Mis on 1 naturaallogaritm 2. Mis on logaritm

sageli võta number e = 2,718281828 ... Logaritme selles baasis nimetatakse loomulik... Naturaallogaritmidega arvutuste tegemisel on üldiselt aktsepteeritud opereerida märgiga ln, kuid mitte logi; samas kui number 2,718281828 aluse määratlemine ei näita.

Teisisõnu näeb sõnastus välja järgmine: naturaallogaritm numbrid X on näitaja selle kohta, mil määral on vaja arvu tõsta e, Et saada x.

Niisiis, ln (7389 ...)= 2, alates e 2 =7,389... ... Arvu enda naturaalne logaritm e= 1, sest e 1 =e, ja ühe naturaallogaritm on null, kuna e 0 = 1.

Number ise e määratleb monotoonselt piiratud jada piiri

arvutas selle välja e = 2,7182818284... .

Üsna sageli seostatakse numbri mällu fikseerimiseks vajaliku numbri numbrid mõne silmapaistva kuupäevaga. Arvu üheksa esimese numbri meeldejätmise kiirus e suureneb pärast koma, kui märkate, et 1828 on Lev Tolstoi sünniaasta!

Tänapäeval on olemas üsna täielikud naturaallogaritmide tabelid.

Naturaallogaritmi graafik(funktsioonid y =ln x) on peegