പ്രവർത്തനക്ഷമതയിൽ വർദ്ധനവ്. പ്രഭാഷണങ്ങളുടെ കോഴ്സ്

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ. നമുക്ക് രണ്ട് ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം: ഇനിഷ്യൽ പരിഷ്കരിച്ചതും, സാധാരണയായി സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നതുമാണ്
, എവിടെ - ആദ്യ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മാറുന്ന തുകയെ വിളിക്കുന്നു വാദം വർദ്ധനവ്.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങളും നിർദ്ദിഷ്ട ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു: പ്രാരംഭം മാറ്റുകയും ചെയ്തു
, വലിപ്പം , ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യം മാറുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം മാറുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ്.

2. ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി എന്ന ആശയം.

നമ്പർ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു
പ്രവണതയോടെ , ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണെങ്കിൽ
അങ്ങനെ ഒരു സംഖ്യയുണ്ട്
അത് എല്ലാവരുടെയും മുന്നിൽ വെച്ച്
, അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു
, അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടും
.

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം: ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയ്ക്ക് ഈ അയൽപക്കത്തിന് അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിയുക്തമാക്കിയത്
.

3. ഒരു ബിന്ദുവിൽ അനന്തമായ വലിയതും അനന്തമായതുമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഒരു ബിന്ദുവിലെ അനന്തമായ ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിൻ്റെ പരിധി, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിനെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യമാണ്. ഒരു ബിന്ദുവിലെ അനന്തമായ വലിയ ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലേക്ക് ചായുമ്പോൾ അതിൻ്റെ പരിധി അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

4. അവയിൽ നിന്നുള്ള പരിധികളെയും അനന്തരഫലങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ (തെളിവില്ലാതെ).

അനന്തരഫലം: സ്ഥിരമായ ഘടകം പരിധി ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം എടുക്കാം:

സീക്വൻസുകളും എങ്കിൽ ഒത്തുചേരുക, സീക്വൻസിൻ്റെ പരിധി പൂജ്യമല്ല, അപ്പോൾ

അനന്തരഫലം: സ്ഥിരമായ ഘടകം പരിധി ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം എടുക്കാം.

11. ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് പരിധികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ
ഒപ്പം
ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി പൂജ്യമല്ല,

ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പരിധികളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ അവയുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ ഒരു പരിധിയും ഉണ്ട്:

.

12. എങ്കിൽ
, അത്
, വിപരീതവും ശരിയാണ്.

13. ഒരു ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് സീക്വൻസിൻറെ പരിധിയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം. സീക്വൻസുകളാണെങ്കിൽ
ഒത്തുചേരൽ, ഒപ്പം
ഒപ്പം
അത്

5. അനന്തതയിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി.

അനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും ശ്രേണിയാണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയെ അനന്തതയിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു (x അനന്തതയിലേക്കുള്ള പ്രവണതയ്ക്ക്)
സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എ.

6. സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പരിധികൾ.

നമ്പർ എഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു എല്ലാവർക്കും N എന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുണ്ട് എൻ> എൻഅസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു
.

പ്രതീകാത്മകമായി ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
ന്യായമായ .

നമ്പർ എന്ന വസ്തുത എശ്രേണിയുടെ പരിധി, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

.

7. നമ്പർ "ഇ". സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം.

നമ്പർ "ഇ" സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പരിധി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, എൻ- ഇതിലെ അംഗം
, അതായത്.

.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം - അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതം ഇ. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു
ഒരു കാരണം വ്യക്തമാക്കാതെ.

നമ്പർ
ദശാംശ ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് സ്വാഭാവികതയിലേക്കും പിന്നിലേക്കും മാറാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് ദശാംശത്തിലേക്ക് മാറുന്നതിൻ്റെ മോഡുലസ് എന്നാണ് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത്.

8. അത്ഭുതകരമായ പരിധികൾ
,

.

ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി:

അങ്ങനെ at

ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് സീക്വൻസ് ലിമിറ്റ് സിദ്ധാന്തം വഴി

രണ്ടാമത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധി:

.

ഒരു പരിധി ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാൻ
ലെമ്മ ഉപയോഗിക്കുക: ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും
ഒപ്പം
അസമത്വം സത്യമാണ്
(2) (ഏറ്റ്
അല്ലെങ്കിൽ
അസമത്വം സമത്വമായി മാറുന്നു.)

