Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.

На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .

М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.

Решение

Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).

Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.

Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.

Для участка с кольцевым сечением:

Для вала сплошного поперечного сечения

Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:

d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;

d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.

Наибольшее действующее на этих участках напряжение:

Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).

Определить из условий прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала. Схема нагружения вала дана на рис. 1.

Исходные данные:

Мкр=0,2 кН·м.

a=30 мм.; b=60 мм.; c=100 мм.

D1=70 мм.; D2=120 мм.

[?]p=120 МПа.

Требуется:

1. Вычертить в масштабе заданную схему вала с указанием размеров и величин нагрузок.

2. Определить окружные Р и радиальные усилия Т, приняв соотношение между ними Т=0.36Р.

3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

4. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Используя энергетическую теорию прочности, определить диаметры вала на отдельных участках и округлить их до стандартных размеров.

7. Вычертить эскиз.

1. Заданная схема вала представлена на рисунке 1.

2. Определим окружные Р и радиальные усилия Т.

Крутящий момент на валу вызывают силы Р1 и Р2.

Приведем силу P1 к центру тяжести сечения вала: тогда пара сил с моментом

вызывает кручение, а сила P - изгиб вала в вертикальной плоскости.

В свою очередь, пара сил с моментом М2 =Р2D2/2 вызывает кручение в противоположную сторону, а сила в центре тяжести сечения вызывает изгиб.

Найдем окружные силы Р1 и Р2:

Радиальные усилия Т определим по формуле:

3. Построим эпюры изгибающих моментов.

Эпюра от действия сил в горизонтальной плоскости.

Определим опорные реакции:

Проверка:

1-ый участок (0

при z=0,1 M=0,002 кН·м.

2-ой участок (0

M=RB·(0,1+z)+Т2·z.

при z=0 M=0,002 кН·м, при z=0,06 M=0,043 кН·м.

3-ий участок (0

при z=0,03 M=0,043 кН·м.

Эпюра от действия сил в вертикальной плоскости.

Проверка:

Строим эпюру изгибающих моментов.

1-ый участок (0

при z=0,1 M=0,25 кН·м.

2-ой участок (0

M=RB·(0,1+z)-Р2·z.

при z=0 M=0,25 кН·м

при z=0,06 M=0,2 кН·м.

3-ий участок (0

при z=0,03 M=0,2 кН·м.

Построим эпюру суммарных изгибающих моментов. Для этого нужно рассмотреть несколько сечений вала и определить в них суммарный изгибающий момент по формуле:

Отсюда получаем:

Моменты внутренних сил или крутящих моментов находят методом сечений. Сначала разбивают вал на участки (между соседними шкивами)

затем на каждом участке выбирают произвольное сечение. Крутящий момент в этом сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Знак крутящего момента определяют по знаку внешних моментов: положительным считается направление против движения часовой стрелки при взгляде на сечение вала вдоль его оси. При этом можно рассматривать любую часть вала по одну сторону от сечения.

1) Для вала на рис.2 крутящие моменты по участкам:

1-ый участок:

2-ой участок:

М=0,2 кН·м.

3-ий участок:

Полученные эпюры изображены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Для подбора сечения применяем энергетическую гипотезу прочности:

Принимаем d1=70 мм., d2=120 мм.

Задание 4

Для стального вала постоянного поперечного сечения

1. Определить значение моментов М 1 , М 2, М 3 , М 4 ;

2. Построить эпюру крутящих моментов;

3. Определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, приняв поперечное сечение вала - круг

Р 1 = 50 кВт

Р 3 = 15 кВт

Р 4 = 25 кВт

w = 18 рад/сек

w = n = = 30*18/3.14 = 172 об/мин

[ц 0 ] =0,02 рад/м - угол закручивания

G = 8*10 4 Мпа

Определяем внешние моменты:

М 1 = 9550 = 9550 = 2776 Hм = 2,8 кНм;

М 3 = 9550 = 9550 = 832,8 Hм = 0,83 кНм;

М 4 = 9550 = 9550 = 1388 Hм = 1,4 кНм;

Запишем уравнение статики:

УМ = М 1 + М 3 - М 2 + М 4 = 0

И из него найдем величину момента М 2:

М 2 = М 3 + М 1 + М 4 = 832,8 +2776 +1388 = 4996,8 Hм = 5 кНм;

Прежде всего строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов по участкам следующие:

Т 1 = -М 1 = -2,8кНм;

Т 2 = -М 1 - М 3 = -2,8 - 0,83 = - 3,63 кНм;

Т 3 = -М 1 - М 3 + М 2 = -3,63 + 5 = 1,37 кНм.

Строим эпюры:

Вал разбивается на три участка I, II, III.

Находим полярный момент сопротивления вала, требуемый по условию прочности:

W p = = = 121 10 -6 м 3 = 121 см 3

Диаметр сплошного вала определяем с помощью формулы:

W p 0.2d c 3 = 121 cм 3 ,

d c 3 = = 8.46 см 9 см = 90 мм.

Затем рассчитываются диаметры по участкам вала из условия жесткости, т.е. с использованием формулы

d жест1 = = 0,1 м = 100 мм

d жест2 = = 0,1068 м = 107 мм

d жест1 = = 0,0837 м = 84 мм

В качестве окончательных следует выбрать наибольшие значения диаметров, рассчитанные из условия жесткости. Таким образом, окончательный размер диаметра вала таков: d 1 = 107 мм.

Из стандартного ряда: d 1 = 120 мм

Задание 5

На вал жестко насажены шкив и колесо,

Определить силы F 2 .F 2r = 0.4 F 1 если значение силы F 1 задано

Представим физическую систему:

Задачу решаем в следующей последовательности:

1. изображаем на рисунке тело, равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными и реактивными силами и выбираем систему осей координат;

2. из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось, определяем значения сил F 2 , F r2 ;

3. составляем шесть уравнений равновесия;

4. решаем уравнения и определяем реакции опор;

5. проверяем правильность решения задачи.

1. Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат

Рассмотрим систему сил, действующую в системе

Определяем составляющие нагрузки со стороны шкива

Р 1 = (2F 1 + F 1) = 3 F 1 = 3*280 = 840 Н = 0.84 кН

2. Определяем F2 и Fr2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

F 2 = = = 507.5 H

F r2 = 0.4F 2 = 0.4*507.5 = 203 H

3. Составляем шесть уравнений равновесия:

УY = -Р 1 - F 2 + A y + B y = 0 (1)

УX = -F 2r + A х + B х = 0 (2)

УМ yС = -Р 1 * 32 + А у * 20 - В у * 10 = 0 (3)

УМ yВ = - Р 1 * 42 + А у * 30 - F 2 * 10 = 0 (4)

УМ xC = А x * 20 - В x * 10 = 0 (5)

УМ хВ = А x * 30 + F 2r * 10 = 0 (6)

Рассмотрим уравнения (3) и (4)

840 * 32 + А у * 20 - В у * 10 = 0

840 * 42 + А у * 30 - 507,5 *10 = 0

Из последнего уравнения:

А у = 40355/30 = 1345 Н

Из первого уравнения:

26880 + 26900 = 10*В у? В у = 20/10 = 2 Н

Рассмотрим уравнения (5) и(6)

А x * 20 - В x * 10 = 0

А x * 30 + 203* 10 = 0

Из последнего уравнения А х = 2030/30 = 67,7 Н

Из первого уравнения: 1353,3 = 10*В у? В у = 1353/10 = 135,3 Н

Проверку произведем по уравнениям (1) и (2):

УY = -840 - 507,5 + 1345 + 2 = 0

УX = -203 + 67,7 + 135,3 = 0

Расчеты произведены верно. Окончательно реакции опор А и В:

А = = = 1346,7 Н

В = = = 135,3 Н

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

в) расчет по несущей способности - определить максимально допустимый крутящий момент.

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение, например по формуле (5.9), ;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать вы­ражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

Для кольцевого сечения

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость.

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания , был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

Из условия прочности можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

Но Wp = 0,2d 3 , поэтому

Из формулы (5.11) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения I p будет выглядеть следующим образом:

но I p = 0,1d 4 , поэтому

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (5.12) и (5.13), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего d вн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = d вн /d , формулы (5.12) и (5.13) принимают вид:

Пример 4.

Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N =450 л.с. при частоте вращения n =300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала; МПа, МПа.

Решение.

Крутящий момент определяем из уравнения

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

Выбираем больший размер 0,112 м.

Пример 5.

Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающих одинаковый крутящий момент; один из них сплошной, а другой полый с коэффициентом полости . Во сколько раз сплошной вал тяжелее полого?

Решение.

Равнопрочными валами из одинакового материала считаются такие валы, у которых при одинаковых крутящих моментах, возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, то есть

Условие равной прочности переходит в условие равенства моментов сопротивления:

Откуда получаем:

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

Подставляя в это уравнение отношение диаметров из условия равной прочности, получим

Как показывает этот результат, полый вал, будучи одинаковым по прочности, вдвое легче сплошного. Это объясняется тем, что в силу линейного закона распределения касательных напряжений по радиусу вала, внутренние слои относительно мало нагружены.

Пример 6.

Найти мощность в квт, передаваемую валом, если диаметр сплошного вала d=0,15 м, число оборотов вала в минуту n=120, модуль сдвига и угол закручивания участка вала длиной 7,5 м равен 1/15 ра­диан.

Решение.

Из формулы

Определим передаваемую мощность

Пример 7.

Определить, на сколько процентов увеличится на­ибольшее напряжение вала при кручении, если в валу сделано центральное отверстие (С=0,4).

Решение.

Полагая , полу­чим следующие выражения для напряжений сплошного и полого валов:

Искомая разница в напряжениях

Пример 8.

Заменить сплошной вал диаметра d =300 мм по­лым равнопрочным валом с наружным диаметром =350 мм. Найти внутренний диаметр полого вала и сравнить веса этих валов.

Решение.

Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равными между собой:

Отсюда определим коэффициент С

Внутренний диаметр полого вала

Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:

Из приведенных примеров 5 и 6 видно, что изготовление пусто­телых валов, т.е. валов, у которых малонагруженная внутренняя часть удаляется, является весьма эффективным средством сниже­ния затраты материала, а следовательно, и облегчения веса валов. При этом наибольшие напряжения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются от максимальных напряжений в валу сплошного сечения при том же наружном диаметре.

Так в примере 5 за счет сверления при , да­ющем облегчение вала на 16%, максимальные напряжения в наруж­ных волокнах полого вала возросли всего на 2,6%. В примере 6 равнопрочный пустотелый вал, но с несколько большим наружным диаметром по сравнению со сплошным валом, оказался легче сплошного на 53,4%. Эти примеры наглядно свидетельствуют о рацио­нальности применения пустотелых валов, что широко используется внекоторых областях современного машиностроения, в частности, в моторостроении.

Пример 9.

На участке сплошного круглого вала D =10 см действует крутящий момент Т =8 кHм. Проверить прочность и жёсткость вала, если τ adm =50 МПа, К t adm =0,5 град/м и модуль сдвига G =0,8∙10 5 МПа.

Решение.

Условие безопасной прочности

Выразив K t в размерности град/м, получим

что превышает величину допускаемого относительного угла закручивания K t adm =0,5 град/м на 16%.

Следовательно – прочность вала обеспечена τ м ax =40,75 МПа < 50 МПа, а жёсткость не обеспечена.

Пример 10.

Стальной вал кольцевого сечения D =10 см, d =8 см нагружен моментом, вызвавшим τ мах =τ adm =70 МПа. Что произойдёт, если этот вал заменить сплошным круглым валом диаметром 8 см (материал сохранён).

Решение.

Максимальные касательные напряжения в вале

Для кольцевого сечения а для вала сплошного сечения . По условию для вала кольцевого сечения τ мах =70 МПа, очевидно, что для вала сплошного сечения максимальные напряжения будут больше во столько раз, во сколько его момент сопротивления меньше.

Пример 11.

Для сплошного вала (пример 10) определить появились ли пластические деформации, если известно, что n adm =1,8?

Решение.

Для пластичных материалов n adm =τ max /τ adm , следовательно τ у =70∙1,8=126 Мпа.

Действующие напряжения превысили предел текучести, следовательно появились пластические деформации.

Пример 12.

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М 1 , M 2 , M 3 , M 4 . Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М 1 = М 3 = 2 кНм, М 2 = М 4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, = 80 МПа.

Рис.5.10

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр М кр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД ):

II участок (СД ):

III участок (СВ ):

IV участок (ВА ):

По значению этих моментов строим эпюру М кр в выбранном масштабе. Положительные значения М кр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (см. рис.5.11). мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига материала трубы