Любая статистическая совокупность состоит из единиц, значения признака которых варьируют. Для того, чтобы судить об однородности совокупности и типичности средней величины изучаемого признака, анализ следует дополнять исчислением показателей вариации.

Вариация - это колеблемость, многообразие, изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности.

К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации - характеристика границ вариации изучаемого признака. Показывает, сколь велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака, основан на крайних значениях варьирующего признака и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Определяется по формуле:

R=Xmax-Xmin, (5.4)

где Xmax - максимальное значение вариационного ряда;

Xmin - минимальное.

Среднее линейное отклонение показывает, на какую величину отклоняется признак в изучаемой совокупности от средней величины признака. Находится по формуле:

где - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); - частоты, веса; - среднее значение варьирующего признака;

Дисперсия - средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней величины. Вычисляется по следующим формулам.

Первый способ определения дисперсии:

Второй способ определения дисперсии (по средней арифметической):

где - средняя из квадратов индивидуальных значений; - квадрат средней величины признака.

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Показывает, на какую величину в среднем значение признака отличается от стандартного значения, определяется по формуле:

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

Рассчитаем показатели вариации для группировки транспортных организаций по грузообороту автомобильного транспорта (таблица 5.1).

Найдем размах вариации (по формуле 5.4):

Разброс значений грузооборота транспорта общественного пользования достаточно высок.

Вычислим среднее линейное отклонение (по формуле 5.5):

Значения грузооборота автомобильного транспорта отличались от среднего значения на 508,8 млн. т. км.

Рассчитаем дисперсию двумя способами (по формулам 5.6 - 5.7). Первый способ:

Вычислим среднее квадратическое отклонение (по формуле 5.8):

Это значит, что грузооборот транспорта общественного пользования в среднем отличается от стандартного значения на 23,68 млн. т. км.

Найдем показатели вариации для группировки площадей жилых помещений (таблица 5.3), используя формулы 5.4 - 5.8

Вычислим размах вариации:

Размах вариации в 3,1 м2 показывает нам, что разброс значений площадей жилых помещений не очень высок.

Рассчитаем среднее линейное отклонение:

Таким образом, значения площадей жилых помещений в изучаемой совокупности отклоняются от средней величины на 1,19 м2.

Рассчитаем дисперсию двумя способами.

Первый способ:

Второй способ (по средней арифметической):

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

Оно показывает, что значения площадей жилых помещений в среднем отличается от стандартного значения на 1,3 м2 .

Коэффициенты вариации

Вариация измеряется с помощью относительных величин, называемых коэффициентами вариации и определяемых в виде отношения среднего отклонения к средней величине. Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 100% и чем ближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистические данные. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации:

где - среднее квадратическое отклонение, - средняя арифметическая.

Линейный коэффициент вариации:

где - среднее линейное отклонение.

Коэффициент осцилляции:

где - размах вариации.

Вычислим коэффициенты вариации для группы организаций по грузообороту автомобильного транспорта (таблица 5.1) по формулам 5.9, 5.10, 5.11

Коэффициент вариации будет равен: , что превышает 33%, следовательно, совокупность неоднородна.

Вычислим линейный коэффициент вариации: . Следовательно, доля усредненного значения абсолютных отклонений организаций от средней величины равна 30,7%

Найдем коэффициент осцилляции: . Из этого следует, что разница между максимальным и минимальным значениями организаций превышает среднее значение почти в 1,078 раз.

Определим коэффициенты вариации для группировки площадей жилых помещений (в среднем на одного жителя) (таблица 5.3).

Вычислим коэффициент вариации по формуле (5.9):

Это значит что коэффициент вариации не превышает 33%, следовательно, совокупность однородна.

Рассчитаем линейный коэффициент вариации по формуле (5.10):

Это значит, что доля усредненного значения абсолютных отклонений площадей жилых помещений от средней величины равна 5,56%.

Найдем коэффициент осцилляции по формуле (5.11):

Разница между максимальным и минимальным значениями площадей жилых помещений не превышает среднее значение.

