Butterworth szűrők. Tantárgyi munka: Butterworth felüláteresztő szűrő Példák Butterworth karakterisztikával rendelkező szűrő kiszámítására

Terv:

Bevezetés

• 1 vélemény
  • 1.1 Normalizált Butterworth-polinomok
  • 1.2 Maximális simaság
  • 1.3 Nagyfrekvenciás roll-off
• 2 Szűrő kialakítás
  • 2.1 Cauer topológia
  • 2.2 Sallen-Kay topológia
• 3 Összehasonlítás más lineáris szűrőkkel
• 4 Példa
Irodalom

Bevezetés

Butterworth szűrő- az elektronikus szűrők egyik fajtája. Az ebbe az osztályba tartozó szűrők tervezési módszerében különböznek a többitől. A Butterworth szűrőt úgy tervezték, hogy amplitúdó-frekvencia-válasza a lehető legsimább legyen az áteresztősáv-frekvenciákon.

Az ilyen szűrőket először Stefan Butterworth brit mérnök írta le „A szűrőerősítők elméletéről” című cikkében. A szűrőerősítők elméletéről ), A magazinban Vezeték nélküli mérnök 1930-ban.

1. Áttekintés

A Butterworth szűrő frekvenciaválasza az áteresztő sáv frekvenciáin maximálisan sima, leállítási frekvenciákon pedig majdnem nullára csökken. Amikor egy Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát logaritmikus fázisválaszon ábrázoljuk, az amplitúdó mínusz végtelen felé csökken a stopsáv-frekvenciákon. Elsőrendű szűrő esetén a frekvenciamenet -6 decibel/oktáv (-20 decibel/dekád) ütemben csillapodik (valójában minden elsőrendű szűrő típustól függetlenül azonos és ugyanaz frekvencia válasz). Másodrendű Butterworth szűrő esetén a frekvenciamenet oktávonként -12 dB-lel, harmadrendű szűrőnél -18 dB-lel, és így tovább. A Butterworth szűrő frekvenciaválasza a frekvencia monoton csökkenő függvénye. A Butterworth-szűrő az egyetlen szűrő, amely megőrzi a frekvenciamenet alakját magasabb rendűek esetén (kivéve a karakterisztika meredekebb kigurulását az elnyomási sávban), míg sok más típusú szűrő (Bessel-szűrő, Csebisev-szűrő, elliptikus szűrő) különböző formájú frekvenciaválasz különböző sorrendben.

Az I. és II. típusú Chebyshev szűrőkkel vagy az elliptikus szűrővel összehasonlítva a Butterworth szűrő laposabb gördüléssel rendelkezik, ezért magasabb rendűnek kell lennie (amit nehezebb megvalósítani), hogy a kívánt teljesítményt leállító frekvenciákon biztosítsa. A Butterworth-szűrőnek azonban lineárisabb a fázis-frekvencia válasza az áteresztősáv-frekvenciákon.

Az aluláteresztő Butterworth-szűrők frekvenciamenete 1-től 5-ig terjed. A karakterisztika meredeksége 20 n dB/évtized, ahol n- szűrőrendelés.

Mint minden szűrőnél, a frekvenciakarakterisztikát tekintve aluláteresztő szűrőt használunk, amelyből könnyen beszerezhető egy felüláteresztő szűrő, illetve több ilyen szűrő sorba kapcsolásával sávateresztő szűrőt vagy bevágásszűrőt.

Egy harmadrendű Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az átviteli függvényből kaphatjuk meg:

Könnyen belátható, hogy végtelen értékek esetén a frekvenciamenet téglalap alakú függvény lesz, és a vágófrekvencia alatti frekvenciákat erősítéssel továbbítják, a vágási frekvencia feletti frekvenciákat pedig teljesen elnyomják. Véges értékek esetén a jellemző csökkenése enyhe lesz.

Formális helyettesítéssel a következőképpen mutatjuk be a kifejezést:

Az átviteli függvény pólusai a bal félsíkban egymástól egyenlő távolságra lévő sugarú körön helyezkednek el. Vagyis egy Butterworth-szűrő átviteli függvénye csak úgy határozható meg, hogy meghatározzuk az átviteli függvényének pólusait az s-sík bal félsíkjában. A pólust a következő kifejezés határozza meg:

Az átviteli függvény a következőképpen írható fel:

Hasonló érvelés érvényes a digitális Butterworth szűrőkre is, azzal az egyetlen különbséggel, hogy a kapcsolatok nem erre vannak írva s-repülőgép, és számára z-repülőgép.

Ennek az átviteli függvénynek a nevezőjét Butterworth-polinomnak nevezzük.

