Числовые и алгебраические выражения. Числовые выражения
Запись, которая состоит из чисел, знаков и скобок, а также имеет смысл, называется числовым выражением.
Например, следующие записи:
- (100-32)/17,
- 2*4+7,
- 4*0.7 -3/5,
- 1/3 +5/7
будут являться числовыми выражениями. Следует понимать, что одно число тоже будет являться числовым выражением. В нашем примере, это число 13.
А, например, следующие записи
- 100 - *9,
- /32)343
не будут являться числовыми выражениями, так как они лишены смысла и являются просто набором чисел и знаков.
Значение числового выражения
Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то мы можем посчитать значение числового выражения. Для этого необходимо выполнить указанные действия.
Например,
(100-32)/17 = 4, то есть для выражения (100-32)/17 значением этого числового выражения будет являться число 4.
2*4+7=15, число 15 будет являться значением числового выражения 2*4+7.
Часто для краткости записи не пишут полностью значение числового выражения, а пишут просто "значение выражения", опуская при этом слово «числового».
Числовое равенство
Если два числовых выражения записаны через знак равно, то эти выражения образуют числовое равенство. Например, выражение 2*4+7=15 является числовым равенством.
Как уже отмечалось выше, в числовых выражениях могут использоваться скобки. Как уже известно скобки влияют на порядок действий.
Вообще, все действия разделены на несколько ступеней.
- Действия первой ступени: сложение и вычитание.
- Действия второй ступени: умножение и деление.
- Действия третей ступени – возведение в квадрат и возведение в куб.
Правила при вычислении значений числовых выражений
При вычислении значений числовых выражений следуют руководствоваться следующими правилами.
- 1. Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке в котором они записаны, то есть слева на право.
- 2. Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.
- 3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значении в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.
- 4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия следует с внутренних скобок.
Презентация по математике на тему "Алгебраические выражения" (7 класс). Эта презентация разработана для рассмотрения новой темы по математике в седьмом классе "Алгебраические выражения". Приведены примеры алгебраических выражений, дано определение алгебраических выражений. Показано различие алгебраического выражения от числового выражения. Приведены примеры для чего нужно уметь составлять алгебраические выражения, то есть, где они применяются. Рассматриваются примера на составление алгебраических выражений.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Алгебраические выражения.
Проверка домашнего задания. Какие сведения из математики вам пришлось вспомнить в процессе выполнения домашнего задания?
Порядок арифметических действий. Переместительный закон сложения: a + b = b + a Переместительный закон умножения: a * b = b * a Сочетательный закон сложения: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = a(bc) Понятие обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа. Арифметические операции с десятичными дробями. Арифметические операции с обыкновенными дробями. Основное свойство обыкновенной дроби: Правила действий с десятичными дробями.
Пример 1 Один холодильник стоит 350 $ . Тогда два холодильника стоят в два раза больше, т.е. 350·2=700 $ ; пять холодильников стоят в пять раз дороже, т.е. 350·5=1750 $ . Легко сообразить, что а холодильников стоят в а раз больше, т.е. 350· а $ С помощью выражения 350· а можно находить стоимость различного числа а холодильников, подставляя различные значения а и выполняя умножение. Так как буква а может принимать различные натуральные значения, то а – переменная 350· а – алгебраическое выражение (или выражение с переменной)
Пример 2. Пусть длина одной стороны прямоугольника а см, другой – b см. Найдем периметр прямоугольника. b a P = 2 a + 2 b a , b – переменные 2 a + 2 b – алгебраическое выражение
Пример 3. Запись 2a – 3b + 5 – алгебраическое выражение с переменными a и b . - алгебраическое выражение с переменными x и y .
Пример 4. Найдем значение выражения при a = 3 , b = 4 и с =2 В данное алгебраическое выражение подставим значения переменных a = 3 , b = 4 , c = 2 . Получаем числовое выражение. Выполнив действия, найдем его значение: = = = 9 Число 9 является значением алгебраического выражения для данных значений переменных. Значение числового выражения, которое получается при подстановке выбранных значений переменных в алгебраическое выражение, называют значением алгебраического выражения.
Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим пример решения задачи.
Определение понятия
Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых и алгебраических выражений. Примеры:
- 4а+5;
- 6b-8;
- 5с:6*(8+5).
Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной .
Значение выражения
Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а-14*(5-а), если а=3.
Подставим вместо буквы а цифру 3. Получаем следующую запись: 8*3-14*(5-3).
Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.
- 5-3=2.
- 8*3=24.
- 14*2=28.
- 24-28=-4.
Таким образом, значение выражения 8а-14*(5-а) при а=3 равно -4.
Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.
Пример допустимой переменной для выражения 5:2а – это цифра 1. Подставив ее в выражение, получаем 5:2*1=2,5.
Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5:2*0, то есть 5:0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.
Тождественные выражения
Если два выражения при любых значениях входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными
.
Пример тождественных выражений
:
4(а+с) и 4а+4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.
Пример тождественного преобразования
.
4*(5а+14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
- 4*5а=20а.
- 4*14с=64с.
- 20а+64с.
Таким образом, выражению 4*(5а+14с) является тождественным 20а+64с.
Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.
Решение задач
Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я загадал?
Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.
- (а+7)-5.
- ((а+7)-5)*2=28.
Теперь решим полученное уравнение.
Петя загадал число 12.
Что мы узнали?
Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, цифр и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.
УРОК № 3. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения (22 часа)
Тема . Числовые выражения.
Цель. ввести понятия числового выражения, значения числового выражения; формировать умение находить значение числового выражения, выполняя действия над числами и используя скобки.
Ход урока.
Организационный момент.
Анализ диагностической работы.
Актуализация опорных знаний.
Пример 1. Вычислите. (Устно).
а) 13 – 18,5 = –5,5; б) –19 + 21,3 = 2,3; в) –14 – 71,03 = –85,03;
г) 17 – (–21,3) = 38,3; д) – (–3 – 2,8) = 5,8; е) 3 ∙ 15 – 7 = 38;
ж) (15 – 2) ∙ (–3) = – 39; з) ; к) .
Объяснение нового материала.
1. При решении многих задач приходится над заданными числами производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Определение . Числовые выражения – выражения, состоящие из чисел и знаков действий .
Но часто, прежде чем доводить до конца каждое из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя которому надо производить эти действия. Этот план сводится к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок составляется числовое выражение.
2. Примеры числовых выражений:
3. Если в числовом выражении выполнить все указанные в нем действия, то в результате получим действительное число, про которое говорят, что оно равно данному числовому выражению и называется значением выражения .
Определение . Найти значение числового выражения – это значит выполнить все действия в нем.
Пример 2 . Найдите значение числового выражения:
4. Мы, конечно, предполагаем, что все действия возможно осуществить. Поясним эти слова. Всегда возможно произвести сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить числа одно на другое возможно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на некотором его этапе требуется делить на нуль, то это требование неосуществимо. Такое выражение не имеет смысла.
Пример 3. Имеет ли смысл выражение:
Данные выражения не имеют смысла, т.к. при выполнении указанных в нем действий появляется необходимость делить на нуль.
5. Вспомним, как найти дробь от числа.
Определение. Чтобы найти дробь от числа, надо это число умножить на дробь.
Пример 4. Найдите от 34.
6. Вспомним, как найти число по его дроби.
Определение. Чтобы число по известной величине его дроби, надо поделить эту величину на данную дробь.
Пример 5. Найдите число, которого равны 45.
7. Вспомним, что такое процент.
Определение. Одна сотая часть любой величины или числа называются процентом.
8. Вспомним, как найти процент от данного числа?
Определение. Чтобы найти процент от данного числа, надо записать процент в виде дроби и умножить это число на дробь.
Пример 6. Найдите 8 % от числа 400.
2) 400 ∙ 0,08 = 32.
9. Вспомним, как найти число по его проценту?
Определение. Чтобы найти число по его проценту надо записать процент в виде дроби и разделить эту величину на дробь.
Пример 7. Найдите число, если 16 % этого числа равны 80,
Формирование умений и навыков.
