Er wordt een stelsel lineaire algebraïsche vergelijkingen gegeven. Stelsel van vergelijkingen

De vergelijking heeft een oplossing: als ten minste één van de coëfficiënten in de onbekenden verschilt van nul. In dit geval wordt elke -dimensionale vector een oplossing van de vergelijking genoemd als, wanneer de coördinaten worden vervangen, de vergelijking een identiteit wordt.

Algemene kenmerken van het toegestane stelsel vergelijkingen

Beschrijf het stelsel vergelijkingen.

Oplossing:

1. Is er een inconsistente vergelijking?(Als de coëfficiënten, in dit geval heeft de vergelijking de vorm: en heet controverseel.)

• Als een systeem een ​​inconsistent systeem bevat, dan is zo'n systeem inconsistent en heeft het geen oplossing.

2. Vind alle toegestane variabelen. (Het onbekende heettoegestaan voor een systeem van vergelijkingen, als het een van de vergelijkingen van het systeem invoert met een coëfficiënt van +1, en niet de rest van de vergelijkingen invoert (d.w.z. het komt binnen met een coëfficiënt gelijk aan nul).

3. Is het stelsel vergelijkingen toegestaan? (Het stelsel vergelijkingen heet opgelost, als elke vergelijking van het systeem een ​​opgeloste onbekende bevat, waarvan er geen samenvallende zijn)

De toegestane onbekenden, één voor één genomen uit elke vergelijking van het systeem, vormen volledige set van toegestane onbekenden systemen. (in ons voorbeeld is het )

De toegestane onbekenden in de complete set worden ook wel basis(), en niet inbegrepen in de set - vrij ().

In dit stadium is het belangrijk om te begrijpen wat opgelost onbekend(in de basis inbegrepen en gratis).

Algemene gedeeltelijke basisoplossing

Algemene oplossing van een toegestaan ​​stelsel vergelijkingen is een reeks uitdrukkingen van toegestane onbekenden in termen van vrije termen en vrije onbekenden:

privé beslissing wordt een oplossing genoemd die is verkregen uit de algemene voor specifieke waarden van de vrije variabelen en onbekenden.

Basisoplossing is een bepaalde oplossing verkregen uit de algemene bij nulwaarden van de vrije variabelen.

• De basisoplossing (vector) heet ontaarden, als het aantal van zijn niet-nul coördinaten kleiner is dan het aantal toegestane onbekenden.
• De basisoplossing heet niet-gedegenereerd, als het aantal van zijn niet-nul coördinaten gelijk is aan het aantal toegestane onbekenden van het systeem in de volledige set.

Stelling (1)

Het toegestane stelsel vergelijkingen is altijd compatibel(omdat het minstens één oplossing heeft); Bovendien, als het systeem geen vrije onbekenden heeft,(dat wil zeggen, in het stelsel van vergelijkingen worden alle toegestane in de basis opgenomen) dan is het gedefinieerd(heeft een unieke oplossing); als er tenminste één vrije variabele is, dan is het systeem niet gedefinieerd(heeft een oneindig aantal oplossingen).

Oplossing:

1. Controleren of het systeem is toegestaan?

• Het systeem is toegestaan ​​(omdat elk van de vergelijkingen een toegestane onbekende bevat)

2. We nemen de toegestane onbekenden op in de set - één uit elke vergelijking.

3. We noteren de algemene oplossing, afhankelijk van de toegestane onbekenden die we in de set hebben opgenomen.

4. Een privéoplossing vinden. Om dit te doen, stellen we de vrije variabelen die we niet in de set hebben opgenomen gelijk aan willekeurige getallen.

Antwoord: privé oplossing(een van de opties)

5. De basisoplossing vinden. Om dit te doen, stellen we de vrije variabelen die we niet in de set hebben opgenomen gelijk aan nul.

Elementaire transformaties van lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen worden met behulp van elementaire transformaties gereduceerd tot gelijkwaardige toegestane systemen.

Stelling (2)

indien van toepassing vermenigvuldig de vergelijking van het systeem met een getal dat niet nul is, en laat de rest van de vergelijkingen ongewijzigd, dan . (dat wil zeggen, als je de linker- en rechterkant van de vergelijking met hetzelfde getal vermenigvuldigt, krijg je een vergelijking die gelijk is aan de gegeven)

Stelling (3)

Als een andere toevoegen aan een vergelijking van het systeem, en laat alle andere vergelijkingen ongewijzigd, dan een systeem krijgen dat gelijk is aan het gegeven. (dat wil zeggen, als u twee vergelijkingen toevoegt (door hun linker- en rechtergedeelte toe te voegen), krijgt u een vergelijking die gelijk is aan de gegevens)

Gevolg van Stellingen (2 en 3)

Als aan elke vergelijking een andere toevoegen, vermenigvuldigd met een bepaald getal, en laat alle andere vergelijkingen ongewijzigd, dan krijgen we een systeem equivalent aan het gegeven.

Formules voor het herberekenen van systeemcoëfficiënten

Als we een stelsel vergelijkingen hebben en dit willen omzetten in een toegestaan ​​stelsel vergelijkingen, dan helpt de Jordan-Gauss methode ons daarbij.

Jordan transformeren met een oplossend element kunt u de opgeloste onbekende voor het stelsel vergelijkingen in de vergelijking met het getal krijgen. (voorbeeld 2).

Laten we zeggen dat we de onbekende in de onderste vergelijking een opgeloste onbekende willen maken. Om dit te doen, moeten we delen door zodat de som is.

Bij het delen van een vergelijking met een getal door , worden de coëfficiënten herberekend volgens de formules:

Om uit te sluiten van de vergelijking met het getal , moet je de vergelijking met het getal vermenigvuldigen met en optellen bij deze vergelijking.

Stelling (4) Over de vermindering van het aantal systeemvergelijkingen.

Als het stelsel vergelijkingen een triviale vergelijking bevat, kan deze van het stelsel worden uitgesloten en wordt een stelsel verkregen dat equivalent is aan het oorspronkelijke.

Stelling (5) Over de onverenigbaarheid van het stelsel vergelijkingen.

Als een stelsel vergelijkingen een inconsistente vergelijking bevat, dan is deze inconsistent.

Jordan-Gauss methode-algoritme

Het algoritme voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen volgens de Jordan-Gauss-methode bestaat uit een aantal stappen van hetzelfde type, die elk acties in de volgende volgorde uitvoeren:

1. Controleert of het systeem inconsistent is. Als een systeem een ​​inconsistente vergelijking bevat, is het inconsistent.
2. De mogelijkheid om het aantal vergelijkingen te verminderen wordt gecontroleerd. Als het systeem een ​​triviale vergelijking bevat, wordt deze doorgestreept.
3. Als het stelsel vergelijkingen is toegestaan, noteer dan de algemene oplossing van het stelsel en, indien nodig, bepaalde oplossingen.
4. Als het systeem niet is toegestaan, wordt in de vergelijking die geen toegestane onbekende bevat een oplossend element gekozen en wordt met dit element een Jordan-transformatie uitgevoerd.
5. Ga dan terug naar punt 1.

Vinden: twee algemene en twee overeenkomstige basisoplossingen

Oplossing:

De berekeningen zijn weergegeven in de volgende tabel:

Acties op vergelijkingen worden rechts van de tabel getoond. De pijlen geven aan bij welke vergelijking de vergelijking met het oplossende element vermenigvuldigd met een geschikte factor wordt opgeteld.

De eerste drie rijen van de tabel bevatten de coëfficiënten van de onbekenden en de juiste delen van het oorspronkelijke systeem. De resultaten van de eerste Jordan-transformatie met een resolutie gelijk aan één worden gegeven in regels 4, 5, 6. De resultaten van de tweede Jordan-transformatie met een resolutie gelijk aan (-1) worden gegeven in regels 7, 8, 9. Aangezien de derde vergelijking is triviaal, er kan geen rekening mee worden gehouden.

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of contact met hem op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

• De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, acties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om u belangrijke mededelingen en berichten te sturen.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u meedoet aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke incentive, kunnen we de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

• In het geval dat het nodig is - in overeenstemming met de wet, een gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures en / of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is om veiligheidsredenen, wetshandhaving of andere redenen van algemeen belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de relevante derde partij opvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Behoud van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingspraktijken met onze medewerkers en handhaven we strikt de privacypraktijken.

• Systemen m lineaire vergelijkingen met N onbekend.
  Een stelsel lineaire vergelijkingen oplossen is zo'n reeks getallen ( x 1 , x 2 , …, x n), waarbij in elk van de vergelijkingen van het systeem de juiste gelijkheid wordt verkregen.
  waar een ij , ik = 1, …, m; j = 1, …, n zijn de coëfficiënten van het systeem;
  b ik , ik = 1, …, m- gratis leden;
  x j , j = 1, …, n- onbekend.
  Het bovenstaande systeem kan in matrixvorm worden geschreven: EEN X = B,
  
  
  
  
  waar ( EEN|B) is de hoofdmatrix van het systeem;
  EEN— uitgebreide matrix van het systeem;
  x— kolom met onbekenden;
  B is een kolom van gratis leden.
  Als de matrix B geen nulmatrix ∅ is, dan heet dit stelsel lineaire vergelijkingen inhomogeen.
  Als de matrix B= , dan heet dit stelsel lineaire vergelijkingen homogeen. Een homogeen systeem heeft altijd een nul (triviale) oplossing: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Gezamenlijk systeem van lineaire vergelijkingen is een stelsel lineaire vergelijkingen met een oplossing.
  Inconsistent systeem van lineaire vergelijkingen is een stelsel lineaire vergelijkingen dat geen oplossing heeft.
  Bepaald stelsel lineaire vergelijkingen is een stelsel lineaire vergelijkingen met een unieke oplossing.
  Onbepaald stelsel lineaire vergelijkingen is een stelsel lineaire vergelijkingen met een oneindig aantal oplossingen.
• Stelsels van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden
  Als het aantal onbekenden gelijk is aan het aantal vergelijkingen, dan is de matrix vierkant. De matrixdeterminant wordt de hoofddeterminant van het stelsel lineaire vergelijkingen genoemd en wordt aangegeven met het symbool Δ.
  Cramer-methode: voor het oplossen van systemen N lineaire vergelijkingen met N onbekend.
  Cramers regel.
  Als de belangrijkste determinant van een stelsel lineaire vergelijkingen niet gelijk is aan nul, dan is het systeem consistent en gedefinieerd en wordt de enige oplossing berekend met behulp van de Cramer-formules:
  waarbij Δ i de determinanten zijn die zijn verkregen uit de hoofddeterminant van het systeem Δ door vervanging l e kolom naar de kolom met gratis leden. .
• Stelsels van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden
  Stelling van Kronecker-Cappelli.
  
  
  Om ervoor te zorgen dat dit systeem van lineaire vergelijkingen consistent is, is het noodzakelijk en voldoende dat de rangorde van de matrix van het systeem gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix van het systeem, rang(Α) = rang(Α|B).
  Als belde(Α) ≠ belde(Α|B), dan heeft het systeem uiteraard geen oplossingen.
  Als rang(Α) = rang(Α|B), dan zijn er twee gevallen mogelijk:
  1) rang(Α) = n(tot het aantal onbekenden) - de oplossing is uniek en kan worden verkregen met de formules van Cramer;
  2) rang (Α)< n − er zijn oneindig veel oplossingen.
• Gauss-methode: voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen
  
  
  Laten we de augmented matrix ( EEN|B) van het gegeven systeem van coëfficiënten aan de onbekende en rechterzijde.
  De Gauss-methode of de eliminatie van onbekenden methode bestaat uit het verminderen van de augmented matrix ( EEN|B) met behulp van elementaire transformaties over zijn rijen naar een diagonale vorm (naar een bovenste driehoekige vorm). Terugkerend naar het stelsel vergelijkingen, worden alle onbekenden bepaald.
  Elementaire transformaties op strings omvatten het volgende:
  1) twee lijnen verwisselen;
  2) het vermenigvuldigen van een string met een ander getal dan 0;
  3) het toevoegen van een andere string aan de string vermenigvuldigd met een willekeurig getal;
  4) een null-tekenreeks weggooien.
  Een uitgebreide matrix teruggebracht tot een diagonale vorm komt overeen met een lineair systeem dat equivalent is aan het gegeven, waarvan de oplossing geen problemen oplevert. .
• Stelsel van homogene lineaire vergelijkingen.
  Het homogene systeem heeft de vorm:
  
  het komt overeen met de matrixvergelijking EEN X = 0.
  1) Een homogeen systeem is altijd consistent, omdat r(A) = r(A|B), er is altijd een nuloplossing (0, 0, …, 0).
  2) Opdat een homogeen systeem een ​​niet-nuloplossing heeft, is het noodzakelijk en voldoende dat: r = r(A)< n , wat gelijk is aan Δ = 0.
  3) Als R< n , dan Δ = 0, dan zijn er vrije onbekenden c 1 , c 2 , …, c n-r, het systeem heeft niet-triviale oplossingen, en er zijn er oneindig veel van.
  4) Algemene oplossing: x Bij R< n kan als volgt in matrixvorm worden geschreven:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  waar zijn de oplossingen? X 1 , X 2 , …, X n-r vormen een fundamenteel systeem van oplossingen.
  5) Het fundamentele systeem van oplossingen kan worden verkregen uit de algemene oplossing van het homogene systeem:
  
  ,
  als we achtereenvolgens aannemen dat de waarden van de parameters (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1) zijn.
  Ontbinding van de algemene oplossing in termen van het fundamentele systeem van oplossingen is een record van de algemene oplossing als een lineaire combinatie van oplossingen die behoren tot het fundamentele systeem.
  Stelling. Om ervoor te zorgen dat een stelsel van lineaire homogene vergelijkingen een oplossing heeft die niet nul is, is het noodzakelijk en voldoende dat Δ ≠ 0.
  Dus als de determinant Δ ≠ 0 is, dan heeft het systeem een ​​unieke oplossing.
  Als Δ ≠ 0, dan heeft het stelsel van lineaire homogene vergelijkingen een oneindig aantal oplossingen.
  Stelling. Opdat een homogeen systeem een ​​niet-nuloplossing heeft, is het noodzakelijk en voldoende dat: r(A)< n .
  Bewijs:
  1) R kan niet meer zijn N(matrixrang overschrijdt het aantal kolommen of rijen niet);
  2) R< n , omdat als r=n, dan is de belangrijkste determinant van het systeem Δ ≠ 0, en volgens de formules van Cramer is er een unieke triviale oplossing x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, wat in tegenspraak is met de voorwaarde. Middelen, r(A)< n .
  Gevolg. Voor een homogeen systeem N lineaire vergelijkingen met N onbekenden een oplossing heeft die niet nul is, is het noodzakelijk en voldoende dat Δ = 0.

Oplossing. A= . Vind r(A). Omdat de matrix A heeft orde 3x4, dan is de hoogste orde van minderjarigen 3. In dit geval zijn alle minderjarigen van de derde orde gelijk aan nul (controleer het zelf). Middelen, r(А)< 3. Возьмем главный basis minor = -5-4 = -9 ≠ 0. Vandaar dat r(A) =2.

Beschouwen Matrix VAN = .

kleine terts volgorde ≠ 0. Dus r(C) = 3.

sinds r(A) ≠ r(C) , dan is het systeem inconsistent.

Voorbeeld 2 Bepaal de compatibiliteit van het stelsel vergelijkingen

Los dit systeem op als het compatibel is.

Oplossing.

A = , C = . Het is duidelijk dat r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Aangezien detC = 0, dan is r(C)< 4. Beschouwen minderjarige derde volgorde, gelegen in de linkerbovenhoek van de matrix A en C: = -23 ≠ 0. Dus r(A) = r(C) = 3.

Nummer onbekend in het systeem n=3. Het systeem heeft dus een unieke oplossing. In dit geval is de vierde vergelijking de som van de eerste drie en kan deze worden genegeerd.

Volgens de formules van Cramer we krijgen x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matrix-methode. Gauss-methode:

systeem N lineaire vergelijkingen van N onbekenden kunnen worden opgelost matrix methode: volgens de formule X \u003d A -1 B (voor Δ ≠ 0), die wordt verkregen uit (2) door beide delen te vermenigvuldigen met A -1 .

Voorbeeld 1. Los een stelsel vergelijkingen op

door de matrixmethode (in paragraaf 2.2 is dit systeem opgelost met behulp van de Cramer-formules)

Oplossing. Δ=10 ≠ 0 A = - niet-singuliere matrix.

= (controleer dit zelf door de nodige berekeningen te maken).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Antwoord: .

Vanuit een praktisch oogpunt matrixmethode en formules Kramer worden geassocieerd met een grote hoeveelheid berekeningen, dus de voorkeur wordt gegeven aan: Gauss-methode:, die bestaat uit de opeenvolgende eliminatie van onbekenden. Om dit te doen, wordt het stelsel vergelijkingen gereduceerd tot een equivalent systeem met een driehoekige vergrote matrix (alle elementen onder de hoofddiagonaal zijn gelijk aan nul). Deze acties worden directe verplaatsing genoemd. Uit het resulterende driehoekige systeem worden de variabelen gevonden met behulp van opeenvolgende substituties (achterwaarts).

Voorbeeld 2. Los het systeem op met behulp van de Gauss-methode

(Dit systeem is hierboven opgelost met behulp van de Cramer-formule en de matrixmethode).

Oplossing.

Directe verplaatsing. We schrijven de augmented matrix en brengen deze met behulp van elementaire transformaties in een driehoekige vorm:

~ ~ ~ ~ .

Krijgen systeem

Omgekeerde beweging. Uit de laatste vergelijking vinden we x 3 = -6 en vervang deze waarde in de tweede vergelijking:

x 2 = - 11/2 - 1/4x 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

x 1 = 2 -x 2 + x 3 = 2+4-6 = 0.

Antwoord: .

2.5. Algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen

Laat een stelsel lineaire vergelijkingen worden gegeven = b i(l=). Laat r(A) = r(C) = r, d.w.z. het systeem is collaboratief. Elke niet-nul minderjarige van orde r is basis minor. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat de basismineur zich in de eerste r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) rijen en kolommen van matrix A bevindt. Als we de laatste mr-vergelijkingen van het stelsel weglaten, schrijven we een verkort stelsel :

wat gelijk is aan het origineel. Laten we de onbekenden een naam geven x 1 ,….x r basis, en x r +1 ,…, x r vrij en verplaats de termen die de vrije onbekenden bevatten naar de rechterkant van de vergelijkingen van het afgeknotte systeem. We krijgen het systeem met betrekking tot de fundamentele onbekenden:

die voor elke set waarden van gratis onbekenden x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r heeft de enige oplossing x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), gevonden door de regel van Cramer.

Passende oplossing verkort, en daarom heeft het oorspronkelijke systeem de vorm:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - algemene oplossing van het systeem.

Als in de algemene oplossing de vrije onbekenden enkele numerieke waarden krijgen, krijgen we de oplossing van het lineaire systeem, privé genoemd.

Voorbeeld. Breng compatibiliteit tot stand en vind de algehele oplossing van het systeem

Oplossing. A = , = .

Dus hoe r(A)= r(C) = 2 (zie voor jezelf), dan is het oorspronkelijke systeem compatibel en heeft een oneindig aantal oplossingen (aangezien r< 4).

De Gauss-methode heeft een aantal nadelen: het is onmogelijk om te weten of het systeem consistent is of niet totdat alle transformaties die nodig zijn in de Gauss-methode zijn uitgevoerd; de Gauss-methode is niet geschikt voor systemen met lettercoëfficiënten.

Overweeg andere methoden voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze methoden gebruiken het concept van de rangorde van een matrix en reduceren de oplossing van elk gezamenlijk systeem tot de oplossing van een systeem waarop de regel van Cramer van toepassing is.

voorbeeld 1 Vind de algemene oplossing van het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van het fundamentele stelsel van oplossingen van het gereduceerde homogene systeem en een bepaalde oplossing van het inhomogene systeem.

1. We maken een matrix EEN en de augmented matrix van het systeem (1)

2. Verken het systeem (1) voor compatibiliteit. Om dit te doen, vinden we de rangen van de matrices EEN en https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Als blijkt dat , dan is het systeem (1) onverenigbaar. Als we dat krijgen , dan is dit systeem consistent en lossen we het op. (De consistentiestudie is gebaseerd op de stelling van Kronecker-Capelli).

A. We vinden rA.

Vinden rA, we zullen achtereenvolgens niet-nul minderjarigen van de eerste, tweede, enz. orde van de matrix beschouwen EEN en de minderjarigen om hen heen.

M1=1≠0 (1 is afkomstig uit de linkerbovenhoek van de matrix MAAR).

grenzend aan M1 de tweede rij en tweede kolom van deze matrix. . We blijven aan de grens M1 de tweede regel en de derde kolom..gif" width="37" height="20 src=">. Nu grenzen we aan de niet-nul minor М2′ tweede bestelling.

We hebben: (omdat de eerste twee kolommen hetzelfde zijn)

(omdat de tweede en derde regel proportioneel zijn).

We zien dat rA=2, en is de basis minor van de matrix EEN.

B. We vinden .

Voldoende basis minor М2′ matrices EEN rand met een kolom met gratis leden en alle regels (we hebben alleen de laatste regel).

. Hieruit volgt dat М3′′ blijft de basis minor van de matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Omdat М2′- basis minor van de matrix EEN systemen (2) , dan is dit systeem gelijk aan het systeem (3) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (2) (voor М2′ staat in de eerste twee rijen van matrix A).

(3)

Aangezien de basisminor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> is (4)

In dit systeem zijn twee vrije onbekenden ( x2 En x4 ). Dat is waarom FSR systemen (4) bestaat uit twee oplossingen. Om ze te vinden, kennen we gratis onbekenden toe aan: (4) waarden eerst x2=1 , x4=0 , en toen - x2=0 , x4=1 .

Bij x2=1 , x4=0 we krijgen:

.

Dit systeem heeft al het enige oplossing (deze kan worden gevonden door de regel van Cramer of door een andere methode). Als we de eerste vergelijking van de tweede vergelijking aftrekken, krijgen we:

Haar besluit zal zijn: x1= -1 , x3=0 . Gezien de waarden x2 En x4 , die we hebben gegeven, verkrijgen we de eerste fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Nu zetten we in (4) x2=0 , x4=1 . We krijgen:

.

We lossen dit stelsel op met behulp van de stelling van Cramer:

.

We verkrijgen de tweede fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Oplossingen β1 , β2 en make-up FSR systemen (2) . Dan is de algemene oplossing:

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 zijn willekeurige constanten.

4. Zoek er een privaat oplossing heterogeen systeem(1) . zoals in paragraaf 3 , in plaats van het systeem (1) overweeg het equivalente systeem (5) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (1) .

(5)

We brengen de gratis onbekenden over naar de rechterkant x2 En x4.

(6)

Laten we gratis onbekenden geven x2 En x4 willekeurige waarden, bijv. x2=2 , x4=1 en sluit ze aan op (6) . Laten we het systeem pakken

Dit systeem heeft een unieke oplossing (omdat zijn determinant М2′0). Als we het oplossen (met behulp van de stelling van Cramer of de methode van Gauss), verkrijgen we: x1=3 , x3=3 . Gezien de waarden van de gratis onbekenden x2 En x4 , we krijgen bepaalde oplossing van een inhomogeen systeem(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nu moet ik nog schrijven algemene oplossing α van een inhomogeen systeem(1) : het is gelijk aan de som privé beslissing dit systeem en algemene oplossing van het gereduceerde homogene systeem (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dit betekent: (7)

6. Inspectie. Om te controleren of je het systeem correct hebt opgelost (1) , we hebben een algemene oplossing nodig (7) vervangen door (1) . Als elke vergelijking een identiteit wordt ( C1 En C2 moet worden vernietigd), dan is de oplossing correct gevonden.

We zullen vervangen (7) bijvoorbeeld alleen in de laatste vergelijking van het systeem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

We krijgen: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Waar -1=-1. We hebben een identiteit. We doen dit met alle andere vergelijkingen van het systeem (1) .

Opmerking. Verificatie is meestal vrij omslachtig. We kunnen de volgende "gedeeltelijke verificatie" aanbevelen: in de algehele oplossing van het systeem (1) wijs enkele waarden toe aan willekeurige constanten en vervang de resulterende specifieke oplossing alleen in de weggegooide vergelijkingen (d.w.z. in die vergelijkingen van (1) die niet zijn inbegrepen in (5) ). Als je identiteiten krijgt, dan? waarschijnlijk, oplossing van het systeem (1) correct gevonden (maar een dergelijke controle geeft geen volledige garantie op correctheid!). Als in bijv (7) neerzetten C2=- 1 , C1=1, dan krijgen we: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitueren in de laatste vergelijking van systeem (1), we hebben: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , d.w.z. –1=–1. We hebben een identiteit.

Voorbeeld 2 Vind een algemene oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen (1) , waarbij de belangrijkste onbekenden worden uitgedrukt in termen van gratis.

Oplossing. Als in voorbeeld 1, matrices samenstellen EEN en https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> van deze matrices. Nu laten we alleen die vergelijkingen van het systeem over (1) , waarvan de coëfficiënten zijn opgenomen in deze basisminor (d.w.z. we hebben de eerste twee vergelijkingen) en beschouwen het systeem dat daaruit bestaat, wat equivalent is aan systeem (1).

Laten we de vrije onbekenden naar de rechterkant van deze vergelijkingen verplaatsen.

systeem (9) we lossen op volgens de Gauss-methode, waarbij we de juiste delen als gratis leden beschouwen.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Optie 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Optie 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Optie 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Optie 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">