Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Учреждение образования «Белорусская государственная
сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
Методические указания
по изучению темы «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
т.е.
уравнение, которое содержит искомую
функцию и её производные только в первой
степени и не содержит их произведений.
В этом уравнении
и
- некоторые числа, а функция
задана на некотором интервале
.
Если
на интервале
,
то уравнение (1) примет вид
,
(2)
и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным .
Рассмотрим комплексную функцию
,
(3)
где
и
- действительные функции. Если функция
(3) является комплексным решением
уравнения (2), то и действительная часть
,
и мнимая часть
решения
в отдельности являются решениями этого
же однородного уравнения. Таким образом,
всякое комплексное решение уравнения
(2) порождает два действительных решения
этого уравнения.
Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
Если
есть решение уравнения (2), то и функция
,
гдеС
– произвольная постоянная, также будет
решением уравнения (2);
Если
и
есть решения уравнения (2), то и функция
также будет решением уравнения (2);
Если
и
есть решения уравнения (2), то их линейная
комбинация
также будет решением уравнения (2), где
и
– произвольные постоянные.
Функции
и
называютсялинейно
зависимыми
на интервале
,
если существуют такие числа
и
,
не равные нулю одновременно, что на этом
интервале выполняется равенство
Если
равенство (4) имеет место только тогда,
когда
и
,
то функции
и
называютсялинейно
независимыми
на интервале
.
Пример
1
.
Функции
и
линейно зависимы, так как
на
всей числовой прямой. В этом примере
.
Пример
2
.
Функции
и
линейно независимы на любом интервале,
т. к. равенство
возможно лишь в случае, когда и
,
и
.
Построение общего решения линейного однородного
уравнения
Для
того, чтобы найти общее решение уравнения
(2), нужно найти два его линейно независимых
решения
и
.
Линейная комбинация этих решений
,
где
и
– произвольные постоянные, и даст общее
решение линейного однородного уравнения.
Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать в виде
,
(5)
где
– некоторое число. Тогда
,
.
Подставим эти выражения в уравнение
(2):
или
.
Так
как
,
то
.
Таким образом, функция
будет решением уравнения (2), если
будет удовлетворять уравнению
.
(6)
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.
Пусть
и
есть корни этого уравнения. Они могут
быть или действительными и различными,
или комплексными, или действительными
и равными. Рассмотрим эти случаи.
Пусть
корни
и
характеристического уравнения
действительные и различны. Тогда
решениями уравнения (2) будут функции
и
.
Эти решения линейно независимы, так как
равенство
может выполняться лишь тогда, когда и
,
и
.
Поэтому общее решение уравнения (2) имеет
вид
,
где
и
- произвольные постоянные.
Пример
3
.
Решение
.
Характеристическим уравнением для
данного дифференциального будет
.
Решив это квадратное уравнение, найдём
его корни
и
.
Функции
и
являются решениями дифференциального
уравнения. Общее решение этого уравнения
имеет вид
.
Комплексным
числом
называется выражение вида
,
где
и
- действительные числа, а
называется мнимой единицей. Если
,
то число
называется чисто мнимым. Если же
,
то число
отождествляется с действительным числом
.
Число
называется
действительной частью комплексного
числа, а
-
мнимой частью. Если два комплексных
числа отличаются друг от друга только
знаком мнимой части, то они зазываются
сопряжёнными:
,
.
Пример
4
.
Решить квадратное уравнение
.
Решение
.
Дискриминант уравнения
.
Тогда.
Аналогично,
.
Таким образом, данное квадратное
уравнение имеет сопряжённые комплексные
корни.
Пусть
корни характеристического уравнения
комплексные, т.е.
,
,
где
.
Решения уравнения (2) можно записать в
виде
,
или
,
.
По формулам Эйлера
,
.
Тогда
,.
Как известно, если комплексная функция
является решением линейного однородного
уравнения, то решениями этого уравнения
являются и действительная, и мнимая
части этой функции. Таким образом,
решениями уравнения (2) будут функции
и
.