1.1. Normalizált Butterworth-polinomok

A Butterworth-polinomok felírhatók összetett formában is, amint fentebb látható, de általában valós együtthatós relációként írják fel őket (a komplex konjugált párokat szorzással kombinálják). A polinomokat a vágási frekvenciával normalizáljuk: . A normalizált Butterworth-polinomok tehát a következő kanonikus formájúak:

, - Páros Páratlan

Az alábbiakban az első nyolc sorrend Butterworth-polinom együtthatói láthatók:

Polinom együtthatók 1 2 3 4 5 6 7 8

1.2. Maximális simaság

Ha és , az amplitúdókarakterisztika deriváltja a frekvenciához képest így fog kinézni:

Mindenkinél monoton csökken, mivel a nyereség mindig pozitív. Így a Butterworth szűrő frekvenciaválaszának nincs hullámossága. Az amplitúdó karakterisztikát sorozattá bővítve a következőket kapjuk:

Más szóval, az amplitúdó-frekvencia karakterisztika összes deriváltja a frekvenciához képest 2-ig n- egyenlők nullával, ami „maximális simaságot” jelent.

1.3. Nagyfrekvenciás roll-off

Miután elfogadtuk, megtaláljuk a frekvenciaválasz logaritmusának meredekségét magas frekvenciákon:

Decibelben a nagyfrekvenciás aszimptota meredeksége –20 n dB/évtized.

2. Szűrő kialakítása

Számos különböző szűrőtopológia létezik, amelyekkel lineáris analóg szűrőket valósítanak meg. Ezek a sémák csak az elemek értékében különböznek, de a szerkezet változatlan marad.

2.1. Cauer topológia

A Cauer-topológia passzív elemeket (kapacitás és induktivitás) használ. Egy adott átviteli függvénnyel rendelkező Butteworth-szűrőt 1-es típusú Cowher formájában lehet megszerkeszteni. A k-adik szűrőelemet a következő összefüggés adja meg:

; k páratlan ; k páros

2.2. Sallen-Kay topológia

A Sallen-Kay topológia a passzív elemeken kívül aktív elemeket is használ (műveleti erősítők és kondenzátorok). A Sallen-Kay áramkör minden szakasza a szűrő része, amelyet matematikailag egy összetett konjugált póluspár ír le. A teljes szűrőt úgy kapjuk meg, hogy az összes fokozatot sorba kapcsoljuk. Ha talál egy érvényes pólust, azt külön kell megvalósítani, általában RC áramkörként, és bele kell foglalni a teljes áramkörbe.

A Sallen-Kay áramkör egyes szakaszainak átviteli függvénye a következő:

A nevezőnek a Butterworth-polinom egyik tényezőjének kell lennie. Az elfogadás után a következőket kapjuk:

Az utolsó reláció két ismeretlent ad, amelyek tetszőlegesen választhatók.

3. Összehasonlítás más lineáris szűrőkkel

Az alábbi ábra a Butterworth szűrő frekvenciaválaszát mutatja összehasonlítva más népszerű, azonos (ötödik) sorrendű lineáris szűrőkkel:

Az ábrán látható, hogy a Butterworth szűrő roll-off a leglassabb a négy közül, de az áteresztősáv-frekvenciákon is ez a legsimább frekvenciaátvitel.

4. Példa

Analóg aluláteresztő Butterworth szűrő (Cauer topológia) vágási frekvenciával a következő elemértékekkel: farad, ohm és henry.

A H(s) átviteli függvény logaritmikus sűrűsége a komplex argumentumsíkon egy harmadrendű Butterworth-szűrőhöz vágási gyakorisággal. A három pólus egy egységsugarú körön fekszik a bal félsíkban.

Vegyünk egy harmadrendű analóg aluláteresztő Butterworth szűrőt faraddal, ohmmal és henryvel. A kondenzátorok teljes ellenállását jelzi C Hogyan 1/Csés az induktivitások impedanciája L Hogyan Ls, ahol egy összetett változó, és az elektromos áramkörök kiszámítására szolgáló egyenleteket használva a következő átviteli függvényt kapjuk egy ilyen szűrőhöz:

A frekvenciaválaszt a következő egyenlet adja meg:

és a fázisválaszt a következő egyenlet adja meg:

A csoportkésleltetést úgy határozzuk meg, hogy mínusz a fázis deriváltja a körfrekvenciához képest, és a jel fázistorzításának mértéke különböző frekvenciákon. Egy ilyen szűrő logaritmikus frekvenciamenetében nincs hullámosság sem az áteresztősávban, sem az elnyomási sávban.

Az átviteli függvény modulusának grafikonja a komplex síkban egyértelműen három pólust jelez a bal félsíkban. Az átviteli függvényt teljesen meghatározza, hogy ezek a pólusok az egységkörön a valós tengelyre szimmetrikusan helyezkednek el.

Ha minden induktivitást kapacitásra, a kapacitásokat pedig induktivitásra cseréljük, egy felüláteresztő Butterworth szűrőt kapunk.

