Maghanap ng mga matrix eigenvalues ​​online na may solusyon. Eigenvalues ​​​​(mga numero) at eigenvectors

SISTEMA NG HOMOGENEOUS LINEAR EQUATIONS

Sistema ng homogenous linear na equation tinatawag na sistema ng anyo

Ito ay malinaw na sa kasong ito , dahil lahat ng elemento ng isa sa mga column sa mga determinant na ito ay katumbas ng zero.

Dahil ang mga hindi alam ay matatagpuan ayon sa mga formula , pagkatapos ay sa kaso kapag Δ ≠ 0, ang sistema ay may natatanging zero na solusyon x = y = z= 0. Gayunpaman, sa maraming problema ang kawili-wiling tanong ay kung ang isang homogenous na sistema ay may mga solusyon maliban sa zero.

Teorama. Para sa linear system homogenous equation

nagkaroon ng di-zero na solusyon, ito ay kinakailangan at sapat na Δ ≠ 0.

Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Mga halimbawa.

Eigenvectors at eigenvalues ​​ng isang matrix , Hayaang magbigay ng square matrix X – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix. .

A Hayaang magbigay ng square matrix

Sa maraming problema kailangan nating isaalang-alang ang equation para sa

kung saan ang λ ay isang tiyak na numero. Malinaw na para sa anumang λ ang equation na ito ay may zero na solusyon. Ang bilang na λ kung saan ang equation na ito ay may mga non-zero na solusyon ay tinatawag eigenvalue – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix matrice Hayaang magbigay ng square matrix, A para sa gayong λ ay tinatawag eigenvalue – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix.

eigenvector – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix Hanapin natin ang eigenvector ng matrix . Dahil ang∙E X = X , kung gayon ang matrix equation ay maaaring muling isulat bilang o .

. Sa pinalawak na anyo, ang equation na ito ay maaaring muling isulat bilang isang sistema ng mga linear na equation. Talaga

At samakatuwid Kaya, nakuha namin ang isang sistema ng homogenous na linear equation para sa pagtukoy ng mga coordinate, x 1, x 2 x 3 Hayaang magbigay ng square matrix vector

. Para sa isang sistema na magkaroon ng mga non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang determinant ng system ay katumbas ng zero, i.e. Ito ay isang 3rd degree na equation para sa λ. Ang tawag dito eigenvalue – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix katangian equation

at nagsisilbi upang matukoy ang mga eigenvalues ​​ng λ. Hayaang magbigay ng square matrix Ang bawat eigenvalue λ ay tumutugma sa isang eigenvector

Kaya, kung ang determinant Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon. Kung Δ ≠ 0, kung gayon ang sistema ng linear homogenous na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

, na ang mga coordinate ay tinutukoy mula sa system sa katumbas na halaga ng λ.

VECTOR ALGEBRA. ANG KONSEPTO NG VECTOR Kapag nag-aaral ng iba't ibang sangay ng pisika, mayroong mga dami na ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa kanilang mga numerical na halaga, halimbawa, haba, lugar, masa, temperatura, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na scalar. Gayunpaman, bilang karagdagan sa mga ito, mayroon ding mga dami para sa pagpapasiya kung saan, bilang karagdagan sa, kailangan ding malaman ang kanilang direksyon sa kalawakan, halimbawa, ang puwersang kumikilos sa katawan, ang bilis at pagbilis ng katawan kapag gumagalaw ito sa kalawakan, pag-igting magnetic field sa isang partikular na punto sa espasyo, atbp. Ang ganitong mga dami ay tinatawag na mga dami ng vector.

Ipakilala natin ang isang mahigpit na kahulugan.

Direktang segment Tawagan natin ang isang segment, na nauugnay sa mga dulo kung saan alam kung alin sa kanila ang una at alin ang pangalawa.

Vector tinatawag na nakadirekta na segment na may tiyak na haba, i.e. Ito ay isang segment ng isang tiyak na haba, kung saan ang isa sa mga puntong naglilimita dito ay kinuha bilang simula, at ang pangalawa bilang dulo. Kung – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix- ang simula ng vector, B ay ang katapusan nito, kung gayon ang vector ay tinutukoy ng simbolo bilang karagdagan, ang vector ay madalas na tinutukoy ng isang solong titik. Sa figure, ang vector ay ipinahiwatig ng isang segment, at ang direksyon nito sa pamamagitan ng isang arrow.

Module, kung gayon ang matrix equation ay maaaring muling isulat bilang haba Ang isang vector ay tinatawag na haba ng nakadirekta na segment na tumutukoy dito. Tinutukoy ng || o ||.

Isasama rin natin ang tinatawag na zero vector, na ang simula at pagtatapos ay nag-tutugma, bilang mga vector. Ito ay itinalaga. Ang zero vector ay walang partikular na direksyon at ang modulus nito ay zero ||=0.

Ang mga vector ay tinatawag collinear, kung sila ay matatagpuan sa parehong linya o sa parallel na linya. Bukod dito, kung ang mga vector at nasa parehong direksyon, isusulat namin ang , kabaligtaran.

Ang mga vector na matatagpuan sa mga tuwid na linya na parallel sa parehong eroplano ay tinatawag coplanar.

Ang dalawang vector ay tinatawag pantay, kung ang mga ito ay collinear, may parehong direksyon at pantay ang haba. Sa kasong ito sila ay nagsusulat.

Mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vector, sumusunod na ang isang vector ay maaaring ilipat parallel sa sarili nito, na inilalagay ang pinagmulan nito sa anumang punto sa espasyo.

Halimbawa .

MGA LINEAR NA OPERASYON SA MGA VECTOR

Pagpaparami ng vector sa isang numero.

Ang produkto ng isang vector at ang numerong λ ay isang bagong vector tulad na:

Ang produkto ng isang vector at isang numerong λ ay tinutukoy ng .

Halimbawa, mayroong isang vector na nakadirekta sa parehong direksyon ng vector at may haba na kalahating kasing laki ng vector.

Ang ipinakilala na operasyon ay may mga sumusunod na katangian:

Pagdaragdag ng vector.

Hayaan at maging dalawang arbitrary vectors. Kumuha tayo ng isang arbitrary na punto O at bumuo ng isang vector. Pagkatapos noon mula sa punto – ilang matrix-column, ang taas nito ay tumutugma sa pagkakasunud-sunod ng matrix isantabi na natin ang vector. Ang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng pangalawa ay tinatawag halaga ng mga vector na ito at ipinapahiwatig .

Tinatawag ang formulated definition ng vector addition tuntunin ng paralelogram, dahil ang parehong kabuuan ng mga vector ay maaaring makuha tulad ng sumusunod. Ipagpaliban natin mula sa punto O mga vector at . Bumuo tayo ng paralelogram sa mga vector na ito OABC. Dahil ang mga vector, pagkatapos ay ang vector, na isang dayagonal ng isang paralelogram na iginuhit mula sa vertex O, ay malinaw na isang kabuuan ng mga vector.

Madaling suriin sumusunod na mga katangian pagdaragdag ng vector.

Pagkakaiba ng vector.

Vector, collinear ang vector na ito, katumbas ng haba at magkasalungat na direksyon, ay tinatawag kabaligtaran vector para sa isang vector at tinutukoy ng . Ang kabaligtaran na vector ay maaaring isaalang-alang bilang resulta ng pagpaparami ng vector sa bilang na λ = –1: .

Ang mga diagonal na matrice ay may pinakasimpleng istraktura. Ang tanong ay lumitaw kung posible na makahanap ng isang batayan kung saan ang matrix ng linear operator ay magkakaroon ng diagonal na anyo. Ang ganitong batayan ay umiiral.
Hayaang magbigay ng linear space R n at isang ahente ang kumikilos dito linear operator A; sa kasong ito, kinukuha ng operator A ang R n sa sarili nito, iyon ay, A:R n → R n .

Kahulugan. Ang isang non-zero vector ay tinatawag na eigenvector ng operator A kung ang operator A ay nagsasalin sa isang collinear vector, iyon ay. Ang bilang na λ ay tinatawag na eigenvalue o eigenvalue ng operator A, na tumutugma sa eigenvector.
Tandaan natin ang ilang mga katangian ng eigenvalues ​​at eigenvectors.
1. Anumang linear na kumbinasyon ng eigenvectors operator Ang isang katumbas ng parehong eigenvalue λ ay isang eigenvector na may parehong eigenvalue.
2. Eigenvectors Ang operator A na may magkaibang mga eigenvalues ​​na magkapares λ 1 , λ 2 , …, λ m ay linearly independent.
3. Kung ang eigenvalues ​​​​λ 1 =λ 2 = λ m = λ, kung gayon ang eigenvalue λ ay tumutugma sa hindi hihigit sa m linearly independent eigenvectors.

Kaya, kung mayroong n linearly independent eigenvectors , na naaayon sa iba't ibang mga eigenvalues ​​​​λ 1, λ 2, ..., λ n, pagkatapos sila ay linearly independyente, samakatuwid, maaari silang kunin bilang batayan ng espasyo R n. Hanapin natin ang anyo ng matrix ng linear operator A sa batayan ng mga eigenvector nito, kung saan kikilos tayo kasama ang operator A sa mga batayang vectors: Pagkatapos .
Kaya, ang matrix ng linear operator A sa batayan ng mga eigenvector nito ay may diagonal na anyo, at ang mga eigenvalues ​​ng operator A ay nasa kahabaan ng dayagonal.
Mayroon bang ibang batayan kung saan ang matrix ay may diagonal na anyo? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng sumusunod na teorama.

Teorama. Ang matrix ng isang linear operator A sa batayan (i = 1..n) ay may diagonal na anyo kung at kung ang lahat ng mga vector ng batayan ay eigenvectors ng operator A.

Panuntunan para sa paghahanap ng mga eigenvalues ​​at eigenvectors Hayaang magbigay ng vector , kung saan ang x 1, x 2, …, x n ay ang mga coordinate ng vector na nauugnay sa batayan at ang eigenvector ng linear operator A na tumutugma sa eigenvalue λ, iyon ay. Ang relasyon na ito ay maaaring isulat sa matrix form

. (*)

Ang equation (*) ay maaaring ituring bilang isang equation para sa paghahanap ng , at , ibig sabihin, interesado kami sa mga di-trivial na solusyon, dahil ang eigenvector ay hindi maaaring maging zero. Alam na ang mga nontrivial na solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear equation ay umiiral kung at kung ang det(A - λE) = 0. Kaya, para ang λ ay isang eigenvalue ng operator A ito ay kinakailangan at sapat na ang det(A - λE) ) = 0.
Kung ang equation (*) ay nakasulat nang detalyado sa coordinate form, makakakuha tayo ng isang sistema ng linear homogeneous equation:

(1)
saan - linear operator matrix.

Ang system (1) ay may non-zero na solusyon kung ang determinant na D nito ay katumbas ng zero

Nakatanggap kami ng equation para sa paghahanap ng mga eigenvalue.
Ang equation na ito ay tinatawag na characteristic equation, at ang kaliwang bahagi nito ay tinatawag na characteristic polynomial ng matrix (operator) A. Kung ang katangiang polynomial ay walang tunay na ugat, kung gayon ang matrix A ay walang eigenvectors at hindi maaaring bawasan sa diagonal form.
Hayaang ang λ 1, λ 2, …, λ n ang tunay na mga ugat ng katangiang equation, at kabilang sa mga ito ay maaaring mayroong multiple. Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa turn sa system (1), nakita namin ang eigenvectors.

