ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം

പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ എഫ്(x) ചില ഇടവേളകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്.പോയിൻ്റിലെ വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം നൽകാം x 0 X അനിയന്ത്രിതമായ വർദ്ധനവ് Δ xഅങ്ങനെ പോയിൻ്റ് x 0 + Δ xഎന്നിവയിലും ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു എക്സ്.തുടർന്ന് അനുബന്ധം ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധന f(x)Δ ആയിരിക്കും ചെയ്തത് = എഫ്(x 0 + Δ x) - എഫ്(x 0).

നിർവ്വചനം 1. f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്പോയിൻ്റിൽ x 0ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും Δ ലെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു x 0 (ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു y" (x 0) അഥവാ എഫ്"(x 0):

ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ എങ്കിൽ x 0പരിധി (4.1) അനന്തമാണ്:

അപ്പോൾ അവർ ആ പോയിൻ്റിൽ പറയുന്നു x 0പ്രവർത്തനം എഫ്(x) ഉണ്ട് അനന്തമായ ഡെറിവേറ്റീവ്.

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ എഫ്(x) സെറ്റിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് X,പിന്നെ ഡെറിവേറ്റീവ് f"(x)വാദത്തിൻ്റെ ഒരു ധർമ്മം കൂടിയാണ് X,നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിർവ്വചനം 2. ടാൻജെൻ്റ്ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് y = f(x) പോയിൻ്റിൽ എംസെക്കൻ്റിൻ്റെ പരിധി സ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം.എൻ.എപ്പോഴാണ് കാര്യം എൻഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു എംവളവിലൂടെ എഫ്(x).

കാര്യം പറയട്ടെ എംവളവിൽ എഫ്(x) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു x 0, പോയിൻ്റ് N-വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം x 0 + Δ x(ചിത്രം 4.1). ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദുവിൽ അതിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിന് അത് പിന്തുടരുന്നു x 0ഒരു പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്, അത് അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിന് തുല്യമാണ് ഓ. ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് എം.എൻ.എ.അത് പിന്തുടരുന്നു

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ x 0നിലവിലുണ്ട്, തുടർന്ന് (4.1) പ്രകാരം നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഇതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമായ ഒരു നിഗമനം പിന്തുടരുന്നു ഡെറിവേറ്റീവ് f"(x 0) y ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകത്തിന് (ഓക്‌സ് അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ്) തുല്യമാണ് = എഫ്(x) വി പോയിൻ്റ് എം(x 0, എഫ്(x 0)). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്പർശനത്തിൻ്റെ ആംഗിൾ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു (4.2):

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഫങ്ഷൻ എന്ന് കരുതാം l = f(ടി) ഒരു നേർരേഖയിലുള്ള ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലന നിയമം ഒരു പാത്ത് ആശ്രിതത്വമായി വിവരിക്കുന്നു എൽസമയം മുതൽ ടി.അപ്പോൾ വ്യത്യാസം Δ l = f(t +Δ t) - f(t) -സമയ ഇടവേളയിൽ സഞ്ചരിക്കുന്ന പാതയാണ് Δ ടി, അനുപാതം Δ എൽ/Δ ടി- കാലക്രമേണ ശരാശരി വേഗത Δ ടി. പിന്നെ പരിധി നിർവചിക്കുന്നു തൽക്ഷണ പോയിൻ്റ് വേഗതഒരു ഘട്ടത്തിൽ ടിസമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പാതയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി.

ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചെയ്തത് = f(x)ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് എന്നും വ്യാഖ്യാനിക്കാം: മൂല്യം കൂടും എഫ്"(x), വക്രത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ കൂടുന്തോറും ഗ്രാഫ് കുത്തനെ കൂടും എഫ്(x) കൂടാതെ പ്രവർത്തനം വേഗത്തിൽ വളരുന്നു.

വലത്, ഇടത് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികളുടെ ആശയങ്ങളുമായി സാമ്യമുള്ളതിനാൽ, ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലത്, ഇടത് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3. വലത് ഇടത്)ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ചെയ്തത് = f(x)പോയിൻ്റിൽ x 0Δ-നുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ വലത് (ഇടത്) പരിധി (4.1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു xഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ 0.

ഏകപക്ഷീയമായ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രതീകാത്മകത ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ ഉണ്ട് x 0ഡെറിവേറ്റീവ്, അപ്പോൾ അതിന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇടത്, വലത് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്, അത് യോജിക്കുന്നു.

പരസ്പരം തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഏകപക്ഷീയമായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഈ എഫ്(x) = |x|. തീർച്ചയായും, പോയിൻ്റിൽ x = 0നമുക്ക് ഉണ്ട് f' +(0) = 1, f" -(0) = -1 (ചിത്രം 4.2) ഒപ്പം f' +(0) ≠ f’ -(0), അതായത്. ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല എക്സ് = 0.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ അതിനെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം;ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യസ്തമായ.

ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വ്യതിരിക്തതയും തുടർച്ചയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്താൽ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1 . x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യതിരിക്തമാണെങ്കിൽ, ഈ ബിന്ദുവിൽ അത് തുടർച്ചയായിരിക്കും.

സംഭാഷണം ശരിയല്ല: പ്രവർത്തനം എഫ്(x), ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി, ആ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല. അത്തരമൊരു ഉദാഹരണമാണ് ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = |x|; അത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു x= 0, എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല.

അങ്ങനെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യബിലിറ്റിയുടെ ആവശ്യകത തുടർച്ചയുടെ ആവശ്യകതയേക്കാൾ ശക്തമാണ്, കാരണം രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് യാന്ത്രികമായി പിന്തുടരുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം

സെക്ഷൻ 3.9 ൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം എം(x 0, y 0) ചരിവുള്ള കെപോലെ തോന്നുന്നു

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ ചെയ്തത് = എഫ്(x). പിന്നീട് ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മുതൽ എം(x 0, y 0) പോയിൻ്റിലെ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവാണ് എം,തുടർന്ന് അത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം പിന്തുടരുന്നു എഫ്(x) ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫോം ഉണ്ട്

ജ്യാമിതി, മെക്കാനിക്സ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, അറിവിൻ്റെ മറ്റ് ശാഖകൾ എന്നിവയുടെ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ പ്രവർത്തനത്തിൽ നിന്നുള്ള അതേ വിശകലന പ്രക്രിയ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യം ഉയർന്നു. y=f(x)എന്നൊരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നേടുക ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ(അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ derivative) f(x)ചിഹ്നത്താൽ നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്നുള്ള പ്രക്രിയ f(x)ഒരു പുതിയ ഫീച്ചർ നേടുക f" (x), വിളിച്ചു വ്യത്യാസംഅതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: 1) വാദം നൽകുക xഇൻക്രിമെന്റും  xഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ വർദ്ധനവ് നിർണ്ണയിക്കുക  y = f(x+ x) -f(x); 2) ഒരു ബന്ധം ഉണ്ടാക്കുക

3) എണ്ണുന്നു xസ്ഥിരവും  x0, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് f" (x), ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവർത്തനം മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് ഊന്നിപ്പറയുന്നതുപോലെ x, അതിൽ ഞങ്ങൾ പരിധിയിലേക്ക് പോകുന്നു. നിർവ്വചനം: ഡെറിവേറ്റീവ് y " =f " (x) നൽകിയ ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) തന്നിരിക്കുന്ന x-ന്ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്. പരിമിതമായ. അങ്ങനെ,
, അഥവാ

എന്തെങ്കിലും മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കുക x, ഉദാഹരണത്തിന് എപ്പോൾ x=a, മനോഭാവം
ചെയ്തത്  x0 പരിമിതമായ പരിധിയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നില്ല, അപ്പോൾ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവർ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് പറയുന്നു f(x)ചെയ്തത് x=a(അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റിൽ x=a) ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റിൽ വ്യത്യാസമില്ല x=a.

2. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിന് സമീപത്തെ വ്യതിരിക്തമായ y = f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക.

f(x)

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ നേർരേഖ പരിഗണിക്കാം - പോയിൻ്റ് A(x 0, f (x 0)) കൂടാതെ ഗ്രാഫിനെ ചില പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നതും B(x;f(x)). അത്തരമൊരു വരയെ (AB) ഒരു സെക്കൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ∆ABC-യിൽ നിന്ന്: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

എസി മുതൽ || കാള, പിന്നെ ALO = BAC = β (സമാന്തരമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്). എന്നാൽ ALO എന്നത് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള സെക്കൻ്റ് AB യുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണ്. ഇതിനർത്ഥം tanβ = k എന്നത് AB എന്ന നേർരേഖയുടെ ചരിവാണ്.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ∆х കുറയ്ക്കും, അതായത്. ∆х→ 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച് പോയിൻ്റ് ബി പോയിൻ്റ് എയെ സമീപിക്കും, സെക്കൻ്റ് എബി കറങ്ങും. ∆x→ 0-ൽ സെക്കൻ്റ് AB യുടെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം ഒരു നേർരേഖയായിരിക്കും (a), പോയിൻ്റ് എയിലെ y = f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

tgβ =∆y/∆x എന്ന തുല്യതയിൽ ∆x → 0 ആയി നമ്മൾ പരിധിയിലേക്ക് പോയാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും
ortg =f "(x 0), മുതൽ
-ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ
, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം. എന്നാൽ tg = k എന്നത് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകമാണ്, അതായത് k = tg = f "(x 0).

അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്:

പോയിൻ്റ് x-ൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് 0 abscissa x ഉപയോഗിച്ച് വരച്ച ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യം 0 .

3. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം.

ഒരു നേർരേഖയിലൂടെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ചലനം പരിഗണിക്കുക. ഏത് സമയത്തും ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് x(t) നൽകട്ടെ. ഒരു കാലയളവിലെ ശരാശരി വേഗത ഈ കാലയളവിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (ഒരു ഭൗതികശാസ്ത്ര കോഴ്സിൽ നിന്ന്) അറിയാം, അതായത്.

വാവ് = ∆x/∆t. അവസാന സമത്വത്തിലെ ∆t → 0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് പോകാം.

lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 സമയത്ത് തൽക്ഷണ വേഗത.

കൂടാതെ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനപ്രകാരം).

അതിനാൽ, (t) =x"(t).

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്വൈ = എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽx 0 പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക്എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽx 0

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഒരു അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്നും സമയത്തിനും, പ്രവേഗത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്നുള്ള ത്വരണം, സമയം എന്നിവയ്‌ക്കും എതിരെയുള്ള വേഗത കണ്ടെത്താൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

(t) = x"(t) - വേഗത,

a(f) = "(t) - ത്വരണം, അല്ലെങ്കിൽ

ഒരു സർക്കിളിലെ ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലന നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ, ഭ്രമണ ചലന സമയത്ത് കോണീയ പ്രവേഗവും കോണീയ ത്വരണം കണ്ടെത്താനാകും:

φ = φ(t) - കാലക്രമേണ കോണിലെ മാറ്റം,

ω = φ"(t) - കോണീയ പ്രവേഗം,

ε = φ"(t) - കോണീയ ത്വരണം, അല്ലെങ്കിൽ ε = φ"(t).

ഒരു അസമമായ വടിയുടെ ബഹുജന വിതരണ നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ, അസമമായ വടിയുടെ രേഖീയ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്താനാകും:

m = m(x) - പിണ്ഡം,

x  , l - വടിയുടെ നീളം,

p = m"(x) - രേഖീയ സാന്ദ്രത.

ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്, ഇലാസ്തികതയുടെയും ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഹുക്കിൻ്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്

F = -kx, x - വേരിയബിൾ കോർഡിനേറ്റ്, k - സ്പ്രിംഗ് ഇലാസ്തികത ഗുണകം. ω 2 =k/m ഇട്ടാൽ, സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലം x"(t) + ω 2 x(t) = 0 എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഇവിടെ ω = √k/√m ആന്ദോളന ആവൃത്തി (l/c), k - സ്പ്രിംഗ് കാഠിന്യം (H/m).

y" + ω 2 y = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തെ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം (മെക്കാനിക്കൽ, ഇലക്ട്രിക്കൽ, വൈദ്യുതകാന്തിക) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഫംഗ്ഷനാണ്

y = Asin(ωt + φ 0) അല്ലെങ്കിൽ y = Acos(ωt + φ 0), എവിടെ

A - ആന്ദോളനങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി, ω - ചാക്രിക ആവൃത്തി,

φ 0 - പ്രാരംഭ ഘട്ടം.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനായി \(y = (e^x)\) ഒരു പദപ്രയോഗം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

പ്രാരംഭ ഘട്ടങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്: ആദ്യം ഞങ്ങൾ \(\Delta y\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് എഴുതുന്നു, \(\Delta x\) ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിന് അനുസൃതമായി: \[ (\Delta y = y\left((\Delta y = y\left) x + \Delta x) \right) - y\left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^( \Delta x)) - (e^x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഇതിൻ്റെ പരിധിയായി കണക്കാക്കുന്നു ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ അനുപാതം: \[ (y"\left(x \right ) = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (\ പരിധി\പരിധി_(\Delta x \to 0) \frac((( e^x)\ഇടത്(((e^(\Delta x)) - 1) \right)))(\Delta x))) \] ന്യൂമറേറ്ററിലെ പ്രവർത്തനം \(y = (e^x)\) Δ-യെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല xകൂടാതെ അത് പരിധി ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം എടുക്കാം. തുടർന്ന് ഡെറിവേറ്റീവ് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു: \[ (y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\ പരിധികൾ_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിധി \(L\) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. അത് ആകസ്മികമായി കണക്കാക്കുക, \((e^0) = 1\) അതിനാൽ, നമുക്ക് \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^()" എന്ന് എഴുതാം. \Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0) ))((\ Delta x)) = e"\left(0 \right),) \] അതായത്, ഈ പരിധി പൂജ്യത്തിലെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, \(y = (e^x)\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനിലൂടെയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് \(x = 0\) എന്ന പോയിൻ്റിലും ആവശ്യമുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ബന്ധം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, \(e\) എന്ന സംഖ്യ അനന്തമായ പരിധിയുടെ രൂപത്തിൽ \ എന്നും \(\Delta x\) എന്ന പവർ എന്ന സംഖ്യ \(\Delta x\) ആയി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്നും ഓർക്കുക. , \[(e^(\ Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\ഇടത്(1 + \frac((\Delta x))(n)) \ വലത് ^n).\] അടുത്തതായി നമ്മൾ പ്രസിദ്ധമായ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു ന്യൂട്ടൻ്റെ ദ്വിപദം സൈൻ ഇൻ പരിധിക്ക് കീഴിലുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ വികസിപ്പിക്കുക ദ്വിപദ പരമ്പര: \[(\left((1 + \frac((\Delta x)))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left(\left) (\frac(\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ഇവിടെ \((C_n^k)\) എന്നത് \(n\) മൂലകങ്ങളുടെ സംയോജനങ്ങളുടെ എണ്ണം \( k\ ). യൂറോപ്യൻ, അമേരിക്കൻ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം \(L\) നമ്മുടെ പരിധിയിലേക്ക് മടങ്ങാം, അത് ഇപ്പോൾ ഈ രൂപത്തിൽ എഴുതാം: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) ) \frac((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \ ഇടത്[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac(\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right] - 1))((\Delta x)).) \] ദ്വിപദ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് സൗകര്യപ്രദമാണ്: \(k = 0\) കൂടാതെ \(k = 1. \). ഫലമായി, നമുക്ക് \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0) ലഭിക്കും )^n (C_n^k(\left((\frac(\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1))(\Delta x)) ) = (\ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0(\left(\frac(\Delta x) )(n )) \right))^0) + C_n^1(\left(\frac((\Delta x))(n)) \right))^1) + \sum\പരിധി_(k = 2)^ n (C_n^k(\left((\frac(\Delta x))(n)) \right))^k)) \right] - 1))((\Delta x)) ) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n ) + \ തുക\പരിധി_(k = 2)^n (C_n^k(\left((\frac(\Delta x))(n)) \right))^k)) \ right] - 1 ))( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^ n (C_n^k(\left((\frac(\Delta x))(n)) \right))^k))))(\Delta x)) = (\lim\ limits_(\ Delta x \to 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n ( C_n^k ((\left(\frac(\Delta x))(n)) \right))^k)) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((\left(\Delta x)) \ വലത്)) ^(k - 1))))(((n^k)))) ) \right)) \right].) \] വ്യക്തമായും, പരമ്പരയുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിലേക്ക് \(\Delta x ആയി മാറുന്നു \ to 0\) . അതിനാൽ, \(L = 1\). എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് \(y = (e^x)\) ഫംഗ്‌ഷനുതന്നെ തുല്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം: \

ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ചില അയൽപക്കത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കട്ടെ, അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ ഒരു പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള പൊതുവായ നൊട്ടേഷനുകൾ

ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടിക

ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

സെക്കൻ്റ് പരിഗണിക്കുക എബിഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിക്സ് y=f(x)അത്തരം പോയിൻ്റുകൾ എഒപ്പം INകോർഡിനേറ്റുകളും ഉണ്ട് , വാദത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് എവിടെയാണ്. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കൊണ്ട് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. ഡ്രോയിംഗിൽ എല്ലാം അടയാളപ്പെടുത്താം:

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് എബിസിനമുക്ക് ഉണ്ട് . നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ടാൻജെൻ്റ് എന്നത് ഒരു സെക്കൻ്റിൻ്റെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനമാണ് .

ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് y=f(x)ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു .

അതിനാൽ, , ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ് എവിടെയാണ്.

അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അസ്തിത്വം y=f(x)ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിന് തുല്യമാണ് y=f(x)കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റിൽ, ഒപ്പം സ്പർശനത്തിൻ്റെ ചരിവ് പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതാണ് .

ഞങ്ങൾ ഉപസംഹരിക്കുന്നു: ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് നിലവിലുണ്ട്.

20 ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വ്യത്യാസം. വ്യത്യസ്തതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ അവസ്ഥ.

ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുത്താവുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് സ്‌മോൾനസിൻ്റെ ഉയർന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ വരെയുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ ഫംഗ്‌ഷനായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൻ്റെ മതിയായ ചെറിയ അയൽപക്കങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു ലീനിയർ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം (ഫംഗ്ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് മാറ്റമില്ലാതെ കണക്കാക്കാം). ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെ രേഖീയ ഭാഗത്തെ അതിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ (ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വ്യതിരിക്തതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും എന്നാൽ പര്യാപ്തമല്ലാത്തതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തുടർച്ച. ഒരു യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഡിഫറൻഷ്യബിലിറ്റി ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിന് തുല്യമാണ്. നിരവധി യഥാർത്ഥ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ വേരിയബിളുകളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ അസ്തിത്വമാണ് ഡിഫറൻഷ്യബിലിറ്റിക്ക് ആവശ്യമായ (പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല) വ്യവസ്ഥ. നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യസ്‌തമാകുന്നതിന്, പരിഗണനയിലുള്ള പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നിലനിൽക്കുകയും ഈ ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ മതിയാകും.

21 ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വ്യത്യാസം. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ തുടർച്ചയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം.

സിദ്ധാന്തം.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ആ ഘട്ടത്തിൽ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു.

തെളിവ്.

x0x0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ y=f(x)y=f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α( Δx)⋅x.

ΔxΔx ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് പൂജ്യമായി മാറുന്നതിനാൽ, ΔyΔy ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവും പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, ഇത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തുടർച്ചയെ അർത്ഥമാക്കുന്നു.

അതായത്, x0x0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്ന y=f(x)y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനും ഈ ബിന്ദുവിലെ ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് അവസാനം നമുക്ക് മനസ്സിലായി. ക്യു.ഇ.ഡി.

അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തുടർച്ച ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വ്യതിരിക്തതയ്‌ക്ക് ആവശ്യമായതും എന്നാൽ പര്യാപ്തമല്ലാത്തതുമായ അവസ്ഥയാണ്.

ഉദാഹരണം.

ഫംഗ്ഷൻ y=|x|y=|x| പോയിൻ്റിൽ x0x0 ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യത്യസ്തമല്ല.

തീർച്ചയായും, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് ഇതിന് തുല്യമാണ്:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx എന്ന പരിധി നിലവിലില്ല, അതായത് x0x0 പോയിൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി y=|x|y=|x| എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഈ ഘട്ടത്തിൽ വേർതിരിക്കാനാവില്ല.

22 ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ. ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വ്യത്യാസം xഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെ പ്രധാന, രേഖീയ ഭാഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ y = f(x) അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ വർദ്ധനവിനും തുല്യമാണ് x(വാദം).

അതിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ y = f(x) പോയിൻ്റ് M( ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ് S ൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിന് തുല്യമാണ് x; വൈ), അത് മാറുമ്പോൾ x(വാദം) മൂല്യമനുസരിച്ച് (ചിത്രം കാണുക)..

23 തുകയുടെയും ഉൽപന്നത്തിൻ്റെയും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം.

ഡിഫറൻസിയേഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം തെളിയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനവും തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധിയുടെ ഗുണവും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സമാനമായ രീതിയിൽ, തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് (വ്യത്യാസം) ആണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. എൻഫംഗ്‌ഷനുകൾ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് (വ്യത്യാസം) എൻഡെറിവേറ്റീവുകൾ

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി നമുക്ക് എഴുതാം. ഞങ്ങൾ അത് കണക്കിലെടുക്കും (ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു).

ക്യു.ഇ.ഡി.

24 ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ ഫോം 1 ൻ്റെ മാറ്റമില്ല.

ആദ്യ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ രൂപത്തിൻ്റെ മാറ്റമില്ല

എങ്കിൽ xസ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആണ്, അപ്പോൾ dx = x - x 0 (നിശ്ചിത ഇൻക്രിമെൻ്റ്). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്കുണ്ട്

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

എങ്കിൽ x = φ (ടി) ഒരു വ്യതിരിക്തമായ പ്രവർത്തനമാണ്, അപ്പോൾ dx = φ" (ടി 0)dt. അതിനാൽ,

അതായത്, ആദ്യത്തെ ഡിഫറൻഷ്യലിന് ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മാറ്റത്തിന് കീഴിലുള്ള മാറ്റമില്ലാത്ത സ്വഭാവമുണ്ട്.

25 റോളിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.

റോളിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം (പൂജ്യം ഡെറിവേറ്റീവ് സിദ്ധാന്തം) എന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു

തെളിവ്

ഇടവേളയിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇടവേളയിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ പ്രസ്താവന വ്യക്തമാണ്.

ഇല്ലെങ്കിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, വീയർസ്‌ട്രാസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഇടവേളയിലെ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കുന്നു, അതായത്, ഇതിന് ഒരു പ്രാദേശിക തീവ്രതയുണ്ട് ഈ പോയിൻ്റ്, കൂടാതെ ഫെർമാറ്റിൻ്റെ ലെമ്മ അനുസരിച്ച്, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് 0 ന് തുല്യമാണ്.

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഒരു മിനുസമാർന്ന വക്രത്തിൻ്റെ രണ്ടറ്റത്തിൻ്റെയും ഓർഡിനേറ്റുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, വക്രത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായിരിക്കുന്ന വക്രത്തിൽ ഒരു ബിന്ദു ഉണ്ടെന്ന് സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.

26 ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും.

ഫിനിറ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ് ഫോർമുലഅഥവാ ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തംഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായും ഇടവേളയിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതുമാണെങ്കിൽ, അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ടെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു

.

ജ്യാമിതീയമായിഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പുനഃക്രമീകരിക്കാം: സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗ്രാഫിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന കോർഡിന് സമാന്തരമായി ടാൻജെൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ട്.

മെക്കാനിക്കൽ വ്യാഖ്യാനം: പ്രാരംഭ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ഇപ്പോൾ പോയിൻ്റിൻ്റെ ദൂരം ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ നിമിഷം തോറും സഞ്ചരിക്കുന്ന ഒരു പാതയുണ്ട്, ഈ കാലയളവിലെ ശരാശരി വേഗതയാണ് അനുപാതം. ഇതിനർത്ഥം, ഏത് സമയത്തും ശരീരത്തിൻ്റെ വേഗത നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചില നിമിഷങ്ങളിൽ അത് ഈ മേഖലയിലെ ശരാശരി മൂല്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

തെളിവ്

ഒരൊറ്റ വേരിയബിൾ ഫംഗ്‌ഷനു വേണ്ടി:

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. റോളിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അതിന് സംതൃപ്തമാണ്: സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത് അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. സൂചിപ്പിച്ച സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ക്യു.ഇ.ഡി.

അനന്തരഫലങ്ങളും പൊതുവൽക്കരണങ്ങളും

ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിലെയും ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട, നോഡൽ സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്നാണ് ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ ഫിനിറ്റ് ഇൻക്രിമെൻ്റ് സിദ്ധാന്തം. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സിൽ ഇതിന് ധാരാളം പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങളും അതിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്.

അനന്തരഫലം 1.പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവുള്ള ഒരു ഇടവേളയിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുത്താവുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

തെളിവ്.അങ്ങനെ ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ട്.

ഇതിനർത്ഥം സമത്വം എല്ലാവർക്കും ശരിയാണെന്നാണ്.

അന്തിമഫലം 2 (ലഗ്രാഞ്ച് രൂപത്തിൽ ശേഷിക്കുന്ന പദമുള്ള ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല).ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൽ ഒരിക്കൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെട്ടാൽ, ചെറിയവയ്ക്ക് (അതായത്, സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന അയൽപക്കത്തിൽ സെഗ്‌മെൻ്റ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നവ) ടെയ്‌ലറുടെ ഫോർമുല സാധുവാണ്:

ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഒരു നമ്പർ എവിടെയാണ്.

അനന്തരഫലം 3.പോയിൻ്റ് O യുടെ അയൽപക്കത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ രണ്ടുതവണ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുകയും അതിൻ്റെ എല്ലാ രണ്ടാമത്തെ മിക്സഡ് ഡെറിവേറ്റീവുകളും പോയിൻ്റ് O-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത നിലനിൽക്കും:

തെളിവ്.നമുക്ക് മൂല്യങ്ങൾ ശരിയാക്കാം കൂടാതെ ഓപ്പറേറ്റർമാരുടെ വ്യത്യാസം പരിഗണിക്കാം

ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് സംഖ്യകളുണ്ട് , അത്തരം

ചെയ്തത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ തുടർച്ച കാരണം.

അതുപോലെ, അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു .

എന്നാൽ , (ഇത് നേരിട്ട് പരിശോധിച്ചുറപ്പിച്ചതാണ്) മുതൽ ഈ പരിധികൾ യോജിക്കുന്നു.

അനന്തരഫലം 4 (ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല).ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഇടവേളയിൽ റീമാൻ ഇൻ്റഗ്രബിൾ ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല സാധുവാണ്: .

തെളിവ്.സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ വിഭജനം ആകട്ടെ. ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റിലും അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഈ തുല്യതകൾ സംഗ്രഹിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇടതുവശത്ത് ഇൻ്റഗ്രലിനുള്ള റീമാൻ ഇൻ്റഗ്രൽ തുകയും നൽകിയിരിക്കുന്ന അടയാളപ്പെടുത്തിയ പാർട്ടീഷനുമുണ്ട്. പാർട്ടീഷൻ്റെ വ്യാസത്തിൻ്റെ പരിധിയിലേക്ക് കടന്നുപോകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ലഭിക്കും.

അനന്തരഫലം 5 (പരിമിതമായ വർദ്ധനവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം).ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ കുത്തനെയുള്ള ഒതുക്കമുള്ള പ്രദേശത്ത് മാപ്പിംഗ് തുടർച്ചയായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ .

27 കാശാ സിദ്ധാന്തം.

കൗച്ചിയുടെ ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തം.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നൽകട്ടെ, അത്തരത്തിലുള്ളവ: 1. സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും; 2. ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഇടവേളയിൽ പരിമിതവും; 3. ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഇടവേളയിൽ ഒരേസമയം അപ്രത്യക്ഷമാകരുത് 4. ; അപ്പോൾ താഴെ പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ ശരിയാണ്: . (ഞങ്ങൾ വ്യവസ്ഥ 4 നീക്കം ചെയ്താൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, വ്യവസ്ഥ 3 ശക്തിപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: g"(x) ഇടവേളയിൽ എവിടെയും അപ്രത്യക്ഷമാകരുത്.)

ജ്യാമിതീയമായി, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പുനർനിർമ്മിക്കാം: വിമാനത്തിലെ ചലന നിയമം വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (അതായത്, അബ്‌സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും പാരാമീറ്ററിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു), തുടർന്ന് അത്തരം ഒരു വക്രത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ, പാരാമീറ്ററുകൾ പ്രകാരം വ്യക്തമാക്കിയത് കൂടാതെ , അവിടെ മുതൽ വരെയുള്ള ഡിസ്പ്ലേസ്മെൻ്റ് വെക്റ്ററിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വെക്റ്റർ കോളിനിയർ ആണ്.

തീയതി: 11/20/2014

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ആശയം അവതരിപ്പിക്കും. കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഫോർമുലേഷനുകളും തെളിവുകളും ഇല്ലാതെ നമുക്ക് പരസ്പരം പരിചയപ്പെടാം.

ഈ പരിചയം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും:

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ ജോലികളുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുക;

ഈ ലളിതമായ ജോലികൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുക;

ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ പാഠങ്ങൾക്കായി തയ്യാറെടുക്കുക.

ആദ്യം - ഒരു സന്തോഷകരമായ ആശ്ചര്യം.)

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ കർശനമായ നിർവചനം പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, കാര്യം വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഇത് അസ്വസ്ഥമാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിന്, ചട്ടം പോലെ, അത്തരം വിപുലവും ആഴത്തിലുള്ളതുമായ അറിവ് ആവശ്യമില്ല!

സ്കൂളിലെയും യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെയും മിക്ക ജോലികളും വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ, അറിഞ്ഞാൽ മതി കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ മാത്രം- ചുമതല മനസ്സിലാക്കാൻ, ഒപ്പം കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ മാത്രം- അത് പരിഹരിക്കാൻ. അത്രയേയുള്ളൂ. ഇത് എന്നെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാൻ തുടങ്ങാം?)

നിബന്ധനകളും പദവികളും.

പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ നിരവധി വ്യത്യസ്ത ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ, ലോഗരിതം മുതലായവ. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് ഒരു പ്രവർത്തനം കൂടി ചേർത്താൽ, പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഉയർന്നതാകുന്നു. ഈ പുതിയ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം.ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനവും അർത്ഥവും പ്രത്യേക പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്നത് ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനമാണെന്ന് ഇവിടെ മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുകയും ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് അത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫലം ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. ഈ പുതിയ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു: ഡെറിവേറ്റീവ്.

വ്യത്യാസം- ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ പ്രവർത്തനം.

ഡെറിവേറ്റീവ്- ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം.

അതുപോലെ, ഉദാഹരണത്തിന്, തുക- കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ ഫലം. അഥവാ സ്വകാര്യം- വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം.

നിബന്ധനകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ടാസ്‌ക്കുകളെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.) ഫോർമുലേഷനുകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക; ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുക; പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക; ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുകഇത്യാദി. ഇതാണ് എല്ലാം അതേ.തീർച്ചയായും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികളും ഉണ്ട്, അവിടെ ഡെറിവേറ്റീവ് (വ്യത്യാസം) കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഘട്ടം മാത്രമായിരിക്കും.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മുകളിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു ഡാഷ് ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഇതുപോലെ: y"അഥവാ f"(x)അഥവാ എസ്"(ടി)ഇത്യാദി.

വായന ഇഗ്രെക്ക് സ്ട്രോക്ക്, എക്സിൽ നിന്നുള്ള എഫ് സ്ട്രോക്ക്, ടെയിൽ നിന്നുള്ള എസ് സ്ട്രോക്ക്,നന്നായി, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ...)

ഒരു പ്രൈമിന് ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിക്കാനും കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്: (2x+3)", (x 3 )" , (സിൻക്സ്)"തുടങ്ങിയവ. പലപ്പോഴും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, എന്നാൽ ഈ പാഠത്തിൽ അത്തരം നൊട്ടേഷൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല.

ടാസ്ക്കുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ നമ്മൾ പഠിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.) ഒരിക്കൽ കൂടി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തൽ ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിവർത്തനം.അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, ഈ നിയമങ്ങളിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൂന്ന് കാര്യങ്ങൾ മാത്രം അറിഞ്ഞിരിക്കണം. എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും നിലകൊള്ളുന്ന മൂന്ന് തൂണുകൾ. ഇവയാണ് മൂന്ന് തൂണുകൾ:

1. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക (ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ).

3. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ ആരംഭിക്കാം. ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കും.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക.

ലോകത്ത് അനന്തമായ നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഈ സെറ്റിൽ പ്രായോഗിക ഉപയോഗത്തിന് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകൃതിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളിലും കാണപ്പെടുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന്, ഇഷ്ടികകളിൽ നിന്ന് പോലെ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെല്ലാം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ക്ലാസ് ഫംഗ്ഷനുകളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് സ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്നത് - ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ഹൈപ്പർബോള മുതലായവ.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസം "ആദ്യം മുതൽ", അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെയും പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇത് തികച്ചും അധ്വാനിക്കുന്ന കാര്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ആളുകളാണ്, അതെ, അതെ!) അതിനാൽ അവർ അവരുടെ (ഞങ്ങൾക്കും) ജീവിതം ലളിതമാക്കി. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അവർ നമുക്ക് മുന്നിൽ കണക്കാക്കി. ഫലം ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടികയാണ്, അവിടെ എല്ലാം തയ്യാറാണ്.)

ഇതാ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള ഈ പ്ലേറ്റ്. ഇടതുവശത്ത് ഒരു പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷൻ, വലതുവശത്ത് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

	ഫംഗ്ഷൻ വൈ	ഫംഗ്‌ഷൻ y യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് y"
1	സി (സ്ഥിരമായ മൂല്യം)	സി" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	പാപം x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	ആർക്‌സിൻ x
	ആർക്കോസ് x
	ആർക്റ്റാൻ x
	arcctg x
4	എ x
	ഇ x
5	ലോഗ് എ x
	ln x ( a = ഇ)

ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിലെ മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും സാധാരണമായത്! നിങ്ങൾക്ക് സൂചന മനസ്സിലായോ?) അതെ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഹൃദയത്തിൽ അറിയുന്നത് നല്ലതാണ്. വഴിയിൽ, ഇത് തോന്നിയേക്കാവുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, പട്ടിക തന്നെ ഓർമ്മിക്കപ്പെടും!)

നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നത് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിനാൽ, പലപ്പോഴും അത്തരം ജോലികളിൽ അധിക ചിപ്പുകൾ ഉണ്ട്. ഒന്നുകിൽ ടാസ്‌ക്കിൻ്റെ പദപ്രയോഗത്തിലോ അല്ലെങ്കിൽ ടേബിളിൽ ഇല്ലാത്ത ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷനിലോ...

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

1. y = x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 3

പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല. എന്നാൽ പൊതു രൂപത്തിൽ (മൂന്നാം ഗ്രൂപ്പ്) ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ n=3. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ n-ന് പകരം മൂന്നെണ്ണം മാറ്റി, ഫലം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതുക:

(x 3) "= 3 x 3-1 = 3x 2

അത്രയേയുള്ളൂ.

ഉത്തരം: y" = 3x 2

2. x = 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ y = sinx എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ഈ ടാസ്‌ക് അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ആദ്യം സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തണം, തുടർന്ന് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണം എന്നാണ് x = 0ഇതേ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക്. കൃത്യമായി ആ ക്രമത്തിൽ!അല്ലാത്തപക്ഷം, അവർ ഉടൻ തന്നെ യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് പൂജ്യത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ... യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യമല്ല, മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ.

ടാബ്‌ലെറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സൈനും അനുബന്ധ ഡെറിവേറ്റീവും കണ്ടെത്തുന്നു:

y" = (sin x)" = cosx

ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

y"(0) = cos 0 = 1

ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.

3. പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക:

എന്താണ്, ഇത് പ്രചോദിപ്പിക്കുന്നത്?) ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വേർതിരിക്കുന്നത് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി മറന്നാൽ, ഞങ്ങളുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തിരയുന്നത് തികച്ചും പ്രശ്‌നകരമാണ്. മേശ സഹായിക്കില്ല ...

എന്നാൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം എന്ന് കണ്ടാൽ ഇരട്ട ആംഗിൾ കോസൈൻ, അപ്പോൾ എല്ലാം ഉടൻ മെച്ചപ്പെടും!

അതെ അതെ! ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് ഓർക്കുക വ്യത്യാസത്തിന് മുമ്പ്തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്! മാത്രമല്ല ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കാൻ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. ഇരട്ട ആംഗിൾ കോസൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ആ. ഞങ്ങളുടെ തന്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനം മറ്റൊന്നുമല്ല y=cosx. ഇത് ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ഉടനടി ലഭിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: y" = - sin x.

ഉന്നത ബിരുദധാരികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഉദാഹരണം:

4. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല, തീർച്ചയായും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ശക്തികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ... അപ്പോൾ ഈ പ്രവർത്തനം ലളിതമാക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്. ഇതുപോലെ:

പത്തിലൊന്നിൻ്റെ പവറിലേക്കുള്ള x ഇതിനകം ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്‌ഷനാണ്! മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ്, n=1/10. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് എഴുതുന്നു:

അത്രയേയുള്ളൂ. ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആദ്യ സ്തംഭത്തിൽ എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു - ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് തിമിംഗലങ്ങളെ നേരിടാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. അടുത്ത പാഠത്തിൽ നമ്മൾ വ്യത്യസ്തതയുടെ നിയമങ്ങൾ പഠിക്കും.