കണക്കുകൂട്ടാൻ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിശയകരമായ പരിധികൾ

ഈ ലേഖനം: "രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി" ഫോമിൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വങ്ങളുടെ പരിധിക്കുള്ളിൽ വെളിപ്പെടുത്തുന്നതിന് നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $, $^\infty $.

കൂടാതെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് അത്തരം അനിശ്ചിതത്വങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഇത് മറ്റൊരു പരിഹാര രീതിയാണ്, അത് മറ്റൊരു ലേഖനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും.

ഫോർമുലയും അനന്തരഫലങ്ങളും

ഫോർമുലരണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ഇപ്രകാരം എഴുതിയിരിക്കുന്നു: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( എവിടെ ) e \ approx 2.718 $$

ഇത് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു അനന്തരഫലങ്ങൾ, പരിധികളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗിക്കാൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( എവിടെ ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

ശ്രദ്ധേയമായ രണ്ടാമത്തെ പരിധി എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനിൽ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, പക്ഷേ അടിസ്ഥാനം ഐക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം മാനസികമായി അടിത്തറയുടെ പരിധി കണക്കാക്കുക, തുടർന്ന് നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുക. ഇതെല്ലാം ഉദാഹരണ പരിഹാരങ്ങളിൽ ചർച്ച ചെയ്യും.

പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

നേരിട്ടുള്ള ഫോർമുലയും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. ഫോർമുല ആവശ്യമില്ലാത്ത കേസുകളും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. തയ്യാറായ ഉത്തരം മാത്രം എഴുതിയാൽ മതി.

ഉദാഹരണം 1

പരിധി $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $

പരിഹാരം

നമുക്ക് അനന്തതയെ പരിധിയിലേക്ക് മാറ്റി അനിശ്ചിതത്വത്തിലേക്ക് നോക്കാം: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\big)^\infty $$ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ പരിധി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ ഒരു കാരണം കിട്ടി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, ഇതിനർത്ഥം രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഇതിനകം സാധ്യമാണ് എന്നാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചേർക്കുകയും ചെയ്തുകൊണ്ട് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഫോർമുലയിലേക്ക് ക്രമീകരിക്കാം: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഉപസംഹാരം നോക്കാം, ഉത്തരം എഴുതാം: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = ഇ $$ നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് ഞങ്ങൾക്ക് അയയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ വിശദമായ പരിഹാരം നൽകും. നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ പുരോഗതി കാണാനും വിവരങ്ങൾ നേടാനും കഴിയും. ഇത് കൃത്യസമയത്ത് നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡ് നേടാൻ സഹായിക്കും!

ഉത്തരം

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = ഇ $$

ഉദാഹരണം 4

പരിധി പരിഹരിക്കുക $ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

പരിഹാരം

ഞങ്ങൾ അടിത്തറയുടെ പരിധി കണ്ടെത്തുകയും $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ എന്ന് കാണുകയും ചെയ്യുന്നു, അതായത് നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പ്രയോഗിക്കാം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്ലാൻ അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ അടിത്തട്ടിൽ നിന്ന് ഒന്ന് ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: $$ \lim_(x\ to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ രണ്ടാം കുറിപ്പിൻ്റെ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ ക്രമീകരിക്കുന്നു. പരിധി: $$ = \lim_(x\ to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ ഇനി നമുക്ക് ഡിഗ്രി ക്രമീകരിക്കാം. ശക്തിയിൽ $ \frac(3x^2-2)(6) $ ൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡിഗ്രിയെ ഗുണിച്ച് ഹരിക്കുക, തുടർന്ന് പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരുക: $$ = \lim_(x\ to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $-ൽ പവറിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പരിധി ഇതിന് തുല്യമാണ്: $ \lim_(x\ to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം തുടരുന്നു:

ഉത്തരം

$$ \lim_(x\ to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

പ്രശ്നം രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിക്ക് സമാനമാണ്, എന്നാൽ അത് കൂടാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന കേസുകൾ നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

ലേഖനത്തിൽ: "രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി: പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ" എന്ന സൂത്രവാക്യം, അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും ഈ വിഷയത്തിലെ പൊതുവായ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്തു.

സൈൻ, ആർക്‌സൈൻ, ടാൻജെൻ്റ്, ആർക്‌റ്റഞ്ചൻ്റ്, പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അനിശ്ചിതത്വങ്ങൾ എന്നിവ അടങ്ങുന്ന പരിധികൾ കണക്കാക്കാൻ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഫോർമുല

ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിക്കുള്ള ഫോർമുല ഇതാണ്: $$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$ \alpha\ മുതൽ 0 $ വരെ നമുക്ക് $ \sin\alpha \ to 0 $ വരെ ലഭിക്കുന്നു, അതിനാൽ ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും നമുക്ക് പൂജ്യങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ, $ \frac(0)(0) $ അനിശ്ചിതത്വങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ ഫോർമുല ആവശ്യമാണ്.

ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. സൈനിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും ഒന്നുതന്നെയാണ്
2. ഒരു ഫ്രാക്ഷൻ്റെ സൈനിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ പൂജ്യമായി മാറുന്നു

ശ്രദ്ധ! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ സൈനിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിലും $2x ^2+1 = 1 $, $ x\ മുതൽ 0 $ വരെ. രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ പാലിച്ചിട്ടില്ല, അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല!

അനന്തരഫലങ്ങൾ

ടാസ്‌ക്കുകളിൽ വളരെ അപൂർവ്വമായി നിങ്ങൾക്ക് ശുദ്ധമായ ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി കാണാൻ കഴിയും, അതിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി ഉത്തരം എഴുതാം. പ്രായോഗികമായി, എല്ലാം കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, എന്നാൽ അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ അനന്തരഫലങ്ങൾ അറിയാൻ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും. അവർക്ക് നന്ദി, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ പരിധികൾ വേഗത്തിൽ കണക്കാക്കാം.