.

ഇപ്പോൾ ഒരു പൊതു പദമുള്ള ഒരു സഹായ ക്രമം പരിഗണിക്കുക
അത് കുറയുകയും താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം:
എങ്കിൽ
, അപ്പോൾ ക്രമം കുറയുന്നു. എങ്കിൽ
, തുടർന്ന് ക്രമം താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇത് കാണിക്കാം:

സമത്വം കാരണം (2)

അതായത്
അല്ലെങ്കിൽ
. അതായത്, ക്രമം കുറയുന്നു, സീക്വൻസ് താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ. ഒരു സീക്വൻസ് കുറയുകയും താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന് ഒരു പരിധിയുണ്ട്. പിന്നെ

ഒരു പരിധിയും ക്രമവും ഉണ്ട് (1), കാരണം

ഒപ്പം
.

L. Euler ഈ പരിധി എന്ന് വിളിച്ചു .

9. ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വിരാമം.

ഏതെങ്കിലും ശ്രേണിയിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ കൈവശം വച്ചാൽ നമ്പർ A ആണ് ഇടത് പരിധി: .

ഏതെങ്കിലും ശ്രേണിയിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ കൈവശം വച്ചാൽ നമ്പർ A ആണ് ശരിയായ പരിധി: .

പോയിൻ്റിലാണെങ്കിൽ എഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിലോ അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലോ ഉള്ളത്, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥ ലംഘിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് പോയിൻ്റ് എഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിച്ഛേദന പോയിൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ വിച്ഛേദനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

12. അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്നത് തുടർന്നുള്ളതും മുമ്പത്തെതുമായ പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണ്, ഈ അനുപാതത്തെ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ആകെത്തുക എൻജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു
കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ് - അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ കേവല മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവുള്ള ഒരു പുരോഗതി. - ആദ്യ അംഗം; - പുരോഗതി ഡിനോമിനേറ്റർ; - ക്രമത്തിൽ എടുത്ത അംഗത്തിൻ്റെ എണ്ണം. സംഖ്യ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അനിശ്ചിതമായി സമീപിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ് അനന്തമായ കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക.
അത്. അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ് .

അനുവദിക്കുക എക്സ്- വാദം (സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ); y=y(x)- പ്രവർത്തനം.

നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യം എടുക്കാം x=x 0 കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക വൈ 0 =y(x 0 ) . ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഏകപക്ഷീയമായി സജ്ജമാക്കാം വർദ്ധനവ് വാദത്തിൻ്റെ (മാറ്റം) അത് സൂചിപ്പിക്കുക  എക്സ് ( എക്സ്ഏതെങ്കിലും അടയാളം ആകാം).

ഇൻക്രിമെൻ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഒരു ഡോട്ടാണ് എക്സ് 0 +  എക്സ്. അതിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യവും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് പറയാം y=y(x 0 +  X)(ചിത്രം കാണുക).

അങ്ങനെ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായ മാറ്റത്തോടെ, ഫംഗ്ഷനിൽ ഒരു മാറ്റം ലഭിക്കും, അതിനെ വിളിക്കുന്നു വർദ്ധനവ് പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങൾ:

കൂടാതെ ഏകപക്ഷീയമല്ല, എന്നാൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തരത്തെയും മൂല്യത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു
.

ആർഗ്യുമെൻ്റും ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റും ആകാം ഫൈനൽ, അതായത്. സ്ഥിരമായ സംഖ്യകളായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവയെ പരിമിതമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ, പരിമിതമായ വർദ്ധനവ് പലപ്പോഴും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്രത്യേക സംസ്ഥാനത്തിൻ്റെ റെയിൽവേ ശൃംഖലയുടെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഡാറ്റ പട്ടിക കാണിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, നെറ്റ്‌വർക്ക് ദൈർഘ്യത്തിലെ വർദ്ധനവ്, തുടർന്നുള്ളതിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ മൂല്യം കുറച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്.

റെയിൽവേ ശൃംഖലയുടെ ദൈർഘ്യം ഒരു ചടങ്ങായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അതിൻ്റെ വാദം സമയം (വർഷങ്ങൾ) ആയിരിക്കും.