És egy harmadrendű Butterworth-szűrő csoportkésleltetése vágási frekvenciával

Irodalom

• V.A. Lucas Az automatikus vezérlés elmélete. - M.: Nedra, 1990.
• B.H. Krivitsky Kézikönyv a rádióelektronika elméleti alapjairól. - M.: Energia, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Szűrőtervezés jelfeldolgozáshoz MATLAB© és Mathematica© segítségével. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith Tudományos és mérnöki útmutató a digitális jelfeldolgozáshoz. - Második kiadás. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Közelítési módszerek az elektronikus szűrőtervezéshez. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptív jelfeldolgozás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptív szűrőelmélet. - 4. kiadás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptív szűrők – struktúrák, algoritmusok és alkalmazások. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. A beszéd lineáris előrejelzése. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Beszédjelek digitális feldolgozása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digitális jelfeldolgozás VLSI-ben. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digitális jelfeldolgozás. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold A digitális jelfeldolgozás elmélete és alkalmazása. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Bevezetés a digitális jelfeldolgozásba. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

Szűrőkben a számítás általában a szűrőparaméterek beállításával kezdődik, melyek közül a legfontosabb a frekvenciamenet. Ahogyan azt a cikkben már tárgyaltuk, először egy adott szűrő követelményeit hozzák az aluláteresztő szűrő prototípus követelményeihez. A tervezett szűrő aluláteresztő szűrő prototípusának amplitúdó-frekvencia válaszára vonatkozó követelményekre egy példa az 1. ábrán látható.

1. ábra Példa egy aluláteresztő szűrő normalizált amplitúdó-frekvencia válaszára

Ez a grafikon a szűrő átviteli együtthatójának a normalizált frekvenciától való függését mutatja ξ , Ahol ξ = f/f V

Az 1. ábrán látható grafikon azt mutatja, hogy az átviteli együttható megengedett egyenetlensége az áteresztősávban van megadva. A stopsávban a zavaró jel minimális elnyomási együtthatója van beállítva. Az igazi szűrő bármilyen alakú lehet. A lényeg az, hogy ne lépje át a meghatározott követelmények határait.

A szűrőt meglehetősen hosszú ideig úgy számították ki, hogy az amplitúdó-frekvencia-választ szabványos hivatkozásokkal (m-link vagy k-link) választották ki. Ezt a módszert alkalmazási módszernek nevezték. Elég bonyolult volt, és nem biztosította a kifejlesztett szűrő minőségének és a linkek számának optimális arányát. Ezért matematikai módszereket dolgoztak ki az amplitúdó-frekvencia válasz adott jellemzőkkel való közelítésére.

A matematikában a közelítés egy összetett összefüggésnek valamilyen ismert függvénnyel való ábrázolása. Általában ez a funkció meglehetősen egyszerű. A szűrő fejlesztésénél fontos, hogy a közelítő függvény könnyen megvalósítható legyen áramkörben. Ehhez a funkciókat egy négyportos hálózat, jelen esetben egy szűrő átviteli együtthatójának nullái és pólusai segítségével valósítjuk meg. Könnyen megvalósíthatók LC áramkörök vagy visszacsatoló hurkok segítségével.

A szűrő frekvenciamenetének leggyakoribb közelítése a Butterworth-féle közelítés. Az ilyen szűrőket Butterworth-szűrőknek nevezik.

Butterworth szűrők

A Butterworth-szűrő amplitúdó-frekvencia-válaszának megkülönböztető jellemzője a minimumok és maximumok hiánya az áteresztősávban és a késleltetési sávban. Ezeknek a szűrőknek az áteresztősávjának szélén a frekvencia-válasz rolloff 3 dB. Ha egy szűrőnek alacsonyabb hullámzási értékkel kell rendelkeznie az áteresztősávban, akkor a megfelelő szűrőfrekvencia f be van kiválasztva az áteresztősáv meghatározott felső frekvenciája felett. A Butterworth szűrő aluláteresztő szűrő prototípusának frekvenciamenet-közelítő függvénye a következő:

(1),

Ahol ξ – normalizált frekvencia;
n— szűrőrend.

Ebben az esetben a fejlesztendő szűrő valós amplitúdó-frekvencia karakterisztikáját a normalizált frekvencia szorzásával kaphatjuk meg. ξ a szűrő vágási frekvenciájára. Egy aluláteresztő Butterworth-szűrő esetén a frekvencia-válasz közelítő függvény így fog kinézni:

(2).

Most jegyezzük meg, hogy a szűrők számításakor széles körben elterjedt az összetett s-sík fogalma, amelyen a körfrekvencia az ordináta tengelye mentén van ábrázolva. jω, és az x tengely mentén a minőségi tényező reciproka. Ily módon meg lehet határozni a szűrőáramkör részét képező LC áramkörök fő paramétereit: hangolási frekvenciát (rezonanciafrekvenciát) és minőségi tényezőt. Az s-síkra való áttérés a segítségével történik.

A Butterworth-szűrő pólushelyzeteinek részletes levezetése az összetett s-síkon található. Számunkra az a legfontosabb, hogy ennek a szűrőnek a pólusai az egységkörön egyenlő távolságra helyezkedjenek el egymástól. A pólusok számát a szűrő sorrendje határozza meg.

A 2. ábra egy elsőrendű Butterworth-szűrő pólusainak helyét mutatja. A közelben látható a komplex s-síkon a pólusok adott elrendezésének megfelelő frekvencia.

2. ábra Egy elsőrendű Butterworth-szűrő pólus elhelyezkedése és frekvenciamenete

A 2. ábrán látható, hogy egy elsőrendű szűrőnél a pólust nulla frekvenciára kell hangolni, és a minőségi tényezőjének egyenlőnek kell lennie egységgel. A frekvencia-válasz grafikonon látható, hogy a pólus hangolási frekvenciája valóban nulla, a pólus minőségi tényezője pedig olyan, hogy a normalizált Butterworth-szűrő egységgel egyenlő vágási frekvenciáján az átviteli együtthatója -3 dB.

A másodrendű Butterworth-szűrő pólusait pontosan ugyanígy kell meghatározni. A pólushangolási frekvenciát ezúttal az egységkör és a kör középpontján 45°-os szögben átmenő egyenes metszéspontjában választjuk ki Példa a pólusok elhelyezkedésére a komplex s-síkon és a egy másodrendű Butterworth szűrő frekvenciamenete a 3. ábrán látható.

3. ábra Egy másodrendű Butterworth-szűrő pólus elhelyezkedése és frekvenciamenete

Ebben az esetben a pólus rezonanciafrekvenciája a normalizált szűrő határfrekvenciájához közel helyezkedik el. Ez egyenlő 0,707-tel. A pólusok elhelyezkedési grafikonja szerinti pólusminőségi tényező kétszerese egy elsőrendű Butterworth-szűrő pólusminőségi tényezőjének, így az amplitúdó-frekvencia válasz meredeksége nagyobb. (Figyeljen a grafikon jobb oldalán lévő számokra. 2-es frekvencia detuning mellett az elnyomás már 13 dB) A pólus amplitúdó-frekvencia válaszának bal oldala laposnak bizonyul. Ez a negatív frekvenciazónában található pólus befolyásának köszönhető.

A harmadrendű Butterworth szűrő pólusainak elhelyezkedését és amplitúdó-frekvencia válaszát a 4. ábra mutatja.

4. ábra Harmadik sorrendű Butterworth szűrőoszlop-elrendezés

A 2...5. ábrákon látható grafikonokból látható, hogy a Butterworth szűrő sorrendjének növekedésével nő az amplitúdó-frekvencia válasz meredeksége és a megvalósító másodrendű áramkör (áramkör) szükséges minőségi tényezője. a szűrő átviteli karakterisztikájának pólusa megnő. A megkívánt minőségi tényező növelése korlátozza a megvalósítható szűrő maximális sorrendjét. Jelenleg a Butterworth szűrők nyolcadik-tizedik sorrendjéig valósíthatók meg.

Chebisev szűrők

A Csebisev-szűrőkben az amplitúdó-frekvencia válasz a következőképpen közelíthető meg:

(3),

Ebben az esetben egy valódi Csebisev-szűrő amplitúdó-frekvencia válaszát, akárcsak a Butterworth-szűrőnél, a normalizált frekvencia szorzásával kaphatjuk meg. ξ a fejlesztés alatt álló szűrő vágási frekvenciájára. Egy aluláteresztő Csebisev szűrő esetén az amplitúdó-frekvencia válasz a következőképpen határozható meg:

(4).

Az aluláteresztő Csebisev szűrő amplitúdó-frekvencia válaszát a frekvenciatartomány meredekebb csökkenése jellemzi a felső áteresztő frekvencia felett. Ezt az erősítést az áteresztősávban a frekvenciaválasz egyenetlenségei okozzák. A Csebisev szűrő frekvenciamenetének közelítő függvényének egyenetlenségét a pólusok magasabb minőségi tényezője okozza.

A Csebisev-szűrő közelítő függvénye pólusainak s-síkon való helyzetének részletes levezetését adjuk meg. Számunkra az a fontos, hogy a Csebisev-szűrő pólusai egy ellipszisben helyezkedjenek el, amelynek főtengelye egybeesik a normalizált frekvenciák tengelyével. Ezen a tengelyen az ellipszis áthalad az aluláteresztő szűrő határfrekvencia pontján.

A normalizált változatban ez a pont egyenlő eggyel. A második tengelyt az áteresztősávban lévő frekvenciaválasz-közelítő függvény egyenetlensége határozza meg. Minél nagyobb a megengedett hullámosság az áteresztősávban, annál kisebb ez a tengely. A Butterworth-szűrő egységkörének egyfajta „lapítása” történik. Úgy tűnik, hogy a pólusok közelednek a frekvencia tengelyéhez. Ez a szűrőpólusok minőségi tényezőjének növekedésének felel meg. Minél nagyobb az áteresztősáv egyenetlensége, annál nagyobb a pólusok minőségi tényezője, annál nagyobb a csillapítás növekedési üteme a Csebisev-szűrő leállítósávjában. A frekvenciamenet közelítési függvény pólusainak számát a Csebisev-szűrő sorrendje határozza meg.

Meg kell jegyezni, hogy nincs elsőrendű Chebisev szűrő. A másodrendű Csebisev szűrő pólusainak elhelyezkedését és frekvenciamenetét az 5. ábra mutatja. A Csebisev szűrő jellemzője abból a szempontból érdekes, hogy jól láthatóak rajta a pólusok frekvenciái. Ezek megfelelnek az áteresztősáv maximális frekvenciaválaszának. Másodrendű szűrő esetén a pólusfrekvencia megfelel ξ =0.707.

A Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

A Butterworth szűrő jellemzői: nemlineáris fázisválasz; a pólusok számától független vágási frekvencia; a tranziens válasz oszcilláló jellege lépcsős bemeneti jellel. A szűrők sorrendjének növekedésével az oszcillációs jelleg növekszik.

Chebisev szűrő

A Csebisev szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

,

Ahol T n 2 (ω/ω n ) – Csebisev-polinom n-edik sorrend.

A Csebisev-polinomot az ismétlődő képlet segítségével számítjuk ki

A Chebisev szűrő jellemzői: a fázisválasz megnövekedett egyenetlenségei; hullámszerű jellemző az áteresztősávban. Minél nagyobb a szűrő frekvenciaválaszának egyenetlenségi együtthatója az áteresztősávban, annál élesebb a csökkenés az átmeneti tartományban ugyanabban a sorrendben. A lépcsőzetes bemeneti jel tranziens oszcillációja nagyobb, mint egy Butterworth-szűrőé. A Chebyshev szűrőoszlopok minőségi tényezője magasabb, mint a Butterworth szűrőé.

Bessel szűrő

A Bessel-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

,

Ahol
;B n 2 (ω/ω cp h ) – Bessel-polinom n-edik sorrend.

A Bessel-polinom kiszámítása az ismétlődő képlet segítségével történik

A Bessel-szűrő jellemzői: meglehetősen egyenletes frekvencia- és fázisválasz, közelítve a Gauss-függvénnyel; a szűrő fáziseltolása arányos a frekvenciával, azaz. a szűrőnek frekvenciafüggetlen csoportkésleltetési ideje van. A vágási frekvencia a szűrőpólusok számának változásával változik. A szűrő frekvenciamenete általában laposabb, mint Butterworthé és Csebisevé. Ez a szűrő különösen alkalmas impulzusáramkörökhöz és fázisérzékeny jelfeldolgozáshoz.

Cauer szűrő (elliptikus szűrő)

A Cauer-szűrő átviteli funkciójának általános képe

.

A Cauer-szűrő jellemzői: egyenetlen frekvenciaátvitel az áteresztő- és leállítósávban; az összes fenti szűrő közül a legélesebb frekvencia-visszaesés; alacsonyabb szűrősorrenddel valósítja meg a szükséges átviteli funkciókat, mint más típusú szűrők használatakor.

A szűrési sorrend meghatározása

A szükséges szűrési sorrendet az alábbi képletek határozzák meg, és kerekítik a legközelebbi egész számra. Butterworth szűrőrendelés

.

Csebisev szűrőrendelés

.

A Bessel-szűrő esetében nincs képlet a sorrend kiszámítására, ehelyett olyan táblázatokat adunk meg, amelyek megfelelnek a szűrő sorrendjének az egységtől való késleltetési idő minimálisan szükséges eltérésének adott frekvencián és a veszteségszint dB-ben).

A Bessel-szűrők sorrendjének kiszámításakor a következő paramétereket kell megadni:

A csoportkésleltetési idő megengedett százalékos eltérése adott frekvencián ω ω cp h ;

A szűrő erősítés csillapítási szintje dB-ben állítható be a frekvencián ω , viszonyítva normalizálva ω cp h .

Ezen adatok alapján határozzuk meg a Bessel-szűrő szükséges sorrendjét.

1. és 2. rendű aluláteresztő szűrők kaszkád áramkörei

ábrán. A 12.4, 12.5 ábrák az aluláteresztő szűrőkaszkádok tipikus áramköreit mutatják be.

A) b)

Rizs. 12.4. Butterworth, Chebisev és Bessel aluláteresztő szűrőkaszkádjai: A - 1. rend; b – 2. rend

A) b)

Rizs. 12.5. Cauer aluláteresztő szűrő kaszkádok: A - 1. rend; b – 2. rend

Az 1. és 2. rendű Butterworth, Chebyshev és Bessel aluláteresztő szűrők átviteli funkcióinak általános képe

,
.

Az 1. és 2. rendű Cauer aluláteresztő szűrő átviteli funkcióinak általános képe

,
.

A legfontosabb különbség a másodrendű Cauer-szűrő és a sávzáró szűrő között az, hogy a Cauer-szűrő átviteli függvényében a frekvencia arány Ω s ≠ 1.

Számítási módszer Butterworth, Chebyshev és Bessel aluláteresztő szűrőkhöz

Ez a technika a táblázatokban megadott együtthatókon alapul, és Butterworth, Chebyshev és Bessel szűrőkre érvényes. A Cauer-szűrők kiszámításának módszerét külön adjuk meg. A Butterworth, Chebyshev és Bessel aluláteresztő szűrők számítása a sorrend meghatározásával kezdődik. Minden szűrőnél be van állítva a minimális és maximális csillapítási paraméterek, valamint a vágási frekvencia. A Csebisev-szűrők esetében az áteresztősáv frekvenciaválasz-egyenetlenségének együtthatója, a Bessel-szűrők esetében pedig a csoportkésleltetési idő kerül meghatározásra. Ezt követően meghatározzuk a szűrő átviteli függvényét, amely a táblázatokból kivehető, és kiszámítjuk annak 1. és 2. rendű kaszkádját, a következő számítási eljárást követjük:

A szűrő sorrendjétől és típusától függően a kaszkádok áramkörei kerülnek kiválasztásra, egy páros sorrendű szűrő pedig n/2 2. rendű kaszkád, és egy páratlan sorrendű szűrő - egy elsőrendű kaszkádból és ( n– 1)/2 2. rendű kaszkád;

Az elsőrendű kaszkád kiszámításához:

A kiválasztott szűrőtípus és sorrend határozza meg az értéket b 1 1. rendű kaszkád;

Az elfoglalt terület csökkentésével a kapacitás-besorolás kerül kiválasztásra C és kiszámította R képlet szerint (választhat is R, de ajánlatos választani C, a pontosság érdekében)

;

A nyereség kiszámítása megtörténik NAK NEK nál nél U 1 1. rendű kaszkád, amely a relációból kerül meghatározásra

,

Ahol NAK NEK nál nél U– a szűrő egészének erősítése; NAK NEK nál nél U 2 , …, NAK NEK nál nél ENSZ– másodrendű kaszkádok erősítési tényezői;

A nyereség realizálása NAK NEK nál nél U 1 ellenállásokat kell beállítani a következő összefüggés alapján

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél U1 –1) .

A 2. sorrendű kaszkád kiszámításához:

Az elfoglalt terület csökkentésével a konténerek névleges értékei kerülnek kiválasztásra C 1 = C 2 = C;

Az együtthatókat táblázatokból választjuk ki b 1 énÉs K pi 2. rendű kaszkádokhoz;

Adott névleges kondenzátor szerint C ellenállásokat számítanak ki R képlet szerint

;

A kiválasztott szűrőtípushoz be kell állítani a megfelelő erősítést NAK NEK nál nél Ui = 3 – (1/K pi).

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél Ui –1) ;

Bessel-szűrők esetén az összes kondenzátor névleges értékét meg kell szorozni a szükséges csoportkésleltetési idővel.

A szűrők elemzésekor és paramétereik kiszámításakor mindig használunk néhány szabványos kifejezést, és érdemes már a kezdetektől ragaszkodni ezekhez.

Tegyük fel, hogy olyan aluláteresztő szűrőt szeretne, amelynek az áteresztősávban lapos válasza van, és éles átmenettel rendelkezik a leállítási sávba. A válasz végső meredeksége a stopsávban mindig 6n dB/oktáv, ahol n a „pólusok” száma. Pólusonként egy kondenzátor (vagy induktor) szükséges, így a szűrő végső gördülési sebességére vonatkozó követelmények nagyjából meghatározzák a bonyolultságát.

Tegyük fel, hogy úgy dönt, hogy 6 pólusú aluláteresztő szűrőt használ. Magas, 36 dB/oktáv frekvencián garantált a végső lefutás. Most viszont lehetőség van a szűrő kialakításának optimalizálására abban az értelemben, hogy az áteresztősávból a leállító sávba való átmenet meredekségének csökkentésével a leglaposabb választ adjuk az áteresztősávban. Másrészt az áteresztősávban némi hullámzást engedve meredekebb átmenet érhető el az áteresztősávról a leállítósávra. A harmadik kritérium, amely fontos lehet, leírja a szűrő azon képességét, hogy az áteresztősávon belüli spektrummal rendelkező jeleket átengedje anélkül, hogy a fáziseltolások miatt torzítaná az alakjukat. Érdekelheti az emelkedési idő, a túllépés és az elszámolási idő is.

Ismertek olyan szűrőtervezési módszerek, amelyek alkalmasak ezen jellemzők bármelyikének vagy kombinációinak optimalizálására. Az igazán intelligens szűrőválasztás nem a fent leírtak szerint történik; Általános szabály, hogy először beállítják az áteresztő sávban a karakterisztika szükséges egységességét és a szükséges csillapítást egy bizonyos frekvencián az áteresztősávon kívül, és más paramétereket. Ezt követően kiválasztják a legmegfelelőbb áramkört, amelynek pólusai száma elegendő ahhoz, hogy mindezen követelményeket kielégítse. A következő néhány rész a három legnépszerűbb szűrőtípust vizsgálja meg, nevezetesen a Butterworth-szűrőt (a leglaposabb áteresztősávú válasz), a Csebisev-szűrőt (a legmeredekebb átmenetet az áteresztősávtól a stopsávig) és a Bessel-szűrőt (a leglaposabb késleltetési idő válasz). . Ezen szűrőtípusok bármelyike ​​megvalósítható különféle szűrőáramkörök segítségével; Ezek közül néhányat a későbbiekben tárgyalunk, mindegyik egyformán alkalmas alu- és felüláteresztő szűrők és sávszűrők készítésére.

Butterworth és Chebyshev szűrők. A Butterworth szűrő adja a leglaposabb választ az áteresztősávban, ami az átmeneti tartomány simasága árán érhető el, pl. áteresztősávok és késleltetési sávok között. Amint azt később látni fogjuk, ennek is gyenge a fázisfrekvencia-válasza. Amplitúdó-frekvencia karakterisztikáját a következő képlet adja meg:
U ki / U be = 1/ 1/2,
ahol n határozza meg a szűrési sorrendet (pólusok számát). A pólusok számának növelése lehetővé teszi a karakterisztikának az áteresztősávban lévő részének simítását, és az áteresztősávtól az elnyomási sávig történő legurulás meredekségének növelését, amint az az ábrán látható. 5.10.

Rizs. 5.10 Butterworth aluláteresztő szűrők normalizált jellemzői. Figyelje meg a karakterisztikus gördülés meredekségének növekedését a szűrősorrend növekedésével.

A Butterworth szűrő kiválasztásakor minden mást feláldozunk a leglaposabb tulajdonságok érdekében. Karakterisztikája vízszintesen megy, nulla frekvenciától kezdve, inflexiója az ƒ s vágási frekvenciánál kezdődik - ez a frekvencia általában a -3 dB pontnak felel meg.

A legtöbb alkalmazásnál a legfontosabb szempont, hogy az áteresztősáv hullámossága ne haladjon meg egy bizonyos mértéket, mondjuk az 1 dB-t. A Chebyshev szűrő megfelel ennek a követelménynek, miközben a karakterisztika bizonyos egyenetlenségei megengedettek a teljes átviteli sávban, ugyanakkor a törés élessége jelentősen megnő. A Csebisev szűrőnél a pólusok száma és az áteresztősáv egyenetlenségei meg vannak adva. Az áteresztősáv megnövekedett egyenetlenségeit figyelembe véve élesebb törést kapunk. Ennek a szűrőnek az amplitúdó-frekvencia válaszát a következő összefüggés adja meg
U ki / U be = 1/ 1/2,
ahol C n egy első típusú n fokú Csebisev-polinom, és ε egy állandó, amely meghatározza a karakterisztika egyenetlenségét az áteresztősávban. A Chebyshev szűrő, akárcsak a Butterworth szűrő, olyan fázisfrekvenciás jellemzőkkel rendelkezik, amelyek messze nem ideálisak. ábrán. Az 5.11. ábra a 6 pólusú Chebisev és Butterworth aluláteresztő szűrők jellemzőit hasonlítja össze. Amint könnyen látható, mindkettő sokkal jobb, mint egy 6 pólusú RC szűrő.

Rizs. 5.11. Néhány általánosan használt 6 pólusú aluláteresztő szűrő jellemzőinek összehasonlítása. Ugyanazon szűrők jellemzői logaritmikus (felső) és lineáris (alsó) skálán is megjelennek. 1 - Bessel-szűrő; 2 - Butterworth szűrő; 3 - Csebisev szűrő (0,5 dB hullámzás).

Valójában egy nagyon lapos áteresztősáv-válaszú Butterworth-szűrő nem olyan vonzó, mint amilyennek látszik, mivel minden esetben el kell viselni az áteresztősáv bizonyos egyenetlenségeit (Butterworth-szűrő esetén ez a válasz fokozatos csökkenését jelenti, a frekvencia megközelíti a ƒ c-t, és a Csebisev-szűrő esetében a hullámzás a teljes áteresztősávon eloszlik). Ezen túlmenően, az olyan elemekből épített aktív szűrők, amelyeknek a besorolása némi tűréshatárral rendelkezik, a számítotttól eltérő karakterisztikával rendelkezik, ami azt jelenti, hogy a Butterworth szűrőkarakterisztikában a valóságban mindig lesz némi egyenetlenség az áteresztősávban. ábrán. Az 5.12. ábra szemlélteti a kondenzátorkapacitás és az ellenállás ellenállás értékeinek legnemkívánatosabb eltéréseinek hatását a szűrő karakterisztikára.

Rizs. 5.12. Az elemparaméterek változásának hatása az aktív szűrő jellemzőire.

A fentiek fényében nagyon racionális felépítés a Csebisev-szűrő. Néha egyenlő hullámú szűrőnek nevezik, mivel az átmeneti tartományban jellemzője nagyobb meredekséggel rendelkezik, mivel több egyenlő méretű pulzáció oszlik el az áteresztősávon, amelyek száma a szűrő sorrendjével nő. A Csebisev-szűrő még viszonylag kis hullámzások (körülbelül 0,1 dB) mellett is sokkal nagyobb meredekséget biztosít az átmeneti tartományban, mint a Butterworth-szűrő. Ennek a különbségnek a számszerűsítéséhez tegyük fel, hogy olyan szűrőre van szükség, amelynek az áteresztősáv simasága nem haladja meg a 0,1 dB-t és a csillapítása 20 dB olyan frekvencián, amely 25%-kal eltér az áteresztősáv határfrekvenciájától. A számítások azt mutatják, hogy ebben az esetben egy 19 pólusú Butterworth szűrőre vagy csak egy 8 pólusú Chebisev szűrőre van szükség.

Az az elképzelés, hogy az átmeneti szakasz meredekségének növelése érdekében elviselhető a hullámosság az áteresztősávban, az úgynevezett elliptikus szűrő (vagy Cauer-szűrő) ötletében vezeti le a logikus következtetést, amelyben a hullámosság megengedett. mind az áteresztősávban, mind a késleltetésben, hogy az átmeneti szakasz meredeksége még nagyobb legyen, mint a Csebisev szűrő karakterisztikája. Számítógép segítségével az elliptikus szűrők olyan egyszerűen megtervezhetők, mint a klasszikus Chebisev és Butterworth szűrők. ábrán. Az 5.13. ábra a szűrő amplitúdó-frekvencia válaszának grafikus leírását mutatja. Ebben az esetben (aluláteresztő szűrő) a szűrőerősítés (azaz hullámzás) elfogadható tartománya az áteresztősávban, a minimális frekvencia, amelyen a karakterisztika elhagyja az áteresztősávot, a maximális frekvencia, ahol a karakterisztika belép a leállítósávba, és a minimális csillapítás a sávot meghatározzák. fogva tartás.