Так как равенство
может
выполняться только в том случае, если
и
,
то эти решения линейно независимы.
Следовательно, общее решение уравнения
(2) имеет вид
где
и
- произвольные постоянные.
Пример
5
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Уравнение
является характеристическим для данного
дифференциального. Решим его и получим
комплексные корни
,
.
Функции
и
являются линейно независимыми решениями
дифференциального уравнения. Общее
решение этого уравнения имеет вид.
Пусть
корни характеристического уравнения
действительные и равные, т.е.
.
Тогда решениями уравнения (2) являются
функции
и
.
Эти решения линейно независимы, так как
выражениеможет быть тождественно равным нулю
только тогда, когда
и
.
Следовательно, общее решение уравнения
(2) имеет вид
.
Пример
6
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Характеристическое уравнение
имеет равные корни
.
В этом случае линейно независимыми
решениями дифференциального уравнения
являются функции
и
.
Общее решение имеет вид
.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
и специальной правой частью
Общее
решение линейного неоднородного
уравнения (1) равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения
и любого частного решения
неоднородного уравнения:
.
В
некоторых случаях частное решение
неоднородного уравнения можно найти
довольно просто по виду правой части
уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда
это возможно.
т.е.
правая часть неоднородного уравнения
является многочленом степени m
.
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде многочлена
степениm
,
т.е.
Коэффициенты
определяются в процессе нахождения
частного решения.
Если
же
является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде
Пример
7
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Соответствующим однородным уравнением
для данного уравнения является
.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
и
.
Общее решение однородного уравнения
имеет вид
.
Так
как
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения будем искать в виде функции
.
Найдём производные этой функции
,
и подставим их в данное уравнение:
или
.
Приравняем коэффициенты при
и свободные члены:
Решив
данную систему, получим
,
.
Тогда частное решение неоднородного
уравнения имеет вид
,
а общим решением данного неоднородного
уравнения будет сумма общего решения
соответствующего однородного уравнения
и частного решения неоднородного:
.
Пусть неоднородное уравнение имеет вид
Если
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде.
Если же
есть корень характеристического
уравнения кратностиk
(k
=1
или k
=2),
то в этом случае частное решение
неоднородного уравнения будет иметь
вид
.
Пример
8
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение
.
Характеристическое уравнение для
соответствующего однородного уравнения
имеет вид
.
Его корни
,
.
В этом случае общее решение соответствующего
однородного уравнения записывается в
виде
.
Так
как число 3 не является корнем
характеристического уравнения, то
частное решение неоднородного уравнения
следует искать в виде
.
Найдём производные первого и второго
порядков:,
Подставим в дифференциальное уравнение:
+
+,
+,.
Приравняем
коэффициенты при
и свободные члены:
Отсюда
,
.
Тогда частное решение данного уравнения
имеет вид
,
а общее решение
.
Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных можно применять к любому неоднородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами независимо от вида правой части. Этот метод позволяет всегда найти общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Пусть
и
являются линейно независимыми решениями
уравнения (2). Тогда общим решением этого
уравнения является
,
где
и
-
произвольные постоянные. Суть метода
вариации произвольных постоянных
состоит в том, что общее решение уравнения
(1) ищется в виде
где
и
- новые неизвестные функции, которые
необходимо найти. Так как неизвестных
функций две, то для их нахождения
необходимы два уравнения, содержащие
эти функции. Эти два уравнения составляют
систему
которая
является линейной алгебраической
системой уравнений относительно
и
.
Решая данную систему, найдём
и
.
Интегрируя обе части полученных равенств,
найдём
и
.
Подставив эти выражения в (9), получим общее решение неоднородного линейного уравнения (1).
Пример
9
.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение.
Характеристическим уравнением для
однородного уравнения, соответствующего
данному дифференциальному уравнению,
является
.
Корни его комплексные
,
.
Так как
и
,
то
,
,
а общее решение однородного уравнения
имеет вид.
