ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മാണത്തിനുള്ള നിയമങ്ങൾ. കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണം

വൈവിധ്യമാർന്ന ഉപകരണങ്ങളുടെ അലവൻസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വലിയ കൂട്ടം നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണെങ്കിൽ, നേരെമറിച്ച്, ഉപകരണങ്ങളിൽ ഏർപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പരിഹരിക്കാവുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ ക്ലാസ് ഒരാൾക്ക് മുൻകൂട്ടി കാണാൻ കഴിയും. ഇടുങ്ങിയതായിരിക്കും. ഇറ്റാലിയൻ നടത്തിയ കണ്ടെത്തൽ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധേയമായി കണക്കാക്കണം മഷെറോണി (1750-1800):കോമ്പസും സ്‌ട്രെയിറ്റും ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാ ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണങ്ങളും ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാം.ഒരു ഭരണാധികാരിയില്ലാതെ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് തീർച്ചയായും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, അതിനാൽ ഈ അടിസ്ഥാന നിർമ്മാണം മഷെറോണിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് വിധേയമല്ല. അതിനുപകരം, അതിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ നൽകിയാൽ ഒരു വരി ലഭിച്ചുവെന്ന് അനുമാനിക്കണം. എന്നാൽ ഒരു കോമ്പസിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ഈ രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വൃത്തവുമായി ഒരു രേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഒരുപക്ഷെ മഷെറോണിയുടെ നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റ് എബിയുടെ ഇരട്ടിപ്പിക്കലാണ്. 174-175 പേജിൽ പരിഹാരം ഇതിനകം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. കൂടാതെ, പേജ് 175-176-ൽ ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിനെ എങ്ങനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു. AB എന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആർക്ക് പകുതിയായി O കേന്ദ്രത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം (ചിത്രം 47). AO റേഡിയസ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ A, B കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള രണ്ട് ആർക്കുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് O മുതൽ ഈ ആർക്കുകളിൽ OP, OQ എന്നീ രണ്ട് ആർക്കുകൾ ഞങ്ങൾ കിടത്തുന്നു. OP = OQ = AB. അപ്പോൾ നമ്മൾ സെൻ്റർ P, റേഡിയസ് РВ എന്നിവയുള്ള ആർക്കിൻ്റെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് R, കേന്ദ്ര Q, റേഡിയസ് QA എന്നിവയുള്ള ആർക്ക് എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. അവസാനമായി, സെഗ്‌മെൻ്റ് OR റേഡിയസ് ആയി എടുക്കുമ്പോൾ, ആർക്ക് AB-യുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ ഞങ്ങൾ കേന്ദ്ര P അല്ലെങ്കിൽ Q ഉള്ള ഒരു ആർക്ക് വിവരിക്കുന്നു - ആർക്ക് AB യുടെ ആവശ്യമുള്ള മധ്യബിന്ദുവാണ് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ്. ഞങ്ങൾ തെളിവ് വായനക്കാരന് ഒരു വ്യായാമമായി വിടുന്നു.

ഒരു കോമ്പസും സ്‌ട്രെയ്‌റ്റ്‌ജും ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഓരോ നിർമ്മാണത്തിനും, ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് അത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് കാണിച്ചുകൊണ്ട് മഷെറോണിയുടെ പ്രധാന പ്രസ്താവന തെളിയിക്കുക അസാധ്യമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, സാധ്യമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ എണ്ണമറ്റതാണ്. എന്നാൽ താഴെപ്പറയുന്ന ഓരോ അടിസ്ഥാന നിർമ്മാണവും ഒരൊറ്റ കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് സാധ്യമാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ അതേ ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കും:

1. അതിൻ്റെ കേന്ദ്രവും ആരവും നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക.
2. രണ്ട് സർക്കിളുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
3. ഒരു വരിയുടെയും വൃത്തത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.
4. രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക.

ഏതൊരു ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണവും (സാധാരണ അർത്ഥത്തിൽ, ഒരു കോമ്പസ്, സ്‌ട്രെയിറ്റ്‌ഡ്‌ജ് എന്നിവയുടെ അനുമാനത്തോടെ) ഈ പ്രാഥമിക നിർമ്മിതികളുടെ പരിമിതമായ ക്രമം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ടെണ്ണം ഒരൊറ്റ കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാണ്. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ചർച്ച ചെയ്ത വിപരീതത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള നിർമ്മാണങ്ങൾ 3 ഉം 4 ഉം നടത്തുന്നു.

നമുക്ക് നിർമ്മാണം 3-ലേക്ക് തിരിയാം: A, B എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയോടുകൂടിയ ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തം C യുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. യഥാക്രമം A, B, AO, BO എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ റേഡിയോടുകൂടിയ ആർക്കുകൾ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കും. പോയിൻ്റ് O യ്‌ക്ക്, അവ പോയിൻ്റ് P-ൽ വിഭജിക്കും. തുടർന്ന് നമ്മൾ പോയിൻ്റ് Q നിർമ്മിക്കും, C സർക്കിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് P പോയിൻ്റിലേക്ക് വിപരീതമായി (പേജ് 174-ൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന നിർമ്മാണം കാണുക). അവസാനമായി, നമുക്ക് കേന്ദ്ര ക്യു, റേഡിയസ് QO എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സർക്കിൾ വരയ്ക്കാം (അത് തീർച്ചയായും C യുമായി വിഭജിക്കും): അതിൻ്റെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ X, X" സർക്കിൾ C യ്‌ക്കൊപ്പം ആവശ്യമുള്ളവ ആയിരിക്കും. അത് തെളിയിക്കാൻ, ഓരോന്നും സ്ഥാപിച്ചാൽ മതി. പോയിൻ്റുകൾ X, X" എന്നിവ O, P എന്നിവയിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ് (എ, ബി പോയിൻ്റുകൾ പോലെ, അവയുടെ സമാനമായ സ്വത്ത് ഉടനടി നിർമ്മാണത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു). തീർച്ചയായും, പോയിൻ്റ് Q യിലേക്കുള്ള വിപരീത പോയിൻ്റ് X, X എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത പരാമർശിച്ചാൽ മതിയാകും, C സർക്കിളിൻ്റെ ആരത്തിന് തുല്യമായ അകലത്തിൽ (പേജ് 173 കാണുക) എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. X, X", O എന്നീ ബിന്ദുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സർക്കിൾ C സർക്കിളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വിപരീതമായ AB എന്ന നേർരേഖയുടെ വിപരീതമാണ്. (വിപരീത സമയത്ത്, പ്രധാന വൃത്തത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ചലനരഹിതമായി തുടരും.) AB നേർരേഖ C കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുകയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ സൂചിപ്പിച്ച നിർമ്മാണം അസാധ്യമാണ്. എന്നാൽ പേജ് 178-ൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന നിർമ്മാണം വഴി കവല പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. B 1, B 2 എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ C യുമായി വിഭജിച്ച് കേന്ദ്ര ബി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ വൃത്തം വരയ്ക്കുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ആർക്കുകളുടെ C യുടെ മധ്യഭാഗങ്ങൾ.

നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് ഒരു വൃത്തം വിപരീതമായി വരയ്ക്കുന്ന രീതി, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു നിർമ്മാണം നൽകുന്നു മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സർക്കിളുകൾ വിപരീതമായി AB, A"B" എന്നീ രേഖകൾ നിർമ്മിക്കാം. ആവശ്യമുള്ള ബിന്ദു എന്താണെന്ന് മുകളിൽ വിശദീകരിച്ചിട്ടുണ്ട്, AB, A"B" എന്നീ രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കും ഒരേസമയം വിപരീതമായ പോയിൻ്റ് Y ആണ് എന്നതിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാണ്. Y യുടെ വിപരീതം, AB, A"B" എന്നിവയിൽ ഒരേസമയം കിടക്കണം.

