Вычислить длину одной арки циклоиды онлайн калькулятор. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

* ВАЖНО! Для калькулятора расчета навеса из поликарбоната, уровень нагрузки для Вашего региона необходимо определить самостоятельно, исходя из карт снеговой и ветровой нагрузок (указаны ниже), и таблиц, соответствующих данному региону нагрузок.
На примере ниже, рассмотрим выбор нагрузки для Ростова-на-Дону и ближайших к нему городов. При расчете навеса, обязательно необходимо учитывать нагрузки, на которые будет рассчитана конструкция навеса. Согласно карте зон снегового покрова России, Ростов-на-Дону относится ко II категории снеговой нагрузки, а согласно карте зон ветровых нагрузок, наш город относится к III категории.
III Категория ветровой нагрузке соответствует давлению в 38 кг/м2, согласно таблице.
II Категория снеговой нагрузки соответствует давлению в 120 кг/м2, согласно таблице. При выборе нагрузки для расчета, следует ориентироваться на максимальное значение нагрузки, взятой из обеих таблиц.
Поэтому для Ростова-на-Дону и городов, удаленных от него не более чем на 100 км, необходимо выбрать расчетное значение уровня нагрузки для навеса не менее 120 кг/м 2.

Карта зон снегового покрова на территории России	Карта зон ветровых нагрузок на территории России
Снеговой регион I II III IV V VI VII VIII 80 120 180 240 320 400 480 560	Конструкция и достоинства арочных крыш Виды опорных каркасов Кровельные покрытия для арочной кровли Как сделать монтаж арочной крыши из поликарбоната В частном домостроительстве на сегодняшний день используются самые разные технические решения, от традиционных до весьма нестандартных. Возможность создавать практически любые конструкции и использовать весь ассортимент современных строительных материалов, присутствующий на рынке, стала причиной распространения нетипичных и смелых решений. Все сказанное выше в полной мере относится к арочным крышам – довольно непривычным и оригинальным конструкциям, которые при всей кажущейся сложности обустраиваются без каких-либо проблем. Калькулятор расчета радиуса лучковой арки О том, как сделать арочную крышу, и пойдет речь в этой статье. Конструкция и достоинства арочных крыш Арочная крыша представляет собой изогнутую конструкцию, имеющую форму дуги. Такие крыши используются в жилых домах, на промышленных объектах и административных постройках для защиты от внешних факторов. До недавнего времени сфера использования арочных крыш ограничивалась специализированными постройками – бассейнами, оранжереями и пр. Сейчас же арочные конструкции с успехом используются в самых разных ситуациях, что в немалой степени обуславливается рядом присущих им достоинств, среди которых: Оригинальные визуальные характеристики. Крыши арочного типа встречаются нечасто, поэтому жилой дом с такой конструкцией автоматически становится оригинальным и выделяющимся на фоне более традиционных скатных кровель. Хорошая сопротивляемость ветру. Изогнутая форма обеспечивает арочным крышам хорошую аэродинамику, благодаря которой конструкция в итоге оказывается защищенной от срывов покрытия. Небольшая снеговая нагрузка. На выгнутой арочной крыше снег попросту не задерживается, поэтому все опорные элементы испытывают значительно меньшую нагрузку, чем в других типах конструкций. Расширение свободного пространства под кровлей. Арочная конструкция кровли делает внутренний объем помещений более просторным с визуальной точки зрения. Кроме того, стоит отметить и универсальность арочных конструкций – при необходимости их можно использовать в любых архитектурных стилях, от довольно архаичных до вполне себе современных. Виды опорных каркасов Важнейшим элементом любой кровельной конструкции является ее каркас. Арочные крыши исключением не являются – правильно собранная опорная система держит на себе все остальные элементы конструкции и обеспечивает ее надежность. Существуют следующие виды опорных каркасов, используемых для обустройства арочных крыш: Деревянные . Арочная крыша из дерева – это одна из самых дешевых и простых конструкций. Единственным недостатком деревянных опорных каркасов является слабая несущая способность, поэтому они не подходят для крыш, имеющих большую площадь. Стальные . Из квадратных стальных труб можно изготовить очень прочный и надежный каркас для арочной крыши. В отличие от предыдущего варианта, металлическая опора отличается высокой механической прочностью, но при этом ей свойственен большой собственный вес, поэтому потребуется мощный фундамент и стены. Алюминиевые . Каркас из алюминия объединяет в себе все достоинства деревянных и стальных конструкций – он прочен, легок, прост в монтаже и имеет отличную устойчивость к коррозии. Недостатком в данном случае является очень высокая стоимость. Железобетонные . Опорный железобетонный каркас хорош во всем, но его целесообразно использовать только при монтаже крупных промышленных или торговых построек. Бескаркасные . Арочная крыша может монтироваться на специальный самонесущий каркас, которому не требуются дополнительные опоры. Чтобы арочная кровля была надежной, нужно подойти к выбору каркаса и его обустройству со всей ответственностью. При проектировании конструкции необходимо в обязательном порядке рассчитать мощность опорной системы. Кровельные покрытия для арочной кровли К материалам, используемым для кровли арочных крыш, предъявляется несколько специфических требований – в частности, материал должен хорошо изгибаться и удерживать приданную ему форму. Чаще всего арочные конструкции обустраиваются с использованием следующих кровельных покрытий: Листовая сталь . Для того, чтобы просто накрыть арочную крышу, вполне подходят металлические листы – он недорогие и монтируются без каких-либо затруднений. Профнастил . В отличие от стальных листов, профнастил при своем небольшом весе имеет хорошую несущую способность. Для обустройства арочной крыши требуется особый профнастил, который имеет фиксированный радиус изгиба – то есть сделать крышу с произвольной величиной изгиба не выйдет. Сотовый поликарбонат . Вполне подходящим материалом для арочной крыши является сотовый поликарбонат – он достаточно прочен и отличается минимальным весом. Важным преимуществом поликарбоната по сравнению с аналогами является способность пропускать свет, что позволяет использовать естественное освещение в здании. Возможность обустройства и параметры арочной кровли тесно связана с кровельным покрытием. Для создания конструкции с большим изгибом лучше всего подходит поликарбонат – он имеет лучшую гибкость и легко монтируется. Как сделать монтаж арочной крыши из поликарбоната Учитывая то, что сотовый поликарбонат является самым популярным и наиболее подходящим для арочной крыши материалом, то именно на его примере стоит рассматривать ее монтаж. Алгоритм сборки арочной крыши выглядит следующим образом: В первую очередь необходимо провести расчет несущей способности каркаса и шага установки элементов конструкции; В соответствии с расчетами и чертежами монтируется каркас, при сборке которого нужно уделить особое внимание одинаковой степени изгиба каждой дуги; Элементы каркаса фиксируются на верхней обвязке здания через каждые метр-полтора; Начинать монтаж нужно с первой и последней дуги, чтобы можно было выравнивать остальные элементы относительно уже установленных; Далее к дугам при помощи специальных планок крепится поликарбонат; Для защиты сотового поликарбоната от влаги и загрязнений нужно обязательно установить торцевой профиль. Монтировать листы поликарбоната нужно таким образом, чтобы их профиль располагался параллельно изгибам каркаса – это необходимо для защиты материала от скопления влаги. Заключение Арочная крыша – это довольно оригинальная и интересная конструкция, которая может с успехом использоваться в качестве функционального или декоративного элемента постройки. Если работа по обустройству крыши была проведена правильно, то готовая конструкция по надежности не будет уступать более традиционным скатным аналогам. Расчет и чертеж навеса Создание навеса из профильной трубы Виды креплений элементов навеса и их размеры Выбор профильных труб для изготовления ферм Навес из профильной трубы – это очень распространенная конструкция, которую можно встретить едва ли не в каждом дворе. Из профильных труб можно сделать как небольшой навес над крыльцом, так и большую крышу для автомобильной стоянки – и конструкция в любом случае будет достаточно крепкой, красивой и простой в обустройстве. В данной статье будет рассмотрен расчет навеса из профильной трубы и его монтаж. Расчет и чертеж навеса Грамотный расчет и создание хорошего чертежа подразумевают соблюдение ряда стандартов и требований, предъявляемых к конструкциям из профильных труб. Впрочем, маленькие односкатные навесы не нужно рассчитывать так уж точно – небольшой