Тогда общее решение данного неоднородного
уравнения будем искать в виде,
где
и
-
неизвестные функции.
Система уравнений для нахождения этих неизвестных функций имеет вид
Решив
эту систему, найдём
,
.
Тогда
,
.
Подставим полученные выражения в формулу
общего решения:
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения, полученное по методу Лагранжа.
Вопросы для самоконтроля знаний
Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?
Какое линейное дифференциальное уравнение называется однородным, а какое – неоднородным?
Какими свойствами обладает линейное однородное уравнение?
Какое уравнение называется характеристическим для линейного дифференциального уравнения и как оно получается?
В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае разных корней характеристического уравнения?
В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?
В каком виде записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?
Как записывается общее решение линейного неоднородного уравнения?
В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если корни характеристического уравнения различны и не равны нулю, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?
В каком виде ищется частное решение линейного неоднородного уравнения, если среди корней характеристического уравнения есть один нуль, а правая часть уравнения есть многочлен степени m ?
В чём суть метода Лагранжа?
Мы убедились, что, в случае когда известно общее решение линейного однородного уравнения, можно по методу вариации произвольных постоянных найти общее решение неоднородного уравнения. Однако вопрос о том, как найти общее решение однородного уравнения, остался открытым. В частном случае, когда в линейном дифференциальном уравнении (3) все коэффициенты р i (х ) = а i - константы, он решается достаточно просто, даже без интегрирования.
Рассмотримлинейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида
y (n ) + а 1 y (n – 1) +… а n – 1 y " + а n y = 0, (14)
где а i - константы (i = 1, 2, ..., n ).
Как известно, для линейного однородного уравнения 1-го порядка решением является функция вида е kx . Будем искать решение уравнения (14) в виде j (х ) = е kx .
Подставим в уравнение (14) функцию j (х ) и ее производные порядка m (1 £ m £ n )j (m ) (х ) = k m е kx . Получим
(k n + а 1 k n – 1 +… а n – 1 k + а n )е kx = 0,
но е k х ¹ 0 при любом х , поэтому
k n + а 1 k n – 1 +… а n – 1 k + а n = 0. (15)
Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, многочлен, стоящий в левой части, - характеристическим многочленом , его корни - характеристическими корнями дифференциального уравнения (14).
Вывод:
функция j (х ) = е kx - решение линейного однородного уравнения (14)тогда и только тогда, когда число k - корень характеристического уравнения (15).
Таким образом, процесс решения линейного однородного уравнения (14) сводится к решению алгебраического уравнения (15).
Возможны различные случаи характеристических корней.
1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.
В этом случае n различным характеристическим корням k 1 , k 2 , ..., k n соответствует n различныx решений однородного уравнения (14)
Можно показать, что эти решения линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, общим решением уравнения является функция
где С 1 , C 2 , ..., С n - произвольные константы.
П р и м е р7. Найти общее решение линейного однородного уравнения:
а) у ¢¢ (х ) - 6у ¢ (х ) + 8у (х ) = 0,б) у ¢¢¢ (х ) + 2у ¢¢ (х ) - 3у ¢ (х ) = 0.
Решение. Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим производную порядка m функции y (x ) на соответствующую степень
k (у (m ) (x ) « k m ),
при этом сама функция у (х ) как производная нулевого порядка заменяется на k 0 = 1.
В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид k 2 - 6k + 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения k 1 = 2, k 2 = 4. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид j (х ) = С 1 е 2х + С 2 е 4х.
Для случая (б) характеристическим уравнением является уравнение 3-йстепени k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Найдем корни этого уравнения:
k (k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0и k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
т. е. k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Этим характеристическим корням соответствует фундаментальная система решений дифференциального уравнения:
j 1 (х ) = е 0х = 1, j 2 (х ) = е х , j 3 (х ) = е - 3х .
Общим решением, согласно формуле (9), является функция
j (х ) = С 1 + С 2 е х + С 3 е - 3х .