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\ to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും അനിശ്ചിതത്വവും അടങ്ങുന്ന പരിധികൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ആദ്യ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പരിഗണിക്കാം $ \big[\frac(0)(0)\bigg] $

ഉദാഹരണം 1

$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം

നമുക്ക് പരിധി നോക്കാം, അതിൽ ഒരു സൈൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ $ x = 0 $ ന്യൂമറേറ്ററിലേക്കും ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്കും മാറ്റി അനിശ്ചിതത്വ പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കുന്നു: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ ഒരു അത്ഭുതകരമായ പരിധി പ്രയോഗിക്കേണ്ടതിൻ്റെ രണ്ട് അടയാളങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെയുണ്ട്, പക്ഷേ ഒരു ചെറിയ സൂക്ഷ്മതയുണ്ട്: ഞങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം സൈൻ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഡിനോമിനേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. അവർ തുല്യരായിരിക്കുകയും വേണം. അതിനാൽ, ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ ഞങ്ങൾ അതിനെ $2x$ ആക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ രണ്ടിനെയും ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി എടുക്കും. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക , അവസാനം $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ ഫോർമുല പ്രകാരം ലഭിച്ചു. നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് ഞങ്ങൾക്ക് അയയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ വിശദമായ പരിഹാരം നൽകും. നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ പുരോഗതി കാണാനും വിവരങ്ങൾ നേടാനും കഴിയും. ഇത് കൃത്യസമയത്ത് നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡ് നേടാൻ സഹായിക്കും!

ഉത്തരം

$$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

ഉദാഹരണം 2

$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം

എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അനിശ്ചിതത്വത്തിൻ്റെ തരം അറിയേണ്ടതുണ്ട്. പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിച്ചാൽ, ഒരു സൈനിൻ്റെ സാന്നിധ്യം ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ ഈ അനിശ്ചിതത്വം ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്നുള്ള പദപ്രയോഗം സൈനിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിന് തുല്യമല്ലേ? അതിനാൽ, ഫോർമുല "ഹെഡ്-ഓൺ" പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. സൈനിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പരിധികളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എഴുതുന്നു: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ രണ്ടാമത്തെ പരിധി ഫോർമുലയ്ക്കും ഒപ്പം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)( 2x-x^4) = $$ വീണ്ടും ഞങ്ങൾ $ x = 0 $ ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റി $ \frac(0)(0) $ എന്ന അനിശ്ചിതത്വം നേടുന്നു. ഇത് ഇല്ലാതാക്കാൻ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് $ x $ എടുത്ത് ചുരുക്കിയാൽ മതി: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

ഉത്തരം

$$ \lim_(x\ to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

ഉദാഹരണം 4

$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം

$ x=0 $ എന്ന സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ ആരംഭിക്കാം. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് $ \frac(0)(0) $ അനിശ്ചിതത്വം ലഭിക്കും. പരിധിയിൽ ഒരു സൈനും ടാൻജെൻ്റും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഇത് ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സാഹചര്യത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ വികസനത്തെക്കുറിച്ച് സൂചന നൽകുന്നു. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരു ഫോർമുലയായും അനന്തരഫലമായും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഫോർമുലയ്ക്കും അനന്തരഫലങ്ങൾക്കും അനുയോജ്യമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കാണുന്നു. സൈൻ ആർഗ്യുമെൻ്റും ടാൻജെൻ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റും അനുബന്ധ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾക്ക് തുല്യമാണ് $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

ഉത്തരം

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

ലേഖനം: "ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി, പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ" അത് ഉപയോഗിക്കാൻ അഭികാമ്യമായ സന്ദർഭങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു. ഈ ഫോർമുലഅതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും.

അതിശയകരമായ പരിധികൾ കണ്ടെത്തുകപരിമിതികളുടെ സിദ്ധാന്തം പഠിക്കുന്ന നിരവധി ഒന്നാം, രണ്ടാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മാത്രമല്ല, ചില അധ്യാപകർക്കും ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിക്കുള്ള ഫോർമുല

ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ അനന്തരഫലങ്ങൾ നമുക്ക് അത് ഫോർമുലകളിൽ എഴുതാം
1. 2. 3. 4. എന്നാൽ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധികളുടെ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ തന്നെ ഒരു പരീക്ഷയിലോ പരീക്ഷയിലോ ആരെയും സഹായിക്കുന്നില്ല. യഥാർത്ഥ ടാസ്‌ക്കുകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ മുകളിൽ എഴുതിയ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ ഇപ്പോഴും എത്തിച്ചേരേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ് കാര്യം. ക്ലാസുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നവരോ, ഈ കോഴ്‌സ് ഹാജരാകാതെ പഠിക്കുന്നവരോ, അല്ലെങ്കിൽ തങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുന്നത് എപ്പോഴും മനസ്സിലാകാത്ത അധ്യാപകരുള്ളവരോ ആയ ഭൂരിഭാഗം വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഏറ്റവും പ്രാഥമികമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധികളിലേക്ക് കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, അവരുടെ സഹായത്തോടെ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കായി പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള അനിശ്ചിതത്വങ്ങൾ പഠിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം, തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പഠിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക sin(7*x)/(5*x)
പരിഹാരം: നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പരിധിക്ക് കീഴിലുള്ള പ്രവർത്തനം ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിക്ക് അടുത്താണ്, എന്നാൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി തീർച്ചയായും ഒന്നിന് തുല്യമല്ല. പരിധിയിലുള്ള ഇത്തരത്തിലുള്ള ടാസ്‌ക്കുകളിൽ, സൈനിനു കീഴിലുള്ള വേരിയബിളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അതേ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള ഒരു വേരിയബിൾ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കണം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ഗുണിക്കുക

ചിലർക്ക്, അത്തരം വിശദാംശങ്ങൾ അനാവശ്യമായി തോന്നും, എന്നാൽ പരിമിതികളിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും, നിയമങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാനും സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യാനും ഇത് അവരെ സഹായിക്കും.
കൂടാതെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീത രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി കൂടിയാണ്. എല്ലാം കാരണം അതിശയകരമായ പരിധി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്

1-ാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ അനന്തരഫലങ്ങൾക്കും ഇതേ നിയമം ബാധകമാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങളോട് ചോദിച്ചാൽ, "ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി എന്താണ്?" യൂണിറ്റ് ആണെന്ന് മടികൂടാതെ ഉത്തരം പറയണം.

ഉദാഹരണം 2. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക sin(6x)/tan(11x)
പരിഹാരം: അന്തിമ ഫലം മനസിലാക്കാൻ, ഫംഗ്ഷൻ ഫോമിൽ എഴുതാം

ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, ഘടകങ്ങളാൽ ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക

അടുത്തതായി, പരിധികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പരിധി ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു

കൂടാതെ സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്ലോക്കിൻ്റെ പരിധി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. സ്വാംശീകരണത്തിന് ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 2, 4 എന്നിവയിലെ പരിധി കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, അതിശയകരമായ പരിധിയുടെ അനന്തരഫലം 1 ൻ്റെ ഫോർമുല. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും.

ഉദാഹരണം 3: പരിധി (1-cos(x))/x^2 കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം: പകരമായി പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 0/0 എന്ന അനിശ്ചിതത്വം ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പരിധിയിലേക്ക് എങ്ങനെ കുറയ്ക്കണമെന്ന് പലർക്കും അറിയില്ല. ഇവിടെ ത്രികോണമിതി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിധി വ്യക്തമായ രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടും

ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പരിധിയുടെ ചതുരത്തിലേക്ക് ഫംഗ്ഷൻ കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു.

ഉദാഹരണം 4: പരിധി കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് പരിചിതമായ സവിശേഷത 0/0 ലഭിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, വേരിയബിൾ പൂജ്യത്തേക്കാൾ പൈയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, x എന്ന വേരിയബിളിൽ ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു മാറ്റം വരുത്തും, അങ്ങനെ പുതിയ വേരിയബിൾ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഒരു പുതിയ വേരിയബിളായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു Pi-x=y

അങ്ങനെ, മുമ്പത്തെ ടാസ്ക്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണമിതി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ഉദാഹരണം 1 ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 5: പരിധി കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം: പരിധികൾ എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാമെന്ന് ആദ്യം വ്യക്തമല്ല. എന്നാൽ ഒരു ഉദാഹരണം ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു ഉത്തരം ഉണ്ടായിരിക്കണം. വേരിയബിൾ ഏകത്വത്തിലേക്ക് പോകുന്നു എന്ന വസ്തുത, പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യം എന്ന ഫോമിൻ്റെ സവിശേഷത അനന്തതയാൽ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ സൂത്രവാക്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇതിനുശേഷം നമുക്ക് ആവശ്യമായ അനിശ്ചിതത്വം 0/0 ലഭിക്കും. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ പരിധിയിൽ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു മാറ്റം നടത്തുകയും കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ആനുകാലികത ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

അവസാനത്തെ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനുകൾ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ കോറലറി 1 ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിന് തുല്യമാണ്

യഥാർത്ഥ പരിധി പ്രശ്നങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ എപ്പോഴും എളുപ്പമല്ലാത്ത ഒരു ക്ലാസിക് ആണിത്.
കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ് പരിധികൾ:
1. 2. 3. 4.
രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിക്കും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾക്കും നന്ദി, പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിച്ചാൽ, ഒന്ന് അനന്തതയുടെ ശക്തിയിലേക്കും, അനന്തതയെ അനന്തതയാൽ ഹരിച്ചാലും, അതേ അളവിൽ പോലും അനിശ്ചിതത്വങ്ങൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഉദാഹരണം 6. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നത് പ്രവർത്തിക്കില്ല. ആദ്യം, നിങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തണം, അങ്ങനെ അത് ബ്രാക്കറ്റിലെ പദത്തിൻ്റെ വിപരീതം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു

2-ാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികതയാണിത്, ചുരുക്കത്തിൽ, പരിധിയുടെ അനന്തരഫലത്തിനായി 2-ആം സൂത്രവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു.

ഉദാഹരണം 7. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: അതിശയകരമായ ഒരു പരിധിയുടെ കോറലറി 2 ൻ്റെ ഫോർമുല 3-ൻ്റെ ടാസ്‌ക്കുകൾ ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്. പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കുന്നത് 0/0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഏകത്വം നൽകുന്നു. ഒരു റൂളിലേക്ക് പരിധി ഉയർത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ തിരിക്കുക, അങ്ങനെ വേരിയബിളിന് ലോഗരിതത്തിലെ അതേ ഗുണകം ഉണ്ടാകും.

ഇത് മനസ്സിലാക്കാനും പരീക്ഷയിൽ പ്രകടനം നടത്താനും എളുപ്പമാണ്. പരിധികൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 8. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണക്കാക്കുക[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
പരിഹാരം: അനന്തതയുടെ ശക്തിക്ക് നമുക്ക് ടൈപ്പ് 1 സിംഗുലാരിറ്റി ഉണ്ട്. നിങ്ങൾ എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായിടത്തും "X" ന് അനന്തത പകരം വയ്ക്കാനും അത് ഉറപ്പാക്കാനും കഴിയും. ഒരു നിയമം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം കൃത്രിമത്വം നടത്തുന്നു

നമുക്ക് എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പരിധിയിലേക്ക് മാറ്റി അതിനെ 2 അത്ഭുതകരമായ പരിധിയാക്കി മാറ്റാം

പരിധി 10 ൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ പവറിനു തുല്യമാണ്. പരാൻതീസിസിലും ഡിഗ്രിയിലും ഒരു വേരിയബിളുമായി പദങ്ങളുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ, “കാലാവസ്ഥ” ഒന്നും അവതരിപ്പിക്കുന്നില്ല - ഇത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകർ നിങ്ങളോട് ചോദിച്ചാൽ, "എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ സൂചകം പരിവർത്തനം ചെയ്യാത്തത്?" (x-3 ലെ ഈ ഉദാഹരണത്തിന്), എന്നിട്ട് പറയുക, "ഒരു വേരിയബിൾ അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, അതിലേക്ക് 100 ചേർക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ 1000 കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക, പരിധി അത് പോലെ തന്നെ തുടരും!"
ഈ തരത്തിലുള്ള പരിധികൾ കണക്കാക്കാൻ രണ്ടാമത്തെ വഴിയുണ്ട്. അടുത്ത ടാസ്ക്കിൽ നമ്മൾ അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

ഉദാഹരണം 9. പരിധി കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: ഇനി ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള വേരിയബിൾ എടുത്ത് ഒരു സവിശേഷത മറ്റൊന്നാക്കി മാറ്റാം. അന്തിമ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ കോറോളറി 2 ൻ്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 10. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: എല്ലാവർക്കും നൽകിയിരിക്കുന്ന പരിധി കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല. പരിധി 2 ആയി ഉയർത്താൻ, sin (3x) ഒരു വേരിയബിളാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, നിങ്ങൾ ഘാതം തിരിയേണ്ടതുണ്ട്

അടുത്തതായി, ഒരു ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു ശക്തിയായി ഞങ്ങൾ സൂചകം എഴുതുന്നു


ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ പരാൻതീസിസിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒന്നും രണ്ടും ശ്രദ്ധേയമായ പരിധികൾ ഉപയോഗിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾ ക്യൂബിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നേടി.

ഉദാഹരണം 11. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി കണക്കാക്കുക sin(2*x)/ln(3*x+1)
പരിഹാരം: 0/0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വമുണ്ട്. കൂടാതെ, അതിശയകരമായ രണ്ട് പരിധികളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ഫംഗ്ഷൻ പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. മുമ്പത്തെ ഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം

കൂടാതെ, ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ, പരിധി മൂല്യം എടുക്കും

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വേഗത്തിൽ എഴുതാനും അവയെ ആദ്യത്തെയോ രണ്ടാമത്തെയോ അതിശയകരമായ പരിധിയിലേക്ക് ചുരുക്കാനും നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അസൈൻമെൻ്റുകൾ, ടെസ്റ്റുകൾ, മൊഡ്യൂളുകൾ എന്നിവയിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്രമാത്രം സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ടാകും. പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന രീതികൾ ഓർമ്മിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർഡർ ചെയ്യാവുന്നതാണ് പരീക്ഷനമ്മുടെ പരിധി വരെ.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫോം പൂരിപ്പിക്കുക, ഡാറ്റ നൽകുക, ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം ഒരു ഫയൽ അറ്റാച്ചുചെയ്യുക. ഞങ്ങൾ നിരവധി വിദ്യാർത്ഥികളെ സഹായിച്ചിട്ടുണ്ട് - ഞങ്ങൾക്കും നിങ്ങളെ സഹായിക്കാനാകും!

തെളിവ്:

നമുക്ക് ആദ്യം സീക്വൻസിൻറെ കേസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം

ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

കിട്ടുമെന്ന് കരുതി

ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (1) n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് വലതുവശത്തുള്ള പോസിറ്റീവ് പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കുന്നു. കൂടാതെ, n കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, സംഖ്യ കുറയുന്നു, അതിനാൽ മൂല്യങ്ങളും വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ ക്രമം വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ (2)*അത് പരിമിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. തുല്യതയുടെ വലതുവശത്തുള്ള ഓരോ പരാന്തീസിസും ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, വലത് ഭാഗംവർദ്ധിക്കുന്നു, നമുക്ക് അസമത്വം ലഭിക്കുന്നു

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വം ശക്തിപ്പെടുത്താം, 3,4,5, ..., ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ 2 എന്ന നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ തുക കണ്ടെത്താം: അതുകൊണ്ടു (3)*

അതിനാൽ, ക്രമം മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അസമത്വങ്ങൾ (2), (3) എന്നിവ തൃപ്തികരമാണ്: അതിനാൽ, വീയർസ്ട്രാസ് സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (ഒരു ശ്രേണിയുടെ ഒത്തുചേരലിനുള്ള മാനദണ്ഡം), ക്രമം ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുകയും പരിമിതപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിനർത്ഥം e എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആ.

x ൻ്റെ സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ശരിയാണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ x ൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കുന്നു . നമുക്ക് രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം:

1. x ൻ്റെ ഓരോ മൂല്യവും രണ്ട് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കിടയിലായിരിക്കട്ടെ: , എവിടെയാണ് മുഴുവൻ ഭാഗം x. => =>

എങ്കിൽ, അതിനാൽ, പരിധി അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഉണ്ട്

പരിധികളുടെ നിലനിൽപ്പിൻ്റെ മാനദണ്ഡം (ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിയെ കുറിച്ച്) അടിസ്ഥാനമാക്കി

2. അനുവദിക്കുക. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നത് − x = t ആക്കാം

ഈ രണ്ട് കേസുകളിൽ നിന്നും അത് പിന്തുടരുന്നു യഥാർത്ഥ x-ന്.

അനന്തരഫലങ്ങൾ:

9 .) അനന്തതകളുടെ താരതമ്യം. പരിധിയിലുള്ള തത്തുല്യമായവ ഉപയോഗിച്ച് അനന്തതകളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തവും അനന്തതകളുടെ പ്രധാന ഭാഗത്തെ സിദ്ധാന്തവും.

പ്രവർത്തനങ്ങൾ അനുവദിക്കുക a( x) ഒപ്പം ബി( x) – ബി.എം. ചെയ്തത് x ® x 0 .

നിർവചനങ്ങൾ.

1)എ( x) വിളിച്ചു എന്നതിനേക്കാൾ അനന്തമായ ഉയർന്ന ക്രമം ബി (x) എങ്കിൽ

എഴുതുക: a( x) = o(b( x)) .

2)എ( x) ഒപ്പംബി( x)വിളിക്കുന്നു ഒരേ ക്രമത്തിലുള്ള അനന്തതകൾ, എങ്കിൽ

എവിടെ സിÎℝ ഒപ്പം സി¹ 0 .

എഴുതുക: a( x) = ഒ(ബി x)) .

3)എ( x) ഒപ്പംബി( x) വിളിക്കുന്നു തത്തുല്യമായ , എങ്കിൽ

എഴുതുക: a( x) ~ ബി( x).

4)എ( x) കെ ആപേക്ഷിക ക്രമത്തിൻ്റെ അനന്തരമാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു
തികച്ചും അനന്തമായബി( x), അനന്തമാണെങ്കിൽ a( x)ഒപ്പം(ബി x))കെ ഒരേ ക്രമം ഉണ്ടായിരിക്കുക, അതായത്. എങ്കിൽ

എവിടെ സിÎℝ ഒപ്പം സി¹ 0 .

സിദ്ധാന്തം 6 (അനന്തരൂപങ്ങളെ തത്തുല്യമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ).

അനുവദിക്കുക a( x), ബി( x), a 1 ( x), ബി 1 ( x)– ബി.എം. x-ൽ ® x 0 . എങ്കിൽ a( x) ~ ഒരു 1 ( x), ബി( x~ b 1 ( x),

അത്

തെളിവ്: അനുവദിക്കുക ( x) ~ ഒരു 1 ( x), ബി( x~ b 1 ( x), പിന്നെ

സിദ്ധാന്തം 7 (അനന്തസിമലിൻ്റെ പ്രധാന ഭാഗത്തെക്കുറിച്ച്).

അനുവദിക്കുക a( x)ഒപ്പംബി( x)– ബി.എം. x-ൽ ® x 0 , ഒപ്പംബി( x)– ബി.എം. എന്നതിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ക്രമം a( x).

=, a മുതൽ b( x) - a(എ)യേക്കാൾ ഉയർന്ന ഓർഡർ x), അപ്പോൾ, അതായത്. നിന്ന് അത് വ്യക്തമാണ് a( x) + ബി( x) ~ a( x)

10) ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തുടർച്ച (എപ്സിലോൺ-ഡെൽറ്റയുടെ ഭാഷയിൽ, ജ്യാമിതീയ പരിധികൾ) ഏകപക്ഷീയമായ തുടർച്ച. ഒരു ഇടവേളയിൽ, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ തുടരുക. തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

1. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ

അനുവദിക്കുക എഫ്(x) പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു x 0 .

നിർവ്വചനം 1. ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) വിളിച്ചു ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി x 0 സമത്വം സത്യമാണെങ്കിൽ

കുറിപ്പുകൾ.

1) സിദ്ധാന്തം 5 §3 പ്രകാരം, സമത്വം (1) രൂപത്തിൽ എഴുതാം

വ്യവസ്ഥ (2) - ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികളുടെ ഭാഷയിൽ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ നിർവചനം.

2) സമത്വം (1) ഇങ്ങനെയും എഴുതാം:

അവർ പറയുന്നു: “ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ x 0, തുടർന്ന് പരിധിയുടെ അടയാളവും ഫംഗ്‌ഷനും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയും."

നിർവ്വചനം 2 (ഇ-ഡി ഭാഷയിൽ).

ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) വിളിച്ചു ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി x 0 എങ്കിൽ"e>0 $d>0 അത്തരം, എന്ത്

x ആണെങ്കിൽОU( x 0 , d) (അതായത് | x – x 0 | < d),

തുടർന്ന് എഫ്(x)ഉ( എഫ്(x 0), ഇ) (അതായത് | എഫ്(x) – എഫ്(x 0) | < e).

അനുവദിക്കുക x, x 0 Î ഡി(എഫ്) (x 0 - സ്ഥിരം, x -ഏകപക്ഷീയമായ)

നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം: ഡി x= x – x 0 – വാദം വർദ്ധനവ്

ഡി എഫ്(x 0) = എഫ്(x) – എഫ്(x 0) – പോയിൻ്റ്എക്സിലെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് 0

നിർവ്വചനം 3 (ജ്യാമിതീയം).

ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) ഓൺ വിളിച്ചു ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി x 0 ഈ ഘട്ടത്തിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഫംഗ്ഷനിലെ അനന്തമായ ഇൻക്രിമെൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, അതായത്.

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ എഫ്(x) ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു [ x 0 ; x 0 + d) (ഇടവേളയിൽ ( x 0 - ഡി; x 0 ]).

നിർവ്വചനം. ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) വിളിച്ചു ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി x 0 വലതുവശത്ത് (ഇടത്തെ ), സമത്വം സത്യമാണെങ്കിൽ

അത് വ്യക്തമാണ് എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ തുടർച്ചയായാണ് x 0 Û എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ തുടർച്ചയായാണ് x 0 വലത്തും ഇടത്തും.

നിർവ്വചനം. ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) വിളിച്ചു ഒരു ഇടവേള വരെ തുടർച്ചയായി ഇ ( എ; ബി) ഈ ഇടവേളയുടെ എല്ലാ ഘട്ടത്തിലും ഇത് തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ.

ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) സെഗ്മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി വിളിക്കുന്നു [എ; ബി] ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ (എ; ബി) കൂടാതെ അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളിൽ വൺ-വേ തുടർച്ചയുണ്ട്(അതായത് പോയിൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി എവലതുവശത്ത്, പോയിൻ്റിൽ ബി- ഇടത്തെ).

11) ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകൾ, അവയുടെ വർഗ്ഗീകരണം

നിർവ്വചനം. ഫംഗ്‌ഷൻ എഫ്(x) പോയിൻ്റ് x ൻ്റെ ചില അയൽപക്കത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു 0 , എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി അല്ല എഫ്(x) പോയിൻ്റ് x-ൽ തുടർച്ചയായി വിളിക്കുന്നു 0 , പോയിൻ്റ് തന്നെ x 0 ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനങ്ങൾ f(x) .

കുറിപ്പുകൾ.