Уч.с.6 № 5(1стр).
Уч.с.6 № 6(1стр).
Уч.с.7 № 8. На пакете молока написано, что в молоке содержится 3,2% жира, 2,5% белка и 4,7% углеводов. Какое количество каждого из этих веществ содержится в стакане (200 г) молока?
Молоко – 200 г
Жир – ? г, 3,2%от всего
Белок – ? г, 2,5%от всего
Углеводы – ? г, 4,7%от всего
2) 200 ∙ 0,032 = 6,4 (г) – жиры;
4) 200 ∙ 0,025 = 5 (г) – белка;
6) 200 ∙ 0,047 = 9,4 (г) – углеводы. Ответ : 6,4 г, 5 г, 9,4 г.
4.Цена изделия сначала возросла на 20 %, а затем на столько же процентов снизилась. Как и на сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?
Решение.
1) ,
2) 1а 0 – 0,96а 0 = 0,04а 0 ;
3) 0,04 = 4%. Ответ : уменьшилась на 4%.
Подведение итогов урока.
Для чего в записи числового выражения присутствуют скобки?
Когда числовое выражение имеет смысл? Приведите пример такого выражения.
Когда числовое выражение не имеет смысла? Приведите пример такого выражения.
Что называется значением числового выражения?
Каков порядок выполнения действий при нахождении значения числового выражения?
Как выразить 15% в виде обыкновенной и десятичной дроби?
Домашнее задание. п. 1 (выучить теорию). № 5(2стр), 6(2стр), 10, 13(2,4), 15.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- Повторить и углубить умение учащихся находить значения числовых выражений, составленных из рациональных чисел с помощью знаков сложения, вычитания, умножения и деления;
- Учащиеся должны знать, что выражение, содержащее действие деление на нуль, не имеет смысла.
- Развить познавательный интерес учащихся к изучению нового предмета.
- Развить мышление, память, речь, совершенствовать вычислительные навыки учащихся, умение работать в оптимальном темпе.
Оборудование: ПК, мультимедийная установка; карточки с домашнем заданием (Приложение 1)
Тип урока: урок повторения и обобщения знаний полученных в курсе математики 5-6 классов.
Формы работы: фронтальная, коллективная, самостоятельная работа.
Ход урока
1. Организационный момент (2-4 минуты)
Поздравить учащихся с началом нового учебного года.
***
И снова в позолоте тополя,
А школа – как корабль у причала,
Где ждут учеников учителя,
Чтоб новой жизни положить начало.***
Пусть счастье в дверь твою стучит,
Открой ее скорей пошире.
Путь жизни тайною покрыт,
Но так прекрасно в этом мире!
И пусть всегда – в окошке свет,
Улыбка мамина – с порога.
Пусть будет много добрых лет
И в жизни легкая дорога!***
Осенние мотивы
Эта шикарная женщина ОСЕНЬ
Себя подарила беспутному ветру,
И что он ни скажет, и что ни попросит,
Ему отдавала, не чувствуя меры.
Листвы разноцветной большие охапки
Бросала к ногам его брачным букетом,
И буйные краски, и солнца остатки,
И слезы дождей, и туман пред рассветом.
А ветер беспутный шаталец по свету,
Любя самого лишь себя, свою прихоть,
И даже шикарную женщину эту
Старался как можно больнее обидеть,
Сорвать с нее платье нахальным порывом,
Чтоб голая так до зимы простояла…
А ОСЕНЬ прощала, лишь с тихим надрывом
Уже обреченные слезы роняла.
В зимовьих объятьях она умирает,
И проседь теперь в волосах, а не просинь.
Под снежной накидкой никто не узнает
Эту шикарную женщину – ОСЕНЬ.
<Слайд 1 >
2. Что изучает алгебра?
У. : Какой предмет мы изучали в прошлом году?
Ученики: Математику.
Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит.
Поэтому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
У.: Чем мы занимались на уроках математики?
Ученики: Проводили вычисления с целыми и дробными числами, решали уравнения, задачи, строили фигуры в координатной плоскости.