II. Все корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.
Все коэффициенты дифференциального уравнения (14), а следовательно, и его характеристического уравнения (15) - действительные числа, значит, если c реди характеристических корней есть комплексный корень k 1 = а + ib, то есть и сопряженный ему корень k 2 = ` k 1 = а - ib. Первому корню k 1 соответствует решение дифференциального уравнения (14)
j 1 (х ) = е (a + ib )х = е a х е ibх = е aх (cosbx + isinbx )
(воспользовались формулой Эйлера е i х = cosx + isinx ). Аналогично, корнюk 2 = а - ib соответствует решение
j 2 (х ) = е (a - -ib )х = е a х е - ib х = е aх (cosbx - isinbx ).
Данные решения являются комплексными. Чтобы получить из них действительные решения, воспользуемся свойствами решений линейного однородного уравнения (см. 13.2). Функции
являются действительными решениями уравнения (14). Кроме того, эти решения линейно независимы . Таким образом, можно сделать следующий вывод.
Правило 1 . Паре сопряженных комплексных корней а ± ib характеристического уравнения в ФСР линейного однородного уравнения (14) соответствует два действительных частных решения и .
П р и м е р8. Найти общее решение уравнения:
а) у ¢¢ (х ) - 2у ¢ (х ) + 5у (х ) = 0 ;б) у ¢¢¢ (х ) - у ¢¢ (х ) + 4у ¢ (х ) - 4у (х ) = 0.
Решение. В случае уравнения (а) корнями характеристического уравнения k 2 - 2k + 5 = 0 являются два сопряженных комплексных числа
k 1, 2 = .
Следовательно, им, согласно правилу 1, соответствует два действительных линейно независимых решения: и ,а общим решением уравнения является функция
j (х ) = С 1 е х cos 2x + С 2 е х sin 2x.
В случае (б), чтобы найти корни характеристического уравненияk 3 - k 2 + 4k - 4 = 0, разложим на множители его левую часть:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Следовательно, имеем три характеристических корня: k 1 = 1, k 2 , 3 = ± 2i. Корню k 1 соответствует решение , а паре сопряженных комплексных корней k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i - два действительных решения: и . Составляем общее решение уравнения:
j (х ) = С 1 е х + С 2 cos 2x + С 3 sin 2x.
III. C реди корней характеристического уравнения есть кратные.
Пусть k 1 - действительный корень кратности m характеристического уравнения (15), т. е. среди корней есть m равных корней. Каждому из них соответствует одно и то же решение дифференциального уравнения (14) Однако включить m равных решений в ФСР нельзя, так как они составляют линейно зависимую систему функций.
Можно показать, что в случае кратного корня k 1 решениями уравнения (14), кроме функции являются функции
Функции линейно независимы на всей числовой оси, так как , т. е. их можно включить в ФСР.
Правило 2. Действительному характеристическому корню k 1 кратности m в ФСР соответствует m решений:
Если k 1 - комплексный корень кратности m характеристического уравнения (15), то существует сопряженный ему корень k 1 кратности m . По аналогии получаем следующее правило.
Правило 3 . Паре сопряженных комплексных корней a ± ib в ФСР соответствует 2mдействительных линейно независимых решений:
, , ..., ,
, , ..., .
П р и м е р9. Найти общее решение уравнения:
а) у ¢¢¢ (х ) + 3у ¢¢ (х ) + 3у ¢ (х ) + у( х )= 0;б) у IV (х ) + 6у ¢¢ (х ) + 9у (х ) = 0.
Решение. В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
т. е. k = - 1 - корень кратности 3. На основании правила 2 записываем общее решение:
j (х ) = С 1 + С 2 x + С 3 x 2 .
Характеристическим уравнением в случае (б) является уравнение
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
или, иначе,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i .
Имеем пару сопряженных комплексных корней, каждый из которых кратности 2. Согласно правилу 3 общее решение записывается в виде
j (х ) = С 1 + С 2 x + С 3 + С 4 x .
