Основные понятия кинематики и формулы.

Прежде всего, следует заметить, что речь будет идти о геометрической точке, то есть области пространства, не имеющей размеров. Именно для этого абстрактного образа (модели) и справедливы все представленные ниже определения и формулы. Однако для краткости я в дальнейшем буду часто говорить о движении тела , объекта или частицы . Это я делаю только для того, чтобы Вам легче было читать. Но всегда помните, что речь идет о геометрической точке.

Радиус-вектор точки - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Радиус-вектор обозначается, как правило, буквой r . К сожалению некоторые авторы обозначают его буквой s . Настоятельно советую не использовать обозначение s для радиус-вектора. Дело в том, что подавляющее большинство авторов (как отечественных, так и зарубежных) используют букву s для обозначения пути, который является скаляром и к радиус-вектору, как правило, отношения не имеет. Если вы будете обозначать радиус-вектор как s , то легко можете запутаться. Еще раз, мы, как и все нормальные люди, будем использовать следующие обозначения: r - радиус-вектор точки, s - путь, пройденный точкой.

Вектор перемещения (часто говорят просто - перемещение ) - это вектор , начало которого совпадает с той точкой траектории, где было тело, когда мы начали изучать данное движение, а конец этого вектора совпадает с той точкой траектории, где мы это изучение закончили. Будем обозначать этот вектор как Δr . Использование символа Δ очевидно: Δr - это разность между радиус-вектором r конечной точки изучаемого отрезка траектории и радиус-вектором r 0 точки начала этого отрезка (рис. 1), то есть Δr = r − r 0 .

Траектория - это линия, вдоль которой движется тело.

Путь - это сумма длин всех участков траектории, последовательно проходимых телом при движения. Обозначается либо ΔS, если речь идет об участке траектории, либо S, если речь идет о всей траектории наблюдаемого движения. Иногда (редко) путь обозначают и другой буквой, например, L (только не обозначайте его как r, мы уже об этом говорили). Запомните! Путь - это положительный скаляр ! Путь в процессе движения может только увеличиваться .

Средняя скорость перемещения v ср

v ср = Δr /Δt.

Мгновенная скорость перемещения v - это вектор, определяемый выражением

v = dr /dt.

Средняя скорость пути v ср - это скаляр, определяемый выражением

V ср = Δs/Δt.

Часто встречаются и другие обозначения, например, .

Мгновенная скорость пути v - это скаляр, определяемый выражением

Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути - это одно и то же, поскольку dr = ds.

Среднее ускорение a

a ср = Δv /Δt.

Мгновенное ускорение (или просто, ускорение ) a - это вектор, определяемый выражением

a =dv /dt.

Касательное (тангенциальное) ускорение a τ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор , являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось .

Нормальное (центростремительное) ускорение a n - это вектор , являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали .

Модуль касательного ускорения

| a τ | = dv/dt,

То есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.

Модуль нормального ускорения

| a n | = v 2 /r,

Где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.

Важно! Хочу обратить внимание на следующее. Не путайтесь с обозначениями, касающимися касательного и нормального ускорений! Дело в том, что в литературе по этому поводу традиционно наблюдается полная чехарда.

Запомните!

a τ - это вектор касательного ускорения,

a n - это вектор нормального ускорения.

a τ и a n являются векторными проекциями полного ускорения а на касательную ось и ось нормали соответственно,

A τ - это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,

A n - это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,

| a τ |- это модуль вектора касательного ускорения,

| a n | - это модуль вектора нормального ускорения.

Особенно не удивляйтесь, если, читая в литературе о криволинейном (в частности, вращательном) движении, Вы обнаружите, что автор под a τ понимает и вектор, и его проекцию, и его модуль. То же самое относится и к a n . Все, как говорится, «в одном флаконе». И такое, к сожалению, сплошь и рядом. Даже учебники для высшей школы не являются исключением, во многих из них (поверьте - в большинстве!) царит полная неразбериха по этому поводу.

Вот так, не зная азов векторной алгебры или пренебрегая ими, очень легко полностью запутаться при изучении и анализе физических процессов. Поэтому знание векторной алгебры является наиглавнейшим условием успеха в изучении механики. И не только механики. В дальнейшем, при изучении других разделов физики, Вы неоднократно в этом убедитесь.