<Слайд 2 >
У.: Все это составляло содержание предмета «Математика». Этот предмет подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебра, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, теорию игр и т. д. Мы приступаем к изучению алгебры. Вы уже дома познакомились с учебником. Чем он отличается, например, от учебника литературы?
<Слайд 3 >
Ученики: В нем много цифр и букв, причем букв латинских.
У.: Мы с вами помним, что буквы нам помогают записывать свойства действий над числами в удобной для запоминания форме. Говорят: «Высказанное утверждение записано на математическом языке». Например, переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется (a · b = b · a ). Вспомните, как найти расстояние, зная время и скорость.
<Слайд 4 >
Ученики: Чтобы найти расстояние, надо время умножить на скорость.
У.: Записываем это короче: s = v · t . То есть буквы помогают записывать в виде формул правила для нахождения значений интересующих нас величин. Чем еще алгебра отличается, например, от арифметики? В арифметических задачах по известным правилам находят неизвестное число. В алгебре неизвестную величину обозначают буквой. Эта неизвестная величина и данные в условии задачи связываются между собой уравнением, из решения которого и находится неизвестная величина. Отдельные алгебраические понятия и приемы решения задач возникли несколько тысяч лет назад в древних государствах – Вавилоне и Египте. О состоянии математических знаний в те века можно судить по древним рукописям (папирусам), найденным на местах древних городов. <Слайд 5 >
Около 4000 лет назад в Вавилоне и в Египте ученые уже умели составлять линейные уравнения, с помощью которых они решали самые разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Например, в Британском музее хранится задача из папируса Ринда (его называли также папирусом Ахмеса), относящегося к периоду 2000 – 1700 гг. до н. э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения:
<Слайд 6, 7 >
В VII в. до н. э. греки усвоили достижения египтян в математике. В начале IX в. (830 год) хорезмийский ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб аль джабр вал-Мукабала» («Метод восстановления и противопоставления») – это была первая книга по алгебре. Она имеет особое значение в истории математики как руководство, по которому долгое время обучалась вся Европа. В ней он впервые рассмотрел методы и приемы алгебры.
Ал-джебр
(перенос слагаемых)При решении уравненья,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям,
С этим членом сличив.
Равный член придадим,
Только с знаком другим,-
И найдем результат, нам желательный!Вал-мукабала
(приведение подобных)
<Слайд 8 >
С момента написания этой книги алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло, вероятно, от слова «ал джебр», что означает «восстановление». Словом «алгебра» в арабском языке называлось искусство врача восстанавливать сломанную руку или ногу. Хирурга у арабов называли алгебраистом. Таким образом, математика позаимствовала это слово из медицины.
<Слайд 8 >
Дальнейшее развитие алгебры происходило в основном в Индии (до XII в.) и в Средней Азии (до XV в.). Алгебру до XVII в. условно называли риторической (словесной). Дело в том, что тогда не существовало единых условных знаков «+», «-», «а 2 » и многих других которые используем мы. Условие задачи, все действия и ответ записывали полностью словами. Для удобства запоминания иногда эта запись делалась в стихах. Математические символы вводились постепенно. Так знак равенства «=» введен английским ученым Р. Рикордом в 1557 г., знаки «:» и «*» - немецким математиком Лейбницем в конце XVII в. , скобки – XVI в. Математические символы дали возможность ученым разных стран понять друг друга. В формировании алгебры как науки большие заслуги принадлежат французским ученым Франсуа Виету и Рене Декарту. В течение XVIII-XX в. из алгебры выросли новые математические науки: алгебра многочленов, векторная алгебра. Науки эти изучаются в высшей школе.
В школьной алгебре задачи решают путем составления уравнений, изучают сами уравнения, связи между величинами (некоторые из этих связей называются функциями). При этом используются буквы, выражения с буквами подвергаются различным преобразованиям (тождественным преобразованиям). Но за всеми этими буквами чаще всего скрываются числа.
<Слайд 9 >
Иногда говорят: «Алгебра держится на четырех китах: на уравнении, числе, тождестве, функции».Алгебра, к изучению которой мы приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее.