Коэффициент вариации – это один из наиболее применимых в финансовой сфере статистических коэффициентов. Расскажем, как рассчитать коэффициент вариации и чем он может пригодиться финансовому директору.

Что такое коэффициента вариации и зачем он нужен

Коэффициент вариации (Coefficient of variation, или CV) – это мера относительного разброса случайной величины. Он показывает, какую долю составляет средний разброс случайной величины от среднего значения этой величины.

В общем случае коэффициент вариации используют для определения дисперсии значений без привязки к масштабу измеряемой величины и единицам измерения. Коэффициент вариации входит в группу относительных методов статистики, измеряется в процентах и поэтому его можно использовать для сравнения вариации нескольких не связанных между собой процессов и явлений.

Использование коэффициента вариации в финансовом моделировании

Коэффициент вариации является лидером среди вариационных статистических методов, которые используют финансовые и инвестиционные аналитики.

Аналитики используют коэффициент:

1. Для определения устойчивости прогнозной модели.
2. Для сравнения нескольких прогнозных моделей (в основном инвестиционных) с разными абсолютными уровнями дохода и риска.
3. Для проведения XYZ анализа.

Формула расчета коэффициента вариации

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

где CV – коэфф вариации,

σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины,

tср – среднее значение случайной величины.

Формула коэффициента вариации для инвестиционных финансовых моделей:

где NPV – чистый приведенный доход.

Формула коэффициента вариации для инвестиций в ценные бумаги:

где:%год – доходность по ценной бумаге в % годовых.

Коэффициент вариации в Excel

=СТАНДОТКЛОНПА(диапазон значений)/СРЗНАЧ (диапазон значений)

Или с использованием встроенного пакета «Анализ данных».

Анализ коэффициента вариации

Коэффициент вариации более универсален, в отличие от дисперсии и среднеквадратического отклонения, потому что позволяет сопоставлять риск и доходность двух и более активов, которые могут существенно отличаться. Правда, у метода оценки пары доходность/риск с помощью коэффициента вариации есть ограничения. Если ожидаемая доходность стремится к нулю, то значение коэффициента вариации стремится к бесконечности. И даже незначительное изменение ожидаемой доходности проекта (или ценной бумаги) приводит к значительному изменению коэффициента, что необходимо учитывать при обосновании инвестиционных решений.

• меньше 10%, то степень риска проекта является незначительной,
• от 10% до 20% – средней,
• больше 20% – значительной,
• если значение коэффициента вариации больше 33%, то финансовая модель считается неоднородной, неустойчивой. По ней нельзя принимать объективных инвестиционных решений

Примеры расчета коэффициента вариации в Excel

Пример 1

Первый – открытие сети розничных точек для торговли ювелирными изделиями в Москве и Санкт-Петербурге.

Второй – открытие сети розничных точек по всей России в городах-миллионниках.

Финансовый аналитик предприятия составил финансовые модели обоих проектов в Excel и по модели Монте-Карло сделал по 5000 прогонов для NPV в каждом проекте (см. также, как создать наглядную финансовую модель в Excel ). Далее с помощью пакета анализа «Анализ данных» получил следующие статистические показатели (см. таблицы 1 и 2).

Таблица 1 . Показатели по проекту 1

Средний предполагаемый NPV от Проекта 1 составит 14,05 тысяч долларов, дисперсия (она же среднее квадратическое отклонение) будет равна 1,72 тысяч долларов.

Коэффициент вариации для первого проекта равен:

CV = 1.72/14.05 = 12%

Проект признается среднерисковым.

Средний предполагаемый NPV от Проекта 2 составит 25,23 тысяч долларов, дисперсия будет равна 6,30 тысяч долларов.

Коэффициент вариации для второго проекта составит:

CV = 6,30/25,23 = 24,97%

Проект признается высокорисковым.

Если сравнивать проекты 1 и 2 по коэффициенту вариации, то следует выбрать Проект 1, так как соотношение доход/риск у него лучше.

Пример 2

Компания «Сигма» проводит XYZ анализ товарного ассортимента по показателю изменчивости продаж. Продуктовая линейка компании представлена пятью товарами: А, В, С, D и E.

Имеется помесячная статистика продаж за последний год по каждому товару (см. рисунок). На практике лучше иметь статистику за период более трех лет/

Рисунок . Статистика продаж за последний год по каждому товару

Финансовый аналитик компании рассчитал коэффициент вариации для каждого товара

CVа = СТАНДОТКЛОНПА(B2:В13)/СРЗНАЧ (В2:В13) = 30%

В компании установлены следующие интервалы для групп XYZ:

Z – 31–100%.

Значит, товары B и D относятся к категории X. Спрос на них постоянный, запасы на складах по ним должны быть под пристальным контролем и постоянно пополняться.

Товары A и C относятся к категории Y. Спрос на них отклоняется в пределах 30% от месяца к месяцу. Возможно, имеет место сезонность спроса. Нужно глубже анализировать статистику продаж и выработать оптимальную политику по остаткам на складах для данной группы.

Товар E имеет наиболее волатильный спрос, продажи по нему осуществляются нерегулярно, поэтому возможно имеет смысл перейти на работу с ним по предзаказу.

Выводы

Следует помнить, что коэффициент вариации – это не единственный способ оценки эффективности инвестирования, так как он не учитывает несколько важных факторов:

1. Объемы первоначального инвестирования.
2. Возможную асимметричность распределения. При расчете коэффициента вариации предполагается, что разброс значений случайной величины расположен симметрично к среднему (часто по нормальному распределению). Но это не всегда соответствует действительности. Например, для опционов, доходность которых не может быть ниже нуля, имеет место асимметрия распределения, и анализировать коэффициент вариации по ним нужно с оглядкой на другие методы статистического анализа.
3. Инвестиционную политику субъекта инвестирования.
4. Другие нечисловые факторы.

Однако метод оценки статистических, в том числе финансовых, данных посредством расчета коэффициента вариации заслуженно признан одним из наиболее эффективных сравнительных методов статистики.

Как доказать, что закономерность, полученная при изучении экспериментальных данных, не является результатом совпадения или ошибки экспериментатора, что она достоверна? С таким вопросом сталкиваются начинающие исследователи.Описательная статистика предоставляет инструменты для решения этих задач. Она имеет два больших раздела – описание данных и их сопоставление в группах или в ряду между собой.

Показатели описательной статистики

Существует несколько показателей, которые использует описательная статистика.

Итак, представим, что перед нами стоит задача описать рост всех студентов в группе из десяти человек. Вооружившись линейкой и проведя измерения, мы получаем маленький ряд из десяти чисел (рост в сантиметрах):

168, 171, 175, 177, 179, 187, 174, 176, 179, 169.

Если внимательно посмотреть на этот линейный ряд, то можно обнаружить несколько закономерностей:

• Ширина интервала, куда попадает рост всех студентов, – 18 см.
• В распределении рост наиболее близок к середине этого интервала.
• Встречаются и исключения, которые наиболее близко расположены к верхней или нижней границе интервала.

Совершенно очевидно, что для выполнения задачи по описанию роста студентов в группе нет необходимости приводить все значения, которые будут измеряться. Для этой цели достаточно привести всего два, которые в статистике называются параметрами распределения. Это среднеарифметическое и стандартное отклонение от среднего арифметического. Если обратиться к росту студентов, то формула будет выглядеть следующим образом:

Среднеарифметическое значение роста студентов = (Сумма всех значений роста студентов) / (Число студентов, участвовавших в измерении)

Если свести все к строгим математическим терминам, то определение среднего арифметического (обозначается греческой буквой – μ («мю»)) будет звучать так:

Среднее арифметическое – это отношение суммы всех значений одного признака для всех членов совокупности (X) к числу всех членов совокупности (N).

Если применить эту формулу к нашим измерениям, то получаем, что μ для роста студентов в группе 175,5 см.

Если присмотреться к росту студентов, который мы измерили в предыдущем примере, то понятно, что рост каждого на сколько-то отличается от вычисленного среднего (175,5 см). Для полноты описания нужно понять, какой является разница между средним ростом каждого студента и средним значением.