Мгновенная угловая скорость (или просто, угловая скорость ) ω - это вектор, определяемый выражением

ω = dφ /dt,

Где dφ - бесконечно малое изменение угловой координаты (dφ - вектор!).

Мгновенное угловое ускорение (или просто, угловое ускорение ) ε - это вектор, определяемый выражением

ε = dω /dt.

Связь между v , ω и r :

v = ω × r .

Связь между v, ω и r:

Связь между | a τ |, ε и r:

| a τ | = ε · r.

Теперь перейдем к кинематическим уравнениям конкретных видов движения. Эти уравнения надо выучить наизусть .

Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:

r = r 0 + v t,

Где r - радиус-вектор объекта в момент времени t, r 0 - то же в начальный момент времени t 0 (в момент начала наблюдений).

Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:

r = r 0 + v 0 t + a t 2 /2, где v 0 скорость объекта в момент t 0 .

Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:

v = v 0 + a t.

Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах имеет вид:

φ = φ 0 + ω z t,

Где φ - угловая координата тела в данный момент времени, φ 0 - угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ω z - проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).

Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:

φ = φ 0 + ω 0z t + ε z t 2 /2.

Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:

Х = А Cos (ω t + φ 0),

Где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ 0 - начальная фаза колебаний.

Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

V x = − ω · A · Sin (ω t + φ 0).

Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:

А x = − ω 2 · A · Cos (ω t + φ 0).

Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:

ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3,14 - число пи).

Математический маятник имеет период колебаний T, определяемый выражением:

В числителе подкоренного выражения - длина нити маятника, в знаменателе - ускорение свободного падения

Связь между абсолютной v абс, относительной v отн и переносной v пер скоростями:

v абс = v отн + v пер.

Вот, пожалуй, и все определения и формулы, которые могут понадобиться при решении задач на кинематику. Приведенная информация носит только справочный характер и не может заменить электронную книгу, где доступно, подробно и, надеюсь, увлекательно изложена теория этого раздела механики.

Движения тел классифицируют по форме траектории и виду кинематических зависимостей (законов движения). По форме траектории различают прямолинейное и криволинейное движения, в частности, движение по окружности и движение тела, брошенного под углом к горизонту (траектория – парабола). Основными видами движения являются равномерное и равнопеременное (в частности, равноускоренное или равнозамедленное), т.е. движение с постоянным ускорением (например, в поле силы тяжести).

Таблица 1. Классификация механических движений

Для задания положения используются 3 подхода:

расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки,

координатный – с помощью системы координат,

векторный – с помощью радиус-вектора.

В каждом из этих случаев формула закона движения своя.

Равномерное движение – движение с постоянной скоростью (какпо модулю , так ипо направлению ). Такое движение – всегдапрямолинейное движение. В этом случае путь всегда равен величине перемещенияS .

Закон равномерного движения:

(1)
,
- (1-я форма), где- модуль скорости,

(1’)
- (2-я форма), где- проекция скорости движения на осьх .

Если скорость меняется (по величине или по направлению), то движение считаетсянеравномерным .

Методические указания. При ответе на вопрос «Как меняется скорость тела? » необходимо выбрать один из следующих ответов:

скорость меняется только по направлению (величина скорости постоянна);

скорость меняется только по модулю (направление постоянно);

скорость меняется и по модулю и по направлению;

скорость НЕ меняется (модуль И направление постоянны!) – в случае отрицательного ответа.

Наличие нескольких способов изменения скорости обусловлено тем, что это векторная величина. Для сравнения отметим, что скалярная величина характеризуется одним параметром - числовым значением (или только модуль – неотрицательное число, или, для некоторых скаляров, модуль и знак: «плюс» или «минус» - т.е. любое действительное число). Так, проекция скорости на ось есть скалярная величина определенного знака, в отличие от величины пройденного пути.

Равнопеременное движение (равноускоренное или равнозамедленное,но не только!)– движение с постоянным ускорением по следующему закону:

(2)
- зависимость путиS от времени (форма 1),

,
.

