Объяснение теоремы фалеса. Теорема Фалеса
Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.
В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес.
Надпись на гробнице Фалеса Милетского
Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.
Кто же такой этот Фалес Милетский ? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.
Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.
Довольно широко известна легенда, которая характеризует Фалеса как находчивого человека. Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать то, что и философы могут при желании жить в достатке. Еще зимой Фалес по наблюдению за звездами определил, что летом будет хороший урожай маслин. Тогда же он нанял маслодавильни в Милете и на Хиосе. Это обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда же маслины дали богатый урожай, свои маслодавильни Фалес начал сдавать внаем. Собранное большое количество денег таким методом расценивалось как доказательство того, что философы могут зарабатывать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем. Эта легенда, кстати, повторялась самим Аристотелем.
Что же касается геометрии, то многое из его «открытий» было позаимствовано у египтян. И все же этот перенос знаний в Грецию считается одной из основных заслуг Фалеса Милетского.
Достижениями Фалеса считаются формулировка и доказательство следующих теорем:
- вертикальные углы равны;
- равными треугольниками признаются те, у которых сторона и два прилегающих угла соответственно равны;
- углы при основании равнобедренного треугольника равны;
- диаметр делит круг пополам;
- вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.
Именем Фалеса названа еще одна теорема, которая полезна при решении геометрических задач. Существует ее обобщенный и частный вид, обратная теорема, формулировки также могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их всех остается одним. Рассмотрим эту теорему.
Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Допустим, точки А 1 , А 2 , А 3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а В 1 , В 2 , В 3 – точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Необходимо доказать, что если А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 .
Через точку В 2 проведем прямую, параллельную прямой А 1 А 2 . Обозначим новую прямую С 1 С 2 . Рассмотрим параллелограммы A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 .
Свойства параллелограмма позволяют нам утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . А так как по нашему условию А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и C 1 B 2 = В 2 С 2 .
И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 .
C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше).
А это значит, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим углам). Таким образом, теорема Фалеса доказана. Использование данной теоремы значительно облегчит и ускорит решение геометрических задач. Успехов в освоении этой занимательной науки математики! сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Если стороны угла, пересекают прямые параллельные линии которые одну из сторон разделяют на несколько отрезков, то и вторую сторону, прямые так же разделят на равнозначны с другой стороной отрезки.
Теорему Фалеса
доказывает следующее: С 1 , С 2 , С 3 - это места где пересекаются прямые параллельные на любой стороне угла. С 2 находится посередине относительно С 1 и С 3 .. Точки D 1 , D 2 , D 3 - это места где пересекаются прямые, которые соответствуют прямым с другой стороной угла. Доказываем, что когда C 1 C 2 = C 2 C з, значит и D 1 D 2 =D 2 D 3 . Рассмотрим несколько примеров
Первый пример
Условием задания требуется разбить прямую СD на п
одинаковых отрезков. Второй пример
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка СК. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, при этом АК= АР. Требуется найти отношение ВК к РМ. Третий пример
В треугольнике АВС, сторона ВС = 8 см. Прямая DE пересекает стороны АВ и ВС параллельно АС. И отсекает на стороне ВС отрезок ЕС = 4см. Доказать, что АD = DВ. В женском журнале - онлайн, Вы найдете много интересной информации для себя. Так же есть раздел, посвященный стихам которые написал Сергей Есенин . Заходите не пожалеете! О параллельных и секущих. Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки. Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :
Доказательство в случае секущих Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые
A
A
1
|
|
B
B
1
|
|
C
C
1
|
|
D
D
1
{\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}}
и при этом
A
B
=
C
D
{\displaystyle AB=CD}
. Доказательство в случае параллельных прямых Проведем прямую BC
. Углы ABC
и BCD
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB
и CD
и секущей BC
, а углы ACB
и CBD
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC
и BD
и секущей BC
. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC
и DCB
равны. Отсюда следует, что AC
= BD
и AB
= CD
. ■
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так: В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины Таким образом (см. рис.) из того, что
C
B
1
C
A
1
=
B
1
B
2
A
1
A
2
=
…
{\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots }
, следует, что
A
1
B
1
|
|
A
2
B
2
|
|
…
{\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots }
. Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований). Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое. Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского : Пусть
f
{\displaystyle f}
- проективное соответствие между точками прямой
l
{\displaystyle l}
и прямой
m
{\displaystyle m}
. Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному). В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых. Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения: Пусть
f
{\displaystyle f}
- проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых
X
f
(X)
{\displaystyle Xf(X)}
будет коника (возможно, вырожденная). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство. Пусть А 1 , А 2 , А 3 - точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А 2 лежит между А 1 и А 3 (рис.1). Пусть B 1 В 2 , В 3 - соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А 1 А 2 = A 2 A 3 , то В 1 В 2 = В 2 В 3 . Проведем через точку В 2 прямую EF, параллельную прямой А 1 А 3 . По свойству параллелограмма А 1 А 2 = FB 2 , A 2 A 3 = B 2 E . И так как А 1 А 2 = A 2 A 3 , то FB 2 = В 2 Е. Треугольники B 2 B 1 F и В 2 В 3 Е равны по второму признаку. У них B 2 F = В 2 Е по доказанному. Углы при вершине В 2 равны как вертикальные, а углы B 2 FB 1 и B 2 EB 3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А 1 В 1 и A 3 B 3 и секущей EF. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В 1 В 2 = В 2 В 3 . Теорема доказана. С использованием теоремы Фалеса устанавливается следующая теорема. Теорема 2. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 2 отрезок ED - средняя линия треугольника ABC. ED - средняя линия треугольника ABC Пример 1.
Разделить данный отрезок на четыре равные части. Решение.
Пусть АВ - данный отрезок (рис.3), который надо разделить на 4 равные части. Деление отрезка на четыре равные части Для этого через точку А проведем произвольную полупрямую а и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка AC, CD, DE, ЕК. Соединим точки В и К отрезком. Проведем через оставшиеся точки С, D, Е прямые, параллельные прямой ВК, так, чтобы они пересекли отрезок АВ. Согласно теореме Фалеса отрезок АВ разделится на четыре равные части. Пример 2.
Диагональ прямоугольника равна а. Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника? Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 4. Тогда EF - средняя линия треугольника ABC и, значит, по теореме 2.
$$ EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} $$ Аналогично $$
HG = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} , EH = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} , FG = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}
$$ и, следовательно, периметр четырехугольника EFGH равен 2a. Пример 3.
Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см, а вершины его - середины сторон другого треугольника. Найти периметр большого треугольника. Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 5. Отрезки АВ, ВС, АС - средние линии треугольника DEF. Следовательно, согласно теореме 2 $$
AB = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ BC = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ AC = \frac{1}{2}DF
$$ или $$
2 = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ 3 = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ 4 = \frac{1}{2}DF
$$ откуда $$
EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8
$$ и, значит, периметр треугольника DEF равен 18 см. Пример 4.
В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника, если катеты треугольника равны 10 см и 8 см. Решение.
В треугольнике ABC (рис.6) ∠ А прямой, АВ = 10 см, АС = 8 см, KD и MD - средние линии
треугольника ABC, откуда $$
KD = \frac{1}{2}AC = 4 см.
\\
MD = \frac{1}{2}AB = 5 см.
$$ Периметр прямоугольника К DMА равен 18 см. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих. Доказательство в случае параллельных прямых Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■
Также существует теорема о пропорциональных отрезках
:
Проводим в месте D 2 прямой отрезок КР, параллельный участку C 1 C 3 . В свойствах параллелограмма C 1 C 2 =KD 2 , C 2 C 3 = D 2 P. Если C 1 C 2 =C 2 C 3 , то и KD 2 =D 2 P.
Полученные треугольные фигуры D 2 D 1 K и D 2 D 3 P равняются. И D 2 K=D 2 P по доказательству. Углы с верхней точкой D 2 равняются как вертикальные, а углы D 2 KD 1 и D 2 PD 3 равняются как внутренние накрест лежащие при параллельных C 1 D 1 и C 3 D 3 и разделяющей KP.
Так как D 1 D 2 =D 2 D 3 теорема доказана по равенству сторон треугольника
Заметка:
Если взять не стороны угла, а два прямых отрезка, доказательство будет такое же.
Любые прямые отрезки параллельные друг другу, которые пересекают две рассматриваемые нами прямые и разделяющие одну из них на одинаковые участки, тоже самое делают и со второй.
Проводим от точки С полу-прямую с, которая не лежит на прямой СD. Отметим на ней одинаковые по величине части. СС 1 , С 1 С 2 , С 2 С 3 .....С п-1 С п. Соединяем С п с D. Проводим прямые от точек С 1 ,С 2 ,....,С п-1 которые будут параллельны относительно С п D. Прямые будут пересекать СD в местах D 1 D 2 D п-1 и разделять прямую СD на п одинаковых отрезков.
Проводим через точку М прямой отрезок, параллельный СК, который пересекает АВ в точке D
По теореме Фалеса
ВD=КD
По теореме пропорциональных отрезков получаем, что
РМ = КD = ВК/2, следовательно, ВК: РМ = 2:1
Ответ: ВК: РМ = 2:1
Так как ВС = 8 см и ЕС = 4см, то
ВЕ = ВС-ЕС, следовательно, ВЕ = 8-4 = 4(см)
По теореме Фалеса
, так как АС параллельна DE и ЕС = ВЕ то, следовательно, АD = DВ. Что и требовалось доказать.Формулировки
Замечания
Вариации и обобщения
Обратная теорема
Лемма Соллертинского
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Таким образом (см. рис.) из того, что следует, что прямые .
Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример - трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Вариации и обобщения
Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :
Напишите отзыв о статье "Теорема Фалеса"Литература
ПримечанияСм. также
Отрывок, характеризующий Теорема Фалеса– Я ничего не думаю, я только не понимаю этого…– Подожди, Соня, ты всё поймешь. Увидишь, какой он человек. Ты не думай дурное ни про меня, ни про него. – Я ни про кого не думаю дурное: я всех люблю и всех жалею. Но что же мне делать? Соня не сдавалась на нежный тон, с которым к ней обращалась Наташа. Чем размягченнее и искательнее было выражение лица Наташи, тем серьезнее и строже было лицо Сони. – Наташа, – сказала она, – ты просила меня не говорить с тобой, я и не говорила, теперь ты сама начала. Наташа, я не верю ему. Зачем эта тайна? – Опять, опять! – перебила Наташа. – Наташа, я боюсь за тебя. – Чего бояться? – Я боюсь, что ты погубишь себя, – решительно сказала Соня, сама испугавшись того что она сказала. Лицо Наташи опять выразило злобу. – И погублю, погублю, как можно скорее погублю себя. Не ваше дело. Не вам, а мне дурно будет. Оставь, оставь меня. Я ненавижу тебя. – Наташа! – испуганно взывала Соня. – Ненавижу, ненавижу! И ты мой враг навсегда! Наташа выбежала из комнаты. Наташа не говорила больше с Соней и избегала ее. С тем же выражением взволнованного удивления и преступности она ходила по комнатам, принимаясь то за то, то за другое занятие и тотчас же бросая их. Как это ни тяжело было для Сони, но она, не спуская глаз, следила за своей подругой. Накануне того дня, в который должен был вернуться граф, Соня заметила, что Наташа сидела всё утро у окна гостиной, как будто ожидая чего то и что она сделала какой то знак проехавшему военному, которого Соня приняла за Анатоля. Соня стала еще внимательнее наблюдать свою подругу и заметила, что Наташа была всё время обеда и вечер в странном и неестественном состоянии (отвечала невпопад на делаемые ей вопросы, начинала и не доканчивала фразы, всему смеялась). После чая Соня увидала робеющую горничную девушку, выжидавшую ее у двери Наташи. Она пропустила ее и, подслушав у двери, узнала, что опять было передано письмо. И вдруг Соне стало ясно, что у Наташи был какой нибудь страшный план на нынешний вечер. Соня постучалась к ней. Наташа не пустила ее. «Она убежит с ним! думала Соня. Она на всё способна. Нынче в лице ее было что то особенно жалкое и решительное. Она заплакала, прощаясь с дяденькой, вспоминала Соня. Да это верно, она бежит с ним, – но что мне делать?» думала Соня, припоминая теперь те признаки, которые ясно доказывали, почему у Наташи было какое то страшное намерение. «Графа нет. Что мне делать, написать к Курагину, требуя от него объяснения? Но кто велит ему ответить? Писать Пьеру, как просил князь Андрей в случае несчастия?… Но может быть, в самом деле она уже отказала Болконскому (она вчера отослала письмо княжне Марье). Дяденьки нет!» Сказать Марье Дмитриевне, которая так верила в Наташу, Соне казалось ужасно. «Но так или иначе, думала Соня, стоя в темном коридоре: теперь или никогда пришло время доказать, что я помню благодеяния их семейства и люблю Nicolas. Нет, я хоть три ночи не буду спать, а не выйду из этого коридора и силой не пущу ее, и не дам позору обрушиться на их семейство», думала она. Анатоль последнее время переселился к Долохову. План похищения Ростовой уже несколько дней был обдуман и приготовлен Долоховым, и в тот день, когда Соня, подслушав у двери Наташу, решилась оберегать ее, план этот должен был быть приведен в исполнение. Наташа в десять часов вечера обещала выйти к Курагину на заднее крыльцо. Курагин должен был посадить ее в приготовленную тройку и везти за 60 верст от Москвы в село Каменку, где был приготовлен расстриженный поп, который должен был обвенчать их. В Каменке и была готова подстава, которая должна была вывезти их на Варшавскую дорогу и там на почтовых они должны были скакать за границу. |