Rizs. 5.13. A szűrő frekvencia-válasz paramétereinek beállítása.

Bessel szűrők. Amint azt korábban megállapítottuk, egy szűrő amplitúdó-frekvencia-válasza nem ad teljes információt róla. Egy lapos amplitúdó-frekvencia-válaszú szűrőnek nagy fáziseltolódásai lehetnek. Ennek eredményeként a jel alakja, amelynek spektruma az áteresztősávban található, a szűrőn való áthaladáskor torzul. Olyan helyzetekben, ahol a hullámforma kiemelkedő fontosságú, kívánatos egy lineáris fázisszűrő (konstans késleltetésű szűrő) rendelkezésre állása. Ha olyan szűrőt követelünk meg, amely a frekvencia függvényében a fáziseltolás lineáris változását biztosítja, akkor az egyenértékű állandó késleltetési idő megkövetelésével egy olyan jel esetében, amelynek spektruma az áteresztősávban található, vagyis a jel alakjának torzulásának hiánya. A Bessel-szűrő (más néven Thomson-szűrő) rendelkezik az áteresztősáv késleltetési görbéjének leglaposabb részével, ahogy a Butterworth-szűrőé a leglaposabb frekvencia-válasz. A Bessel-szűrő által biztosított időtartomány-javítás megértéséhez nézze meg a 1. ábrát. Az 5.14. ábra a 6 pólusú Bessel és Butterworth aluláteresztő szűrők frekvencianormalizált késleltetési idejét mutatja. A Butterworth szűrő gyenge késleltetési jellemzői túllövés típusú hatásokat okoznak, amikor impulzusjelek haladnak át a szűrőn. A Bessel-szűrő késleltetési idejének állandóságáért viszont azzal kell fizetni, hogy amplitúdó-frekvencia karakterisztikája még a Butterworth-szűrő karakterisztikájánál is laposabb átmenettel rendelkezik az áteresztősáv és a leállítósáv között.

Rizs. 5.14. A 6 sávos Bessel (1) és Butterworth (2) aluláteresztő szűrők időkéslelésének összehasonlítása. A Bessel-szűrő kiváló időtartomány-tulajdonságai miatt produkálja a legkevesebb hullámforma-torzítást.

Számos különböző szűrőtervezési technika próbálja javítani a Bessel-szűrő időtartománybeli teljesítményét, részben feláldozva az állandó késleltetési időt a felfutási idő csökkentése és a frekvenciaválasz javítása érdekében. A Gauss-szűrő majdnem olyan jó fázisjellemzőkkel rendelkezik, mint a Bessel-szűrő, de javított tranziens válaszjellel. Egy másik érdekes osztály a szűrők, amelyek lehetővé teszik az áteresztő sávban a késleltetési időgörbe azonos hullámzását (hasonlóan a Csebisev-szűrő amplitúdó-frekvencia karakterisztikájának hullámzásához), és megközelítőleg azonos késleltetést biztosítanak a legfeljebb stopszalag. Az állandó késleltetési idejű szűrők létrehozásának másik módja a minden áteresztő szűrők, más néven időtartomány-kiegyenlítők használata. Ezek a szűrők állandó amplitúdó-frekvencia-válaszúak, és a fáziseltolás az egyedi igényeknek megfelelően változtatható. Így bármely szűrő, különösen a Butterworth és Chebyshev szűrők késleltetési idejének kiegyenlítésére használhatók.

A szűrők összehasonlítása. A Bessel-szűrők tranziens válaszával kapcsolatos korábbi megjegyzések ellenére még mindig nagyon jó időtartomány-tulajdonságokkal rendelkezik a Butterworth és Chebyshev szűrőkhöz képest. Maga a Csebisev-szűrő a nagyon megfelelő amplitúdó-frekvencia-válaszával rendelkezik a legrosszabb paraméterekkel az időtartományban mindhárom szűrőtípus közül. A Butterworth szűrő kompromisszumot kínál a frekvenciák és az időzítési jellemzők között. ábrán. Az 5.15. ábra e három típusú szűrő teljesítményjellemzőiről nyújt információt az időtartományban, kiegészítve az amplitúdó-frekvencia jellemzők korábbi grafikonjait. Ezen adatok alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy azokban az esetekben, amikor az időtartománybeli szűrőparaméterek fontosak, célszerű Bessel-szűrőt használni.

Rizs. 5.15. 6 pólusú aluláteresztő szűrők tranziens összehasonlítása. A görbék normalizálása a 3 dB csillapítási érték 1 Hz-es frekvenciára való csökkentésével történik. 1 - Bessel-szűrő; 2 - Butterworth szűrő; 3 - Csebisev szűrő (0,5 dB hullámzás).