- модуль начальной скорость,а – модуль ускорения,t – затраченный промежуток времени.

иначе

(3)
- зависимость координаты от времени (форма 2),

(4)
,
.

Равенства, записанные в скалярной форме, требуют учета знаков перед значениями векторных величин!.

Методические указания. При записи закона движения в форме 2 направления всех векторных величин сравниваются с выбранным положительным направлением осей координат, поэтому выбор знака «+» или «-» осуществляется и перед скоростью и перед ускорением. Форма 1 соответствует выбору положительного направления в сторону самого движения (по направлению начальной скорости).

Замечание. При решении задач часто очень удобно использовать формулу, являющуюся следствием исключения из формул (2) и (4) параметра t :

(5)
- путь, пройденный при движении с ускорениемa на участке изменения скорости от до (необходимо учесть знак! В случае равнозамедленного движения величины и в числителе формулынадо поменять местами).

Равномерное движение по окружности – движение по окружности спостоянной по модулю скоростью. Скорость как векторная величина МЕНЯЕТСЯ, но лишь по направлению(см. выше вариант 1). Поэтому в этом случае есть ускорение – центростремительное (нормальное), зависящее от модуля линейной скорости:

(6)
, гдеR – радиус окружности.

При движении по окружности тело проходит за единицу времени некоторое расстояние вдоль траектории – определяемое линейной скоростью. В то же время тело за единицу времени поворачивается на некоторый угол – определяемый угловой скоростью.Угловая скорость (при равномерном движении по окружности!) численно равна углу поворота за единицу времени:

(7)
, где
- угол поворота за время
.

Угловая скорость также имеет направление, которое определяется по правилу правого винта 3 , т.е. она направлена перпендикулярно плоскости окружности.

Замечание. В случае неравномерного движения по окружности необходимо говорить о мгновенном значении угловой скорости, которое находится как производная от угла поворота по времени:
. Кроме того, угловая скорость имеет и направление, которое находится по правилу правого буравчика; в частности, угловая скорость перпендикулярна плоскости вращения. Т.е. угловая скорость в общем также является векторной величиной!

Частота вращения n - количество оборотов в единицу времени. За один оборот принимается поворот на угол
.Период вращенияТ – время одного полного оборота. Основные формулы:

(8)
;(9)
;(10)
.

Каждой угловой величине можно поставить в соответствие величину линейную (см. табл.2):

Таблица 2. Связь линейных и угловых величин

Связь линейных и угловых величин можно представить схематично:

Угловая величина R = Линейная величина

Например, имеем формулы:

(11)
;(12)

и, как следствие формулы (6), получаем: (13)
,

где R - радиус окружности,a n - центростремительное ускорение.

Методические указания. Если скорость меняется только по направлению, т.е. есть лишь ускорение, перпендикулярное (нормальное - от слова «нормаль») скорости, то его чаще называют центростремительным (как в случае равномерного движения по окружности). Если же имеет место изменение обоих параметров (модуля и направления), то соответственно каждому из них выделяют отдельно две составляющие ускорения:тангенциальное (касательное) ускорение а  , которое направлено вдоль скорости и характеризует быстроту изменения величины скорости, и нормальное (перпендикулярное скорости) ускорение а n , относящееся к изменению направления скорости. Тогда полное ускорение равно их векторной сумме:

.

Отдельную группу составляют задачи на среднюю скорость движения. О средней скорости говорят, когда в течение некоторого времени t значение скорости менялось. Тогда если бы тело двигалось с постоянной скоростью равной V ср, то за это время t оно прошло бы то же самой расстояние. Поэтому по определению имеем формулу:

(14)
.

Другими словами, введение средней скорости там, где движение явно не равномерное (истинный вид движения может быть не известен, сложен или переменчив) дает как бы первое приближение этого движения, заменяя его равномерным.