Halimbawa 12. Ang linear operator A ay kumikilos sa R ​​3 ayon sa batas, kung saan ang x 1, x 2, .., x n ay ang mga coordinate ng vector sa batayan , , . Hanapin ang mga eigenvalues ​​at eigenvectors ng operator na ito.
Solusyon. Binubuo namin ang matrix ng operator na ito:
.
Lumilikha kami ng isang sistema para sa pagtukoy ng mga coordinate ng eigenvectors:

Bumubuo kami ng isang katangian na equation at lutasin ito:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Ang pagpapalit ng λ = -1 sa system, mayroon tayong:
, kung gayon ang matrix equation ay maaaring muling isulat bilang
kasi , pagkatapos ay mayroong dalawang umaasang variable at isang libreng variable.
Hayaan ang x 1 na maging isang libreng hindi kilala, kung gayon Niresolba namin ang system na ito sa anumang paraan at hinahanap ang pangkalahatang solusyon ng system na ito: Pangunahing sistema ang mga solusyon ay binubuo ng isang solusyon, dahil n - r = 3 - 2 = 1.
Ang set ng eigenvectors na tumutugma sa eigenvalue λ = -1 ay may anyo: , kung saan ang x 1 ay anumang numero maliban sa zero. Pumili tayo ng isang vector mula sa set na ito, halimbawa, paglalagay ng x 1 = 1: .
Sa katulad na pangangatwiran, nakita natin ang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = 3: .
Sa espasyo R 3, ang batayan ay binubuo ng tatlong linearly independent vectors, ngunit nakatanggap lamang kami ng dalawang linearly independent eigenvectors, kung saan ang batayan sa R ​​3 ay hindi maaaring binubuo. Dahil dito, hindi natin mababawasan ang matrix A ng isang linear operator sa diagonal na anyo.

Halimbawa 13. Binigyan ng matrix .
1. Patunayan na ang vector ay isang eigenvector ng matrix A. Hanapin ang eigenvalue na katumbas ng eigenvector na ito.
2. Maghanap ng batayan kung saan ang matrix A ay may dayagonal na anyo.
Solusyon.
1. Kung , kung gayon ay isang eigenvector

.
Ang Vector (1, 8, -1) ay isang eigenvector. Eigenvalue λ = -1.
Ang matrix ay may diagonal na anyo sa isang batayan na binubuo ng eigenvectors. Isa sa kanila ay sikat. Hanapin natin ang natitira.
Naghahanap kami ng mga eigenvector mula sa system:

Katangiang equation: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Hanapin natin ang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = -3:

Ang ranggo ng matrix ng sistemang ito ay dalawa at katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kaya ang sistemang ito ay mayroon lamang isang zero na solusyon x 1 = x 3 = 0. x 2 dito ay maaaring maging anumang bagay maliban sa zero, halimbawa, x 2 = 1. Kaya, ang vector (0 ,1,0) ay isang eigenvector na katumbas ng λ = -3. Suriin natin:
.
Kung λ = 1, pagkatapos ay makuha namin ang sistema
Ang ranggo ng matrix ay dalawa. Tinatanggal namin ang huling equation.
Hayaan ang x 3 na maging isang libreng hindi kilala. Pagkatapos x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Ipagpalagay na x 3 = 1, mayroon tayong (-3,-9,1) - isang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = 1. Suriin:

.
Dahil ang mga eigenvalues ​​ay totoo at naiiba, ang mga vector na nauugnay sa kanila ay linearly independent, kaya maaari silang kunin bilang batayan sa R ​​3 . Kaya, sa batayan , , Ang matrix A ay may anyo:
.
Hindi lahat ng matrix ng isang linear operator A:R n → R n ay maaaring bawasan sa diagonal na anyo, dahil para sa ilang mga linear operator ay maaaring mas mababa sa n linear independent eigenvectors. Gayunpaman, kung ang matrix ay simetriko, kung gayon ang ugat ng katangian na equation ng multiplicity m ay tumutugma sa eksaktong m linearly independent vectors.

Kahulugan. Ang simetriko matrix ay isang parisukat na matrix kung saan ang mga elementong simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal ay pantay, iyon ay, kung saan .
Mga Tala. 1. Ang lahat ng eigenvalues ​​ng isang simetriko matrix ay totoo.
2. Ang mga eigenvector ng isang simetriko na matrix na tumutugma sa magkaibang magkaibang mga eigenvalues ​​ay orthogonal.
Bilang isa sa maraming mga aplikasyon ng pinag-aralan na kagamitan, isinasaalang-alang namin ang problema sa pagtukoy ng uri ng isang second-order curve.

"Ang unang bahagi ay nagtatakda ng mga probisyon na minimal na kinakailangan para sa pag-unawa sa chemometrics, at ang pangalawang bahagi ay naglalaman ng mga katotohanan na kailangan mong malaman para sa mas malalim na pag-unawa sa mga pamamaraan ng multivariate analysis. Ang pagtatanghal ay inilalarawan sa mga halimbawang ginawa sa Excel workbook Matrix.xls, na kasama ng dokumentong ito.

Ang mga link sa mga halimbawa ay inilalagay sa teksto bilang mga bagay sa Excel. Ang mga halimbawang ito ay may abstract na kalikasan; Mga tunay na halimbawa Ang paggamit ng matrix algebra sa chemometrics ay tinalakay sa ibang mga teksto na sumasaklaw sa iba't ibang mga aplikasyon ng chemometric.

Karamihan sa mga sukat na ginawa sa analytical chemistry ay hindi direkta, ngunit hindi direkta. Nangangahulugan ito na sa eksperimento, sa halip na ang halaga ng nais na analyte C (konsentrasyon), isa pang halaga ang nakuha x(signal), nauugnay ngunit hindi katumbas ng C, i.e. x(C) ≠ C. Bilang isang tuntunin, ang uri ng pagtitiwala x(C) ay hindi kilala, ngunit sa kabutihang palad sa analytical chemistry karamihan sa mga sukat ay proporsyonal. Nangangahulugan ito na sa pagtaas ng konsentrasyon ng C in a beses, tataas ang signal X ng parehong halaga, i.e. x(a C) = isang x(C). Bilang karagdagan, ang mga signal ay additive din, kaya ang signal mula sa isang sample kung saan ang dalawang sangkap na may konsentrasyon C 1 at C 2 ay naroroon ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga signal mula sa bawat bahagi, i.e. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C 2). Ang proporsyonalidad at additivity nang magkasama ay nagbibigay linearity. Maraming mga halimbawa ang maaaring ibigay upang ilarawan ang prinsipyo ng linearity, ngunit sapat na upang banggitin ang dalawang pinaka-kapansin-pansin na mga halimbawa - chromatography at spectroscopy. Ang pangalawang tampok na likas sa isang eksperimento sa analytical chemistry ay multichannel. Ang mga modernong kagamitan sa pagsusuri ay sabay-sabay na sumusukat ng mga signal para sa maraming mga channel. Halimbawa, ang intensity ng light transmission ay sinusukat para sa ilang mga wavelength nang sabay-sabay, i.e. saklaw. Samakatuwid, sa eksperimento nakikitungo kami sa maraming signal x 1 , x 2 ,...., x n, na nagpapakilala sa hanay ng mga konsentrasyon C 1 , C 2 , ..., C m ng mga sangkap na naroroon sa sistemang pinag-aaralan.

