Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;

a 2 - второй член последовательности;

a 3 - третий член последовательности;

a 4 - четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },

если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },

если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей , если ее члены возрастают (a n+1 >a n) и убывающей, если ее члены убывают (a n+1

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными .

3. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической последовательностью тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

a n = (a n -1 + a n +1) / 2.

Если первый член последовательности (b n) отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, то такая последовательность называется геометрической прогрессией. Число q получило название знаменателя прогрессии.

Т.о., геометрическая прогрессия задана равенством b n +1 = b n ∙ q. Например, b 7 = b 6 ∙ q.

Последовательность 100, 30, 9, 27/10, … является геометрической прогрессией, где b 1 = 100, q = 3/10.

Геометрическая прогрессия характеризуется тремя свойствами

1. Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b n = b 1 ∙ q n -1 .

2. Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии:

а) S n = (b n q – b 1) / (q – 1);

б) S n = (b 1 (q n – 1)) / (q – 1).

3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической последовательностью тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной геометрической прогрессии), связан с предыдущим и последующим членами формулой:

b n 2 = b n -1 ∙ b n +1 .

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Введение………………………………………………………………………………3

1.Теоретическая часть……………………………………………………………….4

Основные понятия и термины…………………………………………………....4

1.1 Виды последовательностей…………………………………………………...6

1.1.1.Ограниченные и неограниченные числовые последовательности…..6

1.1.2.Монотонность последовательностей…………………………………6

1.1.3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности…….7

1.1.4.Свойства бесконечно малых последовательностей…………………8

1.1.5.Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства..…9

1.2Предел последовательности………………………………………………….11

1.2.1.Теоремы о пределах последовательностей……………………………15

1.3.Арифметическая прогрессия…………………………………………………17

1.3.1. Свойства арифметической прогрессии…………………………………..17

1.4Геометрическая прогрессия…………………………………………………..19

1.4.1. Свойства геометрической прогрессии…………………………………….19

1.5. Числа Фибоначчи……………………………………………………………..21

1.5.1 Связь чисел Фибоначчи с другими областями знаний…………………….22

1.5.2. Использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы…………………………………………………………………………….23

2. Собственные исследования…………………………………………………….28

Заключение……………………………………………………………………….30

Список использованной литературы…………………………………………....31

Введение.

Числовые последовательности это очень интересная и познавательная тема. Эта тема встречается в заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ. Мне интересно узнать связь математических последовательностей с другими областями знаний.

Цель исследовательской работы: Расширить знания о числовой последовательности.

1. Рассмотреть последовательность;

2. Рассмотреть ее свойства;

3. Рассмотреть аналитическое задание последовательности;

4. Продемонстрировать ее роль в развитии других областей знаний.

5. Продемонстрировать использование ряда чисел Фибоначчи для описания живой и неживой природы.

1. Теоретическая часть.

Основные понятия и термины.

Определение. Числовая последовательность– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a, и пишут

Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T . Число T называется длиной периода.

Арифметическая прогрессия- это последовательность {an}, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Геометрическая прогрессия- это последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Виды последовательностей.

1.1.1 Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {bn} называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≤ M;

Последовательность {bn} называют ограниченной снизу, если существует такое число М, что для любого номера n выполняется неравенство bn≥ М;

Например:

1.1.2 Монотонность последовательностей.

Последовательность {bn} называют невозрастающие (неубывающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Последовательность {bn} называют убывающей (возрастающей), если для любого номера n справедливо неравенство bn> bn+1 (bn

Убывающие и возрастающие последовательности называют строго монотонными, невозрастающие- монотонными в широком смысле.

Последовательности, ограниченные одновременно сверху и снизу, называются ограниченными.

Последовательность всех этих типов носят общее название- монотонные.

1.1.3 Бесконечно большие и малые последовательности.

Бесконечно малая последовательность- это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)=0.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ℓimx→.+∞ f(x)=0 либо ℓimx→-∞ f(x)=0

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если ℓimx→.+∞ f(x)=а, то f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Бесконечно большая последовательность- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

ℓimn→0 an=∞.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ либо ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Свойства бесконечно малых последовательностей.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Любая бесконечно малая последовательность ограничена.

Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.

Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.

Если {xn} - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/xn} , которая является бесконечно малой. Если же всё же {xn} содержит нулевые элементы, то последовательность {1/xn} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно малой.

Если {an} - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность {1/an}, которая является бесконечно большой. Если же всё же {an}содержит нулевые элементы, то последовательность {1/an} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n, и всё равно будет бесконечно большой.

1.1.5 Сходящиеся и расходящиеся последовательности и их свойства.

Сходящаяся последовательность- это последовательность элементов множества Х, имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность- это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность {xn} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/xn}, которая является ограниченной.

Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

Оганесян Ева

Числовые последовательности. Реферат.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №31»
города Барнаула

Числовые последовательности

Реферат

Работу выполнила:
Оганесян Ева,
ученица 8 г класса МБОУ «СОШ №31»
Руководитель:
Полева Ирина Александровна,
учитель математики МБОУ «СОШ №31»

Барнаул - 2014

Введение………………………………………………………………………2

Числовые последовательности.……………………………………………...3

Способы задания числовых последовательностей………………………...4

Развитие учения о прогрессиях……………………………………………..5

Свойства числовых последовательностей…………………………………7

Арифметическая прогрессия……………………………..............................9

Геометрическая прогрессия……………………………………………….10

Заключение …………………………………………………………………11

Список литературы…………………………………………………………11

Введение

Цель настоящего реферата – изучение основных понятий, связанных с числовыми последовательностями, их применение на практике.
Задачи:

1. Изучить исторические аспекты развития учения о прогрессиях;
2. Рассмотреть способы задания и свойства числовых последовательностей;
3. Познакомиться с арифметической и геометрической прогрессиями.

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.

2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

1, ½, 1 /3, ¼, 1 /5,… - последовательность чисел обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей - монотонно возрастающие, последняя - монотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них известен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Прогрессии - частные виды числовых последовательностей - встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

Числовые последовательности

Существуют различные определения числовой последовательности.

Числовая последовательность – это последовательность элементов числового пространства (Википедия).

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Функцию вида y = f (x), x называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f (n) или

, , , …, Для обозначения последовательности используется запись ().

Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д., таким образом мы получим последовательность: 2; 4; 6; 8; 10 ….

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число; оно равно 2n.

Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

; ; ; ; ; … .

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна . Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь .

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например: , , и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают (). Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. Например: последовательность двухзначных чисел.10; 11; 12; 13; …; 98; 99

Способы задания числовых последовательностей

Последовательности можно задавать несколькими способами.

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего n-го члена , которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер. В этом случае говорят, что последовательность задана аналитически. Например: последовательность положительных чётных членов =2n.

Задача: найти формулу общего члена последовательности (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20 = 4 5 = 5 =

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента. Таким образом, делаем вывод, что

Ответ: формула общего члена:

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения . Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro – возвращаться).

В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу.

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

N N, = 1.

Задача: последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения + , n N, = 4. Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

+ =

И т.д.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения надо найти все предыдущие 499 членов.

Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1 . «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.

Развитие учения о прогрессиях

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIв в.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.

Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него.

1/6n(n+1)(2n+1)

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IX в.) пользовался формулой: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) и другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века.

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. В другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2+ +…+ . решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.

Sn= +(-1), однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность - частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Ограниченные последовательности

Последовательность () называется ограниченной сверху , что для любого номера n , M.

Последовательность () называется ограниченной снизу , если существует такое число m , что для любого номера n , m.

Последовательность () называется ограниченной , если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число M 0 , что для любого номера n , M.

Последовательность () называется неограниченной , если существует такое число M 0 , что существует такой номер n , что, M.

Задача: исследовать последовательность = на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера n выполняются неравенства:

0 1,

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ: последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Возрастающие и убывающие последовательности

Последовательность () называют возрастающей , если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... - возрастающая последовательность.

Последовательность () называют убывающей , если каждый ее член меньше предыдущего:

Например, 1; - убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином - монотонные последовательности . Приведем еще несколько примеров.

1; - эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).

2n. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... - возрастающая последовательность.

Вообще, если a > 1, то последовательность = возрастает;

если 0 = убывает.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией , а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность

X, = = + d, (n = 2, 3, 4, …; a и d – заданные числа).

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой = 1, d = 2.

Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой = 20, d = –3.

Пример 3. Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21 …

Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

= + d (n – 1). Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего, действительно,

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией , а число q – знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( заданная рекуррентно соотношениями

B, = q (n = 2, 3, 4…; b и q – заданные числа).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия

2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия = 2, q = –1.

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. ; ;…-

является геометрической прогрессией, первый член которой равен , а знаменатель – .

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

Формула суммы n членов геометрической прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии: числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов,

Заключение

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе я постаралась отразить основные понятия, связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, свойства, рассмотрела некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об основных понятиях связанных с ними.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович, Алгебра, 10 класс, учебник, 2012г.
2. А.Г. Мордкович, Алгебра, 9 класс, учебник, 2012г.
3. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа», 2001г.
4. Г.И. Глейзер, «История математики в школе»,

М.: Просвещение, 1964г.

1. «Математика в школе», журнал, 2002г .
2. Образовательные онлайн сервисы Webmath.ru
3. Универсальная научно-популярная онлайн-энциклопедия «Кругосвет»