Как построить сечение параллельное прямой. Как начертить наклонное сечение
Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью
.
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.
Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).
1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.
2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.
1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.
В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.
Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:
1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).
2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения
На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре
Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.
Рис. 1. Тетраэдр АВСD
Элементы тетраэдра
А,
B
,
C
,
D
- вершины тетраэдра
.
AB
,
AC
,
AD
,
BC
,
BD
,
CD
- ребра тетраэдра
.
ABC
,
ABD
,
BDC
,
ADC
- грани тетраэдра
.
Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .
Тетраэдр определение
Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.
Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.
Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .
Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение
:
Рассмотрим грань тетраэдра D
ВС
. В этой грани точки N
и P
принадлежат грани D
ВС
, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P
принадлежат секущей плоскости. Значит, NP
- это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D
ВС
и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP
и ВС
не параллельны. Они лежат в одной плоскости D
ВС.
Найдем точку пересечения прямых NP
и ВС
. Обозначим ее Е
(Рис. 3.).
Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е
Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .
Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .
Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .
Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.
Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2
Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .
Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.
Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .
Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Секущая плоскость φ
параллельна плоскости АВС
по условию, значит, эта плоскость φ
параллельна прямым АВ
, АС
, ВС
.
В плоскости АВ
D
через точку М
проведем прямую PQ
параллельно АВ
(рис. 5). Прямая PQ
лежит в плоскости АВ
D
. Аналогично в плоскости АС
D
через точку Р
проведем прямую РR
параллельно АС
. Получили точку R
. Две пересекающиеся прямые PQ
и РR
плоскости РQR
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ
и АС
плоскости АВС
, значит, плоскости АВС
и РQR
параллельны. РQR
- искомое сечение. Задача решена.
Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .
Рис. 6. Рисунок к задаче 4
Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D
МN
. Пусть прямая D
М
пересекает прямую АВ в точке К
(Рис. 7.). Тогда, СК
D
- это сечение плоскости D
МN
и тетраэдра. В плоскости D
МN
лежит и прямая NM
, и полученная прямая СК
. Значит, если NM
не параллельна СК
, то они пересекутся в некоторой точке Р
. Точка Р
и будет искомая точка пересечения прямой NM
и плоскости АВС
.
Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4
Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .
Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью
Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN
не параллельна плоскости АВС
. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN
и плоскости АВС
. Это точка К
, она получена с помощью вспомогательной плоскости D
МN
, т.е. мы проводим D
М
и получаем точку F
. Проводим СF
и на пересечении MN
получаем точку К
.
Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К
Проведем прямую КР
. Прямая КР
лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС
. Получаем точки Р 1
и Р 2
. Соединяем Р 1
и М
и на продолжении получаем точку М 1
. Соединяем точку Р 2
и N
. В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1
. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN
параллельна плоскости АВС
. Плоскость МNР
проходит через прямую МN
параллельную плоскости АВС
и пересекает плоскость АВС
по некоторой прямой Р 1 Р 2
, тогда прямая Р 1 Р 2
параллельна данной прямой MN
(Рис. 10.).
Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение
Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.
Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.
1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)
2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики
Дополнительные веб-ресурсы
2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().
3. Фестиваль педагогических идей ().
Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50
2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .
3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.
4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?
В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме « Задачи на построение сечений в параллелепипеде». Вначале мы повторим четыре основные опорные свойства параллелепипеда. Затем, используя их, решим некоторые типовые задачи на построение сечений в параллелепипеде и на определение площади сечения параллелепипеда.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Задачи на построение сечений в параллелепипеде
В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на построение сечений в параллелепипеде» .
Рассмотрим параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 1). Вспомним его свойства.
Рис. 1. Свойства параллелепипеда
1) Противоположные грани (равные параллелограммы) лежат в параллельных плоскостях.
Например, параллелограммы АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 равны (то есть их можно совместить наложением) и лежат в параллельных плоскостях.
2) Длины параллельных ребер равны.
Например, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (рис. 2).
Рис. 2. Длины противоположных ребер параллелепипеда равны
3) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Например, диагонали параллелепипеда BD 1 и B 1 D пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам (рис. 3).
4) В сечение параллелепипеда может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.
Задача на сечение параллелепипеда
Например, рассмотрим решение следующей задачи. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 и точки M, N, K на ребрах AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 соответственно (рис. 4). Постройте сечения параллелепипеда плоскостью MNK. Точки M и N одновременно лежат в плоскости AA 1 D 1 и в секущей плоскости. Значит, MN - линия пересечения двух указанных плоскостей. Аналогично получаем MK и KN. То есть, сечением будет треугольник MKN.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 13, 14, 15 стр. 50
2. Дан параллелепипед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 . М и N - середины ребер DC и A 1 B 1 .
а) Постройте точки пересечения прямых АМ и AN плоскостью грани ВВ 1 С 1 С.
б) Постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВ 1 С 1
3. Постройте сечения параллелепипеда АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через ВС 1 и середину М ребра DD 1 .
Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.
В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.
Пример.
Построить сечение плоскостью (MNP)
Треугольник MNP — сечение пирамиды
Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.
Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.
Треугольник MNP — искомое сечение.
Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.
Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.
Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.
Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.
Треугольник BKL — искомое сечение.
Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.
Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.
Продолжим прямую NP.
Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.
Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.
Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.
Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).
Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.
Получим след MT.
T — точка пересечения прямых MH и AC.
Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).
4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.
Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.
Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.
Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.
Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.
Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.
Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.
Таким образом, получили все то же сечение MNPT.
Рассмотрим еще один пример такого рода.
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).
Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).
Через точки M и P прямую провести не можем.
1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.
Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.
F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.
2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.
Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).
Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.
С самого раннего детства мы сталкиваемся с сечениями. Режем хлеб, колбасу и другие продукты, обстругиваем палочку или карандаш ножом. Секущей плоскостью во всех этих случаях является плоскость ножа. Сечения (срезы кусочков) оказываются различными.
Сечение выпуклого многогранника есть выпуклый многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многоугольника, а стороны- линиями пересечения секущей плоскости с гранями.
Для построения прямой пересечения двух плоскостей достаточно найти две общие точки этих плоскостей и провести через них прямую. Это основано на следующих утверждениях:
1.если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости;
2.если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Как я уже сказал ппостроение сечений многогранников можно осуществлять на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей. Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников. Наиболее эффективными являются следующие три метода:
Метод следов
Метод внутреннего проектирования
В изучении геометрии и, в особенности, тех её разделов, где рассматриваются изображения геометрических фигур, изображения геометрических фигур помогают использования компьютерных презентаций. С помощью компьютера многие уроки геометрии становятся более наглядной и динамичной. Аксиомы, теоремы, доказательства, задачи на построения, задачи на построения сечений можно сопровождать последовательными построениями на экране монитора. Сделанные с помощью компьютера чертежи можно сохранять и вставлять их в другие документы.
Хочу показать несколько слайдов по теме: «Построения сечений в геометрических телах»
Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную прямую. Тогда искомая точка является точкой пересечения найденной прямой с данной. Проследим это на следующих слайдах.
Задача 1.
На ребрах тетраэдра DABC отмечены две точки М и N; М GAD, N б DC. Укажите точку пересечения прямой MN с плоскостью основания.
Решение: для того, чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью
основания мы продолжим АС и отрезок MN. Отметим точку пересечения этих прямых через X. Точка X принадлежит прямой MN и грани АС, а АС лежит в плоскости основания, значит точка X тоже лежит в плоскости основания. Следовательно, точка X есть точка пересечения прямой MN с плоскостью основания.
Рассмотрим вторую задачу. Немного усложним его.
Задача 2.
Дан тетраэдр DABC точки М и N, где М € DA, N С (DBC). Найти точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC .
Решение: точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC должна лежать в плоскости, которая содержит прямую MN и в плоскости основания. Продолжим отрезок DN до точки пересечения с ребром DC. Точку пересечения отметим через Е. Продолжим прямую АЕ и MN до точки их пересечения. Отметим X. Точка X принадлежит MN, значит она лежит на плоскости которая содержит прямую MN и X принадлежит АЕ, а АЕ лежит на плоскости ABC. Значит X тоже лежит в плоскости ABC. Следовательно X и есть точка пересечения прямой MN и плоскости ABC.
Усложним задачу. Рассмотрим сечение геометрических фигур плоскостями, проходящими через три данные точки.
Задача 3
На ребрах AC, AD и DB тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение: построим прямую, по которой плоскость MNP. Пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезок АВ и NP. Точку пересечения отметим через X, которая и будет второй общей точкой плоскости MNP и ABC. Значит эти плоскости пересекаются по прямой MX . MX пересекает ребро ВС в некоторой точке Е. Так как Е лежит на MX, а MX прямая принадлежащей плоскости MNP, значит РЕ принадлежит MNP. Четырёхугольник MNPE искомое сечение.
Задача 4
Построим сечение прямой призмы АВСА1В1С1 плоскостью проходящей через точки P, Q ,R, где R принадлежит (AA 1C 1C ), Р принадлежит В 1С1,
Q принадлежит АВ
Решение: Все три точки P,Q,R лежат в разных гранях, поэтому построить линию пересечения секущей плоскости с какой- либо гранью призмы мы пока не можем. Найдем точку пересечения PR с ABC. Найдем проекции точек Р и R на плоскость основания PP1 перпендикулярно ВС и RR1 перпендикулярна АС. Прямая P1R1 пересекается с прямой PR в точке X. X точка пересечения прямой PR с плоскостью ABC. Она лежит в искомой плоскости К ив плоскости основания, как и точка Q. XQ- прямая пересекающая К с плоскостью основания. XQ пересекает АС в точке К. Следовательно, KQ отрезок пересечения плоскости Х с гранью ABC. К и R лежат в плоскости Х и в плоскости грани АА1С1С. Проведем прямую KR и точку пересечения с A1Q отметим Е. КЕ является линией пересечения плоскости Х с этой гранью. Найдем линию пересечения плоскости Х с плоскостью граней BB1A1A. КЕ пересекается с А1А в точке У. Прямая QY есть линия пересечения секущей плоскости с плоскостью AA1B1B. FPEKQ- искомое сечение.