1) എഫ്(x) പോയിൻ്റിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ അയൽപക്കത്തിൽ നിർവചിക്കാം x 0 .

തുടർന്ന് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ തുടർച്ച പരിഗണിക്കുക.

2) Þ പോയിൻ്റിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് x 0 ആണ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് എഫ്(x) രണ്ട് കേസുകളിൽ:

എ) യു( x 0, ഡി) ഒ ഡി(എഫ്), എന്നാൽ വേണ്ടി എഫ്(x) സമത്വം നിലനിൽക്കില്ല

b) യു * ( x 0, ഡി) ഒ ഡി(എഫ്) .

പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, കേസ് b) മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ.

അനുവദിക്കുക x 0 - ഫംഗ്ഷൻ ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് എഫ്(x) .

നിർവ്വചനം. പോയിൻ്റ് x 0 വിളിച്ചു ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് ഐ ഒരുതരം ഫംഗ്‌ഷൻ എഫ്(x)ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇടതും വലതും പരിമിതമായ പരിധികളുണ്ട്.

ഈ പരിധികൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, പോയിൻ്റ് x 0 വിളിച്ചു നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് , അല്ലാത്തപക്ഷം - ജമ്പ് പോയിൻ്റ് .

നിർവ്വചനം. പോയിൻ്റ് x 0 വിളിച്ചു ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് II ഒരുതരം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിമിതികളിൽ ഒന്ന് എങ്കിലും(x)ഈ ഘട്ടത്തിൽ തുല്യമാണ്¥ അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

12) ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ (വെയർസ്ട്രാസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ (തെളിവില്ലാതെ), കൗച്ചി

വെയർസ്ട്രാസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം

ഇടവേളയിൽ f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായിരിക്കട്ടെ

1)f(x)ഇതിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു

2)f(x) അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം ഇടവേളയിൽ എടുക്കുന്നു ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യം

നിർവ്വചനം: m=f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം m≤f(x) ആണെങ്കിൽ, ഏത് x€ D(f) നും ഏറ്റവും ചെറുത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഏതൊരു x € D(f) നും m≥f(x) ആണെങ്കിൽ m=f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും വലുതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഏറ്റവും ചെറിയ/വലിയ മൂല്യം എടുക്കാം.

f(x 3)=f(x 4)=max

കൗച്ചിയുടെ സിദ്ധാന്തം.

സെഗ്‌മെൻ്റിൽ f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായിരിക്കട്ടെ, x എന്നത് f(a), f(b) എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ f(x 0)= g എന്ന ഒരു പോയിൻ്റെങ്കിലും x 0 € ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ.

മുകളിലുള്ള ലേഖനത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിധി എന്താണെന്നും അത് കഴിക്കുന്നത് എന്താണെന്നും കണ്ടെത്താനാകും - ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. എന്തുകൊണ്ട്? ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകില്ല, അവ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാം; എന്നാൽ ഒരു പരിധി എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, പ്രായോഗിക ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. സാമ്പിൾ സൊല്യൂഷനുകളും എൻ്റെ ഡിസൈൻ ശുപാർശകളും സ്വയം പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് നല്ല ആശയമായിരിക്കും. എല്ലാ വിവരങ്ങളും ലളിതവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമായ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഈ പാഠത്തിൻ്റെ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അധ്യാപന സാമഗ്രികൾ ആവശ്യമാണ്: അതിശയകരമായ പരിധികൾഒപ്പം ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. അവ പേജിൽ കാണാം. മാനുവലുകൾ പ്രിൻ്റ് ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത് - ഇത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, കൂടാതെ, നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഓഫ്‌ലൈനിൽ അവ റഫർ ചെയ്യേണ്ടിവരും.

ശ്രദ്ധേയമായ പരിധികളുടെ പ്രത്യേകത എന്താണ്? ഈ പരിധികളെക്കുറിച്ചുള്ള ശ്രദ്ധേയമായ കാര്യം, അവ പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഏറ്റവും വലിയ മനസ്സിനാൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്, നന്ദിയുള്ള പിൻഗാമികൾക്ക് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ലോഗരിതം, ശക്തികൾ എന്നിവയുടെ ഒരു കൂമ്പാരം കൊണ്ട് ഭയാനകമായ പരിധികൾ അനുഭവിക്കേണ്ടതില്ല. അതായത്, പരിധികൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, സൈദ്ധാന്തികമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ട റെഡിമെയ്ഡ് ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

അതിശയകരമായ നിരവധി പരിധികളുണ്ട്, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, 95% കേസുകളിലും പാർട്ട് ടൈം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് രണ്ട് അത്ഭുതകരമായ പരിധികളുണ്ട്: ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി, രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി. ഇവ ചരിത്രപരമായി സ്ഥാപിതമായ പേരുകളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അവർ "ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി" എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവർ ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട കാര്യമാണ്, അല്ലാതെ സീലിംഗിൽ നിന്ന് എടുത്ത ചില ക്രമരഹിതമായ പരിധികളല്ല.

ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി

ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധി പരിഗണിക്കുക: ("അവൻ" എന്ന നേറ്റീവ് അക്ഷരത്തിന് പകരം ഞാൻ "ആൽഫ" എന്ന ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കും, മെറ്റീരിയൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഇത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്).

പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ നിയമം അനുസരിച്ച് (ലേഖനം കാണുക പരിധികൾ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ) ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് പൂജ്യത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു: ന്യൂമറേറ്ററിൽ നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും (പൂജിൻ്റെ സൈൻ പൂജ്യമാണ്), കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ, വ്യക്തമായും, പൂജ്യവും ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഫോമിൻ്റെ ഒരു അനിശ്ചിതത്വം ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു, അത് ഭാഗ്യവശാൽ, വെളിപ്പെടുത്തേണ്ടതില്ല. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, ഇത് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു:

ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുതയെ വിളിക്കുന്നു ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി. പരിധിയുടെ ഒരു വിശകലന തെളിവ് ഞാൻ നൽകില്ല, പക്ഷേ ഇതാ: ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഞങ്ങൾ അത് ക്ലാസ്സിൽ നോക്കാം അനന്തമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

പലപ്പോഴും പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ ഫംഗ്ഷനുകൾ വ്യത്യസ്തമായി ക്രമീകരിക്കാം, ഇത് ഒന്നും മാറ്റില്ല:

- അതേ ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി.

എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല! ഫോമിൽ ഒരു പരിധി നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് പുനഃക്രമീകരിക്കാതെ അതേ രൂപത്തിൽ തന്നെ പരിഹരിക്കണം.

പ്രായോഗികമായി, ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമല്ല, ഒരു എലിമെൻ്ററി ഫംഗ്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു പാരാമീറ്ററായി പ്രവർത്തിക്കും. പ്രധാന കാര്യം അത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:
, , ,

ഇവിടെ , , , , എല്ലാം നല്ലതാണ് - ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി ബാധകമാണ്.

എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി പാഷണ്ഡതയാണ്:

എന്തുകൊണ്ട്? പോളിനോമിയൽ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കാത്തതിനാൽ, അത് അഞ്ച് ആയി മാറുന്നു.

വഴിയിൽ, ഒരു പെട്ടെന്നുള്ള ചോദ്യം: എന്താണ് പരിധി? ? പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം കണ്ടെത്താം.

പ്രായോഗികമായി, എല്ലാം അത്ര സുഗമമല്ല; ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു സൗജന്യ പരിധി പരിഹരിക്കാനും എളുപ്പത്തിൽ പാസ് നേടാനും കഴിയില്ല. ഹും... ഞാൻ ഈ വരികൾ എഴുതുകയാണ്, വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ചിന്ത മനസ്സിൽ വന്നു - എല്ലാത്തിനുമുപരി, "സൌജന്യ" ഗണിതശാസ്ത്ര നിർവചനങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും മനസ്സിൽ ഓർക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, ഇത് പരീക്ഷയിൽ വിലമതിക്കാനാവാത്ത സഹായം നൽകും, ചോദ്യം എപ്പോൾ "രണ്ടിനും" "മൂന്നിനും" ഇടയിൽ തീരുമാനിക്കുക, അധ്യാപകൻ വിദ്യാർത്ഥിയോട് ചില ലളിതമായ ചോദ്യം ചോദിക്കാൻ തീരുമാനിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഓഫർ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം("ഒരുപക്ഷേ അവന് (കൾക്ക്) ഇപ്പോഴും എന്തറിയാം?!").

പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഉദാഹരണം 1

പരിധി കണ്ടെത്തുക

പരിധിയിൽ ഒരു സൈൻ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി പ്രയോഗിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ ഉടൻ നയിക്കും.

ആദ്യം, പരിധി ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് 0 പകരം വയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു (ഞങ്ങൾ ഇത് മാനസികമായോ ഡ്രാഫ്റ്റിലോ ചെയ്യുന്നു):

അതിനാൽ ഫോമിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു അനിശ്ചിതത്വമുണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുകഒരു തീരുമാനം എടുക്കുന്നതിൽ. പരിധി ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധിക്ക് സമാനമാണ്, എന്നാൽ ഇത് കൃത്യമായി അല്ല, ഇത് സൈനിനു കീഴിലാണ്, പക്ഷേ ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്.

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു കൃത്രിമ സാങ്കേതികത ഉപയോഗിച്ച്, ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി നമ്മൾ തന്നെ സംഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. യുക്തിയുടെ വരി ഇതുപോലെയാകാം: "നമ്മുടെ സൈനിനു കീഴിൽ , അതിനർത്ഥം നാമും ഡിനോമിനേറ്ററിൽ പ്രവേശിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്."
ഇത് വളരെ ലളിതമായി ചെയ്തു:

അതായത്, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഈ കേസിൽ കൃത്രിമമായി 7 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അതേ ഏഴ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ റെക്കോർഡിംഗ് പരിചിതമായ ഒരു രൂപം കൈവരിച്ചു.
ഒരു ടാസ്ക് കൈകൊണ്ട് വരയ്ക്കുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി അടയാളപ്പെടുത്തുന്നത് ഉചിതമാണ് ഒരു ലളിതമായ പെൻസിൽ കൊണ്ട്:

എന്ത് സംഭവിച്ചു? വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഒരു യൂണിറ്റായി മാറുകയും ജോലിയിൽ അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്തു:

മൂന്ന് നിലകളുള്ള ഭാഗം ഒഴിവാക്കുക മാത്രമാണ് ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത്:

മൾട്ടി-ലെവൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ലളിതവൽക്കരണം ആരാണ് മറന്നത്, റഫറൻസ് ബുക്കിലെ മെറ്റീരിയൽ പുതുക്കുക സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിനുള്ള ഹോട്ട് ഫോർമുലകൾ .

തയ്യാറാണ്. അന്തിമ ഉത്തരം:

നിങ്ങൾക്ക് പെൻസിൽ അടയാളങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ താൽപ്പര്യമില്ലെങ്കിൽ, പരിഹാരം ഇതുപോലെ എഴുതാം:

“

നമുക്ക് ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി ഉപയോഗിക്കാം

“

ഉദാഹരണം 2

പരിധി കണ്ടെത്തുക

വീണ്ടും നമ്മൾ പരിധിയിൽ ഒരു ഫ്രാക്ഷനും സൈനും കാണുന്നു. ന്യൂമറേറ്ററിലേക്കും ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്കും പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾക്ക് അനിശ്ചിതത്വമുണ്ട്, അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി സംഘടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പാഠത്തിൽ പരിധികൾ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾനമുക്ക് അനിശ്ചിതത്വമുണ്ടാകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യണമെന്ന നിയമം ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു. ഇവിടെയും ഇതുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കും (ഗുണങ്ങൾ):

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമായി, ശ്രദ്ധേയമായ പരിധികൾക്ക് ചുറ്റും ഞങ്ങൾ ഒരു പെൻസിൽ വരയ്ക്കുന്നു (ഇവിടെ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്), അവ ഐക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നതായി സൂചിപ്പിക്കുക:

യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഉത്തരം തയ്യാറാണ്:

IN ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഞാൻ പെയിൻ്റിൽ കല ചെയ്യില്ല, ഒരു നോട്ട്ബുക്കിൽ ഒരു പരിഹാരം എങ്ങനെ ശരിയായി വരയ്ക്കാമെന്ന് ഞാൻ ചിന്തിക്കുകയാണ് - നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കി.

