Основные формулы в задачах на вклады и кредиты. Формула сложных процентов
Процент – это сотая доля числа.
Процент обозначается символом $%$.
Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.
$35%={35}/{100}=0.35$.
Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
$n%$ от $а={а⋅n}/{100}$
Сколько градусов содержит угол, если он составляет $5%$ от развернутого угла?
Развернутый угол равен $180°$.
Найдем $5%$ от $180°$, для этого ${180°⋅5}/{100}=9°$.
Ответ: $9°$.
Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.
Найдите число, $20%$ которого составляют $80$.
Число, $20%$ которого составляют $80$, находим так:
${80⋅100}/{20}=400$.
Ответ: $400$.
Задачи на скидки
Скидка - это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.
Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:
- Из $100%$ вычесть процент скидки.
- Найти полученный процент от полной стоимости товара.
Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?
Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:
Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
${4500·80}/{100}=3600$ - стоимость куртки с учетом скидки.
Задачи на вклады, кредиты, наценки
Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:
- К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
- Найти полученный процент от изначального количества денег.
Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?
$100%+12%=112%$ - это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.
Найдем $112%$ от $150000$ рублей:
${112⋅150000}/{100}=168000$ рублей.
Ответ: $168000$.
В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:
Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?
Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):
Пусть $х%$ - столько процентов составляет новая цена относительно старой.
С этими данными составим и решим пропорцию:
${100%}/{х%}={200}/{250}$.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:
$200⋅х=100⋅250$.
$х={100⋅250}/{200}=125%$.
Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.
Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.
Ответ: $25$.
Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?
Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:
Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:
${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$
Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.
Ответ: $7$.
Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином "сложные проценты" , который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, "сложные проценты" возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.
Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X + X*{N/100} = X(1+{N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год. И теперь как бы сумма нашего "нового" вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1+{N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1+{N/100}) + X(1+{N/100})*{N/100} = X(1+{N/100})(1+{N/100}) = X(1+{N/100})^2$.
Если бы мы сделали вклад не на два, а на $Y$ лет, то в конце получили бы $X(1+{N/100})^Y$ рублей.
«Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам».
Д. Пойа.
Введение.
Особое внимание я уделяю текстовым задачам на проценты, которые часто встречаются в практике вступительных экзаменов в экономические вузы, но недостаточно полно рассматриваются в школе. Умение выполнять процентные вычисления, − безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций. Однако не только те, кто уже давно окончили школу, робеют при виде процентов. Даже на ЕГЭ решаемость задач на проценты не превышает 20 % . Это говорит о том, что такого типа задачи следует решать не только в младших классах, где изучается эта тема, но и на протяжении всех лет обучения в школе.
1. При решении задач на проценты используются основные формулы:
1% числа а равен а.
р% от числа а равно а.
Если известно, что некоторое число а составляет р% от х, то х можно найти из пропорции
а − р%
х − 100%,
откуда х= а.
Пусть имеются числа a, b, причем а Число b больше числа а на100%. Число а меньше числаbна100%. Если на вклад положена сумма а денежных единиц, банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит a
ден.ед. Задача 1.
Умных людей на 45 % меньше, чем красивых, 36% умных обладают красивой внешностью. Каков процент умных людей среди красивых? Решение:
пусть х − количество красивых людей, тогдаколичество умных людей: х − 0,45х = 0,55х. Среди умных 36% составляют красивые люди, следовательно, количество умных и одновременно красивых людей: 0,36 ·0,55х= 0,198х. Составим пропорцию: Отсюда получим: Ответ:
19,8% Учащиеся с интересом решают текстовые задачи на проценты, которые ближе к реальной жизни. Особый «прикол» представляет собой подача задач не из задачника, а прямо с газетной полосы. Тут уж не возникает мыслей о ненужности математики. А «процентная журналистика» в связи с разразившимся экономическим кризисом на страницах газет буквально процветает. Задача 2.
Цены на путевки уже подросли: например, туры во Францию − на 20%. Можно ли сказать, на сколько процентов раньше тур во Францию был дешевле? Решение:
пусть х − старая цена, а n − новая цена. 1)
Составим первую пропорцию: Получим n=1,2х. 2)
Составим вторую пропорцию: х − (100-а%) (100-а) 1,2х = 100х Решив уравнение, получим: а ≈17%. Ответ:
17%. Задача 3.
