ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. തുറന്ന ലൈബ്രറി - വിദ്യാഭ്യാസ വിവരങ്ങളുടെ തുറന്ന ലൈബ്രറി

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദു x 0 ൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ x ഒരു ഏകപക്ഷീയ ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. x - x 0 എന്ന വ്യത്യാസത്തെ സാധാരണയായി x 0 പോയിൻ്റിലെ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ (അല്ലെങ്കിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ്) വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് Δx എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ,

Δx = x –x 0,

അത് എവിടെ നിന്നാണ് പിന്തുടരുന്നത്

പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് -രണ്ട് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ ചെയ്തത് = f(x), തുല്യമായ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് എക്സ് 0 . വാദത്തിന് ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഡി നൽകാം എക്സ്, ᴛ.ᴇ. വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം തുല്യമായി പരിഗണിക്കുക x 0+D എക്സ്. ഈ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യവും ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിക്കുള്ളിലാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ വ്യത്യാസം ഡി വൈ = f(x 0+D X) – f(x 0)ഇതിനെ സാധാരണയായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ x- പ്രവർത്തനം സാധാരണയായി Δ സൂചിപ്പിക്കുന്നു x fപുതിയ വേരിയബിളിൽ നിന്ന് Δ xആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്

Δ x f(Δ x) = എഫ്(x + Δ x) − എഫ്(x).

പോയിൻ്റ് x 0 if-ൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 2. x = 1, ∆x = 0.1 ആണെങ്കിൽ f(x) = x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2

∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. + ∆x 2 /

x=1, ∆x= 0.1 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21 ലഭിക്കും

x 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും കണ്ടെത്തുക

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2.4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0.8

4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3.8

നിർവ്വചനം: ഡെറിവേറ്റീവ്ഒരു ഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ അത് പരിമിതമാണെങ്കിൽ) വിളിക്കുന്നത് പതിവാണ്, രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ.

ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് നൊട്ടേഷനുകൾ ഇവയാണ്:

അങ്ങനെ,

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധാരണയായി വിളിക്കപ്പെടുന്നു വ്യത്യാസം . പരിചയപ്പെടുത്തി ഒരു വ്യതിരിക്തമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം: ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള f ഫംഗ്‌ഷനെ സാധാരണയായി ഈ ഇടവേളയിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കട്ടെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സാധാരണയായി അയൽപക്കത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു യു(x 0) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

എഫ്(x 0 + എച്ച്) = എഫ്(x 0) + ആഹ് + ഒ(എച്ച്)

നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ.

ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ f(x)ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു (എ; ബി), എന്നിവയാണ് ഈ ഇടവേളയുടെ പോയിൻ്റുകൾ.

നിർവ്വചനം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് f(x)ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധിയെ വിളിക്കുന്നത് പതിവാണ്. സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

അവസാന പരിധി ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അന്തിമ മൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു പോയിൻ്റിൽ പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ്. പരിധി അനന്തമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് പറയുന്നു ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ അനന്തമാണ്. പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, പിന്നെ ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല.

ഫംഗ്ഷൻ f(x)ഒരു പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ളപ്പോൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ f(x)ചില ഇടവേളകളിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (എ; ബി), ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷനെ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് xഇടയിൽ നിന്ന് (എ; ബി)ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യവുമായി നമുക്ക് പൊരുത്തപ്പെടാൻ കഴിയും, അതായത്, ഒരു പുതിയ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കാനുള്ള അവസരമുണ്ട്, അതിനെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. f(x)ഇടവേളയിൽ (എ; ബി).

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ സാധാരണയായി ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മെഡിക്കൽ, ബയോളജിക്കൽ ഫിസിക്സിൽ

പ്രഭാഷണം നമ്പർ 1

ഡെറിവേറ്റീവ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ.

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

1. ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം, അതിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

എ ) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനവ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) നൽകട്ടെ, ഇവിടെ x എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യമാണ്. ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ x o, x എന്നിവയുടെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു: x - x o = ∆x.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ മൂല്യം x 0 വഴിയും അതിൻ്റെ വർദ്ധനവ് വഴിയും നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്: x = x o + ∆x.