അതിൽ തന്നെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റെയിൽവേ ശൃംഖലയുടെ ദൈർഘ്യം) പ്രവർത്തനത്തിലെ മാറ്റത്തെ നന്നായി ചിത്രീകരിക്കുന്നില്ല. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, അതിൽ നിന്ന് 2,5>0,9 നെറ്റ്‌വർക്ക് അതിവേഗം വളർന്നുവെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല 2000-2003 ഉള്ളതിനേക്കാൾ വർഷങ്ങൾ 2004 g., കാരണം വർദ്ധനവ് 2,5 മൂന്ന് വർഷത്തെ കാലയളവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ 0,9 - ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ. അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിലെ വർദ്ധനവ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് മാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നത് തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ്. ഇവിടെ വാദത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് കാലഘട്ടങ്ങളാണ്: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

സാമ്പത്തിക സാഹിത്യത്തിൽ വിളിക്കുന്നത് നമുക്ക് ലഭിക്കും ശരാശരി വാർഷിക വളർച്ച.

എല്ലായ്‌പ്പോഴും സാധ്യമല്ലാത്ത ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി നിങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് മാറ്റത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റിലേക്ക് ഇൻക്രിമെൻ്റ് കുറയ്ക്കുന്ന പ്രവർത്തനം നിങ്ങൾക്ക് ഒഴിവാക്കാനാകും.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും അനന്തമായ (IM) വർദ്ധനവ് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ (ഡെറിവേറ്റീവും ഡിഫറൻഷ്യലും) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വേർതിരിവ്

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനവ് എക്സ് 0 താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്ന അനന്തമായ അളവുകളായി കണക്കാക്കാം (വിഷയം 4, BM-ൻ്റെ താരതമ്യം കാണുക), അതായത്. ഇതേ ക്രമത്തിലുള്ള ബി.എം.

അപ്പോൾ അവയുടെ അനുപാതത്തിന് ഒരു പരിമിതമായ പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കും, അത് t യിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു എക്സ് 0 .

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ബിഎം ഇൻക്രിമെൻ്റും ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി x=x 0 വിളിച്ചു ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ട്രോക്ക് (അല്ലെങ്കിൽ, റോമൻ സംഖ്യ I വഴി) ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പ്രതീകാത്മക പദവി ന്യൂട്ടൺ അവതരിപ്പിച്ചു. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റും ഉപയോഗിക്കാം, അത് ഏത് വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതെന്ന് കാണിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, . ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കാൽക്കുലസിൻ്റെ സ്ഥാപകനായ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലെയ്ബ്നിസ് നിർദ്ദേശിച്ച മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു:
. വിഭാഗത്തിൽ ഈ പദവിയുടെ ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ കൂടുതലറിയും ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഡിഫറൻഷ്യൽ.

ഈ സംഖ്യ കണക്കാക്കുന്നു വേഗതഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന പ്രവർത്തനത്തിലെ മാറ്റങ്ങൾ
.

ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യാം ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യും y=y(x)മാറ്റത്തെ നിർണ്ണയിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ അതിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുക y(x)ഇടയിൽ

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എം 0
സെക്കൻ്റിൻ്റെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും എം 0 എംഅത് നൽകി
(ഡോട്ട് എംഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് സ്ലൈഡുചെയ്യുന്നു എം 0 ).

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം
. വ്യക്തമായും,
.

പോയിൻ്റ് ആണെങ്കിൽ എംഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം പോയിൻ്റിലേക്ക് നേരിട്ട് എം 0 , പിന്നെ മൂല്യം
ഒരു നിശ്ചിത പരിധിയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു
. അതേസമയത്ത്.

പരിധി ആംഗിൾ  ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. എം 0 , അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവ്
സംഖ്യാപരമായി തുല്യം ടാൻജെൻ്റ് ചരിവ് നിർദ്ദിഷ്ട പോയിൻ്റിൽ.

-

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

അങ്ങനെ, നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റും സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളും എഴുതാം ( സാധാരണ - ഇത് ടാൻജെൻ്റിന് ലംബമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്) ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എക്സ് 0 :

ടാൻജെൻ്റ് - .

സാധാരണ -
.

ഈ ലൈനുകൾ തിരശ്ചീനമായോ ലംബമായോ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതാണ് താൽപ്പര്യമുള്ള കേസുകൾ (വിഷയം 3, ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു വരിയുടെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ കാണുക). പിന്നെ,

എങ്കിൽ
;

എങ്കിൽ
.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

 പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ എക്സ് 0 ഒരു പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് അതിനെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യസ്തമായഈ സമയത്ത്. ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും വ്യത്യാസപ്പെടുത്താവുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനെ ഈ ഇടവേളയിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

 സിദ്ധാന്തം . ചടങ്ങാണെങ്കിൽ y=y(x)വ്യത്യസ്തമാക്കാവുന്നത് ഉൾപ്പെടെ. എക്സ് 0 , അപ്പോൾ അത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു.

അങ്ങനെ, തുടർച്ച- ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യതിരിക്തതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ (പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല) വ്യവസ്ഥ.

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദു x 0 ൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ x ഒരു ഏകപക്ഷീയ ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. x - x 0 എന്ന വ്യത്യാസത്തെ സാധാരണയായി x 0 പോയിൻ്റിലെ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ (അല്ലെങ്കിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ്) വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് Δx എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ,

Δx = x –x 0,

അത് എവിടെ നിന്നാണ് പിന്തുടരുന്നത്

പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് -രണ്ട് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ ചെയ്തത് = f(x), തുല്യമായ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് എക്സ് 0 . വാദത്തിന് ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഡി നൽകാം എക്സ്, ᴛ.ᴇ. വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം തുല്യമായി പരിഗണിക്കുക x 0+D എക്സ്. ഈ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യവും ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിക്കുള്ളിലാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ വ്യത്യാസം ഡി വൈ = f(x 0+D X) – f(x 0)ഇതിനെ സാധാരണയായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ x- പ്രവർത്തനം സാധാരണയായി Δ സൂചിപ്പിക്കുന്നു x fപുതിയ വേരിയബിളിൽ നിന്ന് Δ xആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്

Δ x f(Δ x) = എഫ്(x + Δ x) − എഫ്(x).

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും x 0 if എന്ന പോയിൻ്റിൽ കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 2. x = 1, ∆x = 0.1 ആണെങ്കിൽ f(x) = x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2

∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. + ∆x 2 /

x=1, ∆x= 0.1 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21 ലഭിക്കും

x 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും കണ്ടെത്തുക

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2.4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0.8

4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3.8

നിർവ്വചനം: ഡെറിവേറ്റീവ്ഒരു ഘട്ടത്തിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ അത് പരിമിതമാണെങ്കിൽ) വിളിക്കുന്നത് പതിവാണ്, രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ.

ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് നൊട്ടേഷനുകൾ ഇവയാണ്:

അങ്ങനെ,

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധാരണയായി വിളിക്കപ്പെടുന്നു വ്യത്യാസം . പരിചയപ്പെടുത്തി ഒരു വ്യതിരിക്തമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം: ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള f ഫംഗ്‌ഷനെ സാധാരണയായി ഈ ഇടവേളയിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കട്ടെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സാധാരണയായി അയൽപക്കത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു യു(x 0) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

എഫ്(x 0 + എച്ച്) = എഫ്(x 0) + ആഹ് + ഒ(എച്ച്)

നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ.

ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ f(x)ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു (എ; ബി), എന്നിവയാണ് ഈ ഇടവേളയുടെ പോയിൻ്റുകൾ.

നിർവ്വചനം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് f(x)ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധിയെ വിളിക്കുന്നത് പതിവാണ്. സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

അവസാന പരിധി ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അന്തിമ മൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ, നമ്മൾ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു പോയിൻ്റിൽ പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ്. പരിധി അനന്തമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് പറയുന്നു ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ അനന്തമാണ്. പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, പിന്നെ ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല.

ഫംഗ്ഷൻ f(x)ഒരു പരിമിതമായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ളപ്പോൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ f(x)ചില ഇടവേളകളിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിലും വേർതിരിക്കാം (എ; ബി), ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷനെ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് xഇടയിൽ നിന്ന് (എ; ബി)ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യവുമായി നമുക്ക് പൊരുത്തപ്പെടാൻ കഴിയും, അതായത്, ഒരു പുതിയ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കാനുള്ള അവസരമുണ്ട്, അതിനെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. f(x)ഇടവേളയിൽ (എ; ബി).