ഈ രണ്ട് നിർമ്മാണങ്ങളും മഷെറോണിയുടെ നിർമ്മാണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള തുല്യതയുടെ തെളിവ് പൂർത്തീകരിക്കുന്നു, അതിൽ ഒരു കോമ്പസും ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉള്ള സാധാരണ ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണങ്ങളും മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാൻ അനുവാദമുള്ളൂ.

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പരിഗണിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ചാരുതയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചില്ല, കാരണം മഷെറോണിയുടെ നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ആന്തരിക അർത്ഥം വ്യക്തമാക്കുക എന്നതായിരുന്നു ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. എന്നാൽ ഒരു ഉദാഹരണമായി ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ പെൻ്റഗണിൻ്റെ നിർമ്മാണവും സൂചിപ്പിക്കും; കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, സാധാരണ ആലേഖനം ചെയ്ത പെൻ്റഗണിൻ്റെ ലംബങ്ങളായി വർത്തിക്കാൻ കഴിയുന്ന വൃത്തത്തിൽ അഞ്ച് പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത്.

A എന്നത് K എന്ന വൃത്തത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. ഒരു സാധാരണ ആലേഖനം ചെയ്ത ഷഡ്ഭുജത്തിൻ്റെ വശം വൃത്തത്തിൻ്റെ ദൂരത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, B, C, D പോയിൻ്റുകൾ K-ൽ AB = BC = CD എന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. = 60 ° (ചിത്രം 51). എസിക്ക് തുല്യമായ ആരം ഉള്ള എ, ഡി കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള ആർക്കുകൾ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു; അവ X എന്ന ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കട്ടെ. പിന്നെ, O എന്നത് K യുടെ കേന്ദ്രമാണെങ്കിൽ, A കേന്ദ്രവും OX റേഡിയുമുള്ള ഒരു ആർക്ക്, ആർക്ക് BC യുടെ മധ്യബിന്ദുവായ F പോയിൻ്റിൽ K യെ ഖണ്ഡിക്കും (പേജ് 178 കാണുക). തുടർന്ന്, K റേഡിയസിന് തുല്യമായ ആരം ഉപയോഗിച്ച്, G, H എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ K യുമായി വിഭജിക്കുന്ന കേന്ദ്ര എഫ് ഉള്ള ആർക്കുകൾ ഞങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നു. G, H പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം OX-ന് തുല്യവും X-ൽ നിന്ന് കേന്ദ്രം കൊണ്ട് വേർതിരിക്കുന്നതുമായ ഒരു പോയിൻ്റ് Y ആയിരിക്കട്ടെ. O. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, AY സെഗ്‌മെൻ്റ് ആവശ്യമുള്ള പെൻ്റഗണിൻ്റെ വശമാണ്. തെളിവ് വായനക്കാരന് ഒരു വ്യായാമമായി അവശേഷിക്കുന്നു. മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ആരങ്ങൾ മാത്രമാണ് നിർമ്മാണത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്.

1928-ൽ ഡാനിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹ്ജെൽംസ്ലേവ് ഒരു പുസ്തകത്തിൻ്റെ ഒരു പകർപ്പ് കണ്ടെത്തി. യൂക്ലൈഡ്സ് ഡാനിക്കസ് 1672-ൽ ഒരു അജ്ഞാത എഴുത്തുകാരൻ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു ജി. മൊറോം.ശീർഷക പേജിൽ നിന്ന്, ഇത് യൂക്ലിഡിയൻ "പ്രിൻസിപ്പിൾസ്" പതിപ്പുകളിൽ ഒന്നാണെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം, ഒരുപക്ഷേ എഡിറ്റോറിയൽ കമൻ്റ് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ശ്രദ്ധാപൂർവം പരിശോധിച്ചപ്പോൾ, മഷെറോണിക്ക് വളരെ മുമ്പുതന്നെ കണ്ടെത്തിയ മഷെറോണിയുടെ പ്രശ്നത്തിന് പൂർണ്ണമായ ഒരു പരിഹാരം അതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് മനസ്സിലായി.

വ്യായാമങ്ങൾ. തുടർന്നുള്ളതിൽ, മോഹറിൻ്റെ നിർമ്മിതികളുടെ ഒരു വിവരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു. അവ ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക. എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർ മഷെറോണി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതെന്ന് പറയാൻ കഴിയുന്നത്?

മഷെറോണിയുടെ ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് പ്രചോദനം ഉൾക്കൊണ്ട്, ജേക്കബ് സ്റ്റെയ്‌നർ (1796-1863)ഒരു ഭരണാധികാരിയെ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന നിർമ്മാണങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. തീർച്ചയായും, ഭരണാധികാരി മാത്രം തന്നിരിക്കുന്ന നമ്പർ ഫീൽഡിൻ്റെ പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് നയിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ എല്ലാ ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണങ്ങളും അവയുടെ ക്ലാസിക്കൽ അർത്ഥത്തിൽ നടത്താൻ പര്യാപ്തമല്ല. എന്നാൽ അതിലും ശ്രദ്ധേയമാണ് സ്റ്റെയ്നർ കൊണ്ടുവന്ന നിയന്ത്രണത്തിന് കീഴിൽ നേടിയ ഫലങ്ങൾ - കോമ്പസ് ഒരിക്കൽ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുക. ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് വിമാനത്തിലെ എല്ലാ നിർമ്മാണങ്ങളും ഒരൊറ്റ ഭരണാധികാരിയെക്കൊണ്ട് ചെയ്യാമെന്ന് അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു, ഒരു കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തം നൽകിയാൽ. ഈ നിർമ്മാണങ്ങളിൽ പ്രൊജക്റ്റീവ് രീതികളുടെ ഉപയോഗം ഉൾപ്പെടുന്നു, അവ പിന്നീട് വിവരിക്കും (പേജ് 228 കാണുക).

* ഒരു സർക്കിൾ കൂടാതെ, കൂടാതെ, ഒരു കേന്ദ്രം ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വൃത്തം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഒരു ഭരണാധികാരിയെ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് കേന്ദ്രം കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പിന്നീട് സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു വസ്‌തുതയെ പരാമർശിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഇത് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കും (പേജ് 252 കാണുക): വിമാനത്തിൻ്റെ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം ഉണ്ട്, a) തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തം ചലനരഹിതമായി തുടരുന്നു, b) ഓരോ നേർരേഖയും തിരിയുന്നു ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക്, കൂടെ ) ഒരു നിശ്ചല വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം നിശ്ചലമായി നിലകൊള്ളുന്നില്ല, മറിച്ച് നീങ്ങുന്നു. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യഭാഗം നിർമ്മിക്കാനുള്ള അസാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, നിർമ്മാണ നടപടിക്രമം എന്തുതന്നെയായാലും, അത് നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുന്നതും പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ കവലകൾ കണ്ടെത്തുന്നതും അടങ്ങുന്ന പ്രത്യേക ഘട്ടങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് വരുന്നു. മുഴുവൻ രൂപവും മൊത്തത്തിൽ ഒരു വൃത്തമാണെന്നും, കേന്ദ്രം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഭരണാധികാരിയുടെ അരികിൽ വരച്ച എല്ലാ നേർരേഖകളും ഒരു പരിവർത്തനത്തിന് വിധേയമാണെന്നും, അതിൻ്റെ അസ്തിത്വം നാം ഇവിടെ ഊഹിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും നമുക്ക് ഇപ്പോൾ സങ്കൽപ്പിക്കാം. പരിവർത്തനത്തിനുശേഷം ലഭിച്ച കണക്ക് നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ എല്ലാ ആവശ്യങ്ങളും നിറവേറ്റുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്; എന്നാൽ ഈ കണക്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്ന നിർമ്മാണം തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് നയിക്കും. ഇതിനർത്ഥം പ്രസ്തുത നിർമ്മാണം അസാധ്യമാണ് എന്നാണ്.