ഉദാഹരണം 3

പരിധി കണ്ടെത്തുക

പരിധി ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഒരു അനിശ്ചിതത്വം ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്, അത് വെളിപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. പരിധിയിൽ ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും അറിയപ്പെടുന്ന ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് സൈനിലേക്കും കോസൈനിലേക്കും പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു (വഴി, അവർ കോട്ടാൻജെൻ്റുമായി ഏകദേശം ഒരേ കാര്യം ചെയ്യുന്നു, രീതിശാസ്ത്രപരമായ മെറ്റീരിയൽ കാണുക ചൂടുള്ള ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾപേജിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, പട്ടികകൾ, റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലുകൾ).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

പൂജ്യത്തിൻ്റെ കോസൈൻ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ് (അത് ഒന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നുവെന്ന് അടയാളപ്പെടുത്താൻ മറക്കരുത്):

അതിനാൽ, പരിധിയിൽ കോസൈൻ ഒരു മൾട്ടിപ്ലയർ ആണെങ്കിൽ, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, അത് ഒരു യൂണിറ്റായി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകും.

ഗുണനങ്ങളും വിഭജനങ്ങളും ഇല്ലാതെ ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമായി മാറി. ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ഒന്നായി മാറുകയും ഉൽപ്പന്നത്തിൽ അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യുന്നു:

തൽഫലമായി, അനന്തത ലഭിക്കുന്നു, ഇത് സംഭവിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 4

പരിധി കണ്ടെത്തുക

ന്യൂമറേറ്ററിലേക്കും ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്കും പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

അനിശ്ചിതത്വം ലഭിക്കുന്നു (പൂജ്യത്തിൻ്റെ കോസൈൻ, നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ഒന്നിന് തുല്യമാണ്)

ഞങ്ങൾ ത്രികോണമിതി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. കുറിപ്പ് എടുത്തു! ചില കാരണങ്ങളാൽ, ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്ന പരിധികൾ വളരെ സാധാരണമാണ്.

നമുക്ക് സ്ഥിരമായ ഘടകങ്ങളെ പരിധി ഐക്കണിനപ്പുറം നീക്കാം:

നമുക്ക് ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി സംഘടിപ്പിക്കാം:

ഇവിടെ നമുക്ക് ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പരിധി മാത്രമേയുള്ളൂ, അത് ഒന്നായി മാറുകയും ഉൽപ്പന്നത്തിൽ അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യുന്നു:

നമുക്ക് മൂന്ന് നിലകളുള്ള ഘടന ഒഴിവാക്കാം:

പരിധി യഥാർത്ഥത്തിൽ പരിഹരിച്ചു, ശേഷിക്കുന്ന സൈൻ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 5

പരിധി കണ്ടെത്തുക

ഈ ഉദാഹരണം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്, ഇത് സ്വയം മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ചില പരിധികൾ 1-ാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് ലേഖനത്തിൽ വായിക്കാം പരിധികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലന സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഇത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്:

ഈ വസ്തുതവിളിച്ചു രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി.

റഫറൻസ്: ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്.

പരാമീറ്റർ ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമല്ല, സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷനും ആകാം. ഒരേയൊരു പ്രധാന കാര്യം അത് അനന്തതയ്ക്കായി പരിശ്രമിക്കുന്നു എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം 6

പരിധി കണ്ടെത്തുക

പരിധി ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഒരു ഡിഗ്രിയിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി പ്രയോഗിക്കാൻ നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കേണ്ട ആദ്യ അടയാളമാണിത്.

എന്നാൽ ആദ്യം, എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് അനന്തമായ വലിയ സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു, ഇത് ചെയ്യുന്ന തത്വം പാഠത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു പരിധികൾ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

എപ്പോൾ എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് ബിരുദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം , ഘാതം , അതായത്, ഫോമിൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വമുണ്ട്:

രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയുടെ സഹായത്തോടെ ഈ അനിശ്ചിതത്വം കൃത്യമായി വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. പക്ഷേ, പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നത് പോലെ, രണ്ടാമത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി ഒരു വെള്ളി തളികയിൽ കിടക്കുന്നില്ല, അത് കൃത്രിമമായി സംഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരാൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യാം: ഇൻ ഈ ഉദാഹരണത്തിൽപരാമീറ്റർ, അതായത് സൂചകത്തിൽ നാമും സംഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട് . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു, അതിനാൽ പദപ്രയോഗം മാറാതിരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ അതിനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു:

ടാസ്ക് കൈകൊണ്ട് പൂർത്തിയാകുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു:

മിക്കവാറും എല്ലാം തയ്യാറാണ്, ഭയങ്കരമായ ബിരുദം ഒരു നല്ല അക്ഷരമായി മാറി:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പരിധി ഐക്കൺ തന്നെ സൂചകത്തിലേക്ക് നീക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 7

പരിധി കണ്ടെത്തുക

ശ്രദ്ധ! ഇത്തരത്തിലുള്ള പരിധി പലപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്, ദയവായി ഈ ഉദാഹരണം വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിക്കുക.

പരിധി ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് അനന്തമായ വലിയ സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

അനിശ്ചിതത്വമാണ് ഫലം. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി ഫോമിൻ്റെ അനിശ്ചിതത്വത്തിന് ബാധകമാണ്. എന്തുചെയ്യും? നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾ ഇതുപോലെ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ, ന്യൂമറേറ്ററിൽ നാമും സംഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്.