kanin. 1 Spectra

Kaya, ang isang analytical na eksperimento ay nailalarawan sa pamamagitan ng linearity at multidimensionality. Samakatuwid, maginhawang isaalang-alang ang pang-eksperimentong data bilang mga vector at matrice at manipulahin ang mga ito gamit ang apparatus ng matrix algebra. Ang pagiging mabunga ng pamamaraang ito ay inilalarawan ng halimbawang ipinakita sa, na nagpapakita ng tatlong spectra na kinuha sa 200 wavelength mula 4000 hanggang 4796 cm −1. Ang una (x 1) at pangalawa (x 2) spectra ay nakuha para sa mga karaniwang sample kung saan ang mga konsentrasyon ng dalawang sangkap A at B ay kilala: sa unang sample [A] = 0.5, [B] = 0.1, at sa pangalawang sample [A] = 0.2, [B] = 0.6. Ano ang masasabi tungkol sa isang bago, hindi kilalang sample, na ang spectrum ay itinalagang x 3?

Isaalang-alang natin ang tatlong pang-eksperimentong spectra x 1, x 2 at x 3 bilang tatlong mga vector ng dimensyon 200. Gamit ang linear algebra, madali nating maipakita na x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, samakatuwid, sa ikatlong sample, tanging ang mga sangkap A at ang B ay malinaw na naroroon sa mga konsentrasyon [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 at [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Pangunahing impormasyon 1.1 Matrices

Matrix tinatawag na isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga numero, halimbawa

kanin. 2 Matrix

Ang mga matrice ay tinutukoy ng malalaking titik na bold (A), at ang kanilang mga elemento sa pamamagitan ng kaukulang mga maliliit na titik na may mga indeks, i.e. a ij. Ang unang index ay binibilang ang mga hilera, at ang pangalawa - ang mga haligi. Sa chemometrics, kaugalian na tukuyin ang pinakamataas na halaga ng isang index na may parehong titik sa index mismo, ngunit sa malalaking titik. Samakatuwid, ang matrix A ay maaari ding isulat bilang ( a ij , i = 1,..., ako; j = 1,..., J). Para sa halimbawang matrix ako = 4, J= 3 at a 23 = −7.5.

Pares ng mga numero ako At J ay tinatawag na dimensyon ng matrix at tinutukoy bilang ako× J. Ang isang halimbawa ng isang matrix sa chemometrics ay isang set ng spectra na nakuha para sa ako mga sample para sa J mga wavelength.

1.2. Ang pinakasimpleng operasyon na may mga matrice

Ang mga matrice ay maaaring multiply sa mga numero. Sa kasong ito, ang bawat elemento ay pinarami ng numerong ito. Halimbawa -

kanin. 3 Pagpaparami ng matrix sa isang numero

Dalawang matrice ng parehong dimensyon ay maaaring elemento sa pamamagitan ng elemento tiklop At ibawas. Halimbawa,

kanin. 4 Pagdaragdag ng matris

Bilang resulta ng multiplikasyon sa isang numero at karagdagan, ang isang matrix ng parehong dimensyon ay nakuha.

Ang zero matrix ay isang matrix na binubuo ng mga zero. Ito ay tinutukoy ng O. Malinaw, A +O = A, A −A = O at 0A = O.

Ang matrix ay maaaring transpose. Sa panahon ng operasyong ito, ang matrix ay binaligtad, i.e. ang mga row at column ay pinagpalit. Ang transposisyon ay ipinahiwatig ng isang prime, A" o subscript A t. Kaya, kung A = ( a ij , i = 1,..., ako; j = 1,...,J), pagkatapos ay A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., ako). Halimbawa

kanin.

5 Transposisyon ng matrix

Malinaw na ang (A t) t = A, (A + B) t = A t + B t.

1.3. Pagpaparami ng matris Ang mga matrice ay maaaring magparami ako× , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon K , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon× J, at matrix B, dimensyon ako× J, tinatawag na matrix C, dimensyon

, na ang mga elemento ay mga numero

Kaya, para sa produktong AB kinakailangan na ang bilang ng mga haligi sa kaliwang matrix A ay katumbas ng bilang ng mga hilera sa kanang matrix B. Isang halimbawa ng produkto ng matrix -

Fig.6 Produkto ng mga matrice i Ang panuntunan para sa pagpaparami ng matrix ay maaaring buuin bilang mga sumusunod. Upang mahanap ang isang elemento ng matrix C sa intersection j-ika-linya at ika-kolum ( ij c i-ika-row ng unang matrix A sa j ika-kolum ng pangalawang matrix B at idagdag ang lahat ng mga resulta. Kaya sa halimbawang ipinakita, ang isang elemento mula sa ikatlong hilera at pangalawang hanay ay nakuha bilang kabuuan ng mga produkto na matalino sa elemento ng ikatlong hilera A at ang pangalawang hanay B

Fig.7 Elemento ng produkto ng matrices

Ang produkto ng mga matrice ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod, i.e. AB ≠ BA, kahit man lang para sa dimensional na mga kadahilanan. Sinasabi nila na ito ay hindi commutative. Gayunpaman, ang produkto ng mga matrice ay nag-uugnay. Nangangahulugan ito na ang ABC = (AB)C = A(BC). Bilang karagdagan, ito rin ay distributive, i.e. A (B +C) = AB +AC. Malinaw na AO = O.

1.4. Mga parisukat na matrice

Kung ang bilang ng mga matrix column ay katumbas ng bilang ng mga row nito ( ako = J=N), kung gayon ang gayong matrix ay tinatawag na parisukat. Sa seksyong ito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga naturang matrice. Kabilang sa mga matrice na ito, ang mga matrice na may mga espesyal na katangian ay maaaring makilala.

Walang asawa Ang matrix (na tinutukoy na I, at kung minsan E) ay isang matrix kung saan ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng zero, maliban sa mga dayagonal, na katumbas ng 1, i.e.

Malinaw na AI = IA = A.

Ang matrix ay tinatawag dayagonal, kung ang lahat ng mga elemento nito maliban sa mga dayagonal ( a ii) ay katumbas ng zero. Halimbawa

kanin.

8 Diagonal matrix Ang Matrix A ay tinatawag na upper tatsulok a ij, kung ang lahat ng mga elemento nito na nakahiga sa ibaba ng dayagonal ay katumbas ng zero, i.e. i>j= 0, sa

. Halimbawa

kanin.

9 Upper triangular matrix Ang mas mababang triangular matrix ay tinukoy nang katulad. Ang Matrix A ay tinatawag a ij = a ji simetriko

, kung A t = A . Sa ibang salita

9 Upper triangular matrix . Halimbawa kanin. 10 Symmetric matrix

orthogonal

Ang matrix ay tinatawag , Kung A t A = AA t = I .

normal

Kung 1.5. Bakas at determinant

Susunod

square matrix A (na tinutukoy ng Tr(A) o Sp(A)) ay ang kabuuan ng mga elementong dayagonal nito,

Halimbawa,

kanin. 11 Matrix na bakas

Obvious naman yun

Sp(α A ) = α Sp(A ) at

Sp(A +B) = Sp(A)+ Sp(B). Maaari itong ipakita na,

Sp(A) = Sp(A t), Sp(I) =

N

at ganoon din Sp(AB) = Sp(BA). Isa pa mahalagang katangian square matrix ay nito

determinant

(tinutukoy na det(A )). Ang pagtukoy ng determinant sa pangkalahatang kaso ay medyo mahirap, kaya magsisimula kami sa pinakasimpleng opsyon - isang matrix A ng dimensyon (2 × 2). Pagkatapos Maaari itong ipakita na× Maaari itong ipakita na Para sa isang (3×3) matrix, ang determinant ay magiging katumbas ng Maaari itong ipakita na= Maaari itong ipakita na Sa kaso ng matrix (

) ang determinant ay kinakalkula bilang kabuuan 1·2·3· ... · ! mga termino, na ang bawat isa ay pantay 1 , ! mga termino, na ang bawat isa ay pantay 2 ,..., Mga index k k N ay tinukoy bilang lahat ng posibleng ordered permutations Maaari itong ipakita na r

mga numero sa set (1, 2, ...,

Tandaan lamang natin ang mga halatang katangian:

det(I ) = 1, det(A ) = det(A t),

det(AB) = det(A)det(B).

1.6. Mga vector

Kung ang matrix ay binubuo lamang ng isang column ( J= 1), pagkatapos ay tinatawag ang naturang bagay vector. Mas tiyak, isang column vector. Halimbawa

Maaari ding isaalang-alang ng isa ang mga matrice na binubuo ng isang hilera, halimbawa

Ang bagay na ito ay isa ring vector, ngunit row vector. Kapag nagsusuri ng data, mahalagang maunawaan kung aling mga vector ang ating kinakaharap - mga column o row. Kaya ang spectrum na kinuha para sa isang sample ay maaaring ituring bilang isang row vector. Pagkatapos ang hanay ng mga parang multo na intensidad sa isang tiyak na haba ng daluyong para sa lahat ng mga sample ay dapat ituring bilang isang vector ng haligi.

Ang dimensyon ng isang vector ay ang bilang ng mga elemento nito.

Malinaw na ang anumang column vector ay maaaring gawing row vector sa pamamagitan ng transposition, i.e.

Sa mga kaso kung saan ang hugis ng vector ay hindi partikular na tinukoy, ngunit sinasabi lamang na isang vector, ang ibig sabihin ng mga ito ay isang column vector. Susunod din tayo sa panuntunang ito. Ang isang vector ay tinutukoy ng isang maliit na titik, patayo, naka-bold na titik. Ang zero vector ay isang vector na ang lahat ng mga elemento ay zero. Ito ay itinalagang 0.

1.7. Ang pinakasimpleng operasyon na may mga vector

Ang mga vector ay maaaring idagdag at i-multiply sa mga numero sa parehong paraan tulad ng mga matrice. Halimbawa,

kanin.

13 Mga operasyon na may mga vectors Dalawang vectors x at y ang tinatawag kolinear

, kung mayroong isang numerong α na ganoon

1.8. Mga produkto ng mga vector Maaari itong ipakita na Dalawang vector ng parehong dimensyon x 1 , x 2 ,...,x maaaring paramihin. Hayaang magkaroon ng dalawang vectors x = ( y 1 , y 2 ,...,N) t at y = ( y

N) t . Ginagabayan ng row-by-column multiplication rule, maaari tayong bumuo ng dalawang produkto mula sa mga ito: x t y at xy t. Unang trabaho tinawag scalar o panloob

. Ang resulta nito ay isang numero. Ang notasyon (x ,y )= x t y ay ginagamit din para dito. Halimbawa,

kanin.

N) t . Ginagabayan ng row-by-column multiplication rule, maaari tayong bumuo ng dalawang produkto mula sa mga ito: x t y at xy t. Unang trabaho 14 Panloob (scalar) na produkto Pangalawang piraso Maaari itong ipakita na× Maaari itong ipakita na panlabas

. Ang resulta nito ay isang matrix ng dimensyon (

). Halimbawa, kanin..

15 Panlabas na gawain

Ang mga vector na ang scalar product ay zero ay tinatawag

orthogonal 1.9. Pamantayan ng vector Ang scalar product ng isang vector na may sarili nito ay tinatawag na scalar square. Ang halagang ito tumutukoy sa isang parisukat haba

Susunod

vector x. Upang ipahiwatig ang haba (tinatawag ding

ang nakasanayan

Ang mga vector ay tinatawag na orthonormal kung lahat sila ay normalized at pairwise orthogonal.

1.10. Anggulo sa pagitan ng mga vector

Tinutukoy ng scalar product at sulokφ sa pagitan ng dalawang vectors x at y

Kung ang mga vector ay orthogonal, kung gayon ang cosφ = 0 at φ = π/2, at kung sila ay colinear, kung gayon ang cosφ = 1 at φ = 0.

1.11. Vector na representasyon ng isang matrix

Ang bawat matrix A ng laki ako× J ay maaaring kinakatawan bilang isang set ng mga vectors

Narito ang bawat vector a j ay j ika-kolum, at ang row vector b i ay i ika-hilera ng matrix A

1.12. Mga vector na nakadepende sa linear

Mga vector ng parehong dimensyon ( Maaari itong ipakita na) ay maaaring idagdag at i-multiply sa isang numero, tulad ng mga matrice. Ang resulta ay isang vector ng parehong dimensyon. Hayaang magkaroon ng ilang mga vector ng parehong dimensyon x 1, x 2,...,x K at ang parehong bilang ng mga numero α α 1, α 2,...,α , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon. Vector

y = α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon x , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon

N) t . Ginagabayan ng row-by-column multiplication rule, maaari tayong bumuo ng dalawang produkto mula sa mga ito: x t y at xy t. Unang trabaho linear na kumbinasyon mga vector x ! mga termino, na ang bawat isa ay pantay .

Kung mayroong mga di-zero na numerong α ! mga termino, na ang bawat isa ay pantay ≠ 0, ! mga termino, na ang bawat isa ay pantay = 1,..., , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon na y = 0, pagkatapos ay tulad ng isang set ng mga vectors x ! mga termino, na ang bawat isa ay pantay tinawag nakadepende sa linear. Kung hindi, ang mga vector ay sinasabing linearly independent. Halimbawa, ang mga vectors x 1 = (2, 2) t at x 2 = (−1, −1) t ay linearly dependent, dahil x 1 +2x 2 = 0

1.13. Ranggo ng matrix

Isaalang-alang ang isang set ng , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon mga vectors x 1 , x 2 ,...,x , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon mga sukat Maaari itong ipakita na. Ang ranggo ng sistemang ito ng mga vector ay ang pinakamataas na bilang ng mga linearly independent vectors. Halimbawa sa set

mayroon lamang dalawang linearly independent vectors, halimbawa x 1 at x 2, kaya ang ranggo nito ay 2.

Malinaw, kung mayroong higit pang mga vector sa isang set kaysa sa kanilang dimensyon ( , ngunit kung mayroon lamang silang naaangkop na mga sukat. Kung bakit ganito ay magiging malinaw mula sa kahulugan. Produkto ng matrix A, dimensyon>Maaari itong ipakita na), kung gayon ang mga ito ay kinakailangang linearly na umaasa.

Ranggo ng matrix(na tinutukoy ng ranggo(A)) ay ang ranggo ng sistema ng mga vectors kung saan ito ay binubuo. Bagama't maaaring ilarawan ang anumang matrix sa dalawang paraan (mga vector ng column o row), hindi ito makakaapekto sa halaga ng ranggo, dahil

1.14. baligtad na matris

Ang parisukat na matrix A ay tinatawag na di-isahan kung mayroon itong kakaiba reverse matrix A -1 na tinutukoy ng mga kondisyon

AA −1 = A −1 A = I .

Ang inverse matrix ay hindi umiiral para sa lahat ng matrice. Ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa hindi pagkabulok ay

det(A) ≠ 0 o ranggo(A) = Maaari itong ipakita na.

Ang matrix inversion ay isang kumplikadong pamamaraan kung saan mayroong mga espesyal na programa. Halimbawa,

kanin.

17 Pagbabaligtad ng matris

Ipakita natin ang mga formula para sa pinakasimpleng kaso - isang 2×2 matrix

Kung ang mga matrice A at B ay hindi isahan, kung gayon

(AB ) −1 = B −1 A −1 . 1.15. Pseudo

baligtad na matris Kung ang matrix A ay isahan at ang inverse matrix ay hindi umiiral, kung gayon sa ilang mga kaso maaari mong gamitin pseudoinverse

matrix, na kung saan ay tinukoy bilang isang matrix A+ tulad na

Ang pseudoinverse matrix ay hindi lamang isa at ang anyo nito ay nakasalalay sa paraan ng pagtatayo. Halimbawa, para sa isang rectangular matrix maaari mong gamitin ang Moore-Penrose method.

Kung ang bilang ng mga hanay mas kaunting numero mga linya, pagkatapos

A + =(A t A ) −1 A t

Susunod

kanin.

17a Pseudo-inversion ng isang matrix Kung ang bilang ng mga hanay mga linya, pagkatapos

mas maraming numero

A + =A t (AA t) −1

1.16. Pagpaparami ng vector sa isang matrix J Ang vector x ay maaaring i-multiply sa isang matrix A ng angkop na sukat. Sa kasong ito, ang column vector ay pinarami sa kanang Ax, at ang row vector ay pinarami sa kaliwa x t A. Kung ang dimensyon ng vector ako× J, at ang dimensyon ng matrix ako pagkatapos ang resulta ay isang vector ng dimensyon

. Halimbawa,

kanin. ako× ako 18 Pagpaparami ng vector sa isang matrix

Kung ang matrix A ay parisukat (

), pagkatapos ay ang vector y = Ax ay may parehong dimensyon bilang x. Obvious naman yun

A (α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Samakatuwid, ang mga matrice ay maaaring ituring bilang mga linear na pagbabagong-anyo ng mga vector. Sa partikular, Ix = x, Ox = 0. ako× J 2. Karagdagang impormasyon 2.1. Mga sistema ng linear equation J Hayaang ang A ay isang matrix ng laki

, at ang b ay ang dimensyon na vector

. Isaalang-alang ang equation ako Ax = b ako kaugnay sa vector x, dimensyon J. Sa esensya, ito ay isang sistema ng x 1 ,...,x J linear equation na may

hindi kilala . Ang isang solusyon ay umiiral kung at kung lamang,

ranggo(A) = ranggo(B) = ako×( R kung saan ang B ay ang augmented dimension matrix

J+1 . Ang isang solusyon ay umiiral kung at kung lamang = ako = J), na binubuo ng isang matrix A na kinukumpleto ng isang column b, B = (A b). Kung hindi, ang mga equation ay hindi pare-pareho.

Kung

, kung gayon ang solusyon ay natatangi . Ang isang solusyon ay umiiral kung at kung lamang < ako x = A −1 b . Kung, tapos marami J−. Ang isang solusyon ay umiiral kung at kung lamang iba't ibang solusyon Maaari itong ipakita na× Maaari itong ipakita na, na maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isang linear na kumbinasyon . Ang isang solusyon ay umiiral kung at kung lamang mga vector. Sistema ng mga homogenous na equation Ax = 0 na may square matrix A (

) ay may isang hindi mahalaga na solusyon (x ≠ 0) kung at kung det(A) = 0. Kung = ranggo(A) 0. Katulad na tinukoy< 0), negatibo(x t Ax hindi negatibo(x t Ax ≥ 0) at

negatibo

(x t Ax ≤ 0) ilang matrice.

2.4. Cholesky decomposition

Susunod

Kung ang isang simetriko matrix A ay positibong tiyak, mayroong isang natatanging tatsulok na matrix U na may mga positibong elemento kung saan

A = U t U .

kanin. Maaari itong ipakita na× Maaari itong ipakita na 19 Cholesky decomposition 2.5. Polar decomposition Hayaang ang A ay isang non-singular square matrix ng dimensyon

. Tapos may kakaiba

polar

pagganap

Susunod

A = SR,

Kung ang matrix A ay isahan, kung gayon ang agnas ay hindi natatangi - ibig sabihin: S ay isa pa rin, ngunit maaaring mayroong maraming R. Ang polar decomposition ay kumakatawan sa matrix A bilang kumbinasyon ng compression/extension S at rotation R .

2.6. Eigenvectors at eigenvalues

Hayaan ang A ay isang square matrix. Ang vector v ay tinatawag para sa gayong λ ay tinatawag matrix A kung

Av = λv,

kung saan ang numero λ ay tinatawag Ang bilang na λ kung saan ang equation na ito ay may mga non-zero na solusyon ay tinatawag matrices A. Kaya, ang pagbabagong-anyo na ginagawa ng matrix A sa vector v ay nabawasan sa isang simpleng stretching o compression na may koepisyent na λ. Ang eigenvector ay tinutukoy hanggang sa multiplikasyon ng isang pare-parehong α ≠ 0, i.e. kung ang v ay isang eigenvector, ang αv ay isa ring eigenvector.

2.7. Eigenvalues

Ang matrix A ay may sukat ( Maaari itong ipakita na× Maaari itong ipakita na) ay hindi maaaring higit sa Maaari itong ipakita na eigenvalues. Nabusog sila katangian equation

det(A − λI ) = 0,

na isang algebraic equation Maaari itong ipakita na-ika-utos. Sa partikular, para sa isang 2×2 matrix ang katangian equation ay may anyo

Susunod

kanin.

21 Eigenvalues Set ng eigenvalues ​​​​λ 1 ,..., λ N tinatawag na matrix A spectrum

A.

Ang spectrum ay may iba't ibang katangian. Sa partikular Set ng eigenvalues ​​​​λ 1 ,..., λ det(A ) = λ 1 ×...×λ Set ng eigenvalues ​​​​λ 1 ,..., λ.

, Sp(A ) = λ 1 +...+λ

Ang mga eigenvalues ​​ng isang arbitrary na matrix ay maaaring kumplikadong mga numero, ngunit kung ang matrix ay simetriko (A t = A), kung gayon ang mga eigenvalues ​​nito ay totoo.

2.8. Eigenvectors Maaari itong ipakita na× Maaari itong ipakita na) ay hindi maaaring higit sa Maaari itong ipakita na Ang matrix A ay may sukat ( eigenvectors, bawat isa ay tumutugma sa sarili nitong eigenvalue. Upang matukoy ang eigenvector v n

kailangang lutasin ang isang sistema ng mga homogenous na equation eigenvectors, bawat isa ay tumutugma sa sarili nitong eigenvalue. Upang matukoy ang eigenvector v(A − λ eigenvectors, bawat isa ay tumutugma sa sarili nitong eigenvalue. Upang matukoy ang eigenvector v = 0 .

ako) v eigenvectors, bawat isa ay tumutugma sa sarili nitong eigenvalue. Upang matukoy ang eigenvector v Ito ay may isang hindi mahalaga na solusyon, dahil ang det(A − λ

Susunod

I) = 0.

kanin.

22 Eigenvectors

Ang eigenvectors ng isang simetriko matrix ay orthogonal.

Sa matrix A, kung mayroong isang numero l tulad na AX = lX.

Sa kasong ito, ang numero l ay tinatawag na eigenvalue ng operator (matrix A), na tumutugma sa vector X.

Sa madaling salita, ang eigenvector ay isang vector na, sa ilalim ng pagkilos ng isang linear operator, ay nagiging isang collinear vector, i.e. multiply lang sa ilang numero. Sa kabaligtaran, ang mga hindi wastong vector ay mas kumplikadong baguhin.

Isulat natin ang kahulugan ng isang eigenvector sa anyo ng isang sistema ng mga equation:

Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi:

Ang resultang sistema ay palaging may zero na solusyon X = O. Ang mga ganitong sistema kung saan ang lahat ng libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag na homogenous. Kung ang matrix ng naturang sistema ay parisukat at ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paggamit ng mga formula ng Cramer ay palaging makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon - zero. Mapapatunayan na ang isang sistema ay may mga non-zero na solusyon kung at kung ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero, i.e.

|A - lE| = = 0

Ang equation na ito na may hindi kilalang l ay tinatawag na characteristic equation (characteristic polynomial) ng matrix A (linear operator).

Mapapatunayan na ang katangiang polynomial ng isang linear operator ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan.

Halimbawa, hanapin natin ang mga eigenvalues ​​at eigenvectors ng linear operator na tinukoy ng matrix A = .

Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang katangiang equation |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues ​​​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Upang mahanap ang mga eigenvector, nilulutas namin ang dalawang sistema ng mga equation

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Para sa una sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

,

kung saan ang x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ibig sabihin. X (1) = (-(2/3)s; s).

Para sa pangalawa sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

,

mula sa kung saan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ibig sabihin. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Kaya, ang eigenvectors ng linear operator na ito ay lahat ng vectors ng form (-(2/3)с; с) na may eigenvalue (-5) at lahat ng vectors ng form ((2/3)с 1 ; с 1) na may eigenvalue 7 .

Mapapatunayan na ang matrix ng operator A sa batayan na binubuo ng mga eigenvector nito ay dayagonal at may anyo:

,

kung saan ako ang mga eigenvalues ​​ng matrix na ito.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix A sa ilang batayan ay dayagonal, kung gayon ang lahat ng mga vector ng batayan na ito ay magiging eigenvectors ng matrix na ito.

Mapapatunayan din na kung ang isang linear na operator ay may n pairwise na natatanging eigenvalues, kung gayon ang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent, at ang matrix ng operator na ito sa kaukulang batayan ay may diagonal na anyo.

Ilarawan natin ito sa nakaraang halimbawa. Kunin natin ang mga di-zero na halaga c at c 1, ngunit ang mga vectors X (1) at X (2) ay linearly independent, i.e. magiging batayan. Halimbawa, hayaan ang c = c 1 = 3, pagkatapos X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

I-verify natin ang linear na kalayaan ng mga vector na ito:

12 ≠ 0. Sa bagong batayan na ito, ang matrix A ay kukuha ng anyong A * = .

Para ma-verify ito, gamitin natin ang formula A * = C -1 AC. Una, hanapin natin ang C -1.

C -1 = ;

Quadratic na mga hugis

Ang parisukat na anyo na f(x 1, x 2, x n) ng n mga variable ay isang kabuuan, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o ang produkto ng dalawang magkaibang mga variable, na kinuha sa isang tiyak na koepisyent: f( x 1, x 2, x n ) = (a ij = a ji).

Ang matrix A na binubuo ng mga coefficient na ito ay tinatawag na matrix ng quadratic form. Ito ay palaging isang simetriko matrix (ibig sabihin, isang matrix simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng quadratic form. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient ng mga squared variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng mga halves ng kaukulang coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan C - non-singular matrix ika-utos. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng quadratic form ay tumatagal sa anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang parisukat na anyo f(y 1, y 2), na nakuha mula sa parisukat na anyo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical (may kanonikal na anyo) kung ang lahat ng mga coefficient nito ay a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Theorem (hindi ibinigay dito ang patunay). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin ang quadratic form sa canonical form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, pumili muna ng kumpletong parisukat na may variable na x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pumili kami ng isang kumpletong parisukat na may variable na x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation na y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 at y 3 = x 3 ay dinadala ang quadratic form na ito sa canonical form f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi tiyak na tinutukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang natanggap iba't ibang paraan Ang mga canonical form ay may bilang ng Pangkalahatang pag-aari. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng form sa form na ito (halimbawa, sa halimbawang isinasaalang-alang ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang pag-aari na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagdadala ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito mayroong isang negatibong koepisyent -3 sa y 1 at dalawang positibong koepisyent 3 at 2 sa y 2 at y 3 (at gamit ang isa pang paraan nakakuha kami ng negatibong koepisyent (-5) sa y 2 at dalawang positibo: 2 sa y 1 at 1/20 sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng isang parisukat na anyo, na tinatawag na ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga di-zero na coefficient ng canonical na anyo at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang isang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag na positibo (negatibo) tiyak kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang parisukat na anyo f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ay positibong tiyak, dahil ay isang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, kaya para dito ginagamit namin ang isa sa mga sumusunod na theorems (bubuuin namin ang mga ito nang walang patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (Sylvester criterion). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng mga nangungunang menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.

Ang pangunahing (angular) minor ng kth order ng nth order matrix A ay ang determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, suriin natin ang quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa katiyakan ng sign.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang parisukat na anyo para sa katiyakan ng tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Dahil dito, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak (ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, simula sa minus).

At bilang isa pang halimbawa, sinusuri natin ang quadratic form na tinutukoy ng sign f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Ang isa sa mga numerong ito ay negatibo at ang isa ay positibo. Ang mga palatandaan ng eigenvalues ​​ay iba. Dahil dito, ang parisukat na anyo ay maaaring hindi negatibo o positibong tiyak, i.e. ang quadratic form na ito ay hindi sign-definite (maaari itong kumuha ng mga halaga ng anumang sign).

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Paano magpasok ng mga mathematical formula sa isang website?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong binuo ng Wolfram Alpha . Bukod sa pagiging simple, ito unibersal na pamamaraan ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at, sa palagay ko, gagana magpakailanman), ngunit luma na sa moral.

Kung regular kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, inirerekumenda kong gumamit ka ng MathJax - isang espesyal na library ng JavaScript na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na kung saan ay tamang sandali awtomatikong naglo-load mula sa isang malayong server (listahan ng mga server); (2) i-download ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan - mas kumplikado at matagal - ay magpapabilis sa paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob lamang ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.

Maaari mong ikonekta ang script ng library ng MathJax mula sa isang malayong server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon ng code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o kaagad pagkatapos ng tag. Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit ang pangalawang opsyon ay awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ang pinakabagong mga bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung ilalagay mo ang pangalawang code, mas mabagal ang paglo-load ng mga page, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng download code na ipinakita sa itaas, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang markup syntax ng MathML, LaTeX, at ASCIIMathML, at handa ka nang magpasok ng mga mathematical formula sa mga web page ng iyong site.

Ang anumang fractal ay itinayo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa pagbuo ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may side 1 ay hinahati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ang resulta ay isang set na binubuo ng natitirang 20 mas maliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang hanggan, nakakakuha kami ng Menger sponge.