എൻസൈക്ലോപീഡിക് YouTube

1 / 5

✪ ഏഴാം ക്ലാസ്, പാഠം 22, കോമ്പസും റൂളറും ഉള്ള നിർമ്മാണങ്ങൾ

✪ ജ്യാമിതി 7 കോമ്പസും റൂളറും ഉള്ള സർക്കിൾ കൺസ്ട്രക്ഷൻസ്

✪ രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു

✪ ജ്യാമിതി 7 നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

✪ ഏഴാം ക്ലാസ്, പാഠം 23, നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

സബ്ടൈറ്റിലുകൾ

ഉദാഹരണങ്ങൾ

വിഭജന പ്രശ്നം. ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിനെ വിഭജിക്കാൻ ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിക്കുക എബിരണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി. പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:

• ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റുകളിൽ കേന്ദ്രങ്ങളുള്ള സർക്കിളുകൾ വരയ്ക്കുന്നു എഒപ്പം ബിആരം എബി.
• ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു പിഒപ്പം ക്യുരണ്ട് നിർമ്മിച്ച സർക്കിളുകൾ (ആർക്കുകൾ).
• ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച്, പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു സെഗ്മെൻ്റോ രേഖയോ വരയ്ക്കുക പിഒപ്പം ക്യു.
• സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മധ്യഭാഗം കണ്ടെത്തുന്നു എബി- കവലയുടെ പോയിൻ്റ് എബിഒപ്പം പി.ക്യു.

ഔപചാരിക നിർവചനം

നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പല വസ്തുക്കളും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു: വിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും, വിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ നേർരേഖകളും, വിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ സർക്കിളുകളും. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഒരു പ്രത്യേക സെറ്റ് ഒബ്ജക്റ്റുകൾ തുടക്കത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട് (നിർമ്മിതമായി കണക്കാക്കുന്നു). നിർമ്മിച്ച ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ സെറ്റിലേക്ക് ചേർക്കാൻ (ബിൽഡ്) ഇത് അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ്;
2. തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ്;
3. തന്നിരിക്കുന്ന സർക്കിളിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ്;
4. നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ്;
5. തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയുടെയും തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെയും കവല/ടാൻജൻസി പോയിൻ്റുകൾ;
6. നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് സർക്കിളുകളുടെ കവല/ടാൻജൻസി പോയിൻ്റുകൾ;
7. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഏകപക്ഷീയമായ നേർരേഖ;
8. നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ;
9. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഒരു കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ വൃത്തം;
10. നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമായ ആരമുള്ള ഒരു ഏകപക്ഷീയ വൃത്തം;
11. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഒരു കേന്ദ്രവും നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമായ ആരവും ഉള്ള ഒരു വൃത്തം.

ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ സെറ്റുമായി ഒരു നിശ്ചിത ബന്ധത്തിലുള്ള മറ്റൊരു കൂട്ടം ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നിർമ്മാണ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം മൂന്ന് പ്രധാന ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. തന്നിരിക്കുന്ന സെറ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയുടെ വിവരണം.
2. വിവരിച്ച രീതിയിൽ നിർമ്മിച്ച സെറ്റ് യഥാർത്ഥ സെറ്റുമായി ഒരു നിശ്ചിത ബന്ധത്തിലാണെന്നതിൻ്റെ തെളിവ്. സാധാരണയായി നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ തെളിവ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ തെളിവായി നടപ്പിലാക്കുന്നു, അത് സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും മറ്റ് തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്.
3. പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളുടെ വ്യത്യസ്ത പതിപ്പുകൾക്ക് അതിൻ്റെ പ്രയോഗക്ഷമതയ്ക്കായി വിവരിച്ച നിർമ്മാണ രീതിയുടെ വിശകലനം, അതുപോലെ വിവരിച്ച രീതിയിലൂടെ ലഭിച്ച പരിഹാരത്തിൻ്റെ അദ്വിതീയത അല്ലെങ്കിൽ അദ്വിതീയത.

അറിയപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ

ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് അറിയപ്പെടുന്നതും പരിഹരിക്കപ്പെടാത്തതുമായ മറ്റൊരു പ്രശ്നം, നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് നീളമുള്ള ബൈസെക്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്. ഒരു ടോമാഹോക്ക് പോലെയുള്ള ഒരു കോണിൻ്റെ ട്രൈസെക്ഷൻ നടത്തുന്ന ഒരു ഉപകരണത്തിൽ പോലും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടാതെ തുടരുന്നു.

ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മാണത്തിനായി സ്വീകാര്യമായ സെഗ്മെൻ്റുകൾ

ഈ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും:

നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നം, ഘടകഭാഗം, വർഗ്ഗമൂല്യം എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിർമ്മാണ തലത്തിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റ് വ്യക്തമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (അതായത്, നീളം 1 ൻ്റെ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ്). 2 ൻ്റെ ശക്തികളല്ലാത്ത മറ്റ് സ്വാഭാവിക ശക്തികളുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് അസാധ്യമാണ്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൽ നിന്ന് നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ച്, ഒരു ക്യൂബ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനാവാത്തതാണ്.

സാധ്യമായതും അസാധ്യവുമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ

ഒരു ഔപചാരിക വീക്ഷണകോണിൽ, ഏതെങ്കിലും നിർമ്മാണ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ചില ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ചില ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് നിർമ്മാണ ചുമതല വരുന്നു എന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

അതിനാൽ, ഒരു നമ്പർ നിർമ്മിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് - ഒരു പ്രത്യേക തരത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിന് ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം.

സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ സാധ്യമായ നിർമ്മാണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്ന നിർമ്മാണങ്ങൾ സാധ്യമാണ്:

• രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം.
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങളിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ (സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യം നൽകിയിരിക്കുന്നത്) വർഗ്ഗമൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് ഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ മാത്രമേ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയൂ.

തീരുമാനം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് സമചതുരം Samachathuramവേരുകൾ, അനിയന്ത്രിതമായ ബിരുദത്തിൻ്റെ റാഡിക്കലുകളല്ല. ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിന് റാഡിക്കലുകളിൽ ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ പോലും, കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നില്ല. ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം ഇതാണ്: x 3 - 2 = 0 , (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(3)-2=0,)ഈ ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന ക്യൂബ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശസ്തമായ പ്രശ്നവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ( 2 3 (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt[(3)](2)))) ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു സാധാരണ 17-ഗോൺ നിർമ്മിക്കാനുള്ള കഴിവ് അതിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര കോണിൻ്റെ കോസൈനിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ \cos (\left((\frac (2\pi )(17))\ വലത്))=- (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17)))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17 , (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\ sqrt (34-2(\sqrt (17)))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17))))),)ഇത്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു x F n - 1 = 0 , (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ x^(F_(n))-1=0,)എവിടെ F n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ F_(n))- ഏതെങ്കിലും പ്രൈം നമ്പർ ഫെർമാറ്റ്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം ഉപയോഗിച്ച്.

വ്യതിയാനങ്ങളും പൊതുവൽക്കരണങ്ങളും

• ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണങ്ങൾ.മൊഹർ-മാഷെറോണി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ഒരു കോമ്പസിൻ്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏത് രൂപവും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അതിൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിച്ചതായി കണക്കാക്കുന്നു.
• ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണങ്ങൾ.വ്യക്തമായും, ഒരൊറ്റ ഭരണാധികാരിയുടെ സഹായത്തോടെ, പ്രൊജക്റ്റീവ്-മാറ്റമില്ലാത്ത നിർമ്മാണങ്ങൾ മാത്രമേ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയൂ. പ്രത്യേകിച്ച്,
  • ഒരു സെഗ്മെൻ്റിനെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നത് പോലും അസാധ്യമാണ്.
  • തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം കണ്ടെത്തുന്നതും അസാധ്യമാണ്.

