Изложил основные геометрические аксиомы и теоремы. Теорема и аксиома лемма, следствия

В последующих пунктах будут даны определения многих геометрических фигур и других понятий. Дать определение чему-либо - значит объяснить, что это такое. При определении любого понятия употребляются другие понятия, которые должны быть уже известны. Однако нельзя дать определения всех понятий, поэтому некоторые из них принимают без определений и называют их неопределяемыми. К таким понятиям относятся, например, точка и прямая (см. п. 2).

На рисунке 5 прямые а и имеют одну общую точку А. Прямые, имеющие одну общую точку, называются пересекающимися, а точка А - точкой пересечения прямых а и

Рассуждение, с помощью которого устанавливается правильность утверждения о свойстве геометрической фигуры, называется доказательством.

Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, истинность которого доказывается, называется теоремой.

Совершенно ясно, что невозмолено доказать все свойства геометрических фигур, не приняв некоторые из них за основные, являющиеся отправными в доказательствах других свойств фигур.

Принимаемые без доказательства свойства фигур называют аксиомами.

По ходу изложения материала будут сформулированы аксиомы, на основе которых построен школьный курс планиметрии. Эти аксиомы обозначены буквой А.

В главе II будет рассмотрена группа аксиом стереометрии.

К аксиомам планиметрии относятся, например, основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Используя уже имеющиеся определения и аксиомы, можно доказать первую теорему планиметрии.

Т. 1. 1. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Если бы две различные прямые имели две точки пересечения, то получилось бы, что через эти точки проходят две различные прямые. А это невозможно, так как согласно через две точки проходит только одна прямая.

Эта теорема доказывается методом доказательства от противного. Этот метод состоит в том, что сначала делается предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы, а нередко на доказанные ранее теоремы, приходят к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо известной ранее теореме. На этом основании заключают, что предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Строение курса геометрии можно охарактеризовать так:

1. Перечисляются основные геометрические понятия, они вводятся без определения.

2. На основе введенных понятий даются определения всем остальным геометрическим понятиям.

3. Формулируются аксиомы.

4. На основе аксиом и определений доказываются теоремы, которые, в свою очередь, используются для доказательства других теорем курса геометрии.

Построение геометрии с учетом выполнения всех этих пунктов называется аксиоматическим.

Пример. Даны четыре точки. Сколько различных прямых могут определять эти точки?

Решение. Воспользуемся аксиомой геометрии Существенным здесь является рассмотрение различных возможностей

расположения точек. Принципиально различными являются три случая расположения четырех точек (рис. 6). В первом случае (рис. 6, а) мы имеем одну прямую, во втором случае (рис. 6, б) - четыре прямые, в третьем случае (рис. 6, в) - шесть прямых.

АКСИОМА

АКСИОМА

(от греч. axioma - значимое, принятое положение) - исходное, принимаемое без доказательства положение к.-л. теории, лежащее в основе доказательств др. ее положений.
Долгое термин «А.» понимался не просто как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в особом доказательстве в силу его самоочевидности, наглядности, ясности и т.п. Так, Аристотель считал, что А. (начала) не требуют доказательства по причине своей ясности и простоты. Др.-греч. математик Евклид рассматривал принятые им геометрические А. как самоочевидные истины, достаточные для выведения всех др. истин геометрии. Нередко А. трактовались как вечные и непреложные истины, известные до всякого опыта и не зависящие от него, попытка обоснования которых могла только подорвать их очевидность.
Переосмысление проблемы обоснования А. изменило и самого термина «А.». А. являются не исходным началом познания, а скорее его промежуточным результатом. Они обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых составных элементов теории: последней есть одновременно и подтверждение ее А. Критерии выбора А. меняются от теории к теории и являются во многом прагматическими, учитывающими соображения краткости, удобства манипулирования, минимизации числа исходных понятий и т.п. В частности, в формальном исчислении, теорем которого уже известен, А. - это просто одна из тех формул, из которых выводятся остальные доказуемые формулы. Если, однако, еще не определена однозначно, ее А. может диктоваться и содержательными соображениями.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ - способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.
А.м. - особый способ определения объектов и отношений между ними. Он используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др.
А.м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря «Началам» Евклида, появившимся ок. 330-320 до н.э. Евклиду не удалось, однако, описать в его «аксиомах и постулатах» все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. «Скрытые» допущения геометрии Евклида были выявлены только в Новейшее время Д. Гильбертом, рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.
К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т.д.
А.м. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.
Как показал К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности А.м. и невозможности полной формализации научного знания.

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

АКСИОМА

(греч. - удостоенное, принятое положение, от о? - считаю достойным) , исходное положение науч. теории, принимаемое в качестве истинного без логич. доказательства и лежащее в основе доказательства др. положений этой теории. Термин «А.» впервые встречается у Аристотеля. В истории познания А. обычно рассматривались как вечные и непреложные априорные истины, при этом упускалась из виду их обусловленность многовековым человеч. опытом, прак-тич.познават. деятельностью.

В совр. науке А.- это те предложения теории, которые принимаются за исходные, причём об истинности решается либо в рамках др. науч. теорий, либо посредством интерпретации данной теории. В отличие от содержат, науч. теории, А. в формальном исчислении - это просто одна из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы (теоремы этого исчисления) .

см. также ст. Аксиоматический метода лит. к ней.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

АКСИОМА

(от греч. axioma – , требование)

исходное положение, которое не может быть доказано, но в то же время и не нуждается в доказательстве, т. к. является совершенно очевидным и поэтому может служить исходным положением для др. положений (см. Дедукция). Логическими аксиомами являются: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего (см. Exclusi tertii principium), закон достаточного основания. Аксиоматика – учение об определениях и доказательствах в их отношении к системе аксиом. Ср. Логистика.

Философский энциклопедический словарь . 2010 .

АКСИО́МА

(греч. ἀξίωμα – удостоенное, принятое положение, от ἀξιόω – считаю достойным) – положение нек-рой данной теории, к-рое при дедуктивном построении этой теории не доказывается в ней, а принимается за исходное, отправное, лежащее в основе доказательств других предложений этой теории. Обычно в качестве А. выбираются такие предложения рассматриваемой теории, к-рые являются заведомо истинными или могут в рамках этой теории считаться истинными, не вызывая сомнений в силу своей простоты и ясности.

Возникнув в Древней Греции, термин "А." впервые встречается у Аристотеля, а затем через труды последователей и комментаторов Эвклида прочно входит в геометрию. В средние века аристотелевской философии обусловило его проникновение в другие области науки, а через нее и в обыденную . А. стали называть такое положение, к-рое, будучи совершенно очевидным, не нуждается в доказательстве. Природу этой очевидности видели, следуя взглядам, идущим еще от Платона, в прирожденности человеку таких основных истин, как математич. А. Учение Канта об априорности последних, т.е. о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на А. Построение Лобачевским неэвклидовой геометрии явилось первым крупным ударом по взгляду на А. как на вечные и непреложные "априорные" истины.

Критикуя взгляды Гегеля на логич. А. (на фигуры аристотелевских силлогизмов), Ленин писал: "практическая человека миллиарды раз должна была приводить человека к повторению разных логических фигур, д а б ы эти фигуры м о г л и получить а к с и о м" ("Философские тетради", 1947, с. 164). Именно в обусловленности многовековым человеч. опытом и практикой, включая сюда также и , и опыт развития науки, – очевидности А., рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

Вместе с тем взгляда на А. как на "априорные" истины привело к раздвоению понятия А. Все возрастающая в связи с запросами практики экспериментировать в области построения новых теорий, заменять, подобно Лобачевскому, одну А. , а также связанная с опытным происхождением А. их относительность, от ранее встречавшихся конкретных условий опыта и уровня развития науки, приводящая к невозможности выбрать раз навсегда и навечно в качестве А. такие положения, к-рые будут истинны абсолютно во всех условиях, – все это обусловило появление (а в наст. время в математике, особенно в математич. логике) и господство понятия А. в смысле, несколько отличном от традиционного. Понятие А. в этом новом смысле зависит от того, построение какой теории рассматривается и как проводится. А. данной теории при этом называются просто те предложения этой теории, к-рые при данном построении ее как дедуктивной теории (т.е. при данной ее аксиоматизации) принимаются за исходные, притом совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны.

Более того, уже из опыта, напр., построения различных неэвклидовых геометрий и их последующего истолкования и практич. использования (см. Относительности теория) стала ясной при построении (или аксиоматизации) той или иной теории каждый раз требовать заранее истинности ее аксиом. Об истинности А. нек-рой теории можно говорить лишь в связи с той или иной интерпретацией системы А. этой теории, но даже вопрос о существовании интерпретации часто ставится уже после построения самой теории. Да и при наличии фиксированной интерпретации возникают глубокие трудности, связанные со сложностью самого понятия истинности и проявляющиеся при попытках логико-математич. определения этого понятия в применении хотя бы к предложениям нек-рой достаточно четко описанной теории. Эти трудности могли быть обнаружены лишь после того, как стало возможным говорить о математич. описаниях самих теорий средствами развитого аппарата математич. логики, позволяющего формализовать различные теории. С его созданием связано дальнейшее , еще одно раздвоение понятия А., появление третьего смысла этого термина. В формальном исчислении А. является уже не предложением нек-рой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из к-рых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нем формулы ("теоремы" этого исчисления). См. также Метод аксиоматический и лит. к этой статье.

А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

АКСИОМА

АКСИОМА (греч. αξίωμα-принятое положение)-предложение, по какой-либо причине принимаемое в качестве исходного для каких-либо дальнейших рассуждений. Это общее аксиомы всякий раз конкретизируется вместе с уточнением того, что понимается под предложением, причиной и под дальнейшими рассуждениями. Типичные примеры аксиом: 1) некоторое символического языка исчисления, если под дальнейшими рассуждениями понимаются использующие его выводы в рамках данного исчисления. В этом случае причина принятия аксиом-само рассматриваемого исчисления. Здесь сомнения по поводу принятия аксиом бессмысленны; 2) некоторая эмпирическая , если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на ее основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы-вера в закономерность природы, выражаемую данной гипотезой. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но и желательны; 3) соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но все-таки таким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное . Это тот, когда под дальнейшими рассуждениями понимается заведомо истинных следствий из неоднозначно понимаемого исходного суждения. Здесь сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого рода аксиому используют в рамках научной теории, ее часто называют постулатом значения; 4) , оцениваемое как необходимо истинное (аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениями понимался какая-либо систематически развиваемая , претендующая на в эпистемологическом отношении (геометрия Евклида, Декарта, Спинозы, Фихте, Гильберта и т. д.). В этом случае причина принятия аксиомы-свидетельство специальной познавательной (интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых (называемых часто самоочевидными) истин. В рамках указанной претензии сомневаться в аксиомах абсурдно, но вопрос об оправданности самой этой претензии- одна из самых глубоких и открытых проблем в философии. К. Ф. Самохвалов

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль . Под редакцией В. С. Стёпина . 2001 .

Смотреть что такое "АКСИОМА" в других словарях:

- (греч. axioma, от axium признавать, почитать). Истина, не требующая доказательств, напр., целое больше своей части. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АКСИОМА греч. axioma, от axiun, признавать,… … Словарь иностранных слов русского языка

См … Словарь синонимов

аксиома - ы ж. axiome m., нем. Axiom <, гр. axiôma. 1547. Лексис.1. Отправное положение какой л. науки, принимаемое без доказательств. Сл. 18. Логическия и Онтологическия аксиомы. Брян. 1799 4. || чаще мн. Непреложные правила какой л. науки, искусства;… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Начальные геометрические сведения дошли до нас из глубокой древности. Например, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму прямоугольника, треугольника, трапеции, приведены в древнеегипетских математических папирусах, относящихся к 2000 г. до н.э., в клинописных таблицах Древнего Вавилона.

Начальные геометрические знания были добыты опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) началось от древнегреческого ученого Фалеса (VI в. до н.э.). Ему приписывают установление свойств равнобедренного треугольника, доказательство равенства вертикальных углов, доказательство того, что вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой, и др. Фалес, по-видимому, применял поворот части фигуры и перегибание чертежа, т.е. то, что в наши дни называют перемещениями, или движениями (см. Геометрические преобразования).

Постепенно доказательства приобретают в геометрии все большее значение. К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательства. К этому времени относится книга «Начала», написанная древнегреческим ученым Евклидом (см. Евклид и его «Начала»). В ней доказываются свойства параллелограммов и трапеций, приведена теорема Пифагора (см. Пифагора теорема), изучается подобие многоугольников, рассматриваются многие другие геометрические факты.

В этой книге Евклид проводит аксиоматический взгляд на геометрию. Точка зрения Евклида была следующей. Взяв какую-либо теорему, можно проследить, какие ранее доказанные теоремы были использованы при ее выводе. Для этих ранее доказанных теорем в свою очередь можно выделить те более простые факты, из которых они выводятся, и т.д. В конце концов получается набор некоторых фактов, которые позволяют доказать все изучаемые теоремы геометрии. Эти выделенные факты настолько просты, что не возникает вопроса о необходимости их вывода. Их назвали аксиомами (это греческое слово означает «удостоенное, принятое положение»).

Весь набор аксиом (система) называется аксиоматикой. Таким образом, аксиомы – это первоначальные факты геометрии, которые принимаются без доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие факты этой науки. Утверждения, выводимые из аксиом, называют теоремами.

Среди сформулированных Евклидом аксиом имеются, например, следующие: «через две точки можно провести прямую»; «порознь равные третьему равны между собой»; «если в плоскости даны прямая и лежащая вне этой прямой точка, то через эту точку можно провести в плоскости не более одной прямой, которая не пересекается с данной» (последняя из этих аксиом – аксиома параллельности – у Евклида формулировалась иначе).

Аксиомы есть не только в геометрии, но и в алгебре, и других математических науках. Например, равенства:

, , , ,

,

выражающие свойства сложения и умножения, являются в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для вывода новых фактов (для доказательства теорем). Например, с помощью аксиом доказывают формулы квадрата суммы или разности, правила умножения многочленов, формулу суммы членов геометрической прогрессии и т.д.

В каждой математической науке аксиомы возникают в процессе ее долгого и сложного исторического развития. Первоначальные факты накапливаются в результате практической деятельности человека. Их проверяют, уточняют, систематизируют. Исключают из них те, которые могут быть выведены из других первоначальных фактов. Иногда обнаруживается, что оставшийся список простейших фактов (аксиом) – неполный, т.е. этих фактов недостаточно для вывода всех теорем, и тогда к этому списку добавляют недостающие аксиомы. В результате и получается полный набор аксиом (аксиоматика).

После Евклида математики многих поколений стремились улучшить, дополнить его аксиоматику геометрии. Большую роль сыграли работы современника Евклида, древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин. Из ученых более позднего времени существенный вклад в усовершенствование аксиоматики геометрии внесли русский математик Н.И.Лобачевский, французский математик М. Паш, итальянский математик Д. Ж. Пеано. Логически безупречный список аксиом геометрии был указан на рубеже XIX и XX вв. немецким математиком Д. Гильбертом.

Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα - «доказательство, вид; взгляд; представление, положение») - утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.

В математических текстах теоремами обычно называют только те доказанные утверждения, которые находят широкое применение в решении математических задач. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами,предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называютгипотезами.

Наиболее знаменитыми являются теоремы Ферма, Пифагора и Птолемея.

Лемма (греч. λημμα - предположение) - доказанное утверждение, полезное не само по себе, а для доказательства других утверждений. Примеры известных лемм -лемма Евклида, лемма Жордана, лемма Гаусса, лемма Накаямы, лемма Гриндлингера, Лемма Лоренца, Лемма Лебедева.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα - утверждение, положение), постула́т - исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое в основе доказательства других ее положений.

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать - то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

В современной науке аксиомы - это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.

Аксиоматиза́ция теории - явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами .

Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).

Примеры аксиом

• Аксиома выбора
• Аксиома параллельности Евклида
• Аксиома Архимеда
• Аксиома объёмности
• Аксиома регулярности
• Аксиома полной индукции
• Аксиома Колмогорова
• Аксиома булеана

• Аксиоматика
  • Аксиоматика теории множеств
  • Аксиоматика вещественных чисел
  • Аксиоматика Евклида
  • Аксиоматика Гильберта

История

Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384-322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы - как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома - это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. Лишь подтверждение теории является одновременно и подтверждением набора её аксиом.

См. также

В Викицитатнике есть страница по теме
Аксиома

• Догма
• Концепция
• Логика
• Гипотеза
• Формализм (математика)
• Теоремы Гёделя о неполноте
• Система отсчёта
• Теорема
• Теория множеств
• Теория категорий