Из сказанного выше следует, что для любого линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами можно найти фундаментальную систему решений и составить общее решение. Следовательно, решение соответствующего неоднородного уравнения при любой непрерывной функции f (x ) в правой части можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных (см. параграф 5.3).
П р и м е р10.Методом вариации найти общее решение неоднородного уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = x e 2x .
Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = 0. Корнями характеристического уравнения k 2 - k - 6 = 0 являются k 1 = 3, k 2 = - 2, а общим решением однородного уравнения - функция ` у( х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х .
Будем искать решение неоднородного уравнения в виде
у ( х ) = С 1 (х )е 3х + С 2 (х )е 2х . (*)
Найдем определитель Вронского
W [е 3х , е 2х ] = .
Составим систему уравнений (12) относительно производных неизвестных функций С ¢ 1 (х ) и С ¢ 2 (х ):
Решая систему по формулам Крамера, получим
Интегрируя, найдем С 1 (х ) и С 2 (х ):
Подставляя функции С 1 (х ) и С 2 (х ) в равенство (*), получим общее решение уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = x e 2x :
В случае когда правая часть линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет специальный вид, частное решение неоднородного уравнения можно найти, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим уравнение c постоянными коэффициентами
y (n ) + а 1 y (n – 1) +… а n – 1 y " + а n y = f (x ), (16)
f ( x ) = е ax (P n (x )cosbx + R m (x )sinbx ), (17)
где P n (x ) и R m (x ) - многочлены степени n и m соответственно.
Частное решение у* (х ) уравнения (16) определяется формулой
у * (х ) = x s е ax (M r (x )cosbx + N r (x )sinbx ), (18)
гдеM r (x ) иN r (x ) - многочлены степени r = max (n, m ) с неопределенными коэффициентами, а s равно кратности корня k 0 = a + ib характеристического многочлена уравнения (16), при этом полагают s = 0, если k 0 не является характеристическим корнем.
Чтобы по формуле (18) составить частное решение, нужно найти четыре параметра - a, b, r и s. Первые три определяются по правой части уравнения, причем r - это фактически наивысшая степень x , встречающаяся в правой части. Параметр s находится из сравнения числа k 0 = a + ib и набора всех (c учетом кратностей) характеристических корней уравнения (16), которые находятся при решении соответствующего однородного уравнения.
Рассмотрим частные случаи вида функции (17):
1) при a ¹ 0, b = 0f (x )= e ax P n (x );
2) при a = 0, b ¹ 0f (x )= P n (x ) с osbx + R m (x )sinbx;
3) при a = 0, b = 0f (x ) = P n (x ).
Замечание 1. Если P n (x) º 0 или R m (x) º 0, то правая часть уравненияf(x) = e ax P n (x)с osbx или f(x) = e ax R m (x)sinbx, т. е. содержит только одну из функций - косинус или синус. Но в записи частного решения они должны присутствовать обе, так как, согласно формуле (18), каждая из них умножается на многочлен с неопределенными коэффициентами одной и той же степени r = max(n, m).
П р и м е р 11. Определить вид частного решения линейного однородного уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами, если известна правая часть уравнения f (х ) = e x (2xcos 3x + (x 2 + 1)sin 3x ) и корни характеристического уравнения:
а) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3, k 4 = - 1;
б) k 1, 2 = 1 ± 3i , k 3, 4 = ± 1;
в) k 1, 2 = 1 ± 3i , k 3, 4 = 1 ± 3i.
Решение. По правой части находим, что в частном решении у *(х ), которое определяется формулой (18), параметры: a = 1, b = 3, r = 2. Они остаются неизменными для всех трех случаев, следовательно, число k 0 , которое определяет последний параметр s формулы (18) равно k 0 = 1+ 3i . В случае (а) среди характеристических корней нет числа k 0 = 1 + 3i, значит, s = 0, а частное решение имеет вид
у* (х ) = x 0 е x (M 2 (x )cos 3x + N 2 (x )sin 3x ) =
= е x ( (Ax 2 + Bx + C )cos 3x + (A 1 x 2 + B 1 x + C 1)sin 3x.