എന്നിരുന്നാലും,

• അടയാളപ്പെടുത്തിയ കേന്ദ്രവും ഒരു ഭരണാധികാരിയുമുള്ള വിമാനത്തിൽ മുൻകൂട്ടി വരച്ച ഒരു സർക്കിൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉള്ള അതേ നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്താം (

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ മെറ്റീരിയൽ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ക്ലാസുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാം. ഇത് ഒരു പ്രഭാഷണ രൂപത്തിലും വിദ്യാർത്ഥി റിപ്പോർട്ടുകളുടെ രൂപത്തിലും വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്.

പുരാതന കാലം മുതൽ "പുരാതനകാലത്തെ പ്രസിദ്ധമായ പ്രശ്നങ്ങൾ" എന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു. ഈ പേരിൽ സാധാരണയായി മൂന്ന് പ്രശസ്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു:

1) വൃത്തം ചതുരമാക്കുക,

2) കോണിൻ്റെ ട്രൈസെക്ഷൻ,

3) ക്യൂബ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നു.

ഈ ജോലികളെല്ലാം പുരാതന കാലത്ത് ആളുകളുടെ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉണ്ടായത്. അവരുടെ നിലനിൽപ്പിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, അവർ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രശ്നങ്ങളായി പ്രവർത്തിച്ചു: ചില "പാചകക്കുറിപ്പുകൾ" ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമുള്ള അളവുകളുടെ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ (ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ചുറ്റളവ് മുതലായവ) കണക്കാക്കി. ഈ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ചരിത്രത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, അവയുടെ സ്വഭാവത്തിൽ കാര്യമായ മാറ്റങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നു: അവ ജ്യാമിതീയ (സൃഷ്ടിപരമായ) പ്രശ്നങ്ങളായി മാറുന്നു.

പുരാതന ഗ്രീസിൽ ഈ കാലയളവിൽ അവർക്ക് ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുലേഷനുകൾ നൽകി:

1) തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ചതുരം നിർമ്മിക്കുക;

2) ഈ കോണിനെ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക;

3) ഒരു പുതിയ ക്യൂബിൻ്റെ അറ്റം നിർമ്മിക്കുക, അതിൻ്റെ അളവ് നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്യൂബിൻ്റെ ഇരട്ടിയായിരിക്കും.

ഈ ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണങ്ങളെല്ലാം ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് നടത്താൻ നിർദ്ദേശിച്ചു.

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ലാളിത്യവും അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴിയിൽ നേരിട്ട "അപരിഹാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകളും" അവരുടെ ജനപ്രീതിയുടെ വളർച്ചയ്ക്ക് കാരണമായി. ഈ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് കർക്കശമായ പരിഹാരങ്ങൾ നൽകാനുള്ള ശ്രമത്തിൽ, പുരാതന ഗ്രീക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞർ "വഴിയിൽ" ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് നിരവധി സുപ്രധാന ഫലങ്ങൾ നേടി, ഇത് വ്യത്യസ്തമായ ഗണിതശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തെ ഒരു സ്വതന്ത്ര ഡിഡക്റ്റീവ് സയൻസാക്കി മാറ്റുന്നതിന് കാരണമായി (പൈതഗോറിയൻ, ചിയോസിൻ്റെ ഹിപ്പോക്രാറ്റസ്, ആർക്കിമിഡീസ് അവശേഷിക്കുന്നു. ആ സമയത്ത് പ്രത്യേകിച്ച് ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു അടയാളം).

ക്യൂബ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നം.

ഒരു ക്യൂബ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നം ഇപ്രകാരമാണ്: തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ അറ്റം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, തന്നിരിക്കുന്ന ക്യൂബിൻ്റെ ഇരട്ടി വോളിയം വരുന്ന ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ അറ്റം നിർമ്മിക്കുക.

ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ക്യൂബിൻ്റെ അരികിൻ്റെ നീളം a ആയിരിക്കട്ടെ, x എന്നത് ആവശ്യമുള്ള ക്യൂബിൻ്റെ അരികിൻ്റെ നീളം ആയിരിക്കട്ടെ. തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ വോളിയം ആകട്ടെ, ആവശ്യമുള്ള ക്യൂബിൻ്റെ വോളിയം ആകട്ടെ, പിന്നെ, ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: =, കൂടാതെ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുക.

പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ വേരുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യ മാത്രമായിരിക്കുമെന്നും സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ വിഭജനങ്ങളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുമെന്നും ബീജഗണിതത്തിൽ നിന്ന് അറിയാം. എന്നാൽ സംഖ്യ 2 ൻ്റെ ഒരേയൊരു വിഭജനം +1, - 1, +2, - 2 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്, അവയൊന്നും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് യുക്തിസഹമായ വേരുകളില്ല, അതായത് ഒരു ക്യൂബ് ഇരട്ടിയാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാവില്ല.

ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്യൂബ് ഇരട്ടിപ്പിക്കുന്ന പ്രശ്നം ഏകദേശം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ പ്രശ്നം ഏകദേശം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ മാർഗ്ഗങ്ങളിലൊന്ന് ഇതാ.

AB=BC=a, ABC എന്നിവയാകട്ടെ. ഞങ്ങൾ AD=AC നിർമ്മിക്കുന്നു, തുടർന്ന് 1% കൃത്യതയോടെ CD നിർമ്മിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, CD 1.2586…. അതേ സമയം =1.2599….

വൃത്തം സമചതുരമാക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നം.

ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹരിക്കാനാകാത്തതിൻ്റെ ന്യായീകരണം.

ഒരു സർക്കിൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഇപ്രകാരമാണ്: വൃത്തത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ചതുരം നിർമ്മിക്കുക.

തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം ആകട്ടെ, ആവശ്യമുള്ള ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളവും ആയിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ, ഇവിടെ നിന്ന്.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ സർക്കിൾ ചതുരമാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടും. തന്നിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റായി (=1) എടുത്താൽ, ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്ന് നീളമുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നതിലേക്ക് കാര്യം ചുരുങ്ങും.

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റ് അറിയുമ്പോൾ, പരിമിതമായ ഒരു കൂട്ടം യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനങ്ങളും സ്‌ക്വയർ റൂട്ടുകൾ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യലും ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നീളം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ മാത്രം നിർമ്മിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിക്കാം, അതിനാൽ ബീജഗണിത സംഖ്യകളാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ ബീജഗണിത സംഖ്യകളും ഉപയോഗിക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് നീളത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല.

1882-ൽ ലിൻഡെമാൻ അത് അതീന്ദ്രിയമാണെന്ന് തെളിയിച്ചു. ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നീളത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്നും അതിനാൽ, ഈ മാർഗ്ഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സർക്കിൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനാവില്ലെന്നും ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഏകദേശ പരിഹാരം.

നീളമുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ഏകദേശ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള സാങ്കേതികതകളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ സാങ്കേതികത ഇപ്രകാരമാണ്. O പോയിൻ്റിൽ ഒരു കേന്ദ്രവും ഒന്നിന് തുല്യമായ ആരവും ഉള്ള സർക്കിളിൻ്റെ നാലിലൊന്ന് C കൊണ്ട് പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. വ്യാസമുള്ള CD യുടെ തുടർച്ചയിൽ, ഞങ്ങൾ ആരത്തിന് തുല്യമായ DE സെഗ്മെൻ്റ് ഓഫ് ചെയ്യുന്നു. പോയിൻ്റ് E മുതൽ EA, EB എന്നീ രശ്മികൾ C പോയിൻ്റിലെ ടാൻജെൻ്റുമായി വിഭജിക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു. കട്ട് സെഗ്മെൻ്റ് AB ആർക്ക് AB യുടെ നീളത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഇരട്ടിയാക്കിയ സെഗ്മെൻ്റ് അർദ്ധവൃത്തത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഈ ഏകദേശത്തിൻ്റെ ആപേക്ഷിക പിശക് 0.227% കവിയരുത്.

