Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Салтыковская средняя общеобразовательная школа

Ртищевского района Саратовской области»

Мастер – класс по математике

в 11 классе

по теме

«ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ»

Провела учитель математики

Белоглазова Л.С.

2012-2013 учебный год

Цель мастер – класса : развивать у учащихся навыкиприменения теоретических знаний по теме «Производная функции» для решения задач единого государственного экзамена.

Задачи

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме

«Производная функции», рассмотреть прототипы задач ЕГЭ по данной теме, предоставить обучающимся возможность проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Развивающие: способствовать развитию памяти, внимания, навыков самооценки и самоконтроля; формированию основных ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов, способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости, контролировать и оценивать свою деятельность, находить и устранять причины возникших трудностей).

Воспитательные: способствовать:

формированию у учащихся ответственного отношения к учению;

развитию устойчивого интереса к математике;

созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики.

Технологии : индивидуально–дифференцированного обучения, ИКТ.

Методы обучения : словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, в парах.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран, ПК для каждого ученика, тренажёр (Приложение №1), презентация к уроку (Приложение №2), индивидуально – дифференцированные карточки для самостоятельной работы в парах (Приложение №3), список сайтов сети Интернет, индивидуально-дифференцированное домашнее задание (Приложение №4).

Пояснение к мастер - классу. Данный мастер – класс проводится в 11 классе с целью подготовки к ЕГЭ. Нацелен на применение теоретического материала по теме «Производная функции» при решении экзаменационных задач.

Продолжительность мастер – класса – 30 мин.

Структура мастер - класса

I .Организационный момент -1 мин.

II .Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности-1 мин.

III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ». Анализ работы с тренажёром - 6 мин.

IV .Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка - 7 мин.

V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5 ЕГЭ

3 мин.

VI .Оn – line тестирование. Анализ результатов тестирования - 9 мин.

VII . Индивидуально – дифференцированное домашнее задание -1 мин.

VIII .Оценки за урок - 1 мин.

IX .Итог урока. Рефлексия -1 мин.

Ход мастер - класса

I.Организационный момент.

II.Сообщение темы, цели мастер - класса, мотивация учебной деятельности.

(Слайды 1-2,пр иложение №2)

Тема нашего занятия «Производная функции в заданиях ЕГЭ». Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Тема «Производная» представлена в заданиях части В (В8, В14) единого государственного экзамена. Некоторые задания С5 также можно решить с применением производной. Но для решения этих задач требуется хорошая математическая подготовка и нестандартное мышление.

Вы работали с документами, регламентирующими структуру и содержание контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике 2013. Сделайте вывод о том, какие знания и умения вам нужны для успешного решения задач ЕГЭ по теме «Производная» .

(Слайды 3-4, п риложение №2)

Мы изучили «Кодификатор элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ для составления контрольных измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена»,

«Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников», «Спецификацию контрольных измерительных материалов», «Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013» и выяснили, какие знания и умения о функции и её производной нужны для успешного решения задач по теме «Производная».

Необходимо

• ЗНАТЬ

п равила вычисления производных;

производные основных элементарных функций;

геометрический и физический смысл производной;
уравнение касательной к графику функции;
исследование функции с помощью производной.

УМЕТЬ

выполнять действия с функциями (описывать по графику поведение и свойства функции, находить её наибольшее и наименьшее значения).

ИСПОЛЬЗОВАТЬ

приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Вы владеете теоретическими знаниями по теме «Производная». Сегодня мы будем УЧИТЬСЯ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕГЭ. ( Слайд 4, приложение №2)

Ведь недаром Аристотель говорил, что “УМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ НЕ ТОЛЬКО В ЗНАНИИ, НО И В УМЕНИИ ПРИМЕНЯТЬ ЗНАНИЯ НА ПРАКТИКЕ” ( Слайд 5, приложение №2)

В конце урока мы вернёмся к цели нашего занятия и выясним, достигли ли её?

III . Фронтальная работа. Тренинг «Задания В8 ЕГЭ» (Приложение №1) . Анализ работы с тренажёром.