Методические указания . Анализируя методы решения задач, можно отметить два случая: 1) решение «от данного к искомому» или «от начала», основано на применении типичных для данной ситуации рассуждений до тех пор, пока не придем к тому, что требуется; 2) решение «от искомого к данным» или «от конца», основано на записи формул, относящихся к искомой величине (чаще, ее определение) и постепенном выражении входящих в нее неизвестных переменных через данные задачи. Так, решение задачи, где требуется найти среднюю скорость, должно начинаться с записи формулы (14). После этого на основе условия задачи выделяются основные неизвестные и через них и данные задачи выражаются все другие неизвестные. Затем при подстановке в исходную формулу производится сокращение основных неизвестных и получается общая формула решения.

Особое значение имеют вопросы, касающиеся относительности движения. В связи с этим необходимо усвоить формулу сложения скоростей и отработать ее применение на конкретных задачах.

Мысленно представим ситуацию, когда два человека высказываются о движении одного и того же тела (пень на поляне): один говорит «пень движется», а другой – «пень покоится». Кто же из них прав? Оказывается правы могут быть оба спорящих: тот, кто стоит возле пня, и тот, кто едет мимо него в вагоне поезда.

Приведенный выше вопрос не имеет смысла, пока не будет оговорено, относительно какого тела отсчета идет рассмотрение движения! Приходим, таким образом, к важнейшему заключению: движение и покой относительны. Кроме того, относительно и положение тела (один говорит: пень близко, а другой: пень далеко).

На этом основано еще одно методическое требование , которое необходимо учитывать при записи кинематических зависимостей (в частности, законов движения):все величины, относящиеся к движению и задействованные в одной и той же расчетной формуле, должны быть заданы в одной и той же системе отсчета!

Однако, анализируя конкретные ситуации, бывает просто необходимо переходить из одной системы отсчета к другой. Формула сложения скоростей позволяет согласовывать кинематические величины, заданные в двух различных системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая движется относительно нее с некоторой скоростью.

Обозначим Т – тело, движение которого рассматривается относительно двух разных систем отсчета, К – неподвижная система отсчета, К’ – движущаяся (равномерно относительно К!) система отсчета. Пусть– скорость тела (Т) в К (абсолютная скорость тела,одинакова для любых неподвижных систем отсчета!),
– скорость тела в К’ (относительная скорость,зависит от системы К’),– скорость К’ относительно К.

Формула сложения скоростей верна только в векторной форме и имеет простой вид:

Методические указания. Решение задач на относительность движения осуществляется 2-м способом (см. методические указания на стр. 16), т.е. начинается с записи формулы (15). (Предварительно необходимо четко выделить тройку (Т, К, К’) и соответственно «распознать» данные в задачи значения скоростей). Затем из нее выражается вектор искомой скорости, строится на основе правила «треугольника» сложения векторов «треугольник скоростей» и из него на основе геометрических соображений определяется нужная величина.

Для того чтобы понять, что изучает механика, необходимо рассмотреть, что означает движение в самом общем смысле. Значение этого слова подразумевает под собой изменение чего-либо. Например, политическое движение выступает за равноправие разных слоев населения вне зависимости от их расовой принадлежности. Раньше его не было, затем что-то изменилось и теперь каждый человек имеет равные права. Это движение цивилизации вперед. Еще пример - экологическое. В прошлом, выбравшись на природу, никто не задумывался о том, что оставляет после себя мусор. Сегодня же любой цивилизованный человек соберет его за собой и отвезет в специально отведенное место для дальнейшей утилизации.

Что-то подобное можно наблюдать и в механике. При механическом движении изменяется положение тела в пространстве относительно других предметов с течением времени. Основная задача механики - указать, где находится объект в любой момент, учитывая даже тот, который еще не наступил. То есть, предсказать положение тела в заданное время, а не только узнать, где именно в пространстве оно находилось в прошлом.

Кинематика - это раздел механики, который изучает движение тела, не анализируя его причины. Это значит, что она учит не объяснять, а описывать. То есть, придумать способ, с помощью которого можно было бы задать положение тела в любой момент времени. Основные понятия кинематики включают в себя скорость, ускорение, расстояние, время и перемещение.

Сложность в описании движения

Первая проблема, с которой сталкивается кинематика - это то, что у каждого тела есть определенный размер. Допустим, необходимо описать движение какого-нибудь предмета. Это значит научиться обозначать его положение в любой момент времени. Но каждый предмет занимает в пространстве какое-то место. То есть, что все части этого объекта в один и тот же момент времени занимают разное положение.