ആംഗിൾ ട്രൈസെക്ഷൻ പ്രശ്നം.

ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹരിക്കാനാകാത്തതിൻ്റെ ന്യായീകരണം.

ആംഗിൾ ട്രൈസെക്ഷൻ പ്രശ്നം ഇപ്രകാരമാണ്: ഈ കോണിനെ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക.

90-ൽ കൂടാത്ത കോണുകളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്താം. ഒരു മങ്ങിയ കോണാണെങ്കിൽ, =180-, എവിടെ<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

(ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ) ആംഗിൾ (90) നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം x=cos സെഗ്‌മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. വാസ്തവത്തിൽ, കോണാണ് നിർമ്മിച്ചതെങ്കിൽ, x = cos എന്ന സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നിർമ്മാണം ഹൈപ്പോടെന്യൂസും ഒരു നിശിതകോണും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

തിരികെ. ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് x നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, x = cos പോലെയുള്ള ഒരു കോണിൻ്റെ നിർമ്മാണം ഹൈപ്പോടെന്യൂസും ലെഗും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന കോണും ആവശ്യമുള്ള കോണും ആകട്ടെ, അതിനാൽ =. അപ്പോൾ cos=cos 3. cos 3= 4cos-3cos എന്ന് അറിയാം. അതിനാൽ, cos =, cos = എന്നിവ അനുമാനിച്ചാൽ, നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

cos =4cos-3cos,

ഈ സമവാക്യത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു യുക്തിസഹമായ റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ ഒരു സെഗ്മെൻ്റും അതിനാൽ ഒരു കോണും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയൂ. എന്നാൽ ഇത് എല്ലാവർക്കും സംഭവിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഒരു കോണിൻ്റെ ട്രിസെക്ഷൻ പ്രശ്നം, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്. =60 ന് നമുക്ക് = 1 ലഭിക്കും, കണ്ടെത്തിയ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു: . ഈ സമവാക്യത്തിന് യുക്തിസഹമായ റൂട്ട് ഇല്ലെന്ന് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, അതായത് കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് 60 കോണിനെ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു കോണിൻ്റെ ട്രൈസെക്ഷൻ പ്രശ്നം ഒരു കോമ്പസും പൊതു രൂപത്തിൽ ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഏകദേശ പരിഹാരം.

ആൽബർട്ട് ഡ്യൂറർ (1471-1528) നിർദ്ദേശിച്ച കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏകദേശ രീതികളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ആംഗിൾ ASB നൽകട്ടെ. ശീർഷം എസ് മുതൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തെ വിവരിക്കുകയും കോണിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളെ കോർഡ് എബി ഉപയോഗിച്ച് സർക്കിളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. R, R (A R = R R = RB) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ ഈ കോർഡ് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. A, B എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന്, കേന്ദ്രങ്ങളിൽ നിന്ന്, A R = RB റേഡിയോടുകൂടിയ, T, T എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ സർക്കിളിനെ വിഭജിക്കുന്ന ആർക്കുകൾ ഞങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നു. നമുക്ക് RSAB നടപ്പിലാക്കാം. ആരം A S= BS ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ U, U എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ AB-യെ വിഭജിക്കുന്ന ആർക്കുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ആർക്കുകൾ AT, SS, TB എന്നിവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്, കാരണം അവ തുല്യ കോർഡുകളാൽ കീഴ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

X, X ആംഗിളുകളുടെ ട്രൈസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, Dürer RU, RU എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളെ PV, PV എന്നീ പോയിൻ്റുകളാൽ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, X, X എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ സർക്കിളിനെ വിഭജിക്കുന്ന റേഡിയി AV, BV എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ആർക്കുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളെ S-മായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ കോണിൻ്റെ വിഭജനം യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുമായി നല്ല ഏകദേശവുമായി മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി നമുക്ക് ലഭിക്കും.

പുരാതന കാലം മുതൽ അറിയപ്പെടുന്നു.

നിർമ്മാണ ജോലികളിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ സാധ്യമാണ്:

• ഏതെങ്കിലും അടയാളപ്പെടുത്തുക പോയിൻ്റ്ഒരു വിമാനത്തിൽ, നിർമ്മിച്ച ലൈനുകളിൽ ഒന്നിലെ ഒരു പോയിൻ്റ്, അല്ലെങ്കിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് ലൈനുകളുടെ കവല പോയിൻ്റ്.
• ഉപയോഗിച്ച് കോമ്പസ്നിർമ്മിച്ച പോയിൻ്റിൽ ഒരു കേന്ദ്രവും ഇതിനകം നിർമ്മിച്ച രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമായ ആരവും ഉള്ള ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കുക.
• ഉപയോഗിച്ച് ഭരണാധികാരികൾനിർമ്മിച്ച രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും അനുയോജ്യമായ ഉപകരണങ്ങളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും:

1. ലളിതമായ ഉദാഹരണം

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്നു

ടാസ്ക്.ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിനെ വിഭജിക്കാൻ ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിക്കുക എബിരണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി. പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:

• ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രവുമായി ഒരു സർക്കിൾ നിർമ്മിക്കുന്നു എആരം എബി.
• ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു വൃത്തം നിർമ്മിക്കുന്നു ബിആരം എബി.
• ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു പിഒപ്പം ക്യുനിർമ്മിച്ച രണ്ട് സർക്കിളുകൾ.
• പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാൻ ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിക്കുക പിഒപ്പം ക്യു.
• ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു എബിഒപ്പം പി.ക്യു.സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മധ്യ പോയിൻ്റാണിത് എബി.

2. സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ

പുരാതന ജിയോമീറ്ററുകൾക്ക് ശരിയായ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള രീതികൾ അറിയാമായിരുന്നു എൻ-ഗോൺസ് കൂടാതെ .

4. സാധ്യമായതും അസാധ്യവുമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ

എല്ലാ നിർമ്മാണങ്ങളും ചില സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു നമ്പർ നിർമ്മിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് - ഒരു പ്രത്യേക തരത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിന് ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം.

കെട്ടിട ആവശ്യകതകളുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന കെട്ടിടങ്ങൾ സാധ്യമാണ്:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ (സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യം) സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമായ സംഖ്യകൾ മാത്രമേ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയൂ. ഉദാഹരണത്തിന്,

5. വ്യതിയാനങ്ങളും പൊതുവൽക്കരണങ്ങളും

6. രസകരമായ വസ്തുതകൾ

• GeoGebra, Kig, KSEG - കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രോഗ്രാമുകൾ.

സാഹിത്യം

• എ അഡ്‌ലർ. ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണ സിദ്ധാന്തം,ജർമ്മൻ ഭാഷയിൽ നിന്നുള്ള വിവർത്തനം ജി.എം. ഫിക്റ്റെൻഗോൾട്ട്സ്. മൂന്നാം പതിപ്പ്. എൽ., നവ്ച്പെഡ്വിഡ്, 1940-232 പേ.
• I. അലക്സാണ്ട്രോവ്, ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം,പതിനെട്ടാം പതിപ്പ്, എം., നവ്ച്പെഡ്വിഡ്, 1950-176 പേ.
• B. I. Argunov, M B Balk.

ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ

ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിക്കുന്നു

എട്ടാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി

സൂപ്പർവൈസർ:മോസ്കയേവ വി.എൻ.

ഗണിത അധ്യാപകൻ

നിസ്നി നോവ്ഗൊറോഡ്

ആമുഖം

ദൃശ്യവൽക്കരണവും ഭാവനയും കലയുടേതാണ്, കർശനമായ യുക്തി ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പദവിയാണ്. ഒരു കൃത്യമായ നിഗമനത്തിൻ്റെ വരൾച്ചയും ഒരു വിഷ്വൽ ചിത്രത്തിൻ്റെ ഉജ്ജ്വലതയും - "ഐസും തീയും പരസ്പരം വ്യത്യസ്തമല്ല." ജ്യാമിതി ഈ രണ്ട് വിപരീതങ്ങളെയും സംയോജിപ്പിക്കുന്നു.