രണ്ട് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ∆y =∆f = f(x o +∆x) - f(x o).

ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെയും വർദ്ധനവ് ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (ചിത്രം 1). ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റും ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആകാം. ചിത്രം 1-ൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, ജ്യാമിതീയമായി, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ∆х ൻ്റെ വർദ്ധനവ് അബ്‌സിസ്സയുടെ വർദ്ധനവും ∆у എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ കണക്കാക്കണം:

ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിന് ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് ∆x നൽകുകയും മൂല്യം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു - x+Δx;

2) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യത്തിനായുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക (x+∆x) - f(x+∆x);

3) ∆f=f(x + ∆x) - f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം:ആർഗ്യുമെൻ്റ് x o =1 ൽ നിന്ന് x=3 ആയി മാറിയെങ്കിൽ, y=x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് നിർണ്ണയിക്കുക. x o എന്ന പോയിൻ്റിന് f(x o) = x²o എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം; പോയിൻ്റിന് (x o +∆x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, എവിടെ നിന്ന് ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆х = 3-1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.

b)ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം, അതിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം.

ചില പ്രക്രിയകളുടെ വേഗത നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ചരിത്രപരമായി ഉയർന്നുവന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് വാദത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനവ് എന്ന ആശയം ആവശ്യമാണ്.

റക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിൻ്റെ വേഗത നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. നിയമം അനുസരിച്ച് ശരീരം നേർരേഖയായി നീങ്ങട്ടെ: ∆S= ·∆t. ഏകീകൃത ചലനത്തിന്:= ∆S/∆t.

ഒന്നിടവിട്ടുള്ള ചലനത്തിന്, മൂല്യം ∆Ѕ/∆t മൂല്യം  ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. , അതായത്  ശരാശരി. =∆S/∆t എന്നാൽ ശരീരത്തിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രതിഫലിപ്പിക്കാനും t സമയത്തെ യഥാർത്ഥ വേഗതയെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം നൽകാനും ശരാശരി വേഗത സാധ്യമാക്കുന്നില്ല. സമയം കുറയുമ്പോൾ, അതായത്. ∆t→0-ൽ ശരാശരി വേഗത അതിൻ്റെ പരിധിയിലേക്ക് മാറുന്നു - തൽക്ഷണ വേഗത:

 തൽക്ഷണം =
 ശരാശരി =
∆S/∆t.

ഒരു രാസപ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തൽക്ഷണ നിരക്ക് അതേ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

 തൽക്ഷണം =
 ശരാശരി =
∆х/∆t,

ഇവിടെ x എന്നത് t സമയത്ത് ഒരു രാസപ്രവർത്തന സമയത്ത് ഉണ്ടാകുന്ന പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ അളവാണ്. വിവിധ പ്രക്രിയകളുടെ വേഗത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന ആശയം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു.

]a എന്ന ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, [അതായത് അതിൻ്റെ വർദ്ധനവ് ∆f=f(x+∆x)–f(x).
∆x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ് കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ ശരാശരി നിരക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

അനുപാത പരിധി , ∆х→0, ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു :

y" x =

.

ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
– (യെല്ലോ സ്ട്രോക്ക് ഓൺ x);f " (x) – (eff സ്ട്രോക്ക് ഓൺ x) ; y" – (ഗ്രീക്ക് സ്ട്രോക്ക്); dy/dх – (de igrek by de x); - (ഒരു ഡോട്ടുള്ള ഗ്രീക്ക്).

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിൻ്റെ തൽക്ഷണ വേഗത പാതയുടെ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം:

 തൽക്ഷണം = എസ്" ടി = എഫ് " (ടി).

അതിനാൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തൽക്ഷണ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് ആണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം:

y" x =f " (x)= തൽക്ഷണം.

ഇതാണ് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാൽ "ഒരു ഫംഗ്ഷനെ വേർതിരിക്കുക" എന്ന പദപ്രയോഗം "ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക" എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമാണ്.

വി)ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

പി
y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് ചില ഘട്ടത്തിൽ M എന്ന വക്രരേഖയിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റ് എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. അതേ സമയം, ടാൻജെൻ്റ്, അതായത്. ഒരു നേർരേഖ വിശകലനപരമായി y = kx = tan· x ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, എവിടെ – X അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ് (നേർരേഖ) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y = f(x) ആയി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം, വക്രത്തിലെ ഒരു പോയിൻ്റ് M1 എടുത്ത് അതിനോട് അടുത്ത് ഒരു പോയിൻ്റ് വരയ്ക്കുക. അവരിലൂടെ. അതിൻ്റെ ചരിവ് സെക്കൻ്റ് =tg β = .നമ്മൾ പോയിൻ്റ് M 1 നെ M ലേക്ക് അടുപ്പിച്ചാൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ വർദ്ധനവ് ∆x പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കും, β=α-ലെ സെക്കൻ്റ് ഒരു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം എടുക്കും. ചിത്രം 2-ൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: tgα =
tgβ =
=y" x. എന്നാൽ tgα ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യമാണ്:

k = tgα =
=y" x = f " (എക്സ്). അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം, സ്പർശന ബിന്ദുവിലെ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇതാണ് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

ജി)ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പൊതു നിയമം.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും അനുപാതം രൂപപ്പെടുത്തുക:

;

ഉദാഹരണം: f(x)=x 2 ; എഫ് " (x)=?.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് പോലും കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എടുക്കുമ്പോൾ നിർദ്ദിഷ്ട ക്രമം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഒരു അധ്വാനവും സങ്കീർണ്ണവുമായ പ്രക്രിയയാണ്. അതിനാൽ, വിവിധ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കായി, പൊതുവായ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അവ "ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിനുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ" ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഓർക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്.

ശരി, നമുക്ക് കൂടുതൽ ദൂരം പോകരുത്, നമുക്ക് വിപരീത പ്രവർത്തനം ഉടൻ പരിഗണിക്കാം. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീത ഫംഗ്‌ഷൻ ഏതാണ്? ലോഗരിതം:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം സംഖ്യയാണ്:

അത്തരമൊരു ലോഗരിതം (അതായത്, ഒരു അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം) "സ്വാഭാവികം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: പകരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

ഇത് എന്തിന് തുല്യമാണ്? തീർച്ചയായും, .

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും വളരെ ലളിതമാണ്:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

1. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
2. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?

ഉത്തരങ്ങൾ: എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നുള്ള അദ്വിതീയമായ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. മറ്റേതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് മറ്റൊരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോയ ശേഷം പിന്നീട് വിശകലനം ചെയ്യും.

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ

എന്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ? വീണ്ടും ഒരു പുതിയ പദം, വീണ്ടും?!...

വ്യത്യാസംഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയാണ്.

അത്രയേയുള്ളൂ. ഒറ്റവാക്കിൽ ഈ പ്രക്രിയയെ മറ്റെന്താണ് വിളിക്കാൻ കഴിയുക? ഡെറിവേറ്റീവ് അല്ല... ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഡിഫറൻഷ്യലിനെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ അതേ ഇൻക്രിമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പദം ലാറ്റിൻ വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്നാണ് വന്നത് - വ്യത്യാസം. ഇവിടെ.

ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം ഉരുത്തിരിയുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, കൂടാതെ. അവരുടെ ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾക്കായി ഞങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകളും ആവശ്യമാണ്:

ആകെ 5 നിയമങ്ങളുണ്ട്.

സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു.

എങ്കിൽ - ചില സ്ഥിരമായ സംഖ്യ (സ്ഥിരമായത്), പിന്നെ.

വ്യക്തമായും, ഈ നിയമം വ്യത്യാസത്തിനും പ്രവർത്തിക്കുന്നു: .

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. അത് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായിരിക്കട്ടെ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:

1. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ;
2. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ;
3. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ;
4. പോയിൻ്റിൽ.

പരിഹാരങ്ങൾ:

1. (എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നുതന്നെയാണ്, കാരണം ഇത് ഒരു രേഖീയ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?);

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

ഇവിടെ എല്ലാം സമാനമാണ്: നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ അവതരിപ്പിക്കുകയും അതിൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:

ഡെറിവേറ്റീവ്:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

1. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക കൂടാതെ;
2. ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

എക്‌സ്‌പൊണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ അറിവ് മതിയാകും, അല്ലാതെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളല്ല (അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നോ?).

അതിനാൽ, കുറച്ച് നമ്പർ എവിടെയാണ്.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം, അതിനാൽ ഞങ്ങളുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു ലളിതമായ നിയമം ഉപയോഗിക്കും: . അപ്പോൾ:

നന്നായി, അത് പ്രവർത്തിച്ചു. ഇപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക, ഈ ഫംഗ്ഷൻ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് മറക്കരുത്.

സംഭവിച്ചത്?

ഇവിടെ, സ്വയം പരിശോധിക്കുക:

ഫോർമുല ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനോട് വളരെ സാമ്യമുള്ളതായി മാറി: അത് അതേപടി തുടരുന്നു, ഒരു ഘടകം മാത്രം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, അത് ഒരു സംഖ്യയാണ്, പക്ഷേ ഒരു വേരിയബിളല്ല.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരങ്ങൾ:

ഇത് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഇത് ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇത് ഈ രൂപത്തിൽ ഉത്തരത്തിൽ വിടുന്നു.

ഇവിടെ രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം:

ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

ഇത് ഇവിടെ സമാനമാണ്: സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം:

അതിനാൽ, മറ്റൊരു അടിത്തറയുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഉദാഹരണത്തിന്:

നമുക്ക് ഈ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം എങ്ങനെ മാറ്റാം? ഈ ഫോർമുല നിങ്ങൾ ഓർക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ പകരം എഴുതൂ:

ഡിനോമിനേറ്റർ കേവലം ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ് (ഒരു സ്ഥിരമായ സംഖ്യ, ഒരു വേരിയബിൾ ഇല്ലാതെ). ഡെറിവേറ്റീവ് വളരെ ലളിതമായി ലഭിക്കുന്നു:

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഒരിക്കലും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ അവ അറിയുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല.

ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

എന്താണ് "സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം"? ഇല്ല, ഇതൊരു ലോഗരിതം അല്ല, ഒരു ആർക്റ്റാൻജൻ്റ് അല്ല. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ് (നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, "ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയം വായിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് സുഖമാകും), എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, "സങ്കീർണ്ണം" എന്ന വാക്കിന് "ബുദ്ധിമുട്ട്" എന്നല്ല അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഒരു ചെറിയ കൺവെയർ ബെൽറ്റ് സങ്കൽപ്പിക്കുക: രണ്ട് ആളുകൾ ഇരുന്ന് ചില വസ്തുക്കൾ ഉപയോഗിച്ച് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത് ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ ഒരു റാപ്പറിൽ പൊതിയുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു റിബൺ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഫലം ഒരു സംയോജിത വസ്തുവാണ്: ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ പൊതിഞ്ഞ് ഒരു റിബൺ കൊണ്ട് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ചോക്ലേറ്റ് ബാർ കഴിക്കാൻ, നിങ്ങൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ വിപരീത ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് സമാനമായ ഒരു ഗണിത പൈപ്പ്ലൈൻ സൃഷ്ടിക്കാം: ആദ്യം നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ കണ്ടെത്തും, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ (ചോക്കലേറ്റ്) നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഞാൻ അതിൻ്റെ കോസൈൻ (റാപ്പർ) കണ്ടെത്തുന്നു, എന്നിട്ട് എനിക്ക് കിട്ടിയത് നിങ്ങൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുക (അത് ഒരു റിബൺ ഉപയോഗിച്ച് കെട്ടുക). എന്ത് സംഭവിച്ചു? ഫംഗ്ഷൻ. ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്: എപ്പോൾ, അതിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുമായി നേരിട്ട് ആദ്യ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് ഫലമുണ്ടാക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തനം.

മറ്റൊരു വാക്കിൽ, ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് മറ്റൊരു ഫംഗ്ഷനാണ്: .

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിന്, .

റിവേഴ്‌സ് ഓർഡറിൽ നമുക്ക് ഒരേ ഘട്ടങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും: ആദ്യം നിങ്ങൾ അത് സ്‌ക്വയർ ചെയ്യുക, തുടർന്ന് ലഭിച്ച സംഖ്യയുടെ കോസൈൻ ഞാൻ നോക്കുന്നു: . ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും എന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു പ്രധാന സവിശേഷത: പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം മാറുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം മാറുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം: (അതേ കാര്യം). .

നമ്മൾ അവസാനം ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കും "ബാഹ്യ" പ്രവർത്തനം, കൂടാതെ ആദ്യം നടത്തിയ പ്രവർത്തനം - അതനുസരിച്ച് "ആന്തരിക" പ്രവർത്തനം(ഇവ അനൗപചാരിക പേരുകളാണ്, ലളിതമായ ഭാഷയിൽ മെറ്റീരിയൽ വിശദീകരിക്കാൻ മാത്രമാണ് ഞാൻ അവ ഉപയോഗിക്കുന്നത്).

ഏത് ഫംഗ്‌ഷൻ ബാഹ്യമാണെന്നും ഏത് ആന്തരികമാണെന്നും സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഉത്തരങ്ങൾ:ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ വേർതിരിക്കുന്നത് വേരിയബിളുകൾ മാറ്റുന്നതിന് സമാനമാണ്: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷനിൽ

1. ഞങ്ങൾ ആദ്യം എന്ത് പ്രവർത്തനം നടത്തും? ആദ്യം, നമുക്ക് സൈൻ കണക്കാക്കാം, അതിനുശേഷം മാത്രമേ അത് ക്യൂബ് ചെയ്യുക. ഇതിനർത്ഥം ഇത് ഒരു ആന്തരിക പ്രവർത്തനമാണ്, പക്ഷേ ബാഹ്യമാണ്.
   യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം അവയുടെ ഘടനയാണ്: .
2. ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
   പരീക്ഷ: .
3. ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
   പരീക്ഷ: .
4. ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
   പരീക്ഷ: .
5. ആന്തരിക:; ബാഹ്യ:.
   പരീക്ഷ: .

ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ മാറ്റി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നേടുന്നു.

ശരി, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ചോക്ലേറ്റ് ബാർ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത് ഡെറിവേറ്റീവിനായി നോക്കും. നടപടിക്രമം എല്ലായ്പ്പോഴും വിപരീതമാണ്: ആദ്യം നമ്മൾ ബാഹ്യ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി തിരയുന്നു, തുടർന്ന് ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഫലത്തെ ഗുണിക്കുക. യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം:

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒടുവിൽ ഔദ്യോഗിക നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ഇത് ലളിതമായി തോന്നുന്നു, അല്ലേ?

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം:

പരിഹാരങ്ങൾ:

1) ആന്തരിക:;

ബാഹ്യ:;

2) ആന്തരിക:;

(ഇപ്പോൾ അത് മുറിക്കാൻ ശ്രമിക്കരുത്! കോസൈനിൻ്റെ അടിയിൽ നിന്ന് ഒന്നും പുറത്തുവരുന്നില്ല, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?)

3) ആന്തരിക:;

ബാഹ്യ:;

ഇതൊരു ത്രീ-ലെവൽ കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമാണ്, മാത്രമല്ല അതിൽ നിന്ന് റൂട്ട് ഞങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു (ചോക്ലേറ്റ് ഒരു റാപ്പറിൽ ഇടുക. ബ്രീഫ്കേസിൽ ഒരു റിബണിനൊപ്പം). എന്നാൽ ഭയപ്പെടാൻ ഒരു കാരണവുമില്ല: ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ പതിവുപോലെ അതേ ക്രമത്തിൽ "അൺപാക്ക്" ചെയ്യും: അവസാനം മുതൽ.

അതായത്, ആദ്യം നമ്മൾ റൂട്ട്, പിന്നെ കോസൈൻ, പിന്നെ ബ്രാക്കറ്റിലെ എക്സ്പ്രഷൻ എന്നിവയെ വേർതിരിക്കുന്നു. എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ അതെല്ലാം ഗുണിക്കുന്നു.

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ എണ്ണുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതായത്, നമുക്ക് അറിയാവുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കാം. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത്? നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

പ്രവർത്തനം പിന്നീട് നടപ്പിലാക്കുന്നു, കൂടുതൽ "ബാഹ്യ" അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം മുമ്പത്തേതിന് സമാനമാണ്:

ഇവിടെ നെസ്റ്റിംഗ് പൊതുവെ 4-ലെവൽ ആണ്. നമുക്ക് പ്രവർത്തന ഗതി നിർണ്ണയിക്കാം.

1. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ. .

2. റൂട്ട്. .

3. സൈൻ. .

4. ചതുരം. .

5. എല്ലാം ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുന്നു:

ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്- ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെ അനുപാതം:

അടിസ്ഥാന ഡെറിവേറ്റീവുകൾ:

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ:

സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു:

തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്:

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:

ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:

ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. ഞങ്ങൾ "ആന്തരിക" ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
2. ഞങ്ങൾ "ബാഹ്യ" ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
3. ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പോയിൻ്റുകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു.

അനുവദിക്കുക എക്സ്- വാദം (സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ); y=y(x)- പ്രവർത്തനം.

നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യം എടുക്കാം x=x 0 കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക വൈ 0 =y(x 0 ) . ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഏകപക്ഷീയമായി സജ്ജമാക്കാം ഇൻക്രിമെന്റും വാദത്തിൻ്റെ (മാറ്റം) അത് സൂചിപ്പിക്കുക  എക്സ് ( എക്സ്ഏതെങ്കിലും അടയാളം ആകാം).

ഇൻക്രിമെൻ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഒരു ഡോട്ടാണ് എക്സ് 0 +  എക്സ്. അതിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം y=y(x 0 +  X)(ചിത്രം കാണുക).

അങ്ങനെ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായ മാറ്റത്തോടെ, ഫംഗ്ഷനിൽ ഒരു മാറ്റം ലഭിക്കും, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഇൻക്രിമെന്റും പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ:

കൂടാതെ ഏകപക്ഷീയമല്ല, എന്നാൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തരത്തെയും മൂല്യത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു
.

ആർഗ്യുമെൻ്റും ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റും ആകാം ഫൈനൽ, അതായത്. സ്ഥിരമായ സംഖ്യകളായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവയെ പരിമിതമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ, പരിമിതമായ വർദ്ധനവ് പലപ്പോഴും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്രത്യേക സംസ്ഥാനത്തിൻ്റെ റെയിൽവേ ശൃംഖലയുടെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഡാറ്റ പട്ടിക കാണിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, നെറ്റ്‌വർക്ക് ദൈർഘ്യത്തിലെ വർദ്ധനവ്, തുടർന്നുള്ളതിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ മൂല്യം കുറച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്.

റെയിൽവേ ശൃംഖലയുടെ ദൈർഘ്യം ഒരു ചടങ്ങായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അതിൻ്റെ വാദം സമയം (വർഷങ്ങൾ) ആയിരിക്കും.

അതിൽ തന്നെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിലെ വർദ്ധനവ് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റെയിൽവേ ശൃംഖലയുടെ ദൈർഘ്യം) പ്രവർത്തനത്തിലെ മാറ്റത്തെ നന്നായി ചിത്രീകരിക്കുന്നില്ല. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, അതിൽ നിന്ന് 2,5>0,9 നെറ്റ്‌വർക്ക് അതിവേഗം വളർന്നുവെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല 2000-2003 ഉള്ളതിനേക്കാൾ വർഷങ്ങൾ 2004 g., കാരണം വർദ്ധനവ് 2,5 മൂന്ന് വർഷത്തെ കാലയളവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ 0,9 - ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ. അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിലെ വർദ്ധനവ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് മാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നത് തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ്. ഇവിടെ വാദത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് കാലഘട്ടങ്ങളാണ്: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

സാമ്പത്തിക സാഹിത്യത്തിൽ വിളിക്കുന്നത് നമുക്ക് ലഭിക്കും ശരാശരി വാർഷിക വളർച്ച.

എല്ലായ്‌പ്പോഴും സാധ്യമല്ലാത്ത ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് മാറ്റത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റിലേക്ക് ഇൻക്രിമെൻ്റ് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം നിങ്ങൾക്ക് ഒഴിവാക്കാനാകും.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും അനന്തമായ (IM) വർദ്ധനവ് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ (ഡെറിവേറ്റീവും ഡിഫറൻഷ്യലും) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വേർതിരിവ്

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനവ് എക്സ് 0 താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്ന അനന്തമായ അളവുകളായി കണക്കാക്കാം (വിഷയം 4, BM-ൻ്റെ താരതമ്യം കാണുക), അതായത്. ഇതേ ക്രമത്തിലുള്ള ബി.എം.

അപ്പോൾ അവയുടെ അനുപാതത്തിന് പരിമിതമായ ഒരു പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് t യിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു എക്സ് 0 .

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ബിഎം ഇൻക്രിമെൻ്റും ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി x=x 0 വിളിച്ചു ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ട്രോക്ക് (അല്ലെങ്കിൽ, റോമൻ സംഖ്യ I വഴി) ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പ്രതീകാത്മക പദവി ന്യൂട്ടൺ അവതരിപ്പിച്ചു. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റും ഉപയോഗിക്കാം, അത് ഏത് വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതെന്ന് കാണിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, . ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കാൽക്കുലസിൻ്റെ സ്ഥാപകനായ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലെയ്ബ്നിസ് നിർദ്ദേശിച്ച മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു:
. വിഭാഗത്തിൽ ഈ പദവിയുടെ ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ കൂടുതലറിയും ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ.

ഈ സംഖ്യ കണക്കാക്കുന്നു വേഗതഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന പ്രവർത്തനത്തിലെ മാറ്റങ്ങൾ
.

ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യാം ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യും y=y(x)മാറ്റത്തെ നിർണ്ണയിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ അതിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുക y(x)ഇടക്കാലത്ത്

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എം 0
സെക്കൻ്റിൻ്റെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും എം 0 എംഅത് നൽകി
(ഡോട്ട് എംഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് സ്ലൈഡുചെയ്യുന്നു എം 0 ).

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം
. സ്പഷ്ടമായി,
.

പോയിൻ്റ് ആണെങ്കിൽ എംപോയിൻ്റിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം നേരിട്ട് എം 0 , പിന്നെ മൂല്യം
ഒരു നിശ്ചിത പരിധിയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു
. അതിൽ.

പരിധി ആംഗിൾ  ഫംഗ്‌ഷൻ ഉൾപ്പടെയുള്ള ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. എം 0 , അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവ്
സംഖ്യാപരമായി തുല്യം ടാൻജെൻ്റ് ചരിവ് നിർദ്ദിഷ്ട പോയിൻ്റിൽ.

-

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

അങ്ങനെ, നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റും സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളും എഴുതാം ( സാധാരണ - ഇത് ടാൻജെൻ്റിന് ലംബമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്) ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എക്സ് 0 :

ടാൻജെൻ്റ് - .

സാധാരണ -
.

ഈ ലൈനുകൾ തിരശ്ചീനമായോ ലംബമായോ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സന്ദർഭങ്ങളാണ് താൽപ്പര്യമുള്ളത് (വിഷയം 3, ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു വരിയുടെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ കാണുക). പിന്നെ,

എങ്കിൽ
;

എങ്കിൽ
.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

 ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ആണെങ്കിൽ എക്സ് 0 ഒരു പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് അതിനെ വിളിക്കുന്നു വ്യതിരിക്തമായഈ സമയത്ത്. ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും വ്യത്യാസപ്പെടുത്താവുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനെ ഈ ഇടവേളയിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

 സിദ്ധാന്തം . ചടങ്ങാണെങ്കിൽ y=y(x)വ്യത്യസ്തമാക്കാവുന്നത് ഉൾപ്പെടെ. എക്സ് 0 , അപ്പോൾ അത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു.

അങ്ങനെ, തുടർച്ച- ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യതിരിക്തതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ (പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല) വ്യവസ്ഥ.