В случае (б) число k 0 = 1 + 3i встречается среди характеристических корней один раз, значит, s = 1 и
у* (х ) = х е x ((Ax 2 + Bx + C )cos 3x + (A 1 x 2 + B 1 x + C 1)sin 3x.
Для случая (в) имеем s = 2 и
у* (х ) = х 2 е x ((Ax 2 + Bx + C )cos 3x + (A 1 x 2 + B 1 x + C 1)sin 3x.
В примере 11 в записи частного решения присутствуют два многочлена 2-й степени с неопределенными коэффициентами. Для нахождения решения нужно определить числовые значения этих коэффициентов. Сформулируем общее правило.
Для определения неизвестных коэффициентов многочленов M r (x ) и N r (x ) равенство (17) дифференцируют нужное число раз, подставляют функцию у* (х ) и ее производные в уравнение (16). Сравнивая его левую и правую части, получают систему алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов.
П р и м е р 12. Найти решение уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = xe 2x , определив частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
у ( х ) = ` у (х ) + у* (х ),
где ` у( х ) - общее решение соответствующего однородного уравнения, а у* (х ) - частное решение неоднородного уравнения.
Сначала решим однородное уравнение у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = 0. Его характеристическое уравнение k 2 - k - 6 = 0 имеет два корня k 1 = 3, k 2 = - 2, следовательно, ` у( х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х .
Воспользуемся формулой (18) для определения вид частного решения у *(х ). Функция f (x ) = xe 2x представляет собой частный случай (а) формулы (17), при этом a = 2, b = 0 и r = 1, т. е. k 0 = 2 + 0i = 2. Сравнивая с характеристическими корнями, заключаем, что s = 0. Подставляя значения всех параметров в формулу (18), имеем у* (х ) = (Ах + B )e 2х .
Чтобы найти значения А и В , найдем производные первого и второго порядков функции у* (х ) = (Ах + B )e 2х :
у* ¢ (х ) = Аe 2х + 2(Ах + B )e 2х = (2Ах + А + 2B )e 2х,
у* ¢¢ (х ) = 2Аe 2х + 2(2Ах + А + 2B )e 2х = (4Ах + 4А + 4B )e 2х .
После подстановки функции у* (х ) и ее производных в уравнение имеем
(4Ах + 4А + 4B )e 2х - (2Ах + А + 2B )e 2х - 6(Ах + B )e 2х = xe 2x Þ Þ A = - 1/4, B = - 3/16.
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
у* (х ) = (- 1/4х - 3/16)e 2х ,
а общее решение - у( х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х + (- 1/4х - 3/16)e 2х .
Замечание 2. В том случае, когда поставлена задача Коши для неоднородного уравнения, нужно сначала найти общее решение уравнения
у ( х ) = ,
определив все числовые значения коэффициентов в у *(х ). Затем воспользоваться начальными условиями и, подставив их в общее решение (а не в у* (х )), найти значения констант C i .
П р и м е р 13. Найти решение задачи Коши:
у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = xe 2x ,у (0) = 0, у ¢ (х ) = 0.
Решение. Общее решение этого уравнения
у (х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х + (- 1/4х - 3/16)e 2х
было найдено в примере 12. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям данной задачи Коши, получаем систему уравнений
Решая ее, имеем C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Следовательно, решением задачи Коши является функция
у (х ) = 1/8е 3х + 1/16е - 2х + (- 1/4х - 3/16)e 2х .
Замечание 3 (принцип суперпозиции ). Если в линейном уравнении L n [y (x )] = f (x ), где f (x ) = f 1 (x ) + f 2 (x ) и у* 1 (x ) - решение уравнения L n [y (x )] = f 1 (x ), а у* 2 (x ) - решение уравнения L n [y (x )] = f 2 (x ), то функция у* (х ) = у* 1 (x ) + у* 2 (x ) является решением уравнения L n [y (x )] = f (x ).