На первом этапе вычислим параметр дисперсии. Дисперсия в статистике (обозначается σ 2 (сигма в квадрате)) – это отношение суммы квадратов разности среднего арифметического (μ) и значения члена ряда (Х) к числу всех членов совокупности (N). В виде формулы это рассчитывается понятнее:

Значения, которые мы получим в результате вычислений по этой формуле, мы будем представлять в виде квадрата величины (в нашем случае – квадратные сантиметры). Характеризовать рост в сантиметрах квадратными сантиметрами, согласитесь, нелепо. Поэтому мы можем исправить, точнее, упростить это выражение и получим среднеквадратичное отклонение формулу и расчёт, пример:

Таким образом, мы получили величину стандартного отклонения (или среднего квадратичного отклонения) – квадратный корень из дисперсии. С единицами измерения тоже теперь все в порядке, можем посчитать стандартное отклонение для группы:

Получается, что наша группа студентов исчисляется по росту таким образом: 175,50±5,25 см.

Среднее квадратичное отклонение хорошо работает с рядами, в которых разброс значений не очень велик (это хорошо прослеживалось на примере роста, где интервал был всего 18 см). Если бы ряд наших измерений был значительнее, а варьирование роста было сильнее, то стандартное отклонение стало непоказательным и нам потребовался бы критерий, который может отразить разброс в относительных единицах (т. е. в процентах, относительно средней величины).

Для этих целей предусмотрены абсолютные и относительные показатели вариации в статистике, характеризующие вариационные масштабы:

• Размах вариации.

Квадратический коэффициент вариации (обозначается как Vσ) – это отношение среднеквадратичного отклонения к среднеарифметическому значению, выраженное в процентах.

Для нашего примера со студентами, определить Vσ несложно - он будет равен 3,18%. Основная закономерность – чем больше будет изменяться значение коэффициента, тем больше разброс вокруг среднего значения и тем менее однородна выборка.

Преимущество коэффициента вариации в том, что он показывает однородность значений (асимметрия) в ряду наших измерений, кроме того, на него не оказывают влияния масштаб и единицы измерения. Эти факторы делают коэффициент вариации особенно популярным в биомедицинских исследованиях. Будет считаться , что эксцесс значения Vσ =33% отделяет однородные выборки от неоднородных.

Если найти в ряду значений роста (первый пример) максимальное и минимальное значения, то получим размах вариации (обозначается как R, иногда ещё называется колеблемостью). В нашем примере – это значение будет равно 18 см. Эта характеристика используется для расчёта коэффициента осцилляции:

Коэффициент осцилляции – показывает как размах вариации будет относиться к среднему арифметическому ряда в процентном отношении.

Расчёты в Microsoft Ecxel 2016

* — в таблице указан диапазон A1:A10 для примера, при расчётах нужно указать требуемый диапазон.

Итак, обобщим информацию :

1. Среднее арифметическое – это значение, позволяющее найти среднее значение показателя в ряду данных.
2. Дисперсия – это среднее значение отклонений возведенное в квадрат.
3. Стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение) – это корень квадратный из дисперсии, для приведения единиц измерения к одинаковым со среднеарифметическим.
4. Коэффициент вариации – значение отклонений от среднего, выраженное в относительных величинах (%).

Отдельно следует отметить, что все приведённые в статье показатели, как правило, не имеют собственного смысла и используются для того, чтобы составлять более сложную схему анализа данных. Исключение из этого правила — коэффициент вариации, который является мерой однородности данных.

Вариация признака определяется различными факторами, часть этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разделить на группы по определенному признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по совокупности в целом, можно изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы и между этими группами. В простом случае, когда совокупность разделена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Эмпирический коэффициент детерминации

Эмпирический коэффициент детерминации широко применяется в статистическом анализе и является показателем, представляющим долю межгруппопой дисперсии в результативного признака и характеризует силу влияния группировочного признака на образование общей вариации. Он может быть рассчитан по формуле:

Показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х, он связан с коэффициентом корреляции квадратичной зависимостью. При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи - единице.

Например, когда изучается зависимость производительности труда рабочих от их квалификации коэффициент детерминации равен 0,7, то на 70% вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в их квалификации и на 30% - влиянием прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение - это квадратный корень из коэффициента детерминации. Отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение принимает значения от -1 до 1. Если связи нет, то корреляционное отношение равняется нулю, т.е. все групповые средние равняются между собой и межгрупповой вариации нет. Значит, группировочный признак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение равняется единице. В таком случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации нет. Это значит, что группировочный признак полностью определяет вариацию результативного признака.

Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем сильнее и ближе к функциональной зависимости связь между признаками. Для качественной оценки силы связи на основе показателя эмпирического коэффициента корреляции можно использовать соотношение Чэддока.

Соотношение Чэддока

• Связь весьма тесная — коэффициент корреляции находится в интервале 0,9 — 0,99
• Связь тесная — Rxy = 0,7 — 0,9
• Связь заметная — Rxy = 0,5 — 0,7
• Связь умеренная — Rxy = 0,3 — 0,5
• Связь слабая — Rxy = 0,1 — 0,3

Показатели вариации

Понятие вариации

Вариация - это наличие различий у отдельных единиц сово­купности по какому-либо признаку.

Эта категория занимает особое место в статистической науке, ибо именно наличие вариации единиц совокупности предопределяет необходимость статистики. Если бы отдельные единицы сово­купности имели они и те же значения признаков (например, рост, возраст у всех живущих людей был бы одинаковый), то для изу­чения данной совокупности по этим признакам достаточно было бы изучить только одну единицу совокупности. Однако зачастую значения признаков колеблются, изменяются при переходе от од­ной единицы к другой. Как правило, вариация является порожде­нием следующих причин:

Своеобразие условий, в которых происходит развитие от­дельных единиц совокупности;

Неравномерность развития отдельных единиц.

Например, причиной вариации роста у отдельно взятых людей является генетическая особен­ность каждого организма (основная причина), особенности питания, экологическая обстановка и т.д.; вариация урожайности может быть вызвана климатическими, почвенными особенностями зоны про­израстания, режима и возможности полива, качеством посадочного материала и т.д.

Вариация существует во времени и в пространстве.

Под вариаци­ей в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям (урожайность пшеницы в разных ре­гионах).

Под вариацией во времени подразумевается объективное измене­ние значений признака в разные периоды (или моменты). Напри­мер, со временем изменяется средняя продолжительность пред­стоящей жизни, доходность предприятий отрасли, уровень по­требностей людей и т.д.

Изучение вариации имеет важное значение, так как вариация ха­рактеризует степень однородности совокупности. Однородность совокупности - необходимое условие при расчете большинства статистических показателей, в частности средних величин.

Показатели вариации

Показатели вариации являются необходимым дополнением при расчете средних величин, так как определяют степень однород­ности совокупности.

Система показателей вариации включает следующее:

Размах вариации;

Среднее квадратическое отклонение;

Дисперсия;

Коэффициент вариации.

Значение показателей вариации:

Характеризуются размеры вариации признака;

Показатели вариации дополняют систему средних величин, в которой затушевываются индивидуальные различия;

Показатели вариации позволяют охарактеризовать уровень однородности совокупности;

С помощью показателей вариации, путем сравнения вариа­ции у отдельных признаков (разных), есть возможность измерить взаимосвязь между этими признаками.

Первый показатель, так называемый размах вариации, - наи­более простой из показателей, характеризует абсолютные разме­ры изменения признака и определяется как разница максимально­го и минимального значений признака:

Несмотря на простоту расчета, этот показатель имеет важный не­достаток - учитывает только два приграничных значения. В случае аномальности одного или двух приграничных значений, он может исказить действительную вариацию совокупности.

Для того чтобы избавиться от этого недостатка, рассчитывают отклонение каждой индивидуальной величины от средней по со­вокупности. Таким образом, учитывается значение каждой еди­ницы совокупности. Для того чтобы охарактеризовать это откло­нение одним числом, рассчитывают среднюю из этих значений. Данный показатель носит название среднее абсолютное (линей­ное) отклонение и определяется следующим образом:

Простой вид;

- взвешенный вид (для сгруппированных данных);

где d(L) - среднее абсолютное (линейное) отклонение;

х - индивидуальное значение признака (варианта);

Среднее из значений признака;

п - численность совокупности;

f - частота.

Среднее линейное отклонение характеризует средний размер отклонений индивидуальных значений признака от средней вели­чины. Таким образом, он характеризует абсолютные размеры ва­риации, имеет те же единицы измерения, что и признак, вариа­цию которого характеризует.

Недостаток: ввиду того, что применяется модуль, затруднено проведение математических операций. Поэтому он применяется редко.

Для того чтобы избавиться от недостатка предыдущего показате­ля, разницу между индивидуальным значением и средней возве­дем в квадрат и затем извлечем корень квадратный из полученно­го среднего значения. Полученный показатель будет называться среднее квадратическое отклонение:

- простая.

- взвешенная.

Играет ту же роль, что и среднее абсолютное отклонение, но, имеет перед ним одно преимущество, а именно, с ним проще проводить математические операции. Ввиду этого в 90 случаях из 100 используется этот показатель.

Еще более удобный для математических преобразований показа­тель вариации - дисперсия, который представляет собой сред­нее квадратическое отклонение в квадрате:

- простая,

- взвешенная.

С помощью дисперсии и среднего квадратического отклонения измеряются взаимосвязи между различными признаками. Кроме того, по этим показателям можно сравнивать совокупности в смысле их однородности по одинаковым признакам.

Вывод об однородности совокупности позволяет сделать коэффициент вариации , который может быть рассчитан несколькими способами в зависимости от исходной информации:

Характеризует средний процент отклонений индивидуальных значений признака от средней величины.

,

,

,

где V – коэффициент вариации;

σ – среднее квадратическое отклонение;

d (L) – среднее линейное отклонение;

Х МО – мода (структурная средняя);

Х МЕ – медиана(структурная средняя).

Коэффициент вариации имеет большое значение. Он позволяет сравнивать уровень вариации по различным признакам и используется для характеристики однородности совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность однородна.

Пример расчета показателей вариации.

Распределение студентов вуза по возрасту характеризуются следующими данными (табл. 1):

Таблица 1

Рассчитайте показатели, характеризующие вариацию возраста студентов для каждой формы

обучения. Сравните полученные результаты.

Рассчитаем показатели вариации, характеризующие совокупность студентов очно-заочной формы

обучения.

1. Размах вариации:

R = x max – x min = 31 - 18,5 = 12,5 (лет)

2. Средняя арифметическая:

3. Среднее линейное отклонение:

Возраст отдельно взятого студента отклоняется от среднего по совокупности возраста - 27 лет - на 3 года. То есть можно утверждать, что возраст наибольшего числа студентов не будет выходить за границы интервала: от 24,3 до 30,4 лет.

27,36 - 3,07 < 27,36 < 27,36+ 3,07.

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение также характеризует абсолютную величину отклонения индиви­дуального значения от средней. Как правило, значение среднего квадратического отклонения больше среднего линейного отклонения.

Дисперсия:

=13,899

Характеризует квадрат отклонений индивидуального значения от средней величины. Коэффициент вариации:

Средний процент отклонений индивидуальных значений от средней величины составляет 13,6%. Со­вокупность однородна. Сделаем аналогичные расчеты по совокупности студентов дневного отделения. Получаем следующие результаты:

d(L) = 3,40

V = 21,9%

На основании приведенных расчетов можно сделать вывод о том, что совокупность студентов очно-заочного отделения более однородная.

Расчет показателей вариации - достаточно трудоемкий процесс. В некоторых случаях, когда имеется ряд показателей с равноот­стоящими моментами времени или равноинтервальный ряд рас­пределения, расчет может быть упрощен. Сокращенные способы расчета дисперсии базируются на знании свойств дисперсии. Свойства дисперсии:

Если от всех значений варианты х отнять (прибавить) по­стоянное число А, то дисперсия не изменится;

Если каждое значение варианты разделить (умножить) на постоянную величину к, то дисперсия уменьшится (увеличится) в к 2 раз.

Сокращенные способы расчета дисперсии:

2. Способ моментов – применяется только в случае равенства интервалов.