A. D. അലക്സാണ്ട്രോവ്

സ്കൂളിനായി തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ, ബ്രീഫ്കേസിൽ ഒരു കോമ്പസും റൂളറും പ്രൊട്രാക്ടറും ഇടാൻ ഞങ്ങൾ മറക്കില്ല. നിങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗുകൾ ശരിയായി പൂർത്തിയാക്കാനും മനോഹരമായി വരയ്ക്കാനും ഈ ഉപകരണങ്ങൾ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയർമാർ, ആർക്കിടെക്റ്റുകൾ, തൊഴിലാളികൾ, വസ്ത്രം, പാദരക്ഷ ഡിസൈനർമാർ, നിർമ്മാതാക്കൾ, ലാൻഡ്സ്കേപ്പ് ഡിസൈനർമാർ എന്നിവർ ഈ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, നിർമ്മാണ സൈറ്റിലോ പൂന്തോട്ടത്തിലോ നിങ്ങൾക്ക് അവ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല.

മെഷീൻ നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ തൽക്ഷണം വരയ്ക്കുന്നു. ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ മെഷീന് മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ഭാഷയിൽ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് വിശദീകരിക്കാൻ ധാരാളം സമയം ചെലവഴിക്കണം - ഒരു പ്രോഗ്രാം എഴുതി മെഷീനിൽ നൽകുക, അതിനാൽ ഡിസൈനർമാർ പലപ്പോഴും ലളിതവും ഏറ്റവും പുരാതനവുമായവയുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ താൽപ്പര്യപ്പെടുന്നു. ഉപകരണങ്ങൾ - ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും.

എന്താണ് ഇതിലും ലളിതമായത്? നേരായ അരികുള്ള ഒരു മിനുസമാർന്ന ബോർഡ് - ഒരു ഭരണാധികാരി, ഒരു അറ്റത്ത് കെട്ടിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് കൂർത്ത വിറകുകൾ - ഒരു കോമ്പസ്. ഒരു ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക. ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച്, തന്നിരിക്കുന്ന കേന്ദ്രവും തന്നിരിക്കുന്ന ആരവും ഉള്ള സർക്കിളുകൾ വരയ്ക്കുക, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് മാറ്റിവയ്ക്കുക.

200-300 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് കോമ്പസും ഭരണാധികാരികളും ആഭരണങ്ങളും പാറ്റേണുകളും കൊണ്ട് അലങ്കരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതൊക്കെയാണെങ്കിലും, അവർ ഇപ്പോഴും ഞങ്ങളെ പതിവായി സേവിക്കുന്നു. ധാരാളം നിർമ്മാണങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉപകരണങ്ങൾ മതിയാകും. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർ ഈ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ന്യായമായ ഏതെങ്കിലും നിർമ്മാണം നടത്താൻ കഴിയുമെന്ന് കരുതി, പുരാതന കാലത്തെ മൂന്ന് പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് വരെ: "വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ചതുരം", "കോണിൻ്റെ ത്രിശങ്കൽ", "ക്യൂബ് ഇരട്ടിപ്പിക്കൽ".

അതിനാൽ, എൻ്റെ ജോലിയുടെ വിഷയം ആധുനികവും മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പല മേഖലകളിലെയും മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിന് പ്രധാനമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രം വിവിധ തൊഴിലുകളിലും ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്ന് എല്ലാവർക്കും നന്നായി അറിയാം. ഗണിതം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയമാണ്. ഭൂരിഭാഗം വിദ്യാർത്ഥികളും ജ്യാമിതിയെ "ബുദ്ധിമുട്ട്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരമ്പരാഗത ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ.

നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ പൂർണ്ണവും മൂർച്ചയുള്ളതുമായ ജ്യാമിതീയ ചിന്തയെ വികസിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ ജോലിയോടുള്ള അഭിനിവേശം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് വർദ്ധിച്ച ജിജ്ഞാസയ്ക്കും ജ്യാമിതിയുടെ പഠനം വികസിപ്പിക്കാനും ആഴത്തിലാക്കാനുമുള്ള ആഗ്രഹത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

സമ്പന്നമായ ചരിത്രപരമായ ഭൂതകാലം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം 21-ാം നൂറ്റാണ്ടിലും പ്രസക്തമാണ്. ഇക്കാലത്ത്, ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ വരയ്ക്കുന്നതിന് ഗ്രാഫിക് എഡിറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യ അതിവേഗം വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. പുതിയ കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യകളുടെ വരവ് കാരണം ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള മാർഗങ്ങൾ മാറി. എന്നിരുന്നാലും, പുരാതന കാലത്തെപ്പോലെ, ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളുടെ നിർമ്മാണത്തിലെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ ഒരു വൃത്തവും നേർരേഖയും ആയി തുടരുന്നു, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും. പുതിയ കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യകളുടെ ആവിർഭാവത്തോടെ, ഒരേ വസ്തുക്കൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ പുതിയ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉയർന്നുവന്നിട്ടുണ്ട് - ഒരു നേർരേഖയും വൃത്തവും. അതുകൊണ്ടാണ് നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം കൂടുതൽ അടിയന്തിരമായി മാറുന്നത്.

ജ്യാമിതി പ്രോഗ്രാമിൽ ലളിതമായ സാങ്കേതികതകളും നിർമ്മാണ രീതികളും മാത്രം പഠിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഈ വിദ്യകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. അതിനാൽ, എൻ്റെ ഗവേഷണത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിച്ച ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളാണ്.

എൻ്റെ ജോലിയുടെ ഉദ്ദേശ്യം:കോമ്പസും ഭരണാധികാരികളും ഉപയോഗിച്ച് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ മാർഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഗവേഷണ രീതികൾ:

ü നിലവിലുള്ള നിർമ്മാണ രീതികളുടെ വിശകലനം

ü ഉപയോഗിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ള പുതിയ രീതികൾക്കായി തിരയുക (HMT, Steiner കൺസ്ട്രക്ഷൻസ്)

ചുമതലകൾ:

ü നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ വിവിധ രീതികളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ പൂർണ്ണമായ ധാരണ നേടുക

ü ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിലെ ജ്യാമിതിയുടെ ഈ ശകലത്തിൻ്റെ വികസനം പിന്തുടരുക

ü ഗവേഷണ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നത് തുടരുക.

കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉള്ള ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്.

ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണത്തിനുള്ള ഉപകരണങ്ങളുടെ പരമ്പരാഗത പരിമിതി പുരാതന കാലം മുതലുള്ളതാണ്. യൂക്ലിഡ് (ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ട്) എന്ന തൻ്റെ പുസ്തകത്തിൽ, കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നടത്തിയ ജ്യാമിതീയ നിർമ്മാണങ്ങൾ കർശനമായി പാലിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും ഉപകരണങ്ങളുടെ പേരുകൾ അദ്ദേഹം എവിടെയും പരാമർശിക്കുന്നില്ല. ഈ ഉപകരണങ്ങൾ കയറിനെ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതാണ് പരിമിതികൾക്ക് കാരണം, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുന്നതിനും സർക്കിളുകൾ വിവരിക്കുന്നതിനും സഹായിച്ചു. എന്നാൽ പല ചരിത്രകാരന്മാരും-ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും യൂക്ലിഡിൻ്റെ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ വിശദീകരിക്കുന്നു, അദ്ദേഹം പ്ലേറ്റോയെയും പൈതഗോറിയൻസിനെയും പിന്തുടർന്ന് നേർരേഖയും വൃത്തവും മാത്രമാണ് "തികഞ്ഞ" വരികളായി കണക്കാക്കിയത്.

ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്ന കല പുരാതന ഗ്രീസിൽ വളരെയധികം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിരുന്നു. പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ 3000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് രണ്ട് ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് അവരുടെ നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്തിയത്: നേരായ അരികുള്ള ഒരു മിനുസമാർന്ന ബോർഡ് - ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഒരറ്റത്ത് ബന്ധിപ്പിച്ച രണ്ട് കൂർത്ത വിറകുകളും - ഒരു കോമ്പസ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ലളിതമായ ഉപകരണങ്ങൾ വൈവിധ്യമാർന്ന വ്യത്യസ്ത നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്താൻ പര്യാപ്തമായി മാറി. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർക്ക് ഈ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ന്യായമായ ഏത് നിർമ്മാണവും പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തോന്നി, പിന്നീട് അവർ മൂന്ന് പ്രസിദ്ധമായ പ്രശ്നങ്ങൾ നേരിടുന്നതുവരെ.

ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് ഏത് നേർരേഖാ രൂപത്തെയും തുല്യ വലുപ്പത്തിലുള്ള അനിയന്ത്രിതമായ റെക്റ്റിലീനിയർ രൂപമാക്കി അവർ വളരെക്കാലമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ഏത് നേർരേഖാ രൂപവും തുല്യ വലുപ്പമുള്ള ഒരു ചതുരമായി രൂപാന്തരപ്പെട്ടു. അതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നം സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയം ഉയർന്നുവന്നത് വ്യക്തമാണ്: ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ചതുരം നിർമ്മിക്കുക. ഈ പ്രശ്നത്തെ സർക്കിൾ സ്ക്വയറിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ബിസി രണ്ടാം സഹസ്രാബ്ദത്തിലെ പുരാതന ഗ്രീക്ക്, ബാബിലോണിയൻ സ്മാരകങ്ങളിൽ ഈ ദൗത്യത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ കാണാം. എന്നിരുന്നാലും, അതിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള രൂപീകരണം ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗ്രീക്ക് രചനകളിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

പുരാതന കാലത്തെ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടി നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി പ്രമുഖ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു. ഇതാണ് ഇരട്ടി ക്യൂബ് പ്രശ്നം. തന്നിരിക്കുന്ന ക്യൂബിൻ്റെ വോളിയത്തേക്കാൾ ഇരട്ടി വലിപ്പമുള്ള ഒരു കോമ്പസും ഒരു റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്യൂബ് നിർമ്മിക്കുന്നത് ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈജിയൻ കടലിലെ ഡെലോസ് ദ്വീപിൽ, ഒരു ഒറാക്കിൾ, ഒരു പ്ലേഗ് പകർച്ചവ്യാധിയിൽ നിന്ന് നിവാസികളെ രക്ഷിക്കുന്നതിനായി, ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ബലിപീഠം ഇരട്ടിയാക്കാൻ ഉത്തരവിട്ടു എന്ന ഐതിഹ്യവുമായി അതിൻ്റെ രൂപം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു കോമ്പസും ഒരു റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിനെ മൂന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതാണ് ഒരു കോണിൻ്റെ ട്രിസെക്ഷൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ പ്രശ്നം.

ഈ മൂന്ന് പ്രശ്നങ്ങൾ, പുരാതന കാലത്തെ പ്രശസ്തമായ 3 ക്ലാസിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ, രണ്ട് സഹസ്രാബ്ദങ്ങളായി പ്രമുഖ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചു. പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ മാത്രമാണ് അവയുടെ പരിഹരിക്കാനാകാത്തത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടത്, അതായത്, ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് ഈ നിർമ്മാണങ്ങളുടെ അസാധ്യത. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പരിഹാരമാർഗങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹരിക്കപ്പെടാത്തതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ ഫലങ്ങൾ ഇവയായിരുന്നു. അവ ലഭിച്ചത് ജ്യാമിതിയിലൂടെയല്ല, ബീജഗണിതത്തിലൂടെയാണ് (ഈ പ്രശ്‌നങ്ങളെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്തുകൊണ്ട്), ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഐക്യത്തിന് വീണ്ടും ഊന്നൽ നൽകി. പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാതെ, ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ഗണ്യമായ ഫലങ്ങളോടെ സമ്പന്നമാക്കുകയും ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയിൽ പുതിയ ദിശകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുകയും ചെയ്തു.

ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണം ഉൾപ്പെടുന്ന മറ്റൊരു രസകരമായ ജോലി, ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം വശങ്ങളുള്ള ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമാണ്. പുരാതന ഗ്രീക്കുകാർക്ക് ഒരു സാധാരണ ത്രികോണം, ഒരു ചതുരം, ഒരു സാധാരണ പെൻ്റഗൺ, 15-ഗോൺ എന്നിവ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് അറിയാമായിരുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ വശങ്ങൾ ഇരട്ടിപ്പിച്ച് അവയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന എല്ലാ ബഹുഭുജങ്ങളും, അവ മാത്രം. 1796-ൽ, മഹാനായ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ കെ.എഫ്. ഗൗസ് ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സാധാരണ 17-ഗോൺ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ സൂചിപ്പിച്ച മാർഗ്ഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സാധാരണ N-gon നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന N ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും സൂചിപ്പിച്ചു. . ഗോട്ടിംഗൻ സർവകലാശാലയിലെ ഒന്നാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥിയായ കാൾ ഗൗസ് രണ്ടായിരത്തിലേറെ വർഷങ്ങളായി ഗണിത ശാസ്ത്രം നൽകിയ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. അങ്ങനെ, ഒരു കോമ്പസും റൂളറും ഉപയോഗിച്ച് ശരിയായ 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23, മുതലായവ നിർമ്മിക്കാനുള്ള അസാധ്യത തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. കോണുകൾ.

കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണ സിദ്ധാന്തം കൂടുതൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. ചോദ്യത്തിന് ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചു: പരിഗണനയിലുള്ള രണ്ട് ഉപകരണങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ, അത് തികച്ചും അപ്രതീക്ഷിതമായിരുന്നു. പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി, 1672-ൽ ഡെയ്ൻ ജി. മോഹറും 1797-ൽ ഇറ്റാലിയൻ എൽ. മഷെറോണിയും ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്ന ഏതൊരു നിർമ്മാണ പ്രശ്‌നവും ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തെളിയിച്ചു. ഇത് അവിശ്വസനീയമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഇത് സത്യമാണ്. 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ഒരു കോമ്പസും ഒരു ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നടത്തുന്ന ഏത് നിർമ്മാണവും ഒരു ഭരണാധികാരിയുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ നടത്താൻ കഴിയൂ എന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടു, നിർമ്മാണ തലത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തം വ്യക്തമാക്കുകയും അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്താൽ.

3. കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ജോലികൾ

നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രയോഗത്തിൽ മിക്കപ്പോഴും നേരിടുന്ന അടിസ്ഥാന (പ്രാഥമിക) നിർമ്മാണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ സ്കൂൾ കോഴ്സിൻ്റെ ആദ്യ അധ്യായങ്ങളിൽ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്.

നിർമ്മാണം 1.തന്നിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

നൽകിയത്:നീളമുള്ള ഭാഗം a.

നിർമ്മിക്കുക:സെഗ്മെൻ്റ് AB നീളം a.

നിർമ്മാണം:

നിർമ്മാണം 2. തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു കോണിൻ്റെ നിർമ്മാണം.

നൽകിയത്:∟AOB.

നിർമ്മിക്കുക:∟ KMN ∟ AOB ന് തുല്യമാണ്.

നിർമ്മാണം:

നിർമ്മാണം 3.ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്നു (സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം നിർമ്മിക്കുന്നു).

നൽകിയത്:സെഗ്മെൻ്റ് AB.

നിർമ്മിക്കുക:പോയിൻ്റ് O എന്നത് AB യുടെ മധ്യമാണ്.