козырек из профильной трубы большим весом не отличается, поэтому никакой опасности такого рода конструкции не представляют. Крупногабаритные навесы для стоянок или бассейнов нужно обязательно рассчитать, чтобы избежать проблем. Чертеж навеса из профтрубы всегда начинается с эскиза – простого наброска, на котором указан тип конструкции, ее основные особенности и примерные габариты. Чтобы точно определить размеры будущего навеса, стоит провести замеры на участке, где конструкция и будет располагаться. В том случае, если навес будет пристраиваться к дому, то необходимо также измерить стену, чтобы точно знать размеры профильной трубы для навеса. Можно рассмотреть методику расчета на примере конструкции, расположенной на площадке 9х7 м, расположенной перед домом с размерами 9х6 м: Длина навеса вполне может равняться длине стены (9 м), а вылет конструкции на метр короче ширины площадки – т.е. Расчёт арок Нижний край вполне может иметь высоту 2,4 м, а высокий стоит поднять до 3,5-3,6 м; Угол наклона ската определяется в зависимости от разницы высот нижнего и верхнего краев (в данном примере получается около 12-13 градусов); Для расчета нагрузок на конструкцию нужно найти карты, отображающие уровень атмосферных осадков в данном регионе, и отталкиваться от них; Когда размер конструкции и предполагаемые нагрузки рассчитаны, остается составить подробный чертеж, подобрать материалы и приступить к сборке навеса. Чертежи ферм из профильной трубы для навеса должны отображаться отдельно со всеми подробностями. Также стоит помнить, что минимальный уклон навеса составляет 6 градусов, а оптимальное значение – 8 градусов. Слишком малый наклон не позволит снегу сползать самостоятельно. Закончив с чертежами, подбирается соответствующий материал и его количество. Расчет нужно проводить точный, а перед приобретением стоит добавить около 5% допуска – при работе очень часто происходят небольшие потери, да и брак встречается нередко. Создание навеса из профильной трубы Конструкция навеса особой сложностью не отличается. Если чертеж навеса и необходимые для его сборки материалы уже есть, то можно приступить непосредственно к обустройству конструкции. Изготовление навеса из профильной трубы осуществляется по следующему алгоритму: Сначала размечается и подготавливается участок под навес. Нужно подобрать место для фундаментных ям и выкопать их, а потом засыпать дно всех ям щебнем. В ямах устанавливаются закладные элементы, после чего фундамент заливается цементным раствором. К нижним частям стоек навеса привариваются стальные детали квадратной формы, размер которых совпадает с габаритами закладных деталей, как и диаметр отверстий под болты. Когда раствор застынет, столбы для навеса из профильной трубы прикручиваются к закладным деталям. Следующий шаг – сборка каркаса. Профильная труба на этом этапе размечается и разрезается на необходимые куски, и только после этого может осуществляться изготовление ферм из профильной трубы для навеса. Сначала при помощи болтов крепятся боковые фермы, потом фронтальные перемычки, а последними при необходимости обустраиваются раскосные решетки. Собранный каркас устанавливается на стойки и фиксируется выбранным способом. Перед монтажом кровли навес нужно покрасить или покрыть антикоррозионным составом, чтобы предотвратить возможное разрушение материала – во время сборки базовое покрытие повреждается, и металлические детали в результате теряют сопротивляемость коррозии. Кроме того, нужно понимать, что внешняя обработка не защищает конструкцию от разрушения изнутри, поэтому края труб необходимо закрыть заглушками. Виды креплений элементов навеса и их размеры Для сборки элементов навеса из профильной трубы могут использоваться разные способы: Одним из наиболее распространенных способов фиксации навесов из профтруб является болтовое соединение. Качество такого соединения достаточно высокое, при этом сложностью оно не отличается. Для работы потребуется дрель со сверлом по металлу, а также болты или саморезы, диаметр которых зависит от сечения трубы. Еще один способ, которым крепятся элементы навеса – сварное соединение. Сварочные работы требуют определенных навыков, да и оборудование потребуется более дорогое, чем для болтового соединения. Впрочем, результат того стоит – сварка обеспечивает высокую прочность конструкции без ее ослабления. Для фиксации небольших навесов из труб диаметром до 25 мм можно использовать систему краб, которая представляет собой специальные хомуты разной формы(детальнее: «Какие бывают краб системы для профильных труб, правила выполнения соединений»). Чаще всего при монтаже навесов применяются Т-образные и Х-образные хомуты, обеспечивающие соединение трех или четырех труб соответственно. Для стяжки хомутов требуются болты с соответствующими гайками, которые часто приходится докупать отдельно. Главный недостаток краб-систем – возможность сборки конструкции только под 90-градусным углом. Выбор профильных труб для изготовления ферм Подбирая трубы для обустройства крупногабаритного навеса из профильной трубы, необходимо изучить следующие стандарты: СНиП 01.07-85, в котором описана зависимость между степенью нагрузок и весом составляющих элементов конструкции; СНиП П-23-81, описывающий методику работы со стальными деталями. Эти стандарты и конкретные требования к конструкции позволяют точно рассчитать ее параметры, в частности, угол склона кровли, вид профильных труб и ферм. Читайте также: «Как сделать навес из профильной трубы правильно — инструкция». Можно рассмотреть обустройство конструкции на примере пристенного навеса размерами 4,7х9 м, опирающийся на наружные стойки спереди, а сзади прикрепленный к зданию. Подбирая угол наклона, лучше всего остановиться на 8-градусном показателе. Изучив стандарты, можно узнать уровень снеговой нагрузки в регионе. В данном примере односкатная крыша из профильной трубы будет подвергаться нагрузке, составляющей 84 кг/м2. Одна 2,2-метровая стойка из профильной трубы имеет вес около 150 кг, а степень нагрузки на нее получается около 1,1 тонны. Учитывая степень нагрузки, придется подбирать прочные трубы – стандартная круглая профильная труба с 3-мм стенками и диаметром 43 мм здесь не подойдет. Минимальные размеры круглой трубы должны составлять 50 мм (диаметр) и 4 мм (толщина стенки). Если в качестве материала используется труба диаметром 45 мм и толщиной стенки 4 мм. Выбирая фермы, стоит остановиться на конструкции из двух параллельных контуров с раскосной решеткой. Для фермы высотой 40 см можно использовать профильную трубу квадратного сечения с диаметром 35 мм и толщиной стенки 4 мм (прочитайте также: «Как сделать фермы из профильной трубы – виды и способы монтажа»). На изготовление раскосных решеток хорошо пойдут трубы диаметром 25 мм и толщиной стенки 3 мм. Заключение Собрать навес из профтрубы своими руками не так уж сложно. Для успешной работы необходимо грамотно спроектировать будущую конструкцию и ответственно подойти к каждому этапу реализации проекта – и тогда в результате получится надежная конструкция, способная простоять долгие годы. Расчет двухшарнирных арок. Расчет арок с затяжкой основная система, если ее рассматривать при совместном действии заданной нагрузки и распора трехшарнирной арки от этой нагрузки. В дальнейшем будем применять первую основ­ную систему. Для двухшарнирной арки составляется одно каноническое урав­нение метода сил, из которого находится распор или усилие в затяжке: Х1 = Н = – Δ1р/δ11. Так как ось арки очерчена по кривой у = f (х), то для вычисления перемещений основной системы уже нельзя пользоваться правилом А. Н. Верещагина и необходимо применять интегральную формулу Максвелла - Мора. На практике моменты инерции поперечных сече­ний арок принимаются постоянными или переменными. Наиболее удо­бен для интегрирования такой закон изменения моментов инерции поперечных сечений арки: Ix = Iс/cos휑, где IС - момент инерции в среднем сечении арки; 휑 - угол наклона касательной к оси арки по отношению к координатной оси х. Для двухшарнирных арок по конструктивным и эстетическим сооб­ражениям более подходит другой закон: Ix = Iс×cos휑. При этом высоты поперечных сечений плавно повышаются от опор к середине пролета арки. При расчете арок приняты следующие пра­вила знаков внутренних усилий: изгибающий момент, вызывающий растяжение во внутренних волокнах, считается положительным; растягивающая нормальная сила принята положительной; попереч­ная сила считается положительной, если она вращает оставшуюся часть по часовой стрелке. При расчете двухшарнирной арки разложение нагрузки на симметричную и кососимметричную не вносит существенного упрощения. Отметим, что при кососимметричной нагрузке распор Х1 равен нулю. Если арка имеет затяжку, то основная система может быть получена разрезанием затяжки (рис. 8).

Разобранные примеры помогли нам привыкнуть к новым понятиям эволюты и эвольвенты. Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы заняться исследованием разверток циклоидальных кривых.

Изучая ту или иную кривую, мы нередко строили вспомогательную кривую - «спутницу» данной кривой.

Рис. 89. Циклоида и ее сопровождающая.

Так, мы строили конхоиды прямой и окружности, развертку окружности, синусоиду - спутницу циклоиды. Теперь, исходя из данной циклоиды, мы построим неразрывно связанную с ней вспомогательную циклоиду же. Оказывается, совместное изучение такой пары циклоид в некоторых отношениях проще, чем изучение одной отдельно взятой циклоиды. Такую вспомогательную циклоиду мы будем называть сопровождающей циклоидой.

Рассмотрим половину арки циклоиды АМВ (рис. 89). Нас не должно смущать, что циклоида эта расположена непривычным образом («вверх ногами»).

Проведем 4 прямые, параллельные направляющей прямой АК на расстояниях а, 2а, 3а и 4а. Построим производящий крут в положении, соответствующем точке М (на рис. 89 центр этого круга обозначен буквою О). Угол поворота МОН обозначим через . Тогда отрезок АН будет равен (угол выражен в радианах).

Диаметр НТ производящего круга продолжим за точку Т до пересечения (в точке Е) с прямой РР. На ТЕ как на диаметре построим окружность (с центром ). Построим касательную в точке М к циклоиде АМВ. Для этого точку М нужно, как мы знаем, соединить с точкой Т (стр. 23). Продолжим касательную МТ за точку Т до пересечения со вспомогательной окружностью, и точку пересечения назовем . Вот этой-то точкою мы и хотим теперь заняться.

Угол МОН мы обозначили через Поэтому угол МТН будет равняться (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу). Треугольник очевидно, равнобедренный. Поэтому не только угол но и угол будут каждый равняться Таким образом, на долю угла в треугольнике остается ровно радианов (вспомним, что угол 180° равен радианов). Заметим еще, что отрезок НК равен, очевидно, а ().

Рассмотрим теперь окружность с центром , изображенную на рис. 89 штриховой линией. Из чертежа ясно, что это за окружность. Если катить ее без сколь-" жения по прямой СВ, то её точка В опишет циклоиду ВВ. Когда штриховой круг повернется на угол , центр придет в точку , а радиус займет положение Таким образом, построенная нами точка оказывается точкою циклоиды ВВ,

Описанное построение ставит в соответствие каждой точке М циклоиды АМВ точку циклоиды На рис. 90 это соответствие показано более наглядно. Полученная таким путем циклоида и называется сопровождающей. На рис. 89 и 90 циклоиды, изображенные жирными штриховыми линиями, являются сопровождающими по отношению к циклоидам, изображенным жирными сплошными линиями.

Из рис. 89 видно, что прямая является нормалью в точке к сопровождающей циклоиде. Действительно, эта прямая проходит через точку циклоиды и через точку Т касания производящего круга и направляющей прямой («наинизшую» точку производящего круга, как мы говорили когда-то; теперь она оказалась «наивысшей», потому что чертеж повернут).

Но эта же прямая, по построению, является касательной к «основной» циклоиде АМВ. Таким образом, исходная циклоида касается каждой нормали сопровождающей циклоиды. Она является огибающей для нормалей сопровождающей циклоиды, т. е. ее эволютой. А «сопровождающая» циклоида оказывается просто напросто эвольвентой (разверткой) исходной циклоиды!

Рис. 91 Соответствие между точками циклоиды и ее сопровождающей.

Занимаясь этим громоздким, но в сущности простым построением, мы доказали замечательную теорему, открытую голландским ученым Гюйгенсом. Вот эта теорема: эволютой циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая.

Построив эволюту не к одной арке, а ко всей циклоиде (что можно, разумеется, сделать только мысленно), зятем эволюту к этой эволюте и т. д., получим рис. 91, напоминающий черепицу.

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы Гюйгенса мы не пользовались ни бесконечно малыми, ни неделимыми, ни приблизительными оценками. Даже механикой мы не пользовались, хогя употребляли иногда заимствованные из механики выражения. Доказательство это совершенно в духе тех рассуждений, которыми пользовались ученые XVII века, когда хотели строго обосновать результаты, полученные с помощью различных наводящих соображений.

Из теоремы Гюйгенса получается сразу важное следствие. Рассмотрим отрезок АВ на рис. 89. Длина этого отрезка равна, очевидно, 4а. Представим себе теперь, что на дугу АМВ циклоиды намотана нить, закрепленная в точке А и снабженная карандашом в точке В. Если мы будем «сматывать» нить, то карандаш будет двигаться по развертке циклоиды АМВ, т. е. по циклоиде ВМВ.

Рис. 91 Последовательные эволюты циклоиды.

Длина нити, равная длине полуарки циклоиды, будет, очевидно, равна отрезку АВ, т. е., как мы видели, 4а. Следовательно, длина всей арки циклоиды будет равна 8а, и формулу можно считать теперь достаточно строго доказанной.

Из рис. 89 можно увидеть больше: формулу не только для длины всей арки циклоиды, но и для длины любой ее дуги. Действительно, очевидно, что длина дуги MB равна длине отрезка , т. е. удвоенному отрезку касательной в соответствующей точке циклоиды, заключенному внутри производящего крута.

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Угол между AB" или A"B и осью x = 45 o

Площадь одной петли = a 2 /2

ЦИКЛОИДА

Площадь одной дуги = 3πa 2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n - четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на "локоне" определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a 2 /2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b

ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y 2 = x 3 /(2a - x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба , т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Длина дуги циклоиды впервые была вычислена английским архитектором и математиком Реном в 1658 году. Рен исходил из механических соображений, напоминающих первые работы Торричелли и Роберваля. Он рассматривал поворот катящегося круга на весьма малый угол около «нижней» точки производящей окружности. Чтобы придать наводящим соображениям Рена доказательную силу, пришлось бы рассмотреть целый ряд вспомогательных теорем, соответственно пришлось бы затратить слишком много труда.

Гораздо удобнее воспользоваться более длинным, но пологим путем. Для этого нужно рассмотреть особую кривую, которая есть у каждой пологой кривой - ее развёрткой.

Рассмотрим выпуклую дугу АВ кривой линии (рис. 4.1). Представим себе, что к дуге АВ в точке А прикреплена гибкая нерастяжимая нить такой же длины, как сама дуга АВ, причем эта нить «навёрнута» на кривую и плотно к ней прилегает, так что её конец совпадает с точкой В. Будем «развертывать» -- распрямлять нить, держа ее натянутой, так что свободная часть СМ нити будет все время направлена по касательной к дуге АВ. При этих условиях конец нити опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется разверткой или, по-латыни, эвольвентой исходной кривой.

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой АВ на рис. 4.2, имеет точку С, в которой касательная к кривой переходит с одной ее стороны на другую (такая точка называется точкой перегиба), то и в этом случае можно говорить о развертке кривой, но рассуждения придется немного усложнить.

Представим себе, что нить закреплена как раз в точке перегиба С (рис. 4.2). Нить, сматываясь с дуги ВС, опишет кривую ВМР -- развертку.

Теперь представим себе нить, намотанную на дугу АС исходной кривой, но эта нить уже удлиненная: в точке С к ней привязан кусочек нити СР. Сматывая удлиненную нить АСР с кривой СА, мы получим дугу РНК, образующую вместе с дугой ВМР единую непрерывную кривую -- непрерывную, но не везде плавную: точке прогиба С исходной кривой будет соответствовать острие (точка возврата) кривой ВМРНК: кривая ВМРНК и будет эвольвентой (разверткой) кривой ВСА.

Эти примеры помогли нам привыкнуть к новым понятиям эволюты и эвольвенты. Теперь займёмся исследованием разверток циклоидальных кривых.

Изучая ту или иную кривую, мы нередко строили вспомогательную кривую -- «спутницу» данной кривой. Так, мы стоили синусоиду -- спутницу циклоиды. Теперь, исходя из данной циклоиды, мы постоим неразрывно связанную с ней вспомогательную циклоиду же. Оказывается, совместное изучение такой пары циклоид в некоторых отношениях проще, чем изучение одной отдельно взятой циклоиды. Такую вспомогательную циклоиду мы будем называть сопровождающей циклоидой.

Рассмотрим половину арки циклоиды АМВ (рис. 4.3). Нас не должно смущать, что циклоида эта расположена непривычным образом («вверх ногами»). Проведем 4 прямые, параллельные направляющей прямой АК на расстояниях a , 2a , 3a и 4a . Построим производящий круг в положении, соответствующем точке М (на рис. 4.3 центр этого круга обозначен буквою О). Угол поворота МОН обозначим через ц. Тогда отрезок АН будет равен бц (угол ц выражен в радианах).

Диаметр НТ производящего круга продолжим за точку Т до пересечения (в точке Е) с прямой РР. На ТЕ как на диаметре построим окружность (с центром О 1). Построим касательную в точке М к циклоиде АМВ. Для этого точку М нужно, как мы знаем, соединить с точкой Т. Продолжим касательную МТ за точку Т до пересечения со вспомогательной окружностью, и точку пересечения назовем М 1 . Вот этой-то точкой М 1 мы и хотим теперь заняться.

Угол МОН мы обозначили через ц. Поэтому угол МТН будет равняться (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу). Треугольник ТО 1 М 1 , очевидно, равнобедренный. Поэтому не только угол О 1 ТМ 1 , но и угол ТМ 1 О 1 будут каждый равняться. Таким образом, на долю угла ТО 1 М 1 в треугольнике ТО 1 М 1 остается ровно р - ц радианов (вспомним, что угол 180? равен р радианов). Заметим еще, что отрезок НК равен, очевидно, б (р - ц).

Рассмотрим теперь окружности с центром О 2 , изображенную на рис.4.3 штриховой линией. Из чертежа ясно, чтом это за окружность. Если катить ее без скольжения по прямой СВ, то её точка В опишет циклоиду ВВ. Когда штриховой круг повернется на угол р -- ц, центр О 2 придет в точку О 1 , а радиус О 2 В займет положение О 1 М 1 . Таким образом, построенная нами точка М 1 оказывается точкою циклоиды ВВ.

Описанное построение ставит в соответствие каждой точке М циклоиды АМВ точку М 1 циклоиды ВМ 1 В. На рис. 4.4 это соответствие показано более наглядно. Полученная таким путем циклоида называется сопровождающей. На рис. 4.3 и 4.4 циклоиды, изображенные жирными штриховыми линиями, являются сопровождающими по отношению к циклоидам, изображенными жирными сплошными линиями.

Из рис. 4.3 видно, что прямая ММ 1 является нормалью в точке М 1 к сопровождающей циклоиде. Действительно, эта прямая проходит через точку М 1 циклоиды и через точку Т касания производящего круга и направляющей прямой («наинизшую» точку производящего круга, как мы говорили когда-то; теперь она оказалась «наивысшей», потому что чертеж повернут). Но эта же прямая, по построению, является касательной к «основанию» циклоиде АМВ. Таким образом, исходная циклоида касается каждой нормали сопровождающей циклоиды. Она является огибающей для нормалей сопровождающей циклоиды, т.е. ее эволютой. А «сопровождающая» циклоида оказывается просто-напросто эвольвентой исходной циклоиды!

Занимаясь этим громоздким, но в сущности простым построением, мы доказали замечательную теорему, открытую голландским ученым Гюйгенсом. Вот эта теорема: эволютой циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая .

Построив эволюту не к одной арке, а ко всей циклоиде (что можно, разумеется, сделать только мысленно), затем эволюту к этой эволюте и т.д., получим рис. 4.5, напоминающий черепицу.

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы Гюйгенса мы не пользовались ни бесконечно малыми, ни неделимыми, ни приблизительными оценками. Даже механикой мы не пользовались, хотя употребляли иногда заимствованные из механики выражения. Доказательство это совершенно в духе тех рассуждений, которыми пользовались ученые XVII века, когда хотели строго обосновать результаты, полученные с помощью различных наводящих соображений.

Из теоремы Гюйгенса получается сразу важное следствие. Рассмотрим отрезок АВ на рис. 4.4. Длина этого отрезка равна, очевидно, 4a . Представим себе теперь, что на дугу АМВ циклоиды намотана нить, закрепленная в точке А и снабженная карандашом в точке В. Если мы будем «сматывать» нить, то карандаш будет двигаться по развертке циклоиды АМВ, т.е. по циклоиде ВМ 1 В. Длина нити, равная длине полуарки циклоиды, будет, очевидно, равна отрезку АВ, т.е., как мы видели, 4a . Следовательно, длина L всей арки циклоиды будет равна 8a , и формулу L=8a можно считать теперь достаточно строго доказанной.

Вычислим длину дуги при помощи дифференциальной геометрии. Решение, полученное таким способом получится куда короче и легче:

где t?

| r(t)| ===2sin