<Слайд 10 >
3. Устные упражнения.
1. Найдите сумму чисел -3,7 и 6,7 (отв. 3); найдите произведение чисел 
найдите разность чисел 
Повторить правила выполнения арифметических действий с обыкновенными дробями и рациональными числами.
2. Я задумал три числа. Найдите первое, если известно, что число, противоположное ему, равно 6. Найдите второе, если число обратное ему равно 3. Найдите третье, если известно, что, умножив его на 
3. Вычислите:
<Слайд 11, 12 >
4. Изучение новой темы.
При решении многих задач приходится над заданными числами производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Но часто, прежде чем доводить до конца каждое из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя которому надо производить эти действия. Этот план сводится к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок составляется числовое выражение.
Примеры:
Если в числовом выражении выполнить все указанные в нем действия, то в результате получим число, про которое говорят, что оно равно данному числовому выражению.
Так первое числовое выражение равно 2, второе равно тоже 2, третье же равно 0.
Определение 1: Запись, составленная из чисел с помощью арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) называет числовым (арифметическим) выражением.
Числовое выражение может состоять из одного числа.
Определение 2: Значением числового выражения называется число, полученное в результате выполнения указанных в числовом выражении действий.
<Слайд 13 >
Примеры : Поезд двигался сначала 50 минут со скоростью шестьдесят километров в час, затем остановился на станции на десять минут, потом двигался еще один час со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость движения поезда.
Решение : По определению средней скорости движения она равна отношению пройденного пути к затраченному на этот путь времени. Вычислим путь и время движения. Прежде всего учтем, что (перешли к одинаковым единицам измерения времени). В начале движения был пройден путь в конце – путь 40·1(км).
Общий пройденный путь описывается числовым выражением:
Время, затраченное на этот путь (включая время, затраченное на остановку), описывается числовым выражением: Тогда средняя скорость движения описывается выражением: Если вычислить это выражение, то получим: 
.
Определение 3: Два числовых выражения, соединенные знаком «=», образуют числовое равенство. Если значения левой и правой частей числового равенства совпадают, то равенство называют верным, в противном случае – неверным.
Примеры: 
- верное числовое равенство;
6 + 12 · 3 = (6 + 12) · 3 - неверное числовое равенство, так как 42 ≠54.
<Слайд 14 >
Скобки помогают установить порядок действий. При этом предполагается, что все действия возможно осуществить. Всегда возможно произвести сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить одно число на другое можно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на некотором этапе вычислений требуется делить на нуль, то это выражение не имеет смысла.
Примеры: 
Эти выражения не имеют смысла.
<Слайд 15 >
Повторить порядок выполнения действий в числовом выражении. Повторить правила выполнения действий с дробями.
5. Закрепление изученного материала.
Пр. №1 Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие не имеют. Для имеющих смысл найдите числа, которым они равны.
<Слайд 16 >
Пр. №2 Записать в виде равенства и проверить, верно ли оно:
а) 20% от числа 240 равны 62 (240 · 0,2 = 62 не верно);
б) число 18 составляет 3% от числа 600 (18 = 0,03 · 600 не верно);
в) произведение чисел и 5 составляет 11% от числа 700 
верно;
г) четвертая часть числа 18 равна 5% от числа 90
верно;
д) число 111:3 равно 10% от числа 370 (111: 3 = 0,1 · 370, верно);
е) 650% от числа 12 равны 77 (6,5 · 12 = 77 78 ≠ 77, не верно).
<Слайд 17 >
Пр. №3 Вычислить:
<Слайд 18, 19 >
6. Домашнее задание: конспект, 10 (А)
<Слайд 20 >
7. Подведение итогов урока
<Слайд 21, 22 >
Литература:
- Математика № 12, 2004 год
- Алгебра: 7 класс. Контрольные, самостоятельные, рейтинговые работы/ В. А. Гольдич. – М.: Эксмо, 2008. – 144 с. – (Мастер-класс для учителя).
- Интернет ресурсы.