Выберите правильный ответ из четырёх предложенных.

В чём, по вашему мнению, заключается сложность выполнения задания В8?

Как вы думаете, какие типичные ошибки допускают выпускники на экзамене при решении этой задачи?

При ответах на вопросы задания В8 вы должны уметь описывать по графику производной поведение и свойства функции, а по графику функции – поведение и свойства производной функции. А для этого нужны хорошие теоретические знания по следующим темам: «Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Применение производной к исследованию функций».

Проанализируйте, какие задания вызвали у вас затруднения?

Какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

IV . Индивидуально - дифференцированная работа в парах. Самостоятельное решение задач В14. Взаимопроверка. (Приложение №3)

Вспомните алгоритм решения задач (В14 ЕГЭ) на нахождение точек экстремума, экстремумов функции, наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке с помощью производной.

Решите задачи с помощью производной.

Перед учащимися поставлена проблема:

«Подумайте, можно ли решить некоторые задачи В14 другим способом, без применения производной?»

1 пара (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.)

1)В14. Найдите точку минимума функции у =10х-ln (х+9)+6

2)В14. Найдите наибольшее значение функции y =

- Попытайтесь решить вторую задачу двумя способами.

2 пара (Санинская Т., Сазанов А.)

1)В14. Найдите наименьшее значение функции у=(х-10) на отрезке

2)В14. Найти точку максимума функции у= -

(Учащиеся защищают своё решение, записывая основные этапы решения задач на доске. Учащиеся 1 пары (Лукьянова Д., Гаврюшина Д.) предоставляют два способа решения задачи №2).

Разрешение проблемы. Вывод, который должны сделать учащиеся:

«Некоторые задачи В14 ЕГЭ на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции можно решить без применения производной, опираясь на свойства функций».

Проанализируйте, какая ошибка была допущена вами в задаче?

Какие теоретические вопросы вам необходимо повторить?

V . Проверка индивидуального домашнего задания. Задача с параметром С5(ЕГЭ) (Слайды 7-8, приложение №2 )

Лукьяновой К. было дано индивидуальное домашнее задание: из пособий по подготовке к ЕГЭ выбрать задачу с параметром (С5) и решить её с помощью производной.

(Учащаяся приводит решение задачи, опираясь на функционально - графический метод, как один из методов решения задач С5 ЕГЭ и даёт краткое объяснение данного метода).

Какие знания о функции и её производной необходимы при решении задач С5 ЕГЭ?

V I. Оn – line тестирование по заданиям В8, В14. Анализ результатов тестирования.

Сайт для тестирования на уроке:

Кто не допустил ошибок?

Кто испытывал трудность при тестировании? Почему?

В каких заданиях допущены ошибки?

Сделайте вывод, какие теоретические вопросы вам необходимо знать?

VI I. Индивидуально – дифференцированное домашнее задание

(Слайд 9, приложение №2 ), (Приложение №4).

Я подготовила список сайтов сети интернет для подготовки к ЕГЭ. Вы можете также проходить на этих сайтах О n – line тестирование. К следующему уроку вам нужно: 1) повторить теоретический материал по теме «Производная функции»;

2) на сайте «Открытый банк заданий по математике» ( ) найти прототипы заданий В8 и В14 и решить не менее 10 задач;

3) Лукьяновой К., Гаврюшиной Д. решить задачи с параметрами. Остальным учащимся решить задачи 1-8 (вариант 1).

VI II. Оценки за урок.

Какую оценку за урок ты бы себе поставил?

Как ты думаешь, можно было бы тебе работать на уроке лучше?

IХ. Итог урока. Рефлексия

Подведем итог нашей работы. Какова была цель урока? Как вы считаете, достигнута ли она?

Посмотрите на доску и одним предложением, выбирая начало фразы, продолжите предложение, которое вам больше всего подходит.

Я почувствовал…

Я научился…

У меня получилось …

Я смог…

Я попробую …

Меня удивило, что …

Мне захотелось…

Можете ли вы сказать, что в ходе урока произошло обогащение запаса ваших знаний?

Итак, вы повторили теоретические вопросы о производной функции, применили свои знания при решении прототипов заданий ЕГЭ (В8, В14), а Лукьянова К. выполнила задачу С5 с параметром, которая является задачей повышенной степени сложности.

Мне приятно было с вами работать, и надеюсь, что знания, полученные на уроках математики, вы сможете успешно применить не только при сдаче ЕГЭ, но и в дальнейшей своей учёбе.

Закончить урок мне хотелось бы словами итальянского философа Фомы Аквинского «Знание – столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника» (Слайд 10, приложение №2).

Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ!

Начальный уровень

Производная функции. Исчерпывающее руководство (2019)

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось направить вдоль дороги горизонтально, а - вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось - это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим (читается «дельта икс»).

Греческую букву (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть - это изменение величины, - изменение; тогда что такое? Правильно, изменение величины.

Важно: выражение - это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции, то как мы обозначим подъем? Конечно, . То есть, при продвижении вперед на мы поднимаемся выше на.

Величину посчитать легко: если в начале мы находились на высоте, а после перемещения оказались на высоте, то. Если конечная точка оказалась ниже начальной, будет отрицательной - это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на км дорога поднимается вверх на км. Тогда крутизна в этом месте равна. А если дорога при продвижении на м опустилась на км? Тогда крутизна равна.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец - через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно - ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра - более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого , то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на - и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина бесконечно мала, пишем так: (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому - бесконечно большое (). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при, и наоборот: при.

Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна - это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое - не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, . То есть одна малая величина может быть ровно в раза больше другой.

К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент () при продвижении вдоль оси, называется приращением аргумента и обозначается То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси на расстояние, называется приращением функции и обозначается.

Итак, производная функции - это отношение к при. Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: или просто. Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

так как приращение такой функции равно нулю при любом.

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси:

Но большие отрезки - признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси, то есть разность высот на его концах равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее - убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает - в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа - возрастает):

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой. Значение функции в ней равно. Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату на. Чему теперь равен аргумент? Очень легко: . А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: . А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

Потренируйся находить приращения:

1. Найди приращение функции в точке при приращении аргумента, равном.
2. То же самое для функции в точке.

Решения:

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале - крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем - в любой степени: .

Простейший случай - это когда показатель степени:

Найдем ее производную в точке. Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с до. Каково приращение функции?

Приращение - это. Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

Производная равна:

Производная от равна:

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (): .

А теперь вспомним, что. Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

Итак, у нас родилось очередное правило:

c) Продолжаем логический ряд: .

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

И снова вспомним, что. Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими:

Получаем: .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

(2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

1. (двумя способами: по формуле и используя определение производной - посчитав приращение функции);

1. . Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему « »!
   Да-да, корень - это тоже степень, только дробная: .
   Значит, наш квадратный корень - это всего лишь степень с показателем:
   .
   Производную ищем по недавно выученной формуле:

   Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему « »!!! (про степень с отрицательным показателем)

2. . Теперь показатель степени:

   А теперь через определение (не забыл еще?):
   ;
   .
   Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим:
   .

3. . Комбинация предыдущих случаев: .

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При выражение.

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при функция не существует - точка на графике выколота. Но чем ближе к значению, тем ближе функция к. Это и есть то самое «стремится».

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

и т.д. Видим, что чем меньше, тем ближе значение отношения к.

a) Рассмотрим функцию. Как обычно, найдем ее приращение:

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему « »): .

Теперь производная:

Сделаем замену: . Тогда при бесконечно малом также бесконечно мало: . Выражение для принимает вид:

А теперь вспоминаем, что при выражение. А также, что если бесконечно малой величиной можно пренебречь в сумме (то есть при).

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу :

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти - самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

1. Найди производную функции в точке;
2. Найди производную функции.

Решения:

1. Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо его значение:
   ;
   .
2. Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
   нормальному виду:
   .
   Отлично, теперь можно использовать формулу:
   .
   .
3. . Ээээээ….. Что это????

Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом равна значению самой функции при этом же. Называется она «экспонента», и является показательной функцией

Основание этой функции - константа - это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой.