നിർമ്മാണം:

നിർമ്മാണം 4.ഒരു കോണിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്നു (കോണ് ബൈസെക്ടർ നിർമ്മിക്കുന്നു).

നൽകിയത്:∟ എബിസി.

നിർമ്മിക്കുക:ВD - bisector ∟АВС.

നിർമ്മാണം:

നിർമ്മാണം 5.ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി നിർമ്മിക്കുന്നു.

എ) നൽകിയത്:നേർരേഖ a, പോയിൻ്റ് A a.

നിർമ്മിക്കുക:

നേരെ എ.

നിർമ്മാണം:

b) നൽകിയത്:നേർരേഖ a, പോയിൻ്റ് A a.

നിർമ്മിക്കുക:പോയിൻ്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖ, ലംബമായി

നേരെ എ.

നിർമ്മാണം:

രൂപീകരണം 6. തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു ലൈൻ നിർമ്മിക്കുകയും ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു.

നൽകിയത്:നേർരേഖ a, പോയിൻ്റ് A a.

നിർമ്മിക്കുക:പോയിൻ്റ് എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖ, എ രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി.

രീതി I (രണ്ട് ലംബങ്ങളിലൂടെ).

നിർമ്മാണം:

രീതി II (സമാന്തരരേഖ വഴി).

നിർമ്മാണം:

നിർമ്മാണം 7.മൂന്ന് വശങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു.

നൽകിയത്:നീളമുള്ള ഭാഗങ്ങൾ a, b, c.

നിർമ്മിക്കുക:Δ എബിസി.

നിർമ്മാണം:

രൂപീകരണം 8.രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു.

നൽകിയത്:നീളം ബി, സി, ആംഗിൾ α എന്നിവയുടെ ഭാഗങ്ങൾ.

നിർമ്മിക്കുക:ത്രികോണം ABC.

നിർമ്മാണം:

നിർമ്മാണം 9.ഒരു വശവും രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു.

നൽകിയത്:നീളം c, കോണുകൾ α, β എന്നിവയുടെ ഭാഗം.

നിർമ്മിക്കുക:ΔABC.

നിർമ്മാണം:

രൂപീകരണം 10.ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു സർക്കിളിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

നൽകിയത്:വൃത്തം (O), അതിന് പുറത്തുള്ള പോയിൻ്റ് എ.

നിർമ്മിക്കുക:എ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തം ω(O) ലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്.

നിർമ്മാണം:

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘടകങ്ങളായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ, ഭാവിയിൽ, പ്രധാന നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ഘട്ടങ്ങൾ വിവരിച്ചിട്ടില്ല.

നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് നാല് ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. പ്രശ്‌നം പരിഹരിച്ചുവെന്ന് കരുതി, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ ഏകദേശ കൈ ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുകയും തുടർന്ന് വരച്ച ചിത്രം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിശോധിക്കുകയും പ്രശ്‌ന ഡാറ്റയ്ക്കും ആവശ്യമായവയ്‌ക്കുമിടയിൽ അത്തരം ആശ്രിതത്വങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുകയും അത് പ്രശ്‌നം കുറയ്ക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. മറ്റുള്ളവർ, മുമ്പ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. ഒരു പരിഹാര പദ്ധതി സൃഷ്ടിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഈ ഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു വിശകലനം.

2. ഈ രീതിയിൽ ഒരു പരിഹാര പദ്ധതി കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അവർ അതിന് അനുസൃതമായി നടപ്പിലാക്കുന്നു. നിർമ്മാണം.

3. തെളിവ് - പ്ലാനിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നതിന്, അറിയപ്പെടുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന കണക്ക് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും നിറവേറ്റുന്നുവെന്ന് അവർ തെളിയിക്കുന്നു.

4. പഠനം - രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുക:

1) ഏതെങ്കിലും ഡാറ്റ നൽകിയാൽ ഒരു പരിഹാരം സാധ്യമാണോ?

2) എത്ര പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്?

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഘട്ടങ്ങളുടെ പ്രയോഗം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ചുമതല:ഒരു ത്രികോണം അതിൻ്റെ ബേസ് b, ബേസിനോട് ചേർന്നുള്ള ആംഗിൾ A, രണ്ട് വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കുക.

വിശകലനം:പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, അതായത്. അത്തരമൊരു ΔABC കണ്ടെത്തി AC=b, ∟ВАС=Aഒപ്പം AB+BC=s. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഡ്രോയിംഗ് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം. വശം എസി,തുല്യമാണ് ബി, ∟BAC=A, എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. അതിനാൽ, മറുവശത്ത് കണ്ടെത്തുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത് ∟എഅത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് INഅങ്ങനെ തുക AB+BCതുല്യമായി എസ്. തുടരുന്നു എബി, സെഗ്മെൻ്റ് മാറ്റിവെക്കുക എ.ഡി, തുല്യം എസ്. ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഒരു നേർരേഖയിലാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എ.ഡിഅത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക IN, അതിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലമായിരിക്കും കൂടെഒപ്പം ഡി. അത്തരമൊരു പോയിൻ്റ്, നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, സെഗ്മെൻ്റിലേക്ക് വരച്ച ഒരു ലംബമായി കിടക്കണം സി.ഡിഅതിൻ്റെ നടുവിലൂടെ. ഡോട്ട് INഈ ലംബമായ കവലയിൽ കാണപ്പെടുന്നു എ.ഡി.

നിർമ്മാണം:

1. ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു ∟എ, തന്നിരിക്കുന്ന കോണിന് തുല്യമാണ്

2. അതിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ മാറ്റി വയ്ക്കുക എസി=ബിഒപ്പം AD=s

3. ഒരു നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യത്തിലൂടെ സി.ഡിഒരു ലംബമായി വരയ്ക്കുക BE

4. BEകുരിശുകൾ എ.ഡിപോയിൻ്റിൽ IN

5. ഡോട്ടുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു INഒപ്പം കൂടെ

6. ΔАВС - ആവശ്യമുള്ള ഒന്ന്.

തെളിവ്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ΔABC നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, അതിൽ ∟A നൽകിയിരിക്കുന്ന കോണിന് തുല്യമാണ് (നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് നമ്പർ 1 അനുസരിച്ച്). വശം എസി=ബി(പോയിൻ്റ് നമ്പർ 2) പാർട്ടികളും എബിഒപ്പം സൂര്യൻആകെ s ആണ് (പോയിൻ്റ് നമ്പർ 2,3,4). അതിനാൽ, ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിനായുള്ള ആദ്യ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച്, ΔABC ആണ് ആവശ്യമുള്ളത്.

പഠനം:

1.ഏതെങ്കിലും ഡാറ്റ നൽകിയാൽ ഒരു പരിഹാരം സാധ്യമാണോ?

നിർമ്മാണം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ ഡാറ്റയും ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്ക് സാധ്യമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, b യുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ തുക s വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ, ലംബമായി BEസെഗ്‌മെൻ്റ് കടക്കാനിടയില്ല എ.ഡി(അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റ് D-നപ്പുറം അതിൻ്റെ തുടർച്ചയെ വിഭജിക്കും), ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ടാസ്ക് അസാധ്യമായിരിക്കും.

കൂടാതെ, നിർമ്മാണം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, ചുമതല അസാധ്യമാണെന്ന് ഒരാൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും എസ്< b അഥവാ s =b, കാരണം രണ്ട് വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മൂന്നാം വശത്തേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആകുന്ന ഒരു ത്രികോണം ഉണ്ടാകരുത്.

2. എത്ര പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്?

ഒരു പ്രശ്നം സാധ്യമാകുമ്പോൾ, അതിന് ഒരു പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ, അതായത്. ലംബമായ വിഭജനം മുതൽ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്ന ഒരു ത്രികോണം മാത്രമേയുള്ളൂ BEഒരു നേർരേഖയോടെ എ.ഡിഒരു ഘട്ടത്തിൽ മാത്രമേ കഴിയൂ.