsz év múlva. De egy egyszerű ökölszabályt be kell tartani: számítson arra, hogy az élet nagy meglepetést okoz, és tervezze meg a várt meglepetéseket. Más szóval, feltételezheti a leghihetetlenebb eredményeket, és úgy készülhet rájuk, mintha biztosan megtörtént volna.
„A jövő sokkal csodálatosabb lesz, mint azt a legtöbb ember el tudja képzelni. Kevesen fogták fel igazán azt a tényt, hogy maga a változás üteme gyorsul."- írja Raymond Kurzweil.
Milyen lesz az életünk a következő öt évben? Az előrejelzés elkészítésének egyik módja az, hogy az elmúlt öt évre tekintünk, és ezt a tapasztalatot átvisszük a következő öt évre, de ez a „lineáris” gondolkodás, amely, mint azt tapasztaltuk, nem mindig működik. A változás üteme változik, így az elmúlt öt évben elért előrehaladás a jövőben tovább tart. Valószínű, hogy az öt év múlva várt változások három-két éven belül ténylegesen megtörténnek. Egy kis gyakorlással jobban meg tudjuk jósolni az élet jövőbeli alakulását, megtanuljuk látni az exponenciális növekedés kilátásait, és jobban meg tudjuk tervezni saját jövőnket.
Ez nem csak egy érdekes koncepció. Gondolkodásunk, amely gyakran a lineáris fejlődésre irányul, zsákutcába vezethet. A lineáris gondolkodás miatt egyes üzletemberek és politikusok ellenállnak a változásoknak, egyszerűen nem értik, hogy a fejlődés exponenciálisan megy végbe, és attól tartanak, hogy egyre nehezebb irányítani a jövőt. De ez pontosan a verseny terepe. Ahhoz, hogy lépést tudjon tartani ezzel a változással, mindig egy lépéssel előtte kell járnia, és nem azt kell tennie, ami most aktuális, hanem azt, ami a jövőben releváns és kereslet lesz, figyelembe véve, hogy a fejlődés nem lineárisan, hanem exponenciálisan megy végbe.
Az exponenciális gondolkodás csökkenti a jövőtől való félelmünkből fakadó destruktív stresszt, és új lehetőségeket nyit meg. Ha jobban meg tudjuk tervezni a jövőnket, és tudunk exponenciálisan gondolkodni, akkor megkönnyítjük az átmenetet az egyik paradigmáról a másikra, és nyugodtan nézünk szembe a jövővel.