На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определите, какой процент годовых начисляет банк. Решение:
пусть банк начисляет р% годовых. 1)
Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский под р% годовых, через год возрастет до величины 2)
Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000+100р
руб. 3)
Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины По условию эта величина равна 11000: Решив это уравнение получим: =10, =−200 − отрицательный корень не подходит. Ответ:
10% Задача 4. (ЕГЭ-2015)
Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%
. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза
превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых? Решение:
от суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4
рубля (делится на 4
). Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз
и станет равной (4p)
рублей. Поделим её на 4
части, унесём домой (p)
рублей, оставим в банке (3p)
рублей. Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76
рублей. Итак, число (3p)
превратилось в число (5,76)
. Во сколько раз оно увеличилось? Таким образом, найден второй повышающий коэффициент k
банка. Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92
: Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4
больше первого. Избавившись от запятых, сделаем замену t = 10р
: Из такого уравнения получить 12 совсем просто. Итак, p = 1,2, k = 1,6. В 1,2 раза увеличилась сумма вклада первый раз, в 1,6 раз - во второй раз. Было 100%, стало 160%. Новый процент годовых равен 160%-100% = 60%. Ответ:
60%. Задача 5. (ЕГЭ-2015)
В банк помещена сумма 3900
тысяч рублей под 50%
годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%
. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу? Решение:
пусть х рублей – вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу. 50%
годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза. Если вкладчик ничего бы не добавлял к первоначальной сумме, то через год на его счету было бы 3900·1,5
, через два года - 3900·1,52
и так далее. Посчитаем, какой доход принесли все четыре добавки. х∙1,5 4 + х∙1,5 3 + х∙1,5 2 +х∙1,5 Для этого вынесем х
за скобку и вычислим сумму геометрической прогрессии, в которой b = 1,5
и q = 1,5
. Известно, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%
. Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.
Задачи на проценты учат решать с 5 класса. Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: На уроках с учениками разбирают, что сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название - процент. Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра. Один процент - это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.
Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 . а 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д. Как найти 1% от числа?
Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д. Пример. Найти: 25% от 120.
Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь. Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах - 25%. Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%. Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?
66: 60 = 1,1 - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%. Ответ: 110%. Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?
Ответ: 85%. Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?
Ответ: похудел на 8,48%. Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?
Ответ: 10 кг. Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?
Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 .1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х; Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%. Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А: В) . 100%. Пример. Найти число, если 15% его равны 30.
х - данное число; Ответ: 200. Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?
Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). Ответ: 2 т. Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?
1 кг сушеных грибов - это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. Ответ: 20 кг. Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
Ответ: 2,5 кг. Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь. В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% - начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению. Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.
Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300.1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) - величина вклада через 3 месяца. Ответ: 337 459,2 рубля Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?
Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.
Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)
Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов - скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?
Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 - 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами. 1 способ.
400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400: 100 = 4 (руб.), а в 125 % 2 способ.
Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100. 3 способ.
Применение свойства пропорции: Ответ: 500 рублей. Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?
Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию: 57 кг - 100 % Ответ: 85,5 кг. Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)
После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?
1 способ.
Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 - 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 . 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки. 2 способ.
Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А - 0,52А = 0,48А. Составим пропорцию: Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки. Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)
Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?
До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 - 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей. 1 способ.
680: 85 = 8 (руб.) - в 1% 2 способ.
Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов. 3 способ.
С помощью пропорции: Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи. Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».
Самые простые задачи этого типа приведены ниже. Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли). Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. Ответ: 40%, 60%. В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?
Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно. Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост. Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M. Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи. Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения. Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.
300 . 0,87 = 261 (г). В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента. Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)
Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные - 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов? Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 - 75 = 25 (%), а высушенные - 25%, то сухого вещества в них будет 100 - 25 = 75 (%). При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу: Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 . х Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 . 45 = 33,75 Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение: 0,25 . х = 33,75; Ответ: 135 кг. Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?
Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения: 0,7 . х + 0,6 . у = 0,5 . (х + у + 2) и 0,7 . х + 0,6 . у + 1,8 = 0,7 . (х + у + 2). Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг. Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси. Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни - столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?
Из первого предложения задачи получаем следующие равенства: 3ч = 5в, Таким образом можно составить пропорцию: Значит, на 100 - 90 = 10 (%) - килограмм клубники дешевле килограмма черешни. Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни. Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).
Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р). Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 - 0,01р). Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 - 224с)
Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?
1 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 - х) %. Составим пропорцию Составим новую пропорцию уже по новой цене: Получим уравнение 0,5 . (100 - х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % . 2 способ.
Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х. Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение: Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз. Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 - 224с)
Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?
Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х. Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение: Решив его, получим, что х = 10 %. Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз. Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)
В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение: (1 + 0,01 х)(1 - 0,01 х)А = (1 - 0,09)А, Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг. Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.
Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А. После чего сумма долга составит 1,01А - А/15 - 0,01А = 14А/15. Через 2 месяца получаем: 1,01. 14А/15. Второй платеж А/15 + 0,01. 14А/15. Тогда долг после второго платежа 13А/15. Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид: А/15 + 0,01. 8А/15 = А/15 . (1 + 0,08) = 1,08А/15. А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение: 1,08А/15 = 108, А=1500 (тыс. руб.) - исходная сумма долга. 2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту. Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид: (А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01. 14А/15) + (А/15 + 0,01. 13А/15) + … + (А/15 + 0,01. А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01. 120А)/15 = 1,08А. Значит, 1,08 . 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования. Ответ: 1620000 рублей. Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
1) Пусть А - сумма кредита, 1 % = 0,01. Тогда 1,01А долг после первого месяца. Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А. После чего сумма долга составит 1,01А - А/24 - 0,01А = А - А/24 = 23А/24. При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Через 2 месяца получаем: 1,01. 23А/24. Второй платеж А/24 + 0,01. 23А/24. Тогда долг после второго платежа 1,01. 23А/24 - А/24 - 0,01. 23А/24 = 23А/24(1,01 - 0,01) - А/24 = 23А/24 - А/24 = 22А/24. Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму: А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение: Ответ: 300000 рублей. Тип задания: 11 Елена сделала вклад в банк в размере 5500
рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2
рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам? Пусть процент годовых будет x
, тогда через год вклад Елены составил: 5500 + 0, 01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x)
рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2
рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x)
рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2
рубля. Составим и решим уравнение: 5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)=
739,2,
(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,
x^2+100x-1344=0,
x_1=-112,\enspace x_2=12.
Банк начислял 12%
годовых. Тип задания: 11 Предприниматель Петров получил в 2005
году прибыль в размере 12\,000
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110\%
по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008
год? В 2005
году прибыль составляла 12\,000
рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110\%
, то есть становилась 210\%
= 2,1
от предыдущего года. Через три года она будет равна 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132
рубля. Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 11 Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12\%
железа, второй — 28\%
железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2
кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21\%
. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Обозначим массу первого сплава через x
кг. Тогда масса второго сплава (x + 2)
кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x
кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2)
кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2
(кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1)
кг. Составим и решим уравнение: 0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),
6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),
X = 7.
Третий сплав имеет массу 2 \cdot 7 + 2 = 16
(кг). Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 11 Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000
рублей был продан спустя два квартала за 41 405
рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора. Цена телевизора первоначально была 50 000
руб. Через квартал она стала 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x)
рублей, где x
— количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала 50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.
Составим и решим уравнение: 50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,
(1-0,01x)^2=0,8281,
1-0,01x=0,91,
x=9.
Итак, на 9
процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально. Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 11 В 2005
году в посёлке проживало 55 000
человек. В 2006
году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6%
, а в 2007
году — на 10%
по отношению к 2006
году. Найдите, число жителей посёлка в 2007
году. В 2006
году число жителей посёлка выросло на 6%
, т.е. стало 106%
, что равно 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300
(жителей). В 2007
году число жителей посёлка выросло на 10%
(стало 110%
) по сравнению с 2006
годом, т.е. число жителей посёлка стало 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130
человек. Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 11 В 3
литрах 14%
-ного водного раствора содержится 3\cdot0,14=0,42
л. некоторого вещества. Добавили 4
литра воды, стало 7
литров раствора. В этих 7
литрах нового раствора — 0,42
л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7\cdot100=6
%
. Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 11 Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150
млн рублей. Первая фирма внесла 20%
уставного капитала, вторая фирма — 22,5
млн рублей, третья — 0,3
уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть. В этом уроке мы разберём, как решаются самые сложные задачи про кредиты из ЕГЭ по математике — в них неизвестно время. В первую очередь запомните формулу, связывающую общую сумму кредита, процент, срок и ежемесячные платежи: $C\cdot {{x}^{n}}=P\cdot \frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}$. Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платёж, а число $n$ — это срок, на который берётся кредит. Именно его мы сегодня и будем искать, для чего нам потребуется выполнить два шага: Решая эту задачу, всегда помните связь между сроком и размером ежемесячного платежа: Чем больше срок, тем меньше ежемесячный платёж. И наоборот: чем меньше срок, тем больше платёж. Кроме того, есть важное правило, которое позволит существенно сократить объём выкладок. Вместо того, чтобы искать значение, скажем${{1,03}^{7}}$, можно найти какую-нибудь промежуточную степень (всё, что больше куба, для этого числа уже считается проблематично), а затем продолжить работу с верхними и нижними оценками этого числа. Что это за оценки и как с помощью них решить задачу 17 вдвое быстрее — смотрите в видеоуроке.:) Сегодня мы разберем то, о чем я обещал поговорить еще в прошлом учебном году, когда мы впервые познакомились с задачами с экономическим содержанием из ЕГЭ по математике. Вообще, с момента появления этой задачи в Едином государственном экзамене прошло довольно много времени, и с тех пор такие задачи стали более разнообразными, чем изначально, однако самая сложная и часто встречающаяся задача осталась неизменной. Именно о ней мы сегодня и поговорим. А точнее, речь пойдет о самом сложном варианте этой задачи — о задаче на выплаты и кредиты, когда работает универсальная формула сложных процентов, выведенная в предыдущем видеоуроке, однако неизвестно в этот раз не кредит и не платеж, а именно время, на который взят этот самый кредит. Откуда берется эта формула расчета сложных процентов и как вообще все это работает, я подробно объяснял на предыдущем видеоуроке, поэтому если вы его не смотрели, очень рекомендую посмотреть. Однако из того же самого видеоурока возникла куча вопросов и, в частности, разбор самой сложной задачи мы оставили на потом. Именно этим мы сегодня и займемся. Прежде чем решать эту задачу, давайте запишем нашу классическую формулу расчета сложных процентов, а именно: Эту формулу мы выводили на одном из предыдущих видеоуроков, ее можно без всяких сомнений использовать на настоящем экзамене, при этом предварительно обосновав примерно так же, как это сделано в предыдущем видеоуроке. Итак, экономическая задача, в которой неизвестной искомой величиной является время: 1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,5 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 350 тыс. рублей? Итак, начинаем решать нашу задачу. Во-первых, выпишем все, что нам известно. Прежде всего, нам дан общий объем кредита: Кредит = 1 500 000 Известно, что ежемесячный платеж не должен превышать 350 тыс. рублей. Давайте так и запишем: Платеж = 350 000 Кроме того, известен процент. Мы знаем, что если 10% записать в виде коэффициента, то это будет: А то, что нам неизвестно, так это число $n$ в данном уравнении. Давайте подставим все, что мы знаем в формулу сложных процентов и посмотрим, что получится: Давайте введем замену: \[{{1,1}^{n}}=t\] В этом случае получим: Вспоминаем, что такое $t$. Нам предстоит решить следующее уравнение: \[{{1,1}^{n}}=1,75\] Если вы попытаетесь решить данное уравнение с помощью калькулятора, то у вас ничего не получится — числа будут либо больше, либо меньше, но точного значения вы не получите. Поэтому давайте еще раз вернемся к условию задачи и прочитаем, что ежемесячные платежи должны составить не более 350 тыс. рублей. Давайте задумаемся: чем на больший срок берется один и тот же кредит, тем меньшими являются ежемесячные платежи. А поскольку нам требуется, чтобы ежемесячные платежи были не более 350 тысяч рублей, то это значит, что срок должен быть не менее чем указанный. На самом деле, с учетом того, что точно этому сроку наше значение не может быть равно, мы получаем, что нам нужно решить не уравнение, а неравенство вида \[{{1,1}^{n}}>1,75\] Еще раз внимательно посмотрите на этот переход — это принципиально важный момент во всей задачи. Мы не можем подобрать точное натуральное значение $n$ такое, чтобы $1,1$ в этой степени давала $1,75$, поэтому теперь наша задача — найти минимальное натуральное $n$ такое, чтобы выполнялось это неравенство. Спрашивается: а почему минимальное? Ведь можно взять кредит на 100 лет и тогда уж точно все получится, т.е. ${{1,1}^{n}}$ будет больше, чем $1,75$. Однако нам в задаче требуется найти именно минимальное количество. Поэтому из всех таких $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, мы выберем наименьшее, а, по сути, мы сейчас сами найдем это самое наименьшее. Составим небольшую таблицу. И вот мы впервые превзошли искомые ограничения — $1,75$. Обратите внимание: пяти месяцев нам еще недостаточно, потому что коэффициент не достигнет желаемой величины, а шести месяцев уже достаточно, потому что он не только достигнет, но и превзойдет желаемую величину. Поэтому окончательный ответ — шесть месяцев. Как видите, в этом нет ничего сложного, даже если от нас требуется найти именно срок. Единственное, что нас могло смутить — довольно большой объем вычислений в самом конце, когда мы считали степени $1,1$. Однако неудивительно, так как это одна из самых последних и самых сложных задач из ЕГЭ по математике, поэтому если бы здесь было совсем все просто, то за нее не давали бы три первичных балла. Кроме того, хотел бы обратить ваше внимание на окончательное обоснование ответа. Напоминаю, что мы решаем задачу из второй части: здесь недостаточно написать ответ, а нужно предоставить полное и грамотное обоснование. Итак, возводя в степени, мы в определенный момент получаем такие значения: $1,61051$ и $1,771561$. Возникает вопрос: а почему мы выбрали второе число? Мы решаем данное неравенство, которое было обосновано ранее, и второе значение под наше неравенство уже подходит, потому что \[{{1,1}^{6}}=1,771561\] А в $1,75$во втором знаке стоит «пять», т.е. цифра меньше и, следовательно, это число меньше. А вот если мы попытаемся выбрать в качестве ответа пять месяцев и связанный с этим значением коэффициент $1,61051$, то нас этот вариант точно не устроит. Почему? Потому что если мы подставим его в исходную формулу сложных процентов и попытаемся по этим данным посчитать итоговый ежемесячный платеж, то он окажется больше, чем требуемые 350 тыс. рублей. Для того, чтобы успешно решить эту задачу, в том числе, когда требуется найти срок необходимо учесть два момента: 1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 220 тыс. рублей? На первый взгляд задача ничем не отличается от предыдущей. Разве что пенсионерка стала более разумной, поэтому взяла лишь 1,1 млн. и, кроме того, процент в месяц составляет лишь 3%, а не 10%, и ежемесячные платежи должны составлять не более 220 тыс. рублей. Вновь запишем нашу формулу сложных процентов: Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит. Давайте запишем известные данные: Кредит = 1100000 Платеж = 220000 Подставляем все эти данные в формулу. Вновь нам неизвестен срок, т.е. $n$: \[{{1,3}^{n}}=2\cdot \left(1,03-1 \right)\cdot \frac{10}{3}\left| 3 \right.\] Введем замену: \[{{1,03}^{n}}=t\] И вот тут мы натыкаемся на первую проблему, которой в предыдущей задачи не было: $\frac{20}{17}$ не переводится в «красивую» десятичную дробь, а нам нужна именно десятичная дробь, потому что когда мы сделаем таблицу, то будем возводить $1,03$ в разные степени, а она, будучи десятичной дробью в разных степенях, тоже будет давать десятичные дроби. На самом деле выход просто: просто разделим и оставим первые четыре знака: \[\frac{20}{17}=1,17647...\] Возвращаясь к нашей задаче, мы получим следующее: Приравняем обе части: \[{{1,03}^{n}}=1,17647...\] По аналогии с предыдущей задачей несложно заметить, что нет такого натурального $n$, чтобы $1,03$ в этой степени давало нам $1,17647...$, поэтому мы спокойно заменяем наше равенство знаком неравенства: \[{{1,03}^{n}}>1,17647...\] При этом при решении данного неравенства в ответ пойдет наименьшее $n$. Давайте снова составим таблицу, где слева мы снова будем писать месяцы, а справа — коэффициент: Мы столкнулись с еще одной проблемой: по мере роста номера месяца объем вычислений становится просто катастрофическим, поэтому дальнейшие вычисления нужно выполнять с помощью какого-то другого инструмента, иначе мы просто утонем в объеме выкладок. Эта проблема характерна для всех задач, в которых процент меньше десяти. Поэтому как только вы видите маленькие проценты, не думайте, что вам попалась легкая задача, наоборот — будут проблемы. Однако все эти проблемы легко решаются при помощи замечательного инструмента под названием «метод оценок». Сейчас я вам расскажу, что это такое и как его применять на примере данной задачи. Итак, нам необходимо найти четвертую, пятую и шестую степень числа $1,03$. Мы находили при помощи предыдущей, умножая ее на $1,03$. Однако уже на третьем шаге объем вычислений оказался достаточно большим. Поэтому чтобы не утонуть в вычислениях, выполним следующую манипуляцию: давайте посмотрим на числа, которые у нас получились при возведении в квадрат и в третью степень. Сначала рассмотрим, что получилось в квадрате: \[{{1,03}^{2}}=1,0609\] Давайте отсечем два знака после запятой и запишем просто $1,06$. То же самое сделаем с третьей степенью, в которой мы получили такое выражение: \[{{1,03}^{3}}=1,092727\] Отсечем два знака после запятой и получим $1,09$. В обоих случаях мы берем лишь первые два знака. Что нам это даст? Дело в том, что в любом случае $1,0609$, т.е. истинное значение второй степени будет больше, чем только что найденное значение: Аналогично можно сказать и про третью степень: А теперь возьмем и к этим числам в последнем разряде прибавим «единицу». Получим: Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что в первом случае А вот втором случае будет следующее неравенство: Давайте запишем вот так: Полученные значения называются верхней и нижней оценкой или округлением с недостатком и округлением с избытком. И вместо того, чтобы мучится с огромным объемом вычислений, мы будем просто перемножать эти числа. Каким образом и на каком основании? Давайте заметим следующее: \[{{1,03}^{4}}={{1,03}^{2}}\cdot {{1,03}^{2}}\] \[{{1,03}^{5}}={{1,03}^{3}}\cdot {{1,03}^{2}}\] \[{{1,03}^{6}}={{1,03}^{3}}\cdot {{1,03}^{3}}\] Давайте заполним таблицу до конца: Что дают нам все эти верхние и нижние оценки? Во-первых, существенно сокращается объем вычислений, а, во-вторых, давайте посмотрим на последние значения:\[{{1,1}^{2}}=1,21\] \[{{1,09}^{2}}=1,1881\] Что это значит? А то, что для $n=6$ мы уже точно превзойдем искомую величину. Мы уже знаем, что \[{{1,03}^{n}}=1,17647<1,1881<{{1,03}^{6}}<1,21\] В принципе, «шесть» нас уже устраивает — это кандидат в ответ. Но проблема в том, что в задаче от нас требуется найти минимальное количество месяцев. А что, если минимальное количество месяцев будет «пять»? Давайте посчитаем и повторим все те же вычисления для «пяти»: Но такие оценки нам ничего не дадут. Почему? Потому что если мы начертим числовую прямую и отметим на ней нижнюю и верхнюю оценки, то получим следующее: между $1,1554$ и $1,177$ находится ${{1,03}^{5}}$. Но также между ними есть и $1,17647$, которое мы должны превзойти. Если это число лежит правее $1,17647$, то нас все устраивает, и ответом будет «пять». Однако если оно будет левее, то «пять» нас не устраивает и ответом будет «шесть». Как же проверить, какое из чисел нас устраивает? К сожалению, в рамках верхних и нижних оценок, которые мы записали, ответить на этот вопрос невозможно – нам просто не хватает точности. Поэтому давайте еще раз выпишем значения для $n=2$ и $n=3$. Таким образом, какой бы не было $n$ в выражение ${{1,03}^{n}}$, оно в любом случае будет больше, чем $1,06\cdot 1,092$, но в любом случае меньше, чем $1,061\cdot 1,093$. Запишем вычисления: Это значит, что наши предположения верны. Искомое значение, если вновь попытаться начертить его на числовой прямой, будет снизу ограничено $1,1554$, а сверху —$1,159673$. Т.е. ${{1,03}^{5}}$ будет заведомо меньше, чем $1,159673$ и уж тем более меньше, чем $1,17647...$А это значит, что наше исходное предположение о том, что при $n=5$ мы уже превзойдем величину $1,17647...$ неверно. А это значит, что пятый месяц нас все еще не устроит. А вот шестой месяц, о котором мы сначала и подумали, действительно является таковым. Итого, окончательный ответ — шесть. Задача решена и полностью обоснована. Самое главное в это задаче — это понять, чем оценки отличаются от округления. Мы берем две цифры после запятой, отсекаем все, что идет после них, и записываем эти числа слева. Очевидно, что поскольку дальше идут какие-то цифры в настоящем числе, это число будет то, что мы получили слева (см. таблицу). Эти числа, которые находятся слева, и называются меньшими оценками. Затем к ним мы в самом последнем разряде (к последней цифре) прибавляем «единицу», и получаем число, на единицу большее в конце, например, было $1,06$ стало $1,07$ и т.д. Это будут верхние оценки. И далее, что бы мы не делали, какую бы степень и номер месяца не считали, все равно истинное значение нашей величины будет заключено между степенями верхней и нижней оценок. Но есть одна проблема: в определенный момент мы получаем, что и число, и искомая величина лежат в одних и тех же пределах. Пределы получены, разумеется, при вычислении степеней оценок. В нашей ситуации такая проблема возникла в вычислениях значения для пятого месяца: левая оценка дала нам $1,1554$, а правая — $1,177$. Между этими двумя числами лежит как искомая величина, которую мы не знаем, так и наше искомое значение, т.е. ${{1,03}^{n}}$. Выход из такой ситуации напрашивается сам собой: если нам не хватает точности, то необходимо просто увеличить точность исходных оценок, т.е. после запятой мы берем не две, а три цифры. Но поскольку нас интересуют, прежде всего, верхние оценки, мы увеличим каждое из этих чисел на единицу в разряде, запишем и перемножим. В результате мы получим следующее: новая верхняя оценка для нашего числа, для пятого месяца, будет лежать между $1,1554$ и $1,159673$. На самом деле, пятый месяц даст коэффициент, который будет находиться в вышеуказанном диапазоне, что явно меньше, чем искомая величина $1,174647...$ На первый взгляд может показаться, что сложность и объем всех этих вычислений будет существенно больше, чем если бы мы просто возвели числа в степень квадрат, куб и т.д. На самом деле это не так. Уже на третьей и четвертой степенях возникают большие числа, а до пятого и шестого месяца вы просто не дойдете. В качестве заключительного аккорда сегодняшнего видеоурока я хотел бы вам рассказать еще один довольно хитрый инструмент, который позволит еще с первого взгляда на задачу уже примерно оценить, какой месяц предстоит считать и какой месяц, скорее всего, является кандидатом в ответ. Давайте посмотрим на исходную формулу. Всего объем кредит, который предстоит выплатить, составляет 1,1 млн. при этом ежемесячно нужно выплачивать по 220 тыс. рублей. Давайте разделим общий размер задолженности на ежемесячный платеж. В этом случае мы получим количество месяцев, которые необходимо будет потратить на выплату кредита, если бы на нас не начислялись проценты. Однако сами по себе проценты невелики — в нашем случае всего 3% в месяц. Это значит, что вряд ли накопится задолженность еще больше, чем на один месяц и, следовательно, нужно прибавить к полученной величине еще единицу, и мы получим наиболее вероятный кандидат на ответ. В нашем случае, если 1,1млн. разделить на 220 тыс., то мы получим пять месяцев, но без учета начисленных процентов. Соответственно, еще один месяц потребуется на то, чтобы погасить проценты. И мы получим тот же самый ответ. Однако хочу вас предупредить, что ни в коем случае нельзя использовать этот прием как единственно возможное обоснование того ответа, который у вас получается в задаче! Потому что мы решаем одну из самых сложных задач ЕГЭ: там требуется привести не только ответ, но и все подробные выкладки и обоснования. Такой прием — это лишь подсказка для нас самих, для того, чтобы понимать, какие именно месяцы, какие именно степени считать. Дальнейшим шагом нужно доказать, что, например, число, равное пяти месяцам, нас не устраивает, а шести месяцев точно устраивает. Каким образом можно это сделать. Например, с помощью числовой прямой, более точных вычислений, метода оценок или как вам будет удобнее. В любом случае, мы с учениками недавно убедились, что эта подсказка существенно облегчает выкладки и хотя бы дает представление о том, каким должен быть ответ. Тренируйтесь, решайте задачи, оттачивайте навык с вычислением верхних и нижних оценок. Это далеко не последний урок на решение задач с экономическим содержанием, поскольку самих задач стало довольно много, и их условия стали более разнообразные. Поэтому оставайтесь с нами!2. Формула сложных процентов.
3. Задачи на проценты.
4. Использование формулы сложных процентов.
0,0625 . 100% = 6,25%
0,15 . х = 300;
х = 200.
480: 0,24= 2000 кг = 2 т
1 кг: 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг: 0,05=20 кг.
4 . 125 = 500 (руб.)
400 . 1,25 = 500 или 400 . 125/100 = 500.
400 руб. - 100 %
х руб. - 125 %, получим х = 125 . 400 / 100 = 500 (руб.)
х кг - 150 %, получим х = 57 . 150 / 100 = 85,5 (кг)
А - 100%
0,48А - х %, получим х = 0,48А. 100 / А = 48 (%).
8 . 100 = 800 (руб.) - стоил товар до распродажи.
680: 85 . 100 = 800 (руб.) или 680: 0,85 = 800 (руб.)
680 руб. - 85 %
х руб. - 100 %, получим х = 680 . 100 / 85 = 800 (руб.)
К = P/100%,
где К - концентрация вещества;
P - процентное содержание вещества (в процентах).
х = 33,75: 0,25;
х = 135 (кг) - требуется свежих фруктов.
I х 70% = 0,7 0,7 . х
II у 60% = 0,6 0,6 . у
вода 2 - -
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 . (х + у + 2)
III 2 90 % = 0,9 0,9 . 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 . (х + у + 2)
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.
5в/3 - 100%
3в/2 - х %, получим х = (3 . 100 . в.3)/(2 . 5 . в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.
5000 руб. - 100%
у руб. - (100 - х)%, получим у = 5000 . (100 - х) / 100 = 50 . (100 - х) рублей - стоимость товара после первого понижения.
50 . (100 - х) руб. - 100%
z руб. - (100 - х)%, получим z = 50 . (100 - х) (100 - х) / 100 = 0,5 . (100 - х)2 рублей - стоимость товара после второго понижения.
5000 . (1 - 0,01х)2 = 4050.
3000 . (1 + 0,01х)2 = 3630.
1 - (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.
А/24 +0,01А. 24/24 + А/24 + 0,01. 23А/24 + А/24 + 0,01. 22А/24 + … + А/24 + 0,01. 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей - планируется взять в кредит.
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Решение
Ответ
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Решение
Ответ
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Решение
Ответ
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Решение
Ответ
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Решение
Ответ
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Показать решение
Решение
Ответ
Тема:
Задачи на процентыУсловие
Самая сложная задача про кредиты из ЕГЭ
Формула сложных процентов в математике
Задача № 1
Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу вычисления сложных процентов
Шаг третий: находим наименьшее значение
месяц $\left(n \right)$
${{1,1}^{n}}$
1
1,1
2
1,21
3
1,331
4
1,4641
5
1,61051
6
1,771561
Нюансы решения
Задача № 2
Шаг первый: выписываем известные данные
Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу расчета сложных процентов
месяц $\left(n \right)$
${{1,03}^{n}}$
1
1,03
2
1,0609
3
1,092727
4
5
6
Шаг четвертый: находим верхнюю и нижнюю оценку, используя «метод оценок»
Шаг пятый: находим наименьшее значение
месяц $\left(n \right)$
${{1,03}^{n}}$
1
1,03
2
1,0609
3
1,092727
4
$1,06\cdot 1,06<*<1,07\cdot 1,07$
5
$1,06\cdot 1,09<*<1,07\cdot 1,1$
6
${{1,09}^{2}}<*<{{1,1}^{2}}$
Полезные советы при решении задач с использованием формулы сложных процентов
Как определить кандидата в ответ, исходя из условия задачи