П р и м е р14. Указать вид общего решения линейного уравнения
у ¢¢ (х ) + 4у (х ) = х + sinx.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения
` у (x ) = С 1 сos 2x + С 2 sin 2x ,
так как характеристическое уравнение k 2 + 4 = 0 имеет корни k 1, 2 = ± 2i .Правая часть уравнения не соответствует формуле (17), но если ввести обозначения f 1 (x ) = х , f 2 (x ) = sinx и воспользоваться принципом суперпозиции, то частное решение неоднородного уравнения можно найти в видеу* (х ) = у* 1 (x ) + у* 2 (x ), где у* 1 (x ) - решение уравнения у ¢¢ (х ) + 4у (х ) = х , а у* 2 (x ) - решение уравнения у ¢¢ (х ) + 4у (х ) = sinх. По формуле (18)
у* 1 (x ) = Ах + В ,у* 2 (x ) = Ссosx + Dsinx.
Тогда частное решение
у* (х ) = Ах + В + Ссosx + Dsinx ,
следовательно, общее решение имеет вид
у (х ) = С 1 сos 2x + С 2 е - 2х+ А х + В + Ссosx + Dsinx.
П р и м е р15. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с эдс e (t ) = E sin w t, индуктивности L и емкости С , причем
Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y "" + p · y " + q · y = f (x) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f (х) непрерывная на интервале интегрирования x .
Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Теорема общего решения ЛДНУ
Теорема 1Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрерывной функцией f (x) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y ~ , где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y ~ .
Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y ~ . Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y ~ .
Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f (x) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.
Когда f (x) считается за многочлен n -ой степени f (x) = P n (x) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y ~ = Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y ~ является частным решением y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n (x) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 1
Вычислить по теореме Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y "" - 2 y " = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y ~ , то есть y = y 0 + y ~ .
Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.
Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .
Найдем y ~ . Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y ~ будет
y ~ = Q 2 (x) · x γ = (A x 2 + B x + C) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.
Найдем их из равенства вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогда получим, что:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = - 1 6 , B = - 1 4 , C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Получаем, что:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Применив теорему Коши, имеем, что
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Когда функция f (x) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f (x) = P n (x) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .
Коэффициенты, принадлежащие Q n (x) находятся по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Уравнение общего вида y = y 0 + y ~ . Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y "" - 2 y " = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.
Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
А, В, С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Получили, что
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 · x 2 + 0 · x + 1
Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А, В, С:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Ответ: видно, что y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.
Когда функция записывается как f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:
y 0 = e 0 · (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Отсюда видно, что поиск y ~ будет производиться из y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) · x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Преобразуем:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) · x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогда видно, что
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Следует, что y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) · x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x .
Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x
Когда f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогда y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n (x) , Q k (x) , L m (x) и N m (x) являются многочленами степени n , k , т, m , где m = m a x (n , k) . Нахождение коэффициентов L m (x) и N m (x) производится, исходя из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Найти общее решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
По условию видно, что
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Тогда m = m a x (n , k) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y ~ вида
y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) · x 0 = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Известно, что А, В, С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Нахождение производной и подобных слагаемых дает
E 3 x · ((15 A + 23 C) · x · sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) · sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) + + 8 · x · cos (5 x) - 5 · cos (5 x))
После приравнивания коэффициентов получаем систему вида
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Из всего следует, что
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритм решения ЛДНУ
Определение 1Любой другой вид функции f (x) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:
- нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
- принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- определение производных функции через систему вида C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , а нахождение функций C 1 (x) и C 2 (x) посредствам интегрирования.
Пример 5
Найти общее решение для y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Решение
Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y "" + 36 y = 0 . Запишем и решим:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 (x) и C 2 (x) по системе с уравнениями:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Необходимо произвести решение относительно C 1 " (x) и C 2 " (x) при помощи любого способа. Тогда запишем:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Каждое из уравнений следует проинтегрировать. Тогда запишем получившиеся уравнения:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 · cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 · sin (6 x) = = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)
Ответ: y = y 0 + y ~ = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter