"Noaniq integral. Hisoblash usullari" darsi uchun taqdimot.

Antiderivativ. Differensial hisoblash masalasi: berilgan funksiya berilgan, uning hosilasini toping. Integral hisoblash masalasi: uning hosilasini bilgan funksiyani toping. F(x) funksiya berilgan oraliqdagi f(x) funksiya uchun anti hosila deyiladi, agar bu oraliqdagi istalgan x uchun F ʹ (x)=f(x) tenglik to‘g‘ri bo‘lsa.

Teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiya uchun ma’lum oraliqda anti hosila bo‘lsa, bu funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami F(x)+C ko‘rinishga ega bo‘ladi, bunda C R. y x 0 Geometrik jihatdan: F. (x)+C - op-amp o'qi bo'ylab parallel o'tkazish yo'li bilan ularning har biridan olingan oila egri chiziqlari. C integral egri chizig'i

2-misol. Barcha f(x)=2x teskari hosila funksiyalarni toping va ularni geometrik tasvirlang. y x

Integrand - integral - noaniq integralning belgisi x - integrallash o'zgaruvchisi F(x) + C - barcha anti hosilalar to'plami C - integrasiya doimiysi Anti hosilaviy funktsiyani topish jarayoni integrasiya, matematikaning bo'limi esa integral hisob deb ataladi. .

Noaniq integralning xossalari Noaniq integralning differentsiali integralga, noaniq integralning hosilasi esa integralga teng:

Integratsiyaning asosiy usullari. To'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli. To'g'ridan-to'g'ri integrallash - bu integrallarni hisoblash usuli bo'lib, unda noaniq integralning asosiy xossalarini qo'llash orqali ularni jadvalga keltiriladi. Bunday holda, integratsiya funktsiyasi odatda mos ravishda o'zgartiriladi.

Anoshina O.V.

Asosiy adabiyot

1. Shipachev V. S. Oliy matematika. Asosiy kurs: darslik va
bakalavrlar uchun seminar [Rossiya Federatsiyasi Ta'lim vazirligi Grift] / V.S.
Shipachev; tomonidan tahrirlangan A. N. Tixonova. - 8-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha Moskva: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Shipachev V. S. Oliy matematika. To'liq kurs: darslik
akademik uchun Bakalavr darajasi [Griff UMO] / V. S. Shipachev; tomonidan tahrirlangan A.
N. Tixonova. - 4-nashr, rev. va qo'shimcha - Moskva: Yurayt, 2015. - 608
Bilan
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Oliy matematika
mashqlar va vazifalarda. [Matn] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikova. Soat 2 da - M.: Oliy maktab, 2007. - 304+415c.

Hisobot

1.
Sinov. Quyidagiga muvofiq amalga oshiriladi:
Testlarni bajarish uchun topshiriqlar va ko'rsatmalar
"Amaliy matematika" fanidan, Ekaterinburg, Federal davlat avtonom ta'lim muassasasi
VO "Rossiya davlat kasb-hunar pedagogika
Universitet, 2016 yil - 30 b.
Raqamning oxirgi raqami bo'yicha test variantini tanlang
baho kitobi.
2.
Imtihon

Noaniq integral, uning xossalari va hisobi Anti hosila va noaniq integral.

Ta'rif. F x funksiyasi chaqiriladi
anti hosilaviy funktsiya f x da aniqlangan
ba'zi interval, agar F x f x uchun
bu oraliqdan har bir x.
Masalan, cos x funksiyasi
sin x funksiyasining anti hosilasi, chunki
cos x sin x.

Shubhasiz, agar F x antiderivativ bo'lsa
f x funksiyasi bo'lsa, u holda F x C, bu erda C qandaydir doimiy bo'ladi
f x funksiyaning anti hosilasi.
Agar F x har qanday antiderivativ bo'lsa
f x funksiyalari, keyin shaklning istalgan funksiyasi
F x F x C ham
antiderivativ funktsiya f x va har qanday
antiderivativ bu shaklda ifodalanishi mumkin.

Ta'rif. Hammasining umumiyligi
f x funksiyaning anti hosilalari,
ba'zilarida belgilangan
interval deyiladi
ning noaniq integrali
f x funksiyalari shu oraliqda va
f x dx bilan belgilanadi.

Agar F x funktsiyaning antiderivativi bo'lsa
f x , keyin ular f x dx F x C yozadilar, garchi
f x dx F x C deb yozilsa to'g'riroq bo'ladi.
O'rnatilgan an'anaga ko'ra, biz yozamiz
f x dx F x C.
Shunday qilib, xuddi shu belgi
f x dx butunni bildiradi
f x funksiyaning antiderivativlari to'plami,
va ushbu to'plamning har qanday elementi.

Integralning xossalari

Noaniq integralning hosilasi ga teng
integral funksiya va uning differentsial integrali ifodasi. Haqiqatan ham:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Integralning xossalari

3. ning noaniq integrali
doimiy differensial (x)
differensiallanuvchi funksiya o'ziga teng
bu funktsiya doimiygacha:
d (x) (x) dx (x) C,
chunki (x) (x) ning antiderivatividir.

Integralning xossalari

4.Agar f1 x va f 2 x funksiyalari mavjud bo'lsa
qarshi hosilalar bo'lsa, f1 x f 2 x funksiyasi
shuningdek, antiderivativga ega va
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C.

1. dx x C.
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C.
x
x
a
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C.
gunoh x
dx
9. 2 tgx C.
chunki x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Noaniq integrallar jadvali

11.
dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C.
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
a
dx
1
xa
ln
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2a
ln x x 2 a C.
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x

Differensiallarning xossalari

Integratsiyalashganda foydalanish uchun qulay
xususiyatlari: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

Misollar

Misol. cos 5xdx ni hisoblang.
Yechim. Integrallar jadvalida topamiz
cos xdx sin x C.
Keling, bu integralni jadvalga aylantiramiz,
d ax adx haqiqatdan foydalanib.
Keyin:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C.
5

Misollar

Misol. X hisoblang
3x x 1 dx.
Yechim. Chunki integral belgisi ostida
to'rtta hadning yig'indisidir, demak
integralni to'rtning yig'indisiga kengaytiring
integrallar:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
xC
3
4
2

O'zgaruvchi turining mustaqilligi

Integrallarni hisoblashda bu qulay
quyidagi xususiyatlardan foydalaning
integrallar:
Agar f x dx F x C bo'lsa, u holda
f x b dx F x b C.
Agar f x dx F x C bo'lsa, u holda
1
f ax b dx F ax b C.
a

Misol

Keling, hisoblaylik
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Integratsiya usullari Qismlar bo'yicha integratsiya

Bu usul udv uv vdu formulasiga asoslanadi.
Qismlar bo'yicha integrallash usulidan foydalanib, quyidagi integrallar olinadi:
a) x n sin xdx, bu yerda n 1,2...k;
b) x n e x dx, bu yerda n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, bu yerda n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, bu yerda n 0, 1, 2,... k.
a) va b) integrallarni hisoblashda kiriting
n 1
notation: x n u , keyin du nx dx , va, masalan
sin xdx dv, keyin v cos x.
Integrallarni hisoblashda c), d), u funksiya bilan belgilanadi
arctgx, ln x va dv uchun x n dx ni oling.

Misollar

Misol. X cos xdx ni hisoblang.
Yechim.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C.

Misollar

Misol. Hisoblash
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x 2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

O'zgaruvchilarni almashtirish usuli

f x dx ni topish zarur bo'lsin va
to'g'ridan-to'g'ri antiderivativni tanlang
f x uchun biz qila olmaymiz, lekin biz buni bilamiz
u mavjud. Ko'pincha topish mumkin
yangi o'zgaruvchini kiritish orqali antiderivativ,
formula bo'yicha
f x dx f t t dt, bu erda x t va t yangi
o'zgaruvchan

Kvadrat trinomni o'z ichiga olgan integral funktsiyalar

Integralni ko'rib chiqing
bolta b
dx,
x px q
ichida kvadrat uch a'zoni o'z ichiga oladi
integrandning maxraji
ifodalar. Bunday integralni ham olish mumkin
o'zgaruvchilarni almashtirish usuli bilan,
ilgari ajratilgan
maxraj mukammal kvadratdir.
2

Misol

Hisoblash
dx
.
x 4x 5
Yechim. Keling, x 2 4 x 5 ni o'zgartiramiz,
2
a b 2 a 2 2ab b 2 formulasi yordamida to‘liq kvadratni tanlash.
Keyin biz olamiz:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Misol

Toping
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Aniq integral, uning asosiy xossalari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralning qo'llanilishi.

Aniq integral tushunchasiga olib keladi
egri chiziqning maydonini topish muammosi
trapezoidlar.
Ba'zi intervalda berilsin
uzluksiz funksiya y f (x) 0
Vazifa:
Uning grafigini tuzing va figuraning maydonini F ni toping,
bu egri chiziq bilan chegaralangan ikkita to'g'ri chiziq x = a va x
= b, va pastda - nuqtalar orasidagi abscissa o'qi segmenti
x = a va x = b.

aABb figurasi deyiladi
kavisli trapezoid

Ta'rif

b
f(x)dx
Aniq integral ostida
a
berilgan uzluksiz f(x) funksiyadan to
bu segment tushuniladi
uning tegishli o'sishi
antiderivativ, ya'ni
F (b) F (a) F (x) /
b
a
a va b raqamlari integratsiya chegaralari,
- integratsiya oralig'i.

Qoida:

Aniq integral ayirmaga teng
antiderivativ integralining qiymatlari
yuqori va pastki chegaralar uchun funktsiyalar
integratsiya.
Farq uchun yozuvni kiritish orqali
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Nyuton-Leybnits formulasi.

Aniq integralning asosiy xossalari.

1) Aniq integralning qiymati bog'liq emas
integratsiya o'zgaruvchisi uchun belgi, ya'ni.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
bu yerda x va t har qanday harflar.
2) Aniq integral bilan bir xil
tashqarida
integratsiya nolga teng
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) Integratsiya chegaralarini qayta tartibga solishda
aniq integral o'z belgisini teskari tomonga o'zgartiradi
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(qo'shimchalar xususiyati)
4) Agar interval chekli songa bo'linsa
qisman intervallar, keyin aniq integral,
oraliq ustidan olingan, ma'lumlarning yig'indisiga teng
uning barcha qisman intervallari ustidan olingan integrallar.
b
c
b
f (x) dx f (x) dx
c
a
a
f(x)dx

5) Doimiy multiplikatorni sozlash mumkin
aniq integral belgisi uchun.
6) Algebraikning aniq integrali
uzluksiz chekli sonlarning yig'indisi
funksiyalar bir xil algebraikga teng
bularning aniq integrallari yig'indisi
funktsiyalari.

3. Aniq integralda o‘zgaruvchining o‘zgarishi.

3. O‘zgaruvchini ma’lum birga almashtirish
integral.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
Qayerda
t uchun [ ; ] , (t) va (t) funksiyalar uzluksiz;
5
Misol:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Noto'g'ri integrallar.

Noto'g'ri integrallar.
Ta'rif. f(x) funksiya ustida aniqlansin
cheksiz interval, bu erda b< + . Если
mavjud
b
lim
f(x)dx,
b
a
keyin bu chegara noto'g'ri deb ataladi
f(x) funksiyaning intervaldagi integrali
}