Итак, правило:

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

1. Найди производную функции.
2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

1. в точке;
2. в точке;
3. в точке;
4. в точке.

Решения:

1. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

1. Найдите производные функций и;
2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для первого примера, .

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
   А исходная функция является их композицией: .
2. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
3. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
4. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
5. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы все просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трехуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

Цели урока:

Учебные: Повторить теоретические сведения по теме «Применение производной» обобщить, закрепить и улучшить знания по данной теме.

Научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач.

Рассмотреть методы решения заданий ЕГЭ, связанные с понятием производной базового и повышенного уровня сложности.

Воспитательные:

Обучение навыкам: планирование деятельности,работы в оптимальном темпе,работы в группе, подведение итогов.

Развивать умение оценивать свои способности,умение контактировать с товарищами.

Воспитывать чувства ответственности и сопереживания.Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения.. относится к мнению одноклассников.

Развивающие: Уметь оформлять ключевые понятия изучаемой темы. Развивать навыки работы в группе.

Тип урока: комбинированный:

Обобщение,закрепление навыков применение свойств элементарных функций,применение уже сформированных знаний, умений и навыков применение производной в нестандартных ситуациях.

Оборудования: компьютер,проектор,экран,раздаточный материал.

План урока:

1. Организационная деятельность

Рефлексия настроения

2. Актуализация знаний учащегося

3. Устная работа

4. Самостоятельная работа в группах

5. Защита выполненных работ

6. Самостоятельная работа

7. Домашние задание

8. Итог урока

9. Рефлексия настроения

Ход урока

1. Рефлексия настроения.

Ребята,доброе утро.Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение солнца)!

А какое у вас настроение?

У вас на столе лежат карточки с изображениями солнца,солнце за тучей и тучи.Покажите какое у вас настроение.

2. Анализируя результаты пробных экзаменов,а так же результаты итоговой аттестации последних лет,можно сделать вывод о том,что с заданиями математического анализа,из работы ЕГЭ справляются не более 30%-35% выпускников.Вот и в нашем классе по результатам тренировочных и диагностических работ верно выполняют их не все. Этим и обусловлен наш выбор.Будем отрабатывать навык применения производной при решении задач ЕГЭ.

Помимо проблем итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения,в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы дальнейшем,насколько оправданы как затраты времени,так и здоровья на изучение этой темы.

Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем ее? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?

Сообщение ученицы 3 минуты -

3. Устная работа.

4. Самостоятельная работа в группах (3 группы)

Задание 1 группы

) В чем заключается геометрический смысл производной?

2) а) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

б) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ 1 группы:

1) Значение производной функции в точке x=x0 равно условному коэффициэнту касательной,проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0.Нулевой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной (или, другими словами) тангенсу угла образованного касательной и.. направлением оси Оx)

2) А)f1(x)=4/2=2

3) Б)f1(x)=-4/2=-2

Задание 2 группы

1) В чем заключается физический смысл производной?

2) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)=-t2+8t-21, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t -время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3 с.

3) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= ½*t2-t-4, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Ответ 2 группы:

1) Физический (механический) смысл производной состоит в следующем.

Если S(t) закон прямоленейного движения тела,то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

Задание 3 группы

1) Прямая y= 3x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+2x-7. Найдите абсциссу точки касания.

2) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(x) положительна.

Ответ 3 группы:

1) Т.к прямая y=3x-5 паралельна касательной то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямойy=3x-5,т.е, k=3.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) Целые точки -это точки с целочисленными значениями абсцисс.

Производная функция f(x) положительна,если функция возрастает.

Вопрос:Что вы можете сказать о производной функции,которую описывает поговорка «Чем дальше в лес,тем больше дров»

Ответ: Производная положительна на всей области определения,т.к эта функция - монотонно возрастает

6. Самостоятельная работа (на 6 вариантов)

7. Домашнее задание.

Тренировочная работа Ответы:

Итог урока.

«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись - радовать глаз, поэзия - пробуждать чувства, философия - удовлетворять потребности разума, инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей.»

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!