Paglutas ng mga quadratic inequalities na may isang parameter. §2

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang parameter.

Mga hindi pagkakapantay-pantay na may anyong ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Mga prinsipyo ng solusyon mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter ay halos kapareho sa mga prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation na may isang parameter.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5x – a > ax + 3.

Solusyon.

Una, baguhin natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

5x – palakol > a + 3, alisin natin ang x sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay:

(5 – a)x > a + 3. Ngayon isaalang-alang posibleng mga kaso para sa parameter a:

Kung a > 5, x< (а + 3) / (5 – а).

Kung a = 5, kung gayon walang mga solusyon.

Kung ang< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Ang solusyon na ito ang magiging sagot sa hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 2.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a para sa isang ≠ 1.

Solusyon.

Ibahin natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (-1), nakukuha natin:

palakol/(a – 1) ≥ a/3. I-explore natin ang mga posibleng kaso para sa parameter a:

1 kaso. Hayaan ang a/(a – 1) > 0 o isang € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Pagkatapos x ≥ (a – 1)/3.

Kaso 2. Hayaan ang a/(a – 1) = 0, i.e. a = 0. Kung gayon ang x ay anumang tunay na numero.

Kaso 3. Hayaan ang a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Sagot: x € [(a – 1)/3; +∞) para sa isang € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] para sa isang € (0; 1);
x € R para sa isang = 0.

Halimbawa 3.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |1 + x| ≤ palakol na nauugnay sa x.

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na kanang bahagi inequality palakol ay dapat na non-negatibo, i.e. ax ≥ 0. Sa tuntunin ng paglalahad ng module mula sa hindi pagkakapantay-pantay |1 + x| ≤ palakol mayroon tayong dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Palakol ≤ 1 + x ≤ palakol. Isulat muli natin ang resulta sa anyo ng isang sistema:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Ibahin natin ito sa:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Pinag-aaralan namin ang resultang sistema sa mga pagitan at sa mga punto (Larawan 1):

Para sa isang ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

Sa -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Kapag a = 0 x = -1.

Sa 0< а ≤ 1 решений нет.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Ang pag-plot ng mga graph ay lubos na nagpapasimple sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang parameter. Paggamit graphic na pamamaraan kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter ito ay mas malinaw at kapaki-pakinabang.

Ang graphical na paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f(x) ≥ g(x) ay nangangahulugan ng paghahanap ng mga halaga ng variable x kung saan ang graph ng function na f(x) ay nasa itaas ng graph ng function na g(x). Upang gawin ito, palaging kinakailangan upang mahanap ang mga intersection point ng mga graph (kung mayroon sila).

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |x + 5|< bx.

Solusyon.

Bumubuo kami ng mga graph ng mga function y = |x + 5| at y = bx (Larawan 2). Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga halaga ng variable na x kung saan ang graph ng function na y = |x + 5| ay nasa ibaba ng graph ng function na y = bx.

Ang ipinapakita ng larawan:

1) Para sa b > 1 ang mga linya ay nagsalubong. Ang abscissa ng intersection point ng mga graph ng mga function na ito ay ang solusyon sa equation x + 5 = bx, kung saan ang x = 5/(b – 1). Ang graph na y = bx ay matatagpuan sa itaas sa x mula sa pagitan (5/(b – 1); +∞), na nangangahulugang ang set na ito ay ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

2) Katulad nito, nakita natin iyon sa -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Para sa b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) Para sa 0 ≤ b ≤ 1, ang mga graph ay hindi nagsalubong, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

Sagot: x € (-∞; 5/(b – 1)) para sa b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) sa -1< b < 0;
walang mga solusyon para sa 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) para sa b > 1.

Halimbawa 2.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Solusyon.

1) Hanapin natin ang mga halaga ng "kontrol" para sa parameter a: a 1 = 0, at 2 = -1.

2) Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa bawat subset ng mga totoong numero: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay kukuha ng anyo 0 x > 0 – walang mga solusyon;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay may anyo na 0 x > 4 – walang mga solusyon;

e) a > 0, mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na x > (a + 4)/a.

Halimbawa 3.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |2 – |x||< a – x.

Solusyon.

Bumubuo kami ng graph ng function na y = |2 – |x|| (Larawan 3) at isaalang-alang ang lahat ng posibleng kaso ng lokasyon ng tuwid na linya y = -x + a.

Sagot: ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon para sa isang ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) para sa isang € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) para sa isang > 2.

Kapag nagpapasya iba't ibang gawain, mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter, isang makabuluhang bilang ng mga heuristic na pamamaraan ang ipinahayag, na maaaring matagumpay na mailapat sa anumang iba pang sangay ng matematika.

Mga problema sa paglalaro ng mga parameter mahalagang papel sa pagbuo lohikal na pag-iisip at kultura ng matematika. Iyon ang dahilan kung bakit, na pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa mga parameter, matagumpay mong makayanan ang iba pang mga problema.

May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Aplikasyon

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay online sa Math24.biz para sa mga mag-aaral at mga mag-aaral upang pagsama-samahin ang materyal na kanilang sakop. At pagsasanay sa iyong mga praktikal na kasanayan. Ang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay isang pahayag tungkol sa kamag-anak na laki o pagkakasunud-sunod ng dalawang bagay (ang isa sa mga bagay ay mas mababa o hindi mas malaki kaysa sa isa), o ang dalawang bagay ay hindi magkapareho (pagtanggi sa pagkakapantay-pantay). Sa elementarya na matematika, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay pinag-aaralan sa pangkalahatang algebra, pagsusuri, at geometry, isinasaalang-alang din ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga bagay na di-numero. Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, ang parehong bahagi nito ay dapat matukoy gamit ang isa sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga ito. Ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng dalawang bagay. Hindi tulad ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahintulot sa pagkakapantay-pantay ng mga bagay na kasama dito. Ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay ang pinakasimpleng mga expression sa simula, at ang pinakasimpleng mga diskarte ay ginagamit upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Pangunahing pagkakamali Ang mga mag-aaral sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa online ay hindi nila nakikilala ang mga tampok ng mahigpit at hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, na tumutukoy kung ang mga halaga ng hangganan ay isasama sa panghuling sagot. Ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay na magkakaugnay ng ilang mga hindi alam ay tinatawag na isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Ang solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa sistema ay isang tiyak na lugar sa isang eroplano, o isang three-dimensional na figure sa three-dimensional na espasyo. Kasama nito, ang mga ito ay na-abstract ng mga n-dimensional na puwang, ngunit kapag nilutas ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay madalas na imposibleng gawin nang walang mga espesyal na computer. Para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng hindi alam sa mga hangganan ng lugar ng solusyon. Ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang sagot nito. Ang pagpapalit ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isa pang hindi pagkakapantay-pantay na katumbas nito ay tinatawag na katumbas na paglipat mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa. Ang isang katulad na diskarte ay matatagpuan sa iba pang mga disiplina dahil ito ay tumutulong upang dalhin ang mga expression sa karaniwang view. Mapapahalagahan mo ang lahat ng mga benepisyo ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay online sa aming website. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay isang expression na naglalaman ng isa sa => mga palatandaan. Mahalaga ito ay isang lohikal na pagpapahayag. Maaari itong maging totoo o mali - depende sa kung ano ang nasa kanan at kaliwa sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ang paliwanag ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay at mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay pinag-aaralan sa iba't ibang kurso, gayundin sa paaralan. Paglutas ng anumang hindi pagkakapantay-pantay online - mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, algebraic, trigonometriko, transendental na hindi pagkakapantay-pantay online. Ang magkatulad na hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng mahigpit at hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ay nagpapasimple sa proseso ng pagkamit ng panghuling resulta, ay pantulong na kasangkapan upang malutas ang problema. Paglutas ng anumang hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, maging sila ay logarithmic, exponential, trigonometric o quadratic inequalities at, ay binibigyan ng tulong sa simula ang tamang diskarte sa ganyan mahalagang proseso. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay online sa site ay palaging magagamit sa lahat ng mga gumagamit at ganap na libre. Ang mga solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable ay ang mga halaga ng variable na ginagawa itong totoo. numeric na expression. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may modulus: ang modulus ng isang tunay na numero ay ganap na halaga itong numero. Ang karaniwang paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay upang itaas ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa nais na kapangyarihan. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mga expression na nagpapahiwatig ng paghahambing ng mga numero, kaya ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinitiyak nang tama ang katumpakan ng mga naturang paghahambing. Maaari silang maging mahigpit (mas malaki kaysa, mas mababa kaysa) at hindi mahigpit (mas malaki kaysa sa o katumbas ng, mas mababa sa o katumbas ng). Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga halaga ng mga variable na, kapag pinalitan sa orihinal na expression, ginagawa itong tamang representasyon ng numero Ang konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay, ang kakanyahan at mga tampok nito, pag-uuri at mga varieties - ito ang tumutukoy sa mga detalye ng. ang seksyong ito ng matematika. Mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero na nalalapat sa lahat ng mga bagay ng klaseng ito, ay dapat pag-aralan ng mga mag-aaral sa paunang yugto ng pamilyar sa paksang ito. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay at pagitan ng linya ng numero ay napakalapit na nauugnay kapag pinag-uusapan natin tungkol sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay online. Graphic na pagtatalaga ang paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na nagpapakita ng kakanyahan ng gayong ekspresyon; Ang konsepto ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagsasangkot ng paghahambing ng dalawa o higit pang mga bagay. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang variable ay nalulutas bilang mga katulad na binubuo ng mga equation, pagkatapos nito ay ginawa ang isang seleksyon ng mga pagitan na kukunin bilang sagot. Madali at agad mong malulutas ang anumang algebraic inequality, trigonometric inequality o inequalities na naglalaman ng transendental function gamit ang aming libreng serbisyo. Ang isang numero ay isang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay kung, kapag pinapalitan ang numerong ito sa halip na isang variable, nakuha namin ang tamang expression, iyon ay, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapakita ng tunay na konsepto. ang materyal na sakop at pagsamahin ang kanilang mga praktikal na kasanayan. Kadalasan, ang paksa ng online na hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ay pinag-aaralan ng mga mag-aaral pagkatapos makumpleto ang seksyon ng mga equation. Tulad ng inaasahan, ang lahat ng mga prinsipyo ng solusyon ay inilalapat upang matukoy ang mga agwat ng solusyon. Ang paghahanap ng sagot sa analytical form ay maaaring maging mas mahirap kaysa sa paggawa ng parehong bagay sa numerical form. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay nagbibigay ng mas malinaw at kumpletong larawan ng integridad ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Maaaring magkaroon ng kahirapan sa yugto ng pagbuo ng linya ng abscissa at pag-plot ng mga punto ng solusyon para sa isang katulad na equation. Pagkatapos nito, ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay binabawasan sa pagtukoy ng tanda ng function sa bawat natukoy na agwat upang matukoy ang pagtaas o pagbaba ng function. Upang gawin ito, kailangan mong halili na palitan ang mga halagang nasa loob ng bawat pagitan sa orihinal na function at suriin ang halaga nito para sa positivity o negatibiti. Ito ang kakanyahan ng paghahanap ng lahat ng mga solusyon, kabilang ang mga agwat ng solusyon. Kapag nalutas mo mismo ang hindi pagkakapantay-pantay at nakita mo ang lahat ng mga pagitan na may mga solusyon, mauunawaan mo kung gaano naaangkop ang diskarteng ito para sa karagdagang mga aksyon. Iniimbitahan ka ng website na i-double-check ang iyong mga resulta ng pagkalkula gamit ang isang malakas modernong calculator sa pahinang ito. Madali mong matutukoy ang mga kamalian at pagkukulang sa iyong mga kalkulasyon gamit ang isang natatanging solver ng hindi pagkakapantay-pantay. Madalas na iniisip ng mga mag-aaral kung saan mahahanap ang isa kapaki-pakinabang na mapagkukunan? Salamat sa isang makabagong diskarte sa kakayahang matukoy ang mga pangangailangan ng mga inhinyero, ang calculator ay nilikha batay sa makapangyarihang mga server ng computing gamit lamang ang mga bagong teknolohiya. Sa pangkalahatan, ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa online ay nagsasangkot ng paglutas ng isang equation at pagkalkula ng lahat ng posibleng mga ugat. Ang mga resultang solusyon ay minarkahan sa linya, at pagkatapos ay isinasagawa ang isang karaniwang operasyon upang matukoy ang halaga ng function sa bawat pagitan. Ngunit ano ang gagawin kung ang mga ugat ng equation ay naging kumplikado, kung paano sa kasong ito malutas ang hindi pagkakapantay-pantay sa buong anyo, alin ang makakatugon sa lahat ng mga patakaran para sa pagsusulat ng resulta? Ang sagot dito at maraming iba pang mga katanungan ay madaling maibigay ng aming website ng serbisyo, kung saan walang imposibleng malutas mga problema sa matematika online. Sa pabor sa itaas, idinagdag namin ang sumusunod: sinumang seryosong nakikibahagi sa pag-aaral ng isang disiplina tulad ng matematika ay obligadong pag-aralan ang paksa ng hindi pagkakapantay-pantay. Mayroong iba't ibang uri ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa online ay minsan ay hindi madaling gawin, dahil kailangan mong malaman ang mga prinsipyo ng mga diskarte sa bawat isa sa kanila. Ito ang batayan ng tagumpay at katatagan. Halimbawa, maaari nating isaalang-alang ang mga uri gaya ng logarithmic inequalities o transendental inequalities. Ito ay pangkalahatan espesyal na uri tulad ng tila mahirap na gawain para sa mga mag-aaral, lalo na para sa mga mag-aaral. Ang mga guro ng instituto ay naglalaan ng maraming oras sa pagsasanay sa mga nagsasanay upang makamit ang mga propesyonal na kasanayan sa kanilang trabaho. Isinasama namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa parehong mga uri at tinutukoy ang pangkalahatang diskarte sa paglutas ng set praktikal na mga halimbawa mula sa nakasaad na problema. Sa ilang mga kaso, kailangan mo munang bawasan ang lahat sa isang equation, pasimplehin ito, i-decompose ito sa iba't ibang mga kadahilanan, sa madaling salita, dalhin ito sa isang ganap na malinaw na anyo. Sa lahat ng oras, ang sangkatauhan ay nagsusumikap na mahanap ang pinakamainam na diskarte sa anumang gawain. Salamat kay makabagong teknolohiya, ang sangkatauhan ay gumawa lamang ng isang malaking tagumpay sa hinaharap na pag-unlad nito. Ang mga pagbabago ay bumubuhos sa ating buhay nang higit at mas madalas, araw-araw. Ang batayan ng teknolohiya ng computer ay, siyempre, matematika na may sariling mga prinsipyo at mahigpit na diskarte sa negosyo. ang site ay isang pangkalahatang mathematical na mapagkukunan na kinabibilangan ng isang binuo na inequalities calculator at marami pang ibang kapaki-pakinabang na serbisyo. Gamitin ang aming site at magkakaroon ka ng kumpiyansa sa kawastuhan ng mga problemang nalutas. Ito ay kilala mula sa teorya na ang mga bagay na di-numero ay pinag-aaralan din gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa online, tanging ang pamamaraang ito ay isang espesyal na paraan ng pag-aaral sa seksyong ito sa algebra, geometry at iba pang mga lugar ng matematika. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa iba't ibang paraan; ang pangwakas na pag-verify ng mga solusyon ay nananatiling hindi nagbabago, at ito ay pinakamahusay na gawin sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng mga halaga sa hindi pagkakapantay-pantay mismo. Sa maraming pagkakataon, ang sagot na ibinigay ay halata at madaling suriin sa isip. Ipagpalagay na hinihiling sa amin na lutasin ang isang fractional inequality kung saan ang mga nais na variable ay naroroon sa mga denominator ng fractional expression. Pagkatapos ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay mababawasan upang dalhin ang lahat ng mga termino sa isang karaniwang denominator, na unang inilipat ang lahat sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Susunod na kailangan mong magpasya homogenous equation, nakuha sa denominator ng fraction. Ang mga numerical root na ito ay magiging mga puntos na hindi kasama sa mga agwat ng pangkalahatang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, o tinatawag din silang mga punctured point, kung saan ang function ay napupunta sa infinity, iyon ay, ang function ay hindi tinukoy, ngunit maaari mo lamang makuha ang limitahan ang halaga sa isang naibigay na punto. Ang pagkakaroon ng paglutas ng equation na nakuha sa numerator, inilalagay namin ang lahat ng mga punto sa numero ng axis. Liliman natin ang mga puntong iyon kung saan ang numerator ng fraction ay nagiging zero. Alinsunod dito, iniiwan namin ang lahat ng iba pang mga punto na walang laman o butas. Hanapin natin ang fraction sign sa bawat interval at pagkatapos ay isulat ang huling sagot. Kung may mga shade na puntos sa mga hangganan ng agwat, pagkatapos ay isasama namin ang mga halagang ito sa solusyon. Kung may mga butas na puntos sa mga hangganan ng agwat, hindi namin isasama ang mga halagang ito sa solusyon. Pagkatapos malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, kakailanganin mo sapilitan suriin ang resulta. Magagawa mo ito nang manu-mano, palitan ang bawat halaga mula sa mga pagitan ng pagtugon nang paisa-isa sa paunang expression at tukuyin ang mga error. Ang website ay madaling magbibigay sa iyo ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, at agad mong ihahambing ang mga sagot na iyong natanggap sa calculator. Kung, gayunpaman, ang isang error ay nangyari, kung gayon ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa online sa aming mapagkukunan ay magiging lubhang kapaki-pakinabang sa iyo. Inirerekumenda namin na ang lahat ng mga mag-aaral ay unang magsimulang hindi direktang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay, ngunit makuha muna ang resulta sa website, dahil sa hinaharap ay magiging mas madali na gawin ang tamang pagkalkula sa iyong sarili. Sa mga problema sa salita, ang solusyon ay halos palaging bumababa sa pagbuo ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may ilang mga hindi alam. Tutulungan ka ng aming mapagkukunan na malutas ang hindi pagkakapantay-pantay online sa loob ng ilang segundo. Sa kasong ito, ang solusyon ay gagawin ng isang malakas na programa sa pag-compute na may mataas na katumpakan at walang anumang mga error sa huling sagot. Kaya, maaari kang makatipid ng isang malaking halaga ng mga halimbawa ng paglutas ng oras gamit ang calculator na ito. Sa ilang mga kaso, ang mga mag-aaral ay nakakaranas ng mga paghihirap kapag nasa pagsasanay o sa gawain sa laboratoryo makakatagpo ng mga logarithmic inequalities, at mas malala pa kapag nakita nila ang mga trigonometriko na hindi pagkakapantay-pantay na may mga kumplikadong fractional na expression na may mga sinus, cosine, o kahit na inverse trigonometriko function. Anuman ang maaaring sabihin ng isa, ito ay magiging napakahirap na makayanan nang walang tulong ng isang hindi pagkakapantay-pantay na calculator at ang mga pagkakamali ay posible sa anumang yugto ng paglutas ng problema. Gamitin ang mapagkukunan ng site na ganap na walang bayad, magagamit ito sa bawat gumagamit araw-araw. Ang pagsisimula sa aming assistant service ay napaka magandang ideya, dahil maraming mga analogue, ngunit kakaunti lamang ang tunay na de-kalidad na serbisyo. Ginagarantiya namin ang katumpakan ng mga kalkulasyon kapag ang paghahanap ng sagot ay tumatagal ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay isulat ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa online, at kami naman, ay agad na magbibigay sa iyo ng eksaktong resulta ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang paghahanap para sa gayong mapagkukunan ay maaaring isang walang kabuluhang ehersisyo, dahil malamang na hindi mo mahahanap ang parehong mataas na kalidad na serbisyo tulad ng sa amin. Magagawa mo nang walang teorya tungkol sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa online, ngunit hindi mo magagawa nang walang mataas na kalidad at mabilis na calculator. Hangad namin ang tagumpay sa iyong pag-aaral! Ang tunay na pagpili ng pinakamainam na solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay sa online ay kadalasang nagsasangkot ng lohikal na diskarte random variable. Kung napapabayaan natin ang maliit na paglihis ng saradong patlang, kung gayon ang vector ng pagtaas ng halaga ay proporsyonal sa pinakamaliit na halaga sa pagitan ng pagbaba ng linya ng ordinate. Ang invariant ay proporsyonal sa dalawang beses sa mga nakamapang function kasama ng papalabas na non-zero vector. Ang pinakamahusay na sagot ay palaging naglalaman ng katumpakan ng pagkalkula. Ang aming solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng anyo ng isang homogenous na function ng sunud-sunod na conjugate numerical subsets ng pangunahing direksyon. Para sa unang agwat, kukunin namin ang eksaktong halaga ng pinakamasama-sa-katumpakan ng aming representasyon ng variable. Kalkulahin natin ang nakaraang expression para sa maximum na paglihis. Gagamitin namin ang serbisyo ayon sa pagpapasya ng mga iminungkahing opsyon kung kinakailangan. Kung ang isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan online gamit ang isang mahusay na calculator sa klase nito ay isang retorika na tanong, siyempre, ang mga mag-aaral ay makikinabang lamang mula sa naturang tool at magdadala ng mahusay na tagumpay sa matematika. Magpataw tayo ng isang paghihigpit sa lugar na may isang set, na babawasan natin sa mga elemento na may pang-unawa ng mga impulses ng boltahe. Ang mga pisikal na halaga ng naturang extrema ay mathematically na naglalarawan ng pagtaas at pagbaba ng piecewise na tuloy-tuloy na pag-andar. Sa daan, nakita ng mga siyentipiko ang katibayan ng pagkakaroon ng mga elemento sa iba't ibang antas nag-aaral. Ayusin natin ang lahat ng sunud-sunod na subset ng isang kumplikadong espasyo sa isang hilera na may mga bagay tulad ng bola, kubo o silindro. Mula sa aming resulta maaari kaming gumuhit ng isang hindi malabo na konklusyon, at kapag nalutas mo ang hindi pagkakapantay-pantay, ang output ay tiyak na magbibigay liwanag sa nakasaad na mathematical assumption tungkol sa pagsasama ng pamamaraan sa pagsasanay. Sa kasalukuyang kalagayan kinakailangang kondisyon magiging sapat din na kondisyon. Ang mga pamantayan sa kawalan ng katiyakan ay kadalasang nagdudulot ng hindi pagkakasundo sa mga mag-aaral dahil sa hindi mapagkakatiwalaang data. Ang mga guro sa unibersidad, pati na rin ang mga guro ng paaralan, ay dapat na kumuha ng responsibilidad para sa pagtanggal na ito, dahil sa paunang yugto ng edukasyon ay kinakailangan ding isaalang-alang ito. Mula sa ang konklusyon sa itaas sa opinyon ng mga may karanasang tao, maaari tayong gumawa ng mga konklusyon na ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa online ay isang napakahirap na gawain kapag pumapasok sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng mga hindi alam. iba't ibang uri datos. Ito ay sinabi sa isang siyentipikong kumperensya sa kanlurang distrito, kung saan ang iba't ibang mga katwiran ay iniharap hinggil sa mga natuklasang siyentipiko sa matematika at pisika, pati na rin sa molecular analysis biologically nakaayos na mga sistema. Sa paghahanap pinakamainam na solusyon Ganap na lahat ng logarithmic inequalities ay may pang-agham na halaga para sa lahat ng sangkatauhan. Sinusuri namin ang diskarteng ito para sa mga lohikal na konklusyon batay sa isang bilang ng mga pagkakaiba sa pinakamataas na antas mga konsepto tungkol sa isang umiiral na bagay. Ang lohika ay nagdidikta ng isang bagay na naiiba kaysa sa kung ano ang lumilitaw sa unang tingin sa isang walang karanasan na mag-aaral. Dahil sa paglitaw ng malakihang pagkakatulad, makatuwiran na ipantay muna ang mga ugnayan sa pagkakaiba sa pagitan ng mga bagay sa lugar na pinag-aaralan, at pagkatapos ay ipakita sa pagsasanay ang pagkakaroon ng isang karaniwang resulta ng analitikal. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ganap na nakasalalay sa aplikasyon ng teorya at magiging mahalaga para sa lahat na pag-aralan ang sangay ng matematika na ito, na kinakailangan para sa karagdagang pananaliksik. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga ugat ng pinagsama-samang equation, at pagkatapos ay i-plot ang lahat ng mga punto sa ordinate axis. Ang ilang mga punto ay mabutas, at ang natitira ay isasama sa mga pagitan na may pangkalahatang solusyon. Simulan nating pag-aralan ang seksyon ng matematika mula sa mga pangunahing kaalaman sa pinakamahalagang disiplina kurikulum ng paaralan. Kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay isang mahalagang bahagi ng isang problema sa salita, kung gayon ang paggamit ng mapagkukunan upang kalkulahin ang sagot ay kailangan lang. Ipasok ang kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay nang tama, pindutin ang pindutan at makuha ang resulta sa loob ng ilang segundo. Para sa mabilis at tumpak na mga kalkulasyon sa matematika na may mga numerical o simbolikong coefficient sa harap ng mga hindi alam, kakailanganin mo, gaya ng dati, ng isang unibersal na hindi pagkakapantay-pantay at calculator ng mga equation na makakapagbigay ng sagot sa iyong problema sa loob ng ilang segundo. Kung wala kang oras upang magsulat ng isang buong serye ng mga nakasulat na pagsasanay, kung gayon ang bisa ng serbisyo ay hindi maikakaila kahit sa mata. Para sa mga mag-aaral, ang pamamaraang ito ay mas pinakamainam at makatwiran sa mga tuntunin ng pag-save ng materyal na mapagkukunan at oras. Nasa tapat ng binti ang isang anggulo, at para sukatin ito kailangan mo ng compass, ngunit maaari mong gamitin ang mga pahiwatig anumang oras at lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay nang hindi gumagamit ng anumang mga formula ng pagbabawas. Nangangahulugan ba ito na nagsimula ang matagumpay na pagkumpleto ng aksyon? Tiyak na magiging positibo ang sagot.

solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay nasa mode online solusyon halos anumang naibigay na hindi pagkakapantay-pantay online. Matematika hindi pagkakapantay-pantay sa online upang malutas ang matematika. Maghanap ng mabilis solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay nasa mode online. Ang website na www.site ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap solusyon halos anumang ibinigay algebraic, trigonometriko o transendental na hindi pagkakapantay-pantay online. Kapag nag-aaral ng halos anumang sangay ng matematika sa iba't ibang yugto kailangang magdesisyon hindi pagkakapantay-pantay sa online. Upang makakuha kaagad ng sagot, at higit sa lahat tumpak na sagot, kailangan mo ng mapagkukunan na nagbibigay-daan sa iyong gawin ito. Salamat sa site na www.site lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa online aabutin ng ilang minuto. Ang pangunahing bentahe ng www.site kapag nilulutas ang matematika hindi pagkakapantay-pantay sa online- ito ang bilis at katumpakan ng ibinigay na tugon. Ang site ay kayang lutasin ang anuman algebraic inequalities online, mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko online, transendental na hindi pagkakapantay-pantay online, at hindi pagkakapantay-pantay na may hindi kilalang mga parameter sa mode online. Mga hindi pagkakapantay-pantay nagsisilbing isang makapangyarihang kasangkapang pangmatematika mga solusyon praktikal na mga problema. Sa tulong hindi pagkakapantay-pantay sa matematika posible na ipahayag ang mga katotohanan at relasyon na maaaring tila nakakalito at kumplikado sa unang tingin. Hindi kilalang dami hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng problema sa mathematical wika sa anyo hindi pagkakapantay-pantay At magpasya nakatanggap ng gawain sa mode online sa website na www.site. Anuman algebraic inequality, hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko o hindi pagkakapantay-pantay naglalaman ng transendental mga tampok na maaari mong madaling magpasya online at makuha ang eksaktong sagot. Kapag nag-aaral ng mga natural na agham, hindi maiiwasang makatagpo ka ng pangangailangan mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasong ito, ang sagot ay dapat na tumpak at dapat makuha kaagad sa mode online. Samakatuwid para sa lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa matematika online inirerekumenda namin ang site na www.site, na magiging iyong kailangang-kailangan na calculator para sa paglutas ng mga algebraic inequalities online, mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko online, at transendental na hindi pagkakapantay-pantay online o hindi pagkakapantay-pantay na may hindi kilalang mga parameter. Para sa mga praktikal na problema sa paghahanap ng mga online na solusyon sa iba't ibang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika mapagkukunan www.. Paglutas hindi pagkakapantay-pantay sa online sa iyong sarili, ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang natanggap na sagot gamit online na solusyon hindi pagkakapantay-pantay sa website na www.site. Kailangan mong isulat nang tama ang hindi pagkakapantay-pantay at agad na makuha online na solusyon, pagkatapos na ang natitira na lang ay ihambing ang sagot sa iyong solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Hindi hihigit sa isang minuto ang pagsuri sa sagot, sapat na iyon lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa online at ihambing ang mga sagot. Makakatulong ito sa iyo na maiwasan ang mga pagkakamali sa desisyon at itama ang sagot sa oras kung kailan paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay online alinman algebraic, trigonometriko, transendental o hindi pagkakapantay-pantay na may hindi kilalang mga parameter.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang parameter.

Ang mga prinsipyo para sa paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter ay halos kapareho sa mga prinsipyo para sa paglutas ng mga linear na equation na may isang parameter.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 5x – a > ax + 3.

Solusyon.

Una, baguhin natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

5x – palakol > a + 3, alisin natin ang x sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay:

(5 – a)x > a + 3. Ngayon isaalang-alang ang mga posibleng kaso para sa parameter a:

Kung a > 5, x< (а + 3) / (5 – а).

Kung a = 5, kung gayon walang mga solusyon.

Kung ang< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Ang solusyon na ito ang magiging sagot sa hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 2.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a para sa isang ≠ 1.

Solusyon.

Ibahin natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (-1), nakukuha natin:

palakol/(a – 1) ≥ a/3. I-explore natin ang mga posibleng kaso para sa parameter a:

1 kaso. Hayaan ang a/(a – 1) > 0 o isang € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Pagkatapos x ≥ (a – 1)/3.

Kaso 2. Hayaan ang a/(a – 1) = 0, i.e. a = 0. Kung gayon ang x ay anumang tunay na numero.

Kaso 3. Hayaan ang a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Sagot: x € [(a – 1)/3; +∞) para sa isang € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] para sa isang € (0; 1);
x € R para sa isang = 0.

Halimbawa 3.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |1 + x| ≤ palakol na nauugnay sa x.

Solusyon.

Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na palakol ay dapat na hindi negatibo, i.e. ax ≥ 0. Sa tuntunin ng paglalahad ng module mula sa hindi pagkakapantay-pantay |1 + x| ≤ palakol mayroon tayong dobleng hindi pagkakapantay-pantay

Palakol ≤ 1 + x ≤ palakol. Isulat muli natin ang resulta sa anyo ng isang sistema:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Ibahin natin ito sa:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Pinag-aaralan namin ang resultang sistema sa mga pagitan at sa mga punto (Larawan 1):

Para sa isang ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

Sa -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Kapag a = 0 x = -1.

Sa 0< а ≤ 1 решений нет.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Ang pag-plot ng mga graph ay lubos na nagpapasimple sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang parameter. Ang paggamit ng graphical na paraan kapag nilutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang parameter ay mas malinaw at mas kapaki-pakinabang.

Halimbawa 1.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |x + 5|< bx.

Solusyon.

Ang ipinapakita ng larawan:

2) Katulad nito, nakita natin iyon sa -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Para sa b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) Para sa 0 ≤ b ≤ 1, ang mga graph ay hindi nagsalubong, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.

Sagot: x € (-∞; 5/(b – 1)) para sa b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) sa -1< b < 0;
walang mga solusyon para sa 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) para sa b > 1.

Halimbawa 2.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Solusyon.

1) Hanapin natin ang mga halaga ng "kontrol" para sa parameter a: a 1 = 0, at 2 = -1.

2) Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa bawat subset ng mga totoong numero: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay kukuha ng anyo 0 x > 0 – walang mga solusyon;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay may anyo na 0 x > 4 – walang mga solusyon;

e) a > 0, mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na x > (a + 4)/a.

Halimbawa 3.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay |2 – |x||< a – x.

Solusyon.

Bumubuo kami ng graph ng function na y = |2 – |x|| (Larawan 3) at isaalang-alang ang lahat ng posibleng kaso ng lokasyon ng tuwid na linya y = -x + a.

Sagot: ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon para sa isang ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) para sa isang € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) para sa isang > 2.

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema, mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter, isang makabuluhang bilang ng mga heuristic na pamamaraan ang natuklasan, na maaaring matagumpay na mailapat sa anumang iba pang mga sangay ng matematika.

Ang mga problema sa mga parameter ay may mahalagang papel sa pagbuo ng lohikal na pag-iisip at kultura ng matematika. Iyon ang dahilan kung bakit, na pinagkadalubhasaan ang mga pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa mga parameter, matagumpay mong makayanan ang iba pang mga problema.

May mga tanong pa ba? Hindi alam kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Maraming mga problema sa isang parameter ang bumaba sa pag-aaral ng isang quadratic trinomial, kaya isaalang-alang natin ang mga problemang ito nang mas detalyado.

I. Kapag nilulutas ang pinakasimpleng mga problema, sapat na ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation at Vieta's theorem.

Para sa anong mga halaga ng parameter a a ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na $$x^2+ax-1

Dahil ang koepisyent ng x 2 x^2 ay positibo, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan sa pagitan ng mga ugat sa kaso na $$D > 0$$ at ang walang laman na hanay kung D ≤ 0 D \leq 0 .

Nakita namin ang discriminant: D = a 2 + 4 D = a^2+4 ($$D>0$$ para sa lahat ng a). Pagkatapos ang hanay ng mga solusyon ay ang pagitan

x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac(-a-\sqrt(a^2+4))(2); \dfrac(-a+ \sqrt(a^2+4))(2)) . Kinakailangan na ang haba ng agwat na ito ay katumbas ng 5, i.e.

A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac(-a+\sqrt(a^2+4))(2) = \ dfrac(-a-\sqrt(a^2+4))(2) + 5 \Leftrightarrow \sqrt(a^2+4)=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt(21) .

SAGOT

A = ± 21 a = \pm \sqrt(21)

Para sa anong mga halaga ng parameter p p ang equation x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt(p^2+4p)\cdot x +p-1 ay may mga ugat at ang ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ay minimal?

Maginhawang ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation gamit ang teorem ng Vieta:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2 +x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt(p^2+4p))^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .

Ngunit bago ilapat ang teorama ng Vieta, dapat mong suriin na ang equation ay may mga ugat! Upang gawin ito, kinakalkula namin ang discriminant: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4 . Nakikita namin na positibo ang discriminant para sa alinman mga katanggap-tanggap na halaga p p , ibig sabihin, kailan

p ∈ (- ∞ ; - 4 ] ∪ [ 0 ; + ∞) (5) p \in (- \infty; -4]\bigcup na kailangan mong gumuhit ng iyong sarili, atbp.), mga konklusyon.

Mga Tala. 1. Para sa mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0,\: ax^2 + bx + c ang case a = 0 a =0 ay dapat isaalang-alang nang hiwalay. Pagkatapos ito ay gagana linear equation (hindi pagkakapantay-pantay).

2. Sa karamihan ng mga gawain mahalagang isaalang-alang tanda mga numero a a - ang direksyon ng mga sanga ng parabola ay nakasalalay dito.

3. Tandaan na ang hanay ng dalawang sistema

$$\begin(cases) a > 0, \\ f(a) > 0 \end(cases) and \begin(cases) a

ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $$a f(a) > 0$$. Samakatuwid, sa kondisyon 1 ° 1^(\circ) maaari tayong sumulat ng isang sistema $$\begin(cases) D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_(\text(c))

Ang iba pang mga kundisyon ay maaaring pasimplehin nang katulad:

$$2^(\circ) \Leftrightarrow \begin(cases) D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_(\text(в)) > A .\end(cases) \:\:\ : 3^(\circ) \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A

Lumipat tayo sa mga halimbawa.

Para saan may mga ugat ang equation (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0, at lahat ng nabibilang sila sa pagitan (- 2 ; 0) (-2; 0) ?

1) Kung 2 a - 2 = 0 (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) , ang equation ay nasa anyong 2 x + 1 = 0 2x+1=0 . Ang equation na ito ay may iisang ugat x = - 0.5 x=-0.5, na kabilang sa pagitan (- 2; 0) (-2; 0). Nangangahulugan ito na ang a = 1 a =1 ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema.

2) Kung 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 , kung gayon ang equation ay parisukat. Nakikita namin ang discriminant:

D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^ 2-6a+9=(a-3)^2 .

Dahil ang discriminant ay isang perpektong parisukat, nakita namin ang mga ugat (bilang panuntunan, ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas para sa paghahanap ng mga ugat ay maginhawang gamitin kung ang mga formula para sa mga ugat ay masalimuot. Kung ang discriminant ay isang perpektong parisukat at ang mga ugat ay lumiliko sa pagiging "mabuti", kung gayon mas madaling lutasin ang problema nang direkta):

Upang matugunan ang mga kondisyon ng problema, kinakailangan na ang hindi pagkakapantay-pantay na $$-2 \dfrac(3)(2)$$ ay matugunan.

SAGOT

A ∈ ( 1 ) ∪ (3 2 ; + ∞) a \in $1$\bigcup (\dfrac(3)(2); +\infty) .

Para sa anong mga halaga ng a ang hindi pagkakapantay-pantay $$4^(\textrm(sin)\:x)-2\cdot (a-3) \cdot 2^(\textrm(sin)\:x) + a+3 > 0$$ hold para sa lahat x x ?

Tukuyin natin ang 2 sin x = y 2^(\textrm(sin)\:x)=y . Dahil - 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \leq \textrm(sin)\:x \leq 1 , nakuha namin na 1 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 \dfrac(1)(2) \leq 2^(\textrm (kasalanan)\:x) \leq 2 . Ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo

$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$

Ang problemang ito ay katumbas ng sumusunod: “kung saan a ang hindi pagkakapantay-pantay na $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ ay nasiyahan para sa lahat ng y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac(1)(2);2] ?

Ang graph ng kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay isang parabola na may mga sanga na umaakyat. Ang mga kinakailangan sa gawain ay matutupad sa dalawang kaso. 1) $$D

a) Ang lokasyong ito ng parabola (ang mga ugat ay nasa kaliwa ng segment [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac(1)(2);2]) ay ibinibigay ng mga kundisyon (sinusulat namin at lutasin ang system):

$$\begin(cases) D \geq 0,\\ x_(\text(в)) 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end(cases) \ Pakaliwang arrow ng \leq 1 $$.

b) Ang kasong ito ay ibinibigay ng kondisyong $$D

c) Katulad ng case a) nakuha namin ang system:

$$\!\!\!\! \begin(cases) D \geq 0,\\ x_(\text(в)) > 2,\\ f(2) > 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) (a-3)^3 -(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end(cases) \Leftrightarrow \begin(cases) a\in ( -\infty;1]\bigcup ?

1) Isaalang-alang ang case a = 0 a = 0 (kung gayon ang equation ay hindi quadratic). Ang equation ay nagiging - 5 x - 6 = 0 -5x-6=0 . Mga ugat sa segment [0; 2 ] ay wala, kaya ang a = 0 a = 0 ay hindi angkop.

2) Ang equation ay parisukat. Tukuyin natin ang kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng f (x) f(x) . Ang equation ay nasa pagitan [0; 2 ] eksaktong isang ugat sa dalawang kaso.

A) Ang equation ay may iisang ugat, at ito ay kabilang sa segment [ 0 ; 2]. Posible ito sa D = 0 D = 0. Kinakalkula namin ang discriminant:

D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .

Ang discriminant ay napupunta sa zero sa a = - 25 4 a=-\dfrac(25)(4) . Sa kasong ito, ang orihinal na equation ay nasa anyong - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac(25)(4)x^2-\dfrac(35)(2)x - \dfrac( 49)(4 ) = 0, kung saan ang x = - 7 5 x = -\dfrac(7)(5) . Mga ugat sa segment [0; 2 ] hindi, na nangangahulugan na ang kasong ito ay hindi natanto para sa anumang mga halaga ng parameter a a .

B) Ang equation ay may dalawang ugat ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac(25)(4)$$), ang isa ay kabilang sa segment [ 0 ; 2 ], at ang isa ay hindi. Upang matugunan ang kundisyong ito, kinakailangan at sapat na alinman sa (a) ang function na f (x) f(x) ay tumatagal sa mga dulo ng segment [ 0 ; 2 ] mga halaga ng iba't ibang mga palatandaan - pagkatapos ay ang ugat ay nasa pagitan (0; 2) (0;2) (bilang isang halimbawa (maaari mong independiyenteng isaalang-alang ang iba pang posibleng lokasyon ng parabola), tingnan ang Fig. 7), o (b) sa isa sa mga dulo ng segment ay nagiging zero - pagkatapos ay ang ugat ay namamalagi sa isa sa mga dulo ng segment.

(a) Kundisyon “ang mga numerong f (0) f(0) at f (2) f(2) ay mayroon iba't ibang palatandaan” ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $$f(0)\cdot f(2)

$$\kaliwa(a-6\kanan)\kaliwa(4a+2\kaliwa(2a-5\kanan)+\kaliwa(a-6\kanan)\kanan)

(b) Kung f (0) = 0 f(0) = 0, kung gayon a = 6 a=6. Pagkatapos ang equation ay magiging 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0. Ang mga ugat nito ay ang mga numerong x = 0 x=0 at x = - 7 6 x=-\dfrac(7)(6), ibig sabihin, sa segment [ 0 ; 2 ] mayroon itong eksaktong isang ugat.

Kung f (2) = 0 f(2) = 0, a = 16 9 a=\dfrac(16)(9) . Pagkatapos ay makakakuha tayo ng 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac(16)(9)x^2 - \dfrac(13)(9)x - \dfrac(38)(9) = 0, kung saan x = 2 x=2 o x = - 19 16 x=-\dfrac(19)(16), ibig sabihin, muli, sa dalawang ugat, isa lang ang nabibilang sa segment [ 0 ; 2].

Nangangahulugan ito na ang parehong mga halaga a = 6 a=6 at a = 16 9 a=\dfrac(16)(9) ay nakakatugon sa mga kondisyon ng problema (na may f (2) = 0 f(2) = 0 o f (0) = 0 f(0) = 0 ito ay kinakailangan upang mahanap ang pangalawang ugat at tingnan kung ito ay nasa segment [ 0 ;

Pagsasama-sama ng mga resulta, makakakuha tayo ng ∈ [16 9; 6 ] a\in [\dfrac(16)(9); 6].

SAGOT

16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac(16)(9) \leq a \leq 6

Sa anong mga halaga ng parameter a a ang equation | x 2 - 4 | x | + 3 | = a |x^2-4|x|+3| = a ay may eksaktong 8 solusyon?

Iguhit natin ang mga graph ng kaliwa at kanang bahagi sa xOy plane.

Upang i-plot ang kaliwang bahagi, gumuhit muna ng parabola y = x 2 - 4 x + 3 y = x^2-4x+3. Pagkatapos ay ipinapakita namin ang lahat ng mga punto ng parabola na ito na nasa ibaba ng x-axis na may kaugnayan sa axis na ito at kumuha ng graph ng function na y = | x 2 - 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (Larawan 8a). Susunod, itinatapon namin ang lahat ng mga punto na nakahiga sa kaliwa ng x-axis, at ipinapakita ang natitirang mga puntos na nauugnay sa axis na ito - nakakuha kami ng isang graph ng function na y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| .

Ang graph sa kanang bahagi ay isang pahalang na linya y = a y=a . Ang equation ay may 8 solusyon kapag ang linyang ito ay nag-intersect sa graph y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| sa walong puntos. Madaling makita na nangyayari ito sa $$0RESPONSE

A ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)

Hanapin ang lahat ng value ng parameter p p kung saan ang equation 4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 2 1 - x 4^x+2^(x+2)+7=p- 4^( -x)-2\cdot 2^(1-x) ay may kahit isang solusyon.

Isulat muli natin ang equation sa anyong (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^(-x))+4\cdot (2 ^x+2^ (-x))=p-7 at gawin ang kapalit na 2 x + 2 - x = t 2^x+2^(-x)=t . Sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay, nakukuha natin na t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^(-x))^2 = 4^x+2+4^(-x) , mula sa kung saan 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^(-x) = t^2-2 . Ang equation ay nagiging t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .

Hanapin natin ang hanay ng mga halaga para sa kaliwang bahagi ng equation. Dahil (ginagamit namin na ang kabuuan ng dalawang magkabaligtaran na positibong numero ay hindi bababa sa dalawa: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac(1)(a) \geq 2 para sa $$a>0$$ 0 (posible ang pagkakapantay-pantay para lamang sa a = 1 a = 1). Ito ay mapapatunayan, halimbawa, gamit ang hindi pagkakapantay-pantay ni Cauchy: para sa mga positibong numero, ang arithmetic mean ay hindi bababa sa geometric mean (a 1 + a 2 + . . . + a k k ≥ a 1 · a 2 · . · a k k) ( \dfrac(a_1+a_2+...+a_k)(k) \geq \sqrt[k](a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k)), at pagkakapantay-pantay ay nakakamit lamang sa kaso ng a 1 = a 2 = . (2) \geq \sqrt(ab) , = 1 a b = \dfrac(1)(a) , pagkatapos ay makuha natin ang kinakailangang hindi pagkakapantay-pantay.) t ≥ 2 t \geq 2 , nakikita natin na ang kaliwang bahagi ng equation ay tumatagal. mga halaga mula sa pagitan [16; + ∞) )

Paglutas ng mga quadratic inequalities na may isang parameter. §2

Paglutas ng mga quadratic inequalities na may isang parameter. §2

Aplikasyon

Nakaraang post

Susunod na entry

Mga bagong artikulo

Mga sikat na artikulo