രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നൽകിയിരിക്കുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്: അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും -ഡൈമൻഷണൽ വെക്‌ടറിനെ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യം ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹരിച്ച സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതു സവിശേഷതകൾ

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം വിവരിക്കുക.

പരിഹാരം:

1. പരസ്പര വിരുദ്ധമായ ഒരു സമവാക്യം ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടോ?(ഗുണകങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: കൂടാതെ വിളിക്കുന്നു വിവാദമായ.)

• ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ വൈരുദ്ധ്യാത്മകമായ എന്തെങ്കിലും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സംവിധാനം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്, അതിന് പരിഹാരമില്ല.

2. അനുവദനീയമായ എല്ലാ വേരിയബിളുകളും കണ്ടെത്തുക. (അജ്ഞാതനെ വിളിക്കുന്നുഅനുവദിച്ചിരിക്കുന്നുസമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്, അത് +1 ൻ്റെ ഒരു കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ (അതായത്, ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ഗുണകത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്).

3. സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിച്ചോ? (സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനത്തെ പരിഹരിച്ചതായി വിളിക്കുന്നു, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിലും പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതമുണ്ടെങ്കിൽ, അവയിൽ യാദൃശ്ചികമായവ ഇല്ല)

പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതങ്ങൾ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും ഒരെണ്ണം എടുത്ത്, രൂപം പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതരുടെ പൂർണ്ണ സെറ്റ്സംവിധാനങ്ങൾ. (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത്)

പൂർണ്ണമായ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള അനുവദനീയമായ അജ്ഞാതരെയും വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന(), കൂടാതെ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല - സൗ ജന്യം ().

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, അത് എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം പരിഹരിച്ചത് അജ്ഞാതമാണ്(അടിസ്ഥാനത്തിലും സൗജന്യമായും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു).

പൊതുവായ പ്രത്യേക അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ

പൊതുവായ പരിഹാരംസമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പരിഹരിച്ച സിസ്റ്റം സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളിലൂടെയും സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളിലൂടെയും പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതരുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്:

സ്വകാര്യ തീരുമാനംസ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെയും അജ്ഞാതങ്ങളുടെയും നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഒരു പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന പരിഹാരംഫ്രീ വേരിയബിളുകളുടെ പൂജ്യം മൂല്യങ്ങൾക്കായി പൊതുവായതിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണ്.

• അടിസ്ഥാന പരിഹാരം (വെക്റ്റർ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു അധഃപതിക്കുക, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ എണ്ണം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, കുറവ് എണ്ണംഅജ്ഞാതങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു.
• അടിസ്ഥാന പരിഹാരം വിളിക്കുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത, അതിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത കോർഡിനേറ്റുകളുടെ എണ്ണം പൂർണ്ണമായ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുവദനീയമായ അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

സിദ്ധാന്തം (1)

സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹരിച്ച സിസ്റ്റം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്(അതിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉള്ളതിനാൽ); മാത്രമല്ല, സിസ്റ്റത്തിന് സൗജന്യ അജ്ഞാതങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ,(അതായത്, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ, അനുവദനീയമായവയെല്ലാം അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്) അപ്പോൾ അത് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു(ഒരു അതുല്യമായ പരിഹാരം ഉണ്ട്); കുറഞ്ഞത് ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല(പരിഹാരങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്).

പരിഹാരം:

1. സിസ്റ്റം അംഗീകൃതമാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നുണ്ടോ?

• സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചു (ഓരോ സമവാക്യങ്ങളിലും പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതമായതിനാൽ)

2. അനുവദനീയമായ അജ്ഞാതരെ ഞങ്ങൾ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നു - ഓരോ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും ഒന്ന്.

3. ഞങ്ങൾ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള അജ്ഞാതരെ അനുവദിച്ചതിനെ ആശ്രയിച്ച് ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പരിഹാരം എഴുതുന്നു.

4. ഒരു സ്വകാര്യ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്താത്ത ഫ്രീ വേരിയബിളുകൾ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളുമായി തുല്യമാക്കുന്നു.

ഉത്തരം: സ്വകാര്യ പരിഹാരം(ഓപ്ഷനുകളിൽ ഒന്ന്)

5. അടിസ്ഥാന പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്താത്ത ഫ്രീ വേരിയബിളുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ

സിസ്റ്റങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾപ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുല്യമായ പരിഹരിച്ച സിസ്റ്റങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം (2)

ഉണ്ടെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തെ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ബാക്കിയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റാതെ വിടുക, തുടർന്ന് . (അതായത്, നിങ്ങൾ ഇടത് ഗുണിച്ചാൽ ഒപ്പം വലത് വശംഒരേ സംഖ്യയ്ക്കുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും)

സിദ്ധാന്തം (3)

എങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിലേക്ക് മറ്റൊന്ന് ചേർക്കുക, തുടർന്ന് മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക ഇതിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും. (അതായത്, നിങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ (അതിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ ചേർത്ത്), ഡാറ്റയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും)

സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അനന്തരഫലം (2 ഉം 3 ഉം)

എങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് മറ്റൊരു സമവാക്യം ചേർക്കുക, കൂടാതെ മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇതിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും.

സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പരിഹരിച്ച സിസ്റ്റമാക്കി മാറ്റാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ജോർദാൻ-ഗാസ് രീതി ഇതിന് നമ്മെ സഹായിക്കും.

ജോർദാൻ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നുസംഖ്യയുമായുള്ള സമവാക്യത്തിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതമായ ഒരു അജ്ഞാതം നേടാൻ ഒരു പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. (ഉദാഹരണം 2).

താഴത്തെ സമവാക്യത്തിലെ അജ്ഞാതമായതിനെ പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമ്മൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കണം, അങ്ങനെ തുക .

ഒരു സമവാക്യത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് വീണ്ടും കണക്കാക്കുന്നു:

സംഖ്യയുമായുള്ള സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സംഖ്യയുമായുള്ള സമവാക്യത്തെ ഗുണിച്ച് ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തം (4) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ നിസ്സാരമായ ഒരു സമവാക്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാം, കൂടാതെ യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും.

സിദ്ധാന്തം (5) സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊരുത്തക്കേടിനെക്കുറിച്ച്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

ജോർദാൻ-ഗാസ് രീതി അൽഗോരിതം

ജോർദാൻ-ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം സമാനമായ നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു:

1. സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നു. ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.
2. സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത പരിശോധിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു നിസ്സാര സമവാക്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ക്രോസ് ഔട്ട് ചെയ്യപ്പെടും.
3. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചാൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരവും ആവശ്യമെങ്കിൽ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളും എഴുതുക.
4. സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ, പരിഹരിച്ച അജ്ഞാതമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ, ഒരു പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഈ ഘടകം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോർദാൻ പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു.
5. തുടർന്ന് പോയിൻ്റ് 1 ലേക്ക് മടങ്ങുക

കണ്ടെത്തുക: രണ്ട് പൊതുവായതും രണ്ട് അനുബന്ധ അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളും

പരിഹാരം:

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:

പട്ടികയുടെ വലതുവശത്ത് സമവാക്യങ്ങളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്. അനുയോജ്യമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ പരിഹരിക്കുന്ന മൂലകത്തോടുകൂടിയ സമവാക്യം ഏത് സമവാക്യത്തിലേക്കാണ് ചേർത്തതെന്ന് അമ്പടയാളങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പട്ടികയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് വരികളിൽ അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ആദ്യ ജോർദാൻ രൂപാന്തരത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ് 4, 5, 6 വരികളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. (-1) ന് തുല്യമായ ഒരു പരിഹരിക്കുന്ന മൂലകത്തോടുകൂടിയ രണ്ടാമത്തെ ജോർദാൻ രൂപാന്തരത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ 7, 8, 9 വരികളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം നിസ്സാരമായതിനാൽ, അത് അവഗണിക്കാവുന്നതാണ്.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചത് സ്വകാര്യ വിവരംനിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികൾ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി സർക്കാർ ഏജൻസികൾറഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്ത് - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

• സിസ്റ്റങ്ങൾ എംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എൻഅജ്ഞാതം.
  രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു- ഇത് അത്തരമൊരു സംഖ്യയാണ് ( x 1, x 2, ..., x n), സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളിലും പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കും.
  എവിടെ a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങൾ;
  b i, i = 1,…, m- സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ;
  x j , j = 1, ..., n- അജ്ഞാതം.
  മുകളിലുള്ള സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം: എ എക്സ് = ബി,
  
  
  
  
  എവിടെ ( എ|ബി) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ആണ്;
  എ- വിപുലീകൃത സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ്;
  എക്സ്- അജ്ഞാതരുടെ നിര;
  ബി- സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ കോളം.
  മാട്രിക്സ് ആണെങ്കിൽ ബിഒരു ശൂന്യ മാട്രിക്സ് അല്ല ∅, എങ്കിൽ ഈ സംവിധാനംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളെ ഇൻഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
  മാട്രിക്സ് ആണെങ്കിൽ ബി= ∅, അപ്പോൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഈ സംവിധാനത്തെ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യം (നിസ്സാരമായ) പരിഹാരമുണ്ട്: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയുക്ത സംവിധാനംഒരു പരിഹാരമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്.
  രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹരിക്കാനാകാത്ത സംവിധാനമാണ്.
  രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പ്രത്യേക സംവിധാനംഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്.
  രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ അനിശ്ചിത സംവിധാനംഅനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്.
• n അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള n രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ
  അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് ചതുരമാണ്. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിനെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് Δ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
  ക്രാമർ രീതിസിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് എൻരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എൻഅജ്ഞാതം.
  ക്രാമർ ഭരണം.
  ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം സ്ഥിരവും നിർവചിക്കപ്പെട്ടതുമാണ്, കൂടാതെ ഒരേയൊരു പരിഹാരം ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
  ഇവിടെ Δ i എന്നത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റിൽ നിന്ന് Δ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളാണ് ഐസ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ നിരയിലേക്കുള്ള th നിര. .
• n അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള m രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ
  ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം.
  
  
  തന്നിരിക്കുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സ്ഥിരത കൈവരിക്കുന്നതിന്, സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്. rang(Α) = rang(Α|B).
  എങ്കിൽ റാംഗ്(Α) ≠ റിംഗ്(Α|B), അപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിന് വ്യക്തമായും പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
  എങ്കിൽ rang(Α) = rang(Α|B), അപ്പോൾ രണ്ട് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:
  1) റാങ്ക് (Α) = n(അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം) - പരിഹാരം അദ്വിതീയമാണ് കൂടാതെ ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലഭിക്കും;
  2) റാങ്ക് (Α)< n - അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.
• ഗാസ് രീതിരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്
  
  
  നമുക്ക് ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കാം ( എ|ബി) അജ്ഞാതരുടെയും വലത് വശങ്ങളുടെയും ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ.
  ഗൗസിയൻ രീതി അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതങ്ങളെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് കുറയ്ക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു ( എ|ബി) അതിൻ്റെ വരികളിൽ ഒരു ഡയഗണൽ രൂപത്തിലേക്ക് (മുകളിൽ ത്രികോണാകൃതിയിലേക്ക്) പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, എല്ലാ അജ്ഞാതങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
  സ്ട്രിംഗുകൾക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു:
  1) രണ്ട് വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുക;
  2) 0 അല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഒരു സ്ട്രിംഗിനെ ഗുണിക്കുക;
  3) ഒരു സ്ട്രിംഗിലേക്ക് മറ്റൊരു സ്ട്രിംഗ് ചേർക്കുന്നു, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ;
  4) ഒരു സീറോ ലൈൻ എറിയുന്നു.
  ഡയഗണൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു ലീനിയർ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, ഇതിൻ്റെ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നില്ല. .
• ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം.
  ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
  
  അതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു മാട്രിക്സ് സമവാക്യം A X = 0.
  1) ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, കാരണം r(A) = r(A|B), എപ്പോഴും ഒരു പൂജ്യം പരിഹാരം (0, 0, ..., 0) ഉണ്ട്.
  2) ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരം ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അത് ആവശ്യവും മതിയുമാണ് r = r(A)< n , ഇത് Δ = 0 ന് തുല്യമാണ്.
  3) എങ്കിൽ ആർ< n , അപ്പോൾ വ്യക്തമായും Δ = 0, അപ്പോൾ സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു c 1, c 2, ..., c n-r, സിസ്റ്റം ഉണ്ട് നിസ്സാരമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങൾ, അവയിൽ അനന്തമായി ധാരാളം ഉണ്ട്.
  4) പൊതുവായ പരിഹാരം എക്സ്ചെയ്തത് ആർ< n മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  പരിഹാരങ്ങൾ എവിടെയാണ് X 1, X 2, ..., X n-rപരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനം രൂപീകരിക്കുക.
  5) ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ലഭിക്കും:
  
  ,
  (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) എന്നതിന് തുല്യമായ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ക്രമാനുഗതമായി സജ്ജമാക്കുകയാണെങ്കിൽ.
  പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ വികാസംഅടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിൻ്റെ രേഖയാണ്.
  സിദ്ധാന്തം. ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരം ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അത് Δ ≠ 0 ആണ്.
  അതിനാൽ, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് Δ ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.
  Δ ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.
  സിദ്ധാന്തം. ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരം ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ് ആർ(എ)< n .
  തെളിവ്:
  1) ആർകൂടുതൽ ഉണ്ടാകില്ല എൻ(മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് നിരകളുടെയോ വരികളുടെയോ എണ്ണം കവിയരുത്);
  2) ആർ< n , കാരണം എങ്കിൽ r = n, പിന്നെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് Δ ≠ 0, കൂടാതെ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു അദ്വിതീയ നിസ്സാര പരിഹാരമുണ്ട് x 1 = x 2 = … = x n = 0, വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ആർ(എ)< n .
  അനന്തരഫലം. ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിനായി എൻരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എൻഅജ്ഞാതർക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടായിരുന്നു, അത് Δ = 0 ആണ്.

പരിഹാരം. A= . നമുക്ക് r (A) കണ്ടെത്താം. കാരണം മാട്രിക്സ്കൂടാതെ 3x4 ക്രമമുണ്ട്, തുടർന്ന് പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ക്രമം 3 ആണ്. മാത്രമല്ല, എല്ലാ മൂന്നാം-ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (അത് സ്വയം പരിശോധിക്കുക). അർത്ഥമാക്കുന്നത്, r(A)< 3. Возьмем главный അടിസ്ഥാന മൈനർ = -5-4 = -9 ≠ 0. അതിനാൽ r(A) =2.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം മാട്രിക്സ് കൂടെ = .

മൈനർ മൂന്നാമൻ ഓർഡർ ≠ 0. അതിനാൽ r(C) = 3.

r(A) മുതൽ ≠ r(C), അപ്പോൾ സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യത നിർണ്ണയിക്കുക

ഈ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണെങ്കിൽ അത് പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

എ =, സി = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. detC = 0 ആയതിനാൽ, r(C) എന്നത് വ്യക്തമാണ്.< 4. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത മൂന്നാമത്തേത് ഓർഡർ, മാട്രിക്സ് എ, സി എന്നിവയുടെ മുകളിൽ ഇടത് കോണിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു: = -23 ≠ 0. അതിനാൽ r(A) = r(C) = 3.

നമ്പർ അജ്ഞാതം സിസ്റ്റത്തിൽ n=3. സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നാലാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തെ മൂന്നിൻ്റെയും ആകെത്തുകയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അത് അവഗണിക്കാം.

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച്നമുക്ക് x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 ലഭിക്കും.

2.4 മാട്രിക്സ് രീതി. ഗാസിയൻ രീതി

സിസ്റ്റം എൻരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾകൂടെ എൻഅജ്ഞാതമായ കാര്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും മാട്രിക്സ് രീതിഫോർമുല പ്രകാരം X = A -1 B (Δ-ൽ ≠ 0), ഇത് (2) ൽ നിന്ന് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും A -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

മാട്രിക്സ് രീതി (വിഭാഗം 2.2-ൽ ഈ സിസ്റ്റം ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിച്ചു)

പരിഹാരം. Δ = 10 ≠ 0 A = - നോൺ-ഡീജനറേറ്റ് മാട്രിക്സ്.

= (ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തി ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കുക).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

ഉത്തരം: .

പ്രായോഗിക കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് മാട്രിക്സ് രീതിസൂത്രവാക്യങ്ങളും ക്രാമർവലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ മുൻഗണന നൽകുന്നു ഗാസിയൻ രീതി, അജ്ഞാതരുടെ തുടർച്ചയായ ഉന്മൂലനം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള വിപുലീകൃത മാട്രിക്സുള്ള ഒരു തുല്യമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു (പ്രധാന ഡയഗണലിന് താഴെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഫോർവേഡ് മൂവ്മെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന്, വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു (റിവേഴ്സ്).

ഉദാഹരണം 2. ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

(മുകളിൽ, ഈ സിസ്റ്റം ക്രാമർ ഫോർമുലയും മാട്രിക്സ് രീതിയും ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിഹരിച്ചത്).

പരിഹാരം.

നേരിട്ടുള്ള നീക്കം. നമുക്ക് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ത്രികോണാകൃതിയിലേക്ക് ചുരുക്കാം:

~ ~ ~ ~ .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു സിസ്റ്റം

വിപരീത നീക്കം.അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എക്സ് 3 = -6, ഈ മൂല്യം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

എക്സ് 2 = - 11/2 - 1/4എക്സ് 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

എക്സ് 1 = 2 -എക്സ് 2 + എക്സ് 3 = 2+4-6 = 0.

ഉത്തരം: .

2.5 രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം നൽകാം = ബി ഐ(ഐ=). r(A) = r(C) = r, അതായത്. സിസ്റ്റം സഹകരണമാണ്. പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏതെങ്കിലും ചെറിയ ക്രമം r ആണ് അടിസ്ഥാന മൈനർ.സാമാന്യത നഷ്‌ടപ്പെടാതെ, അടിസ്ഥാന മൈനർ മാട്രിക്സ് A-യുടെ ആദ്യ r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) വരികളിലും നിരകളിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. അവസാനത്തേത് നിരസിക്കുന്നു m-r സമവാക്യങ്ങൾസിസ്റ്റങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു ചുരുക്കിയ സിസ്റ്റം എഴുതുന്നു:

യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായത്. അജ്ഞാതരുടെ പേരിടാം x 1 ,….x rഅടിസ്ഥാന, ഒപ്പം x r +1 ,…, x rസ്വതന്ത്രമായി, വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങൾ അടങ്ങിയ നിബന്ധനകൾ നീക്കുക. അടിസ്ഥാന അജ്ഞാതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം നേടുന്നു:

സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരുടെ ഓരോ സെറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കും x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rഒരു പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ x 1 (C 1 ,..., C n-r),..., x r (C 1 ,..., C n-r),ക്രാമർ ഭരണം കണ്ടെത്തി.

അനുബന്ധ പരിഹാരംചുരുക്കി, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന് ഈ രൂപമുണ്ട്:

X(C 1 ,..., C n-r) = - സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം.

പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതർക്ക് ചില സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയാണെങ്കിൽ, ഭാഗിക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ലീനിയർ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം. അനുയോജ്യത സ്ഥാപിക്കുകയും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക

പരിഹാരം. എ = , സി = .

അങ്ങനെ എങ്ങനെ ആർ(എ)= r(C) = 2 (ഇത് സ്വയം കാണുക), അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതും അനന്തമായ സൊല്യൂഷനുകളുമുണ്ട് (r മുതൽ< 4).

ഗൗസിയൻ രീതിക്ക് അനേകം പോരായ്മകളുണ്ട്: ഗൗസിയൻ രീതിയിൽ ആവശ്യമായ എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും നടപ്പിലാക്കുന്നത് വരെ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണോ അല്ലയോ എന്ന് അറിയാൻ കഴിയില്ല; അക്ഷര ഗുണകങ്ങളുള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് ഗൗസിൻ്റെ രീതി അനുയോജ്യമല്ല.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രീതികൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ രീതികൾ മാട്രിക്സ് റാങ്ക് എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുകയും ക്രാമർ റൂൾ ബാധകമാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരതയുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.ഇനിപ്പറയുന്ന ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക അടിസ്ഥാന സംവിധാനംകുറഞ്ഞ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളും അസന്തുലിത വ്യവസ്ഥയുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവും.

1. ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു എവിപുലീകൃത സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് (1)

2. സിസ്റ്റം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക (1) ഒത്തൊരുമയ്ക്കായി. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്കുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു എകൂടാതെ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). അത് മാറുകയാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം (1) പൊരുത്തമില്ലാത്ത. അത് നമുക്ക് കിട്ടിയാൽ , അപ്പോൾ ഈ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കും. (അനുയോജ്യത പഠനം ക്രോണേക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്).

എ. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു rA.

കണ്ടുപിടിക്കാൻ rA, മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ, രണ്ടാമത്തേത്, തുടങ്ങിയ ഓർഡറുകളുടെ സീറോ അല്ലാത്ത മൈനറുകൾ ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി പരിഗണിക്കും. എഅവരെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും.

M1=1≠0 (ഇടത്തു നിന്ന് 1 എടുക്കുക മുകളിലെ മൂലമെട്രിക്സ് എ).

ഞങ്ങൾ അതിർത്തി M1ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയും രണ്ടാമത്തെ നിരയും. . ഞങ്ങൾ അതിർത്തിയിൽ തുടരുന്നു M1രണ്ടാമത്തെ വരിയും മൂന്നാമത്തെ നിരയും..gif" width="37" height="20 src=">. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൈനറിൻ്റെ അതിർത്തി M2′രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ.

നമുക്ക് ഉണ്ട്: (ആദ്യത്തെ രണ്ട് നിരകൾ ഒന്നായതിനാൽ)

(രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ ആനുപാതികമായതിനാൽ).

ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നു rA=2, a ആണ് മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ എ.

ബി. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

തികച്ചും അടിസ്ഥാനപരമായ മൈനർ M2′മെട്രിക്സ് എസ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടേയും എല്ലാ വരികളുടേയും ഒരു നിരയുമായുള്ള അതിർത്തി (ഞങ്ങൾക്ക് അവസാന വരി മാത്രമേയുള്ളൂ).

. അത് പിന്തുടരുന്നു M3′′മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനറായി തുടരുന്നു https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

കാരണം M2′- മാട്രിക്സിൻ്റെ മൈനറിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം എസംവിധാനങ്ങൾ (2) , അപ്പോൾ ഈ സിസ്റ്റം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് (3) , സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (2) (വേണ്ടി M2′മാട്രിക്സ് A യുടെ ആദ്യ രണ്ട് വരികളിലാണ്.

(3)

അടിസ്ഥാന മൈനർ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട് ( x2 ഒപ്പം x4 ). അതുകൊണ്ടാണ് എഫ്എസ്ആർ സംവിധാനങ്ങൾ (4) രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അവരെ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ അജ്ഞാതരെ സൗജന്യമായി നിയോഗിക്കുന്നു (4) ആദ്യം മൂല്യങ്ങൾ x2=1 , x4=0 , തുടർന്ന് - x2=0 , x4=1 .

ചെയ്തത് x2=1 , x4=0 നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

.

ഈ സംവിധാനം ഇതിനകം ഉണ്ട് ഒരേ ഒരു കാര്യം പരിഹാരം (ക്രാമർ റൂൾ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണ്ടെത്താനാകും). രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അവളുടെ പരിഹാരം ആയിരിക്കും x1= -1 , x3=0 . മൂല്യങ്ങൾ നൽകി x2 ഒപ്പം x4 , ഞങ്ങൾ ചേർത്തത്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു (2) : .

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു (4) x2=0 , x4=1 . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു:

.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു (2) : .

പരിഹാരങ്ങൾ β1 , β2 മേക്കപ്പും എഫ്എസ്ആർ സംവിധാനങ്ങൾ (2) . അപ്പോൾ അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാകും

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ഇവിടെ C1 , C2 - ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.

4. ഒന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാം സ്വകാര്യം പരിഹാരം വൈവിധ്യമാർന്ന സിസ്റ്റം(1) . ഖണ്ഡികയിലെന്നപോലെ 3 , സിസ്റ്റത്തിന് പകരം (1) നമുക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംവിധാനം പരിഗണിക്കാം (5) , സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (1) .

(5)

സ്വതന്ത്രമായ അജ്ഞാതരെ നമുക്ക് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം x2ഒപ്പം x4.

(6)

അറിയാത്തവ സൗജന്യമായി നൽകാം x2 ഒപ്പം x4 അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, x2=2 , x4=1 അവരെ അകത്താക്കി (6) . നമുക്ക് സിസ്റ്റം എടുക്കാം

ഈ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് (അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മുതൽ M2′0). അത് പരിഹരിക്കുന്നത് (ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം അല്ലെങ്കിൽ ഗൗസിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്), ഞങ്ങൾ നേടുന്നു x1=3 , x3=3 . സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകി x2 ഒപ്പം x4 , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം(1)α1=(3,2,3,1).

5. ഇനി അത് എഴുതുക മാത്രമാണ് ബാക്കിയുള്ളത് ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം α(1) : ഇത് തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് സ്വകാര്യ പരിഹാരംഈ സിസ്റ്റം ഒപ്പം അതിൻ്റെ കുറഞ്ഞ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

ഇതിനർത്ഥം: (7)

6. പരീക്ഷ.നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം ശരിയായി പരിഹരിച്ചോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ (1) , ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ആവശ്യമാണ് (7) പകരം (1) . ഓരോ സമവാക്യവും ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുകയാണെങ്കിൽ ( C1 ഒപ്പം C2 നശിപ്പിക്കണം), അപ്പോൾ പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും (7) ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യം മാത്രം (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

എവിടെ –1=–1. നമുക്കൊരു ഐഡൻ്റിറ്റി കിട്ടി. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുമായി ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു (1) .

അഭിപ്രായം.പരിശോധന സാധാരണയായി വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന "ഭാഗിക പരിശോധന" ശുപാർശ ചെയ്യാവുന്നതാണ്: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ (1) അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് ചില മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭാഗിക പരിഹാരം നിരസിച്ച സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് (അതായത്, ആ സമവാക്യങ്ങളിൽ) മാത്രം പകരം വയ്ക്കുക. (1) , അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല (5) ). ഐഡൻ്റിറ്റി കിട്ടിയാൽ പിന്നെ കൂടുതൽ സാധ്യത, സിസ്റ്റം പരിഹാരം (1) ശരിയായി കണ്ടെത്തി (എന്നാൽ അത്തരമൊരു പരിശോധന ശരിയായതിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ ഗ്യാരണ്ടി നൽകുന്നില്ല!). ഉദാഹരണത്തിന്, അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ (7) ഇട്ടു C2=- 1 , C1=1, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) അവസാന സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , അതായത് –1=–1. നമുക്കൊരു ഐഡൻ്റിറ്റി കിട്ടി.

ഉദാഹരണം 2.രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (1) , അടിസ്ഥാന അജ്ഞാതങ്ങളെ സ്വതന്ത്രമായവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

പരിഹാരം.എന്നപോലെ ഉദാഹരണം 1, മെട്രിക്സ് രചിക്കുക എകൂടാതെ ഈ മെട്രിസുകളുടെ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആ സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു (1) , ഈ അടിസ്ഥാന മൈനറിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ (അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്) അവ അടങ്ങുന്ന ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക, സിസ്റ്റത്തിന് (1) തുല്യമാണ്.

ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശത്തേക്ക് നമുക്ക് സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളെ കൈമാറാം.

സിസ്റ്റം (9) വലത് വശങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളായി പരിഗണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ഓപ്ഷൻ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ഓപ്ഷൻ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ഓപ്ഷൻ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ഓപ്ഷൻ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">