Какую точку в таком случае необходимо взять для описания нахождения всего предмета? Если учитывать каждую, то расчеты окажутся слишком сложными. Поэтому решение ответа на этот вопрос можно максимально упростить. Если все точки одного тела движутся в одинаковом направлении, то для описания движения достаточно одной такой, которую содержит это тело.

Виды движения в кинематике

Существует три типа:

1. Поступательным называется движение, при котором любая прямая проведенная в теле остается параллельной самой себе. Например, автомобиль, который движется по шоссе, совершает такой вид движения.
2. Вращательным называется такое движение тела при котором все его точки движутся по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Например, вращение Земли относительно своей оси.
3. Колебательным называется движение, при котором тело повторяет свою траекторию через определенный отрезок времени. Например, движение маятника.

Основные понятия кинематики - материальная точка

Любое сложное движение можно описать как комбинацию двух простейших видов - поступательного и вращательного. Например колесо автомобиля или юла, стоящая на движущейся прямо платформе, участвуют одновременно в этих двух типах перемещения.

Но что делать, если движение тела нельзя представить в виде комбинации? Например, если автомобиль едет по ухабистой дороге, его положение будет меняться очень сложным образом. Если рассчитывать только то, что этот транспорт перемещается из одного города в другой, то в такой ситуации становится не важно какого размера тело движется из точки А в точку Б и им можно пренебречь. В данном случае важно только за какое время автомобиль прошел определенное расстояние и с какой скоростью двигался.

Однако следует учитывать, что пренебрежение размером допускается не в каждой задаче. Например, если рассчитывать движение при парковке автомобиля, то игнорирование величины данного тела, приведет к пагубным последствием. Поэтому, только в тех ситуациях, когда в рамках конкретной задачи, размерами движущегося объекта можно пренебречь, то такое тело принято называть материальной точкой.

Формулы кинематики

Числа, с помощью которых задается положение точки в пространстве, называются координатами. Чтобы определить его на прямой, достаточно одного числа, когда речь идет о поверхности, то двух, о пространстве - трех. Большего количества чисел в трехмерном мире (для описывания положения материальной точки) не требуется.

Существует три основных уравнения для понятия кинематики, как раздела о движении тел:

1. v = u + at.
2. S = ut + 1/2at 2 .
3. v 2 = u 2 + 2as.

v = конечная скорость,

u = Начальная скорость,

a = ускорение,

s = расстояние, пройденное телом,

Формулы кинематики в одномерном пространстве:

X - X o = V o t + 1/2a t2

V 2 = V o 1 + 2a (X - X o)

X - X o = 1\2 (V o + V) t
Где,

V - конечная скорость (м / с),

V o - начальная скорость (м / с),

a - ускорение (м / с 2),

t - время (с),

X - конечное положение (м),

Формулы кинематики в двумерном пространстве

Поскольку следующие уравнения используются для описания материальной точки на плоскости, стоит рассматривать ось X и Y.

Учитывая направление Х:

a x = constant

V fx = V i x + a x Δt

X f = X i + V i x Δt +1/2a x Δt 2

Δt = V fx -V ix /a x

V fx 2 = V ix 2 + 2ax Δx

X f = X i + 1/2 (V fx + V ix) Δ t .
И учитывая направление y:

a y = constant

V fy = V iy + a y Δt

y f = y i + V iy Δt + 1/2 a x Δt 2

Δt = V fy - V iy /a y

V fy 2 = V iy 2 + 2 ay Δ y

y f = y i +1/2 (V fy + V iy) Δt.

V f - конечная скорость (м / с),

V i - начальная скорость (м / с),

a - ускорение (m / с 2),

t - время (с),

X - конечное положение (м),

X 0 - начальное положение (м).

Перемещение брошенного снаряда - лучший пример для описания движения объекта в двух измерениях. Здесь тело перемещается, как в вертикальном положении У, так и в горизонтальном положении Х, поэтому можно сказать, что предмет имеет две скорости.

Примеры задач по кинематике

Задача 1 : Начальная скорость грузовика равна нулю. Изначально этот объект находится в состоянии покоя. На него начинает действовать равномерное ускорение в течение временного интервала 5,21 секунды. Расстояние, пройденное грузовиком, составляет 110 м. Найти ускорение.

Решение:
Пройденное расстояние s = 110 м,
начальная скорость v i = 0,
время t = 5,21 с,
ускорение a =?
Используя основные понятие и формулы кинематики, можно заключить, что,
s = v i t + 1/2 a t 2 ,
110 м = (0) × (5.21) + 1/2 × a (5.21) 2 ,
a = 8,10 м / с 2 .

Задача 2: Точка движется вдоль оси х (в см), после t секунд путешествия, ее можно представить, используя ​​уравнение x = 14t 2 - t + 10. Необходимо найти среднюю скорость точки, при условии, что t = 3s?

Решение:
Положение точки при t = 0, равно x = 10 см.
При t = 3s, x = 133 см.
Средняя скорость, V av = Δx/Δt = 133-10/3-0 = 41 см / с.

Что такое тело отсчета

О движении можно говорить только если существует что-то, относительно чего рассматривается изменение положения изучаемого объекта. Такой предмет называется телом отсчета и оно условно всегда принимается за неподвижное.

Если в задаче не указано в какой системе отчета движется материальная точка, то телом отсчета считается земля по умолчанию. Однако, это не означает, что за неподвижный в заданный момент времени объект, относительно которого совершается движение, нельзя принять любой другой удобный для расчета. Например, за тело отсчета можно взять движущийся поезд, поворачивающий автомобиль и так далее.

Система отсчета и ее значение в кинематике

Для описания движения необходимы три составляющие:

1. Система координат.
2. Тело отсчета.
3. Прибор для измерения времени.

Тело отсчета, система координат, связанная с ним и прибор для измерения времени образуют систему отсчета. Бессмысленно говорить о движении, если ее не указывать. Правильно подобранная система отсчета, позволяет упростить описание перемещения и, наоборот, усложнить, если она выбрана неудачно.

Именно по этой причине, человечество долго считало, что Солнце движется вокруг Земли и что она находится в центре вселенной. Такое сложное движение светил, связанное с тем, что земные наблюдатели находятся в системе отсчета, которая очень замысловато движется. Земля вращается вокруг свое оси и одновременно вокруг Солнца. На самом деле, если сменить систему отсчета, то все движения небесных тел легко описываются. Это в свое время было сделано Коперником. Он предложил собственное описание мироустройства, в котором Солнце неподвижно. Относительно него описать движение планет гораздо проще, чем если телом отсчета будет являться Земля.

Основные понятия кинематики - путь и траектория

Пусть некоторая точка первое время находилась в положении А, спустя некоторое время она оказалась в положении В. Между ними можно провести одну линию. Но для того, чтобы эта прямая несла больше информации о движении, то есть было понятно откуда и куда двигалось тело, это должен быть не просто отрезок, а направленный, обычно обозначающийся буквой S. Перемещением тела, называется вектор, проведенный из начального положения предмета в конечное.

Если тело изначально находилось в точке А, а затем оказалось в точке В, это не означает, что оно двигалось только по прямой. Из одного положения в другое можно попасть бесконечным количеством способов. Линия, вдоль которой движется тело, является еще одним основным понятием кинематики - траекторией. А ее длина называется путь, который обычно обозначается буквами L или l.

где i, j, k - единичные векторы направлений (орты); х, у, z - координаты точки.

Кинематические уравнения движения в координатной форме:

где t - время.

Средняя скорость

где- перемещение материальной точки за интервал времени.

Средняя путевая * скорость

где - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость

где - проекции скорости v на оси координат.

Модуль скорости

Ускорение

где проекции ускорения a на оси

координат.

· См. об этом термине, например, в кн.: Детлаф А. А. и др. Курс физики. М., 1973. Т. I. С. 17.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющих (рис.1.1):

Модули этих ускорений:

где R - радиус кривизны в данной точке траектории.

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

где - начальная координата; t - время. При равномерном движении

v =const и a=0.

Кинематическое уравнение равнопеременного движения()вдоль оси x

где v 0 -начальная скорость; t - время.

Скорость точки при равнопеременном движении

v=v 0 +at.

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением) .

Кинематическое уравнение вращательного движения

Средняя угловая скорость

где - изменение угла поворота за интервал времени . Мгновенная угловая скорость *

Угловое ускорение *

Кинематическое уравнение равномерного вращения

где -начальное угловое перемещение; t- время. При равномерном вращении =const и =0.

* Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения.

Частота вращения

n=N/t, или n=1/T,

где N - число оборотов, совершаемых телом за время t; Т - период вращения (время одного полного оборота).

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( = const.)

где -начальная угловая скорость; t- время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R,

s= R ( - угол поворота тела);

скорость точки линейная

ускорение точки:

тангенциальное

нормальное

Примеры решения задач

Пример 1. х) имеет вид x=A+Bt+Ct 3 , где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с 2 . Для момента времени t 1 =2 с определить:

1) координату x 1 точки, 2) мгновенную скорость v 1 , 3) мгновенное ускорение a 1 .

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t 1 :

x=A+Bt+Ct 3 .

Подставим в это выражение значения A, В, С, t 1 и произведем вычисления:

X 1 =(4+4- 0,5 2 3) м=4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени: .

Тогда в заданный момент времени t 1 мгновенная скорость

v 1 =B+3Ct 1 2 Подставим сюда значения В, С, t 1 и произведем вычисления:

v 1 =- 4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t 1 =2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t 1 равно a 1 =6Ct 1 . Подставим значения С, t 1 и произведем вычисления:

a 1 =(-6 0,5 2) м/с=-6 м/с.

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид, x=A+Bt+Ct 2 , где A=5 м, B=4 м/с, С=-1 м/с 2 . Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость <v x > за интервал времени от t 1 =1 с до t 2 =6 с. 3. Найти среднюю путевую скорость <v > за тот же интервал времени.

Решение. 1. Для построения графика зависимости координаты точки от времени найдем характерные значения координаты - начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие указанным координатам и координате, равной нулю.

Начальная координата соответствует моменту t =0. Ее значение равно

x 0 =x | t= 0 =A=5 м.

Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную от координаты повремени:

, откуда t=-B/2C=2 с Максимальная координата

x max =x / t =2 = 9 М.

Момент времени t, когда координата х=0, найдем из выражения x=A+Bt+Ct 2 =0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

Подставим значения А, В, С и произведем вычисления:

t=(2±3) с.

Таким образом, получаем два значения времени: t"-=5 с и =-1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удовлетворяет условию задачи (t>0).

График зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка со­держит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ра­нее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам t 1 =l с и t 2 =6 с:

x 1 = А + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 м, x 2 = А + Bt 2 + Ct 2 2 = -7 м.

Полученные данные представим в виде таблицы:

1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпадают; 2) начиная с момента возврата (t B) точки она движется в обратном направлении и, следовательно, координата ее убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата.

Следовательно, график пути до момента времени t B =2 с совпадает с графиком координаты, а начиная с этого момента яв­ляется зеркальным отображением графика координаты.

2. Средняя скорость <v x > за интервал времени t 2 -t 1 определяется выражением

=(x 2 -x 1)/(t 2 -t 1).

Подставим значения x 1 , x 2 , t 1 , t 2 . из таблицы и произведем вычисления

<v x >=(-7-8)/(6-1) м/с=-3 м/с.

3. Среднюю путевую скорость <v> находим из выражения

<v> =s/(t 2 -t 1 ),

где s - путь, пройденный точкой за интервал времени t 2 .-t 1 . Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: S 1 =x max -x 1 , который точка прошла за интервал времени t B -t 1 , и S 2 =x max +|x 2 |, который она прошла за интервал

T 2 -t B . Таким образом, путь

S = S 1 + S 2 = (x max -x 2) + (x max + |x 2 |) == 2x max + |x 2 |-x 1 .

Подставим в это выражение значения x max , |x 2 |, x 1 и произведем вычисления:

=(2 9+7-8) м=17 м.