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ സാധാരണയായി ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജീവിതത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും അളവുകളുടെ കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും താൽപ്പര്യമില്ല. ചിലപ്പോൾ ഈ അളവിൽ മാറ്റം അറിയുന്നത് രസകരമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ബസിൻ്റെ ശരാശരി വേഗത, ചലനത്തിൻ്റെ അളവിൻ്റെ അനുപാതം, സമയ കാലയളവ് മുതലായവ. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം മറ്റ് പോയിൻ്റുകളിലെ അതേ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ, "ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ്", "ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ്" തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

"ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ്", "ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ്" എന്നീ ആശയങ്ങൾ

x എന്നത് x0 എന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ ചില അയൽപക്കത്തുള്ള ചില അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റാണെന്ന് പറയാം. x0 പോയിൻ്റിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് x-x0 വ്യത്യാസമാണ്. ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: ∆х.

• ∆x=x-x0.

ചിലപ്പോൾ ഈ മൂല്യത്തെ പോയിൻ്റ് x0 ലെ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ വർദ്ധനവ് എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: x = x0+∆x. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, x0 എന്ന സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യത്തിന് ഒരു വർദ്ധനവ് ∆x ലഭിച്ചുവെന്ന് അവർ പറയുന്നു.

നമ്മൾ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യവും മാറും.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆x) - f(x0).

പോയിൻ്റ് x0-ൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധന,അനുബന്ധ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ∆х ആണ് f(x0 + ∆х) - f(x0). ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ∆f. അങ്ങനെ, നിർവചനപ്രകാരം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

• ∆f= f(x0 +∆x) - f(x0).

ചിലപ്പോൾ, ∆f-നെ ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ വർദ്ധനവ് എന്നും വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) ആണെങ്കിൽ ഈ പദവിക്കായി ∆у ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വർദ്ധനവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം നോക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റിലും അബ്സിസ്സയിലും മാറ്റം കാണിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതം പോയിൻ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭവും അവസാനവുമായ സ്ഥാനത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സെക്കൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്ഷനും ആർഗ്യുമെൻ്റും വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം

ഉദാഹരണം 1. f(x) = x 2, x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1 ആണെങ്കിൽ, x0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ∆x ൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റും ∆f ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും കണ്ടെത്തുക.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം:

a) ∆х=х-х0 = 1.9 - 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

ഉദാഹരണം 2.ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ∆x ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, പോയിൻ്റ് x0-ൽ f(x) = 1/x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ∆f കണക്കാക്കുക.

വീണ്ടും, മുകളിൽ ലഭിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

മെഡിക്കൽ, ബയോളജിക്കൽ ഫിസിക്സിൽ

പ്രഭാഷണം നമ്പർ 1

ഡെറിവേറ്റീവ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ.

ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.

1. ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം, അതിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

എ ) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനവ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) നൽകട്ടെ, ഇവിടെ x എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യമാണ്. ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ x o, x എന്നിവയുടെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു: x - x o = ∆x.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ മൂല്യം x 0 വഴിയും അതിൻ്റെ വർദ്ധനവ് വഴിയും നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്: x = x o + ∆x.

രണ്ട് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ∆y =∆f = f(x o +∆x) - f(x o).

ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെയും വർദ്ധനവ് ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (ചിത്രം 1). ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റും ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആകാം. ചിത്രം 1-ൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, ജ്യാമിതീയമായി, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ∆х ൻ്റെ വർദ്ധനവ് അബ്‌സിസ്സയുടെ വർദ്ധനവും ∆у എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ കണക്കാക്കണം:

ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിന് ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് ∆x നൽകുകയും മൂല്യം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു - x+Δx;

2) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യത്തിനായുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക (x+∆x) - f(x+∆x);

3) ∆f=f(x + ∆x) - f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണം:ആർഗ്യുമെൻ്റ് x o =1 ൽ നിന്ന് x=3 ആയി മാറിയെങ്കിൽ y=x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് നിർണ്ണയിക്കുക. പോയിൻ്റ് x o ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം f(x o) = x² o; പോയിൻ്റിന് (x o +∆x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, എവിടെ നിന്ന് ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ;

∆х = 3-1 = 2; ∆f =2·1·2+4 = 8.b)

ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം, അതിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം.

ചില പ്രക്രിയകളുടെ വേഗത നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ചരിത്രപരമായി ഉയർന്നുവന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് വാദത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനവ് എന്ന ആശയം ആവശ്യമാണ്.

റക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിൻ്റെ വേഗത നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. നിയമം അനുസരിച്ച് ശരീരം നേർരേഖയായി നീങ്ങട്ടെ: ∆S= ·∆t. ഏകീകൃത ചലനത്തിന്:= ∆S/∆t.

ഒന്നിടവിട്ടുള്ള ചലനത്തിന്, മൂല്യം ∆Ѕ/∆t മൂല്യം  ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. , അതായത്  ശരാശരി. =∆S/∆t എന്നാൽ ശരീരത്തിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതിനും t സമയത്തെ യഥാർത്ഥ വേഗതയെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം നൽകുന്നതിനും ശരാശരി വേഗത സാധ്യമാക്കുന്നില്ല. സമയം കുറയുമ്പോൾ, അതായത്. ∆t→0-ൽ ശരാശരി വേഗത അതിൻ്റെ പരിധിയിലേക്ക് പോകുന്നു - തൽക്ഷണ വേഗത:
 തൽക്ഷണം =
 ശരാശരി =

∆S/∆t.

ഒന്നിടവിട്ടുള്ള ചലനത്തിന്, മൂല്യം ∆Ѕ/∆t മൂല്യം  ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. , അതായത്  ശരാശരി. =∆S/∆t എന്നാൽ ശരീരത്തിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതിനും t സമയത്തെ യഥാർത്ഥ വേഗതയെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം നൽകുന്നതിനും ശരാശരി വേഗത സാധ്യമാക്കുന്നില്ല. സമയം കുറയുമ്പോൾ, അതായത്. ∆t→0-ൽ ശരാശരി വേഗത അതിൻ്റെ പരിധിയിലേക്ക് പോകുന്നു - തൽക്ഷണ വേഗത:
 തൽക്ഷണം =
ഒരു രാസപ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തൽക്ഷണ നിരക്ക് അതേ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

∆х/∆t,

]a എന്ന ഇടവേളയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, [അതായത് അതിൻ്റെ വർദ്ധനവ് ∆f=f(x+∆x)–f(x).
∆x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ് കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ ശരാശരി നിരക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

അനുപാത പരിധി , ∆х→0, ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു :

y" x =

.

ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
– (Ygree സ്ട്രോക്ക് by X);f " (x) – (eff സ്ട്രോക്ക് ഓൺ x) ; y" – (ഗ്രീക്ക് സ്ട്രോക്ക്); dy/dх – (de igrek by de x); - (ഒരു ഡോട്ടുള്ള ഗ്രീക്ക്).

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിൻ്റെ തൽക്ഷണ വേഗത പാതയുടെ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം:

 തൽക്ഷണം = എസ്" ടി = എഫ് " (ടി).

അതിനാൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തൽക്ഷണ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് ആണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം:

y" x =f " (x)= തൽക്ഷണം.

ഇതാണ് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാൽ "ഒരു ഫംഗ്ഷനെ വേർതിരിക്കുക" എന്ന പദപ്രയോഗം "ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക" എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമാണ്.

വി)ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

പി
y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് ചില ഘട്ടത്തിൽ M എന്ന വക്രരേഖയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. അതേ സമയം, ടാൻജെൻ്റ്, അതായത്. ഒരു നേർരേഖ വിശകലനപരമായി y = kx = tan· x ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, എവിടെ – X അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ (നേർരേഖ) കോണിൻ്റെ ഒരു തുടർച്ചയായ വക്രം y = f(x) ആയി സങ്കൽപ്പിക്കാം, വക്രത്തിൽ M1 പോയിൻ്റും അതിനടുത്തായി ഒരു പോയിൻ്റും എടുക്കുക. അവരിലൂടെ. അതിൻ്റെ ചരിവ് സെക്കൻ്റ് =tg β = .നമ്മൾ പോയിൻ്റ് M 1 നെ M ലേക്ക് അടുപ്പിച്ചാൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ വർദ്ധനവ് ∆x പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കും, β=α-ലെ സെക്കൻ്റ് ഒരു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം എടുക്കും. ചിത്രം 2-ൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: tgα =
tgβ =
=y" x. എന്നാൽ tgα ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യമാണ്:

k = tgα =
=y" x = f " (എക്സ്). അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം, സ്പർശന പോയിൻ്റിലെ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇതാണ് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

ജി)ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പൊതു നിയമം.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും അനുപാതം രൂപപ്പെടുത്തുക:

;

ഉദാഹരണം: f(x)=x 2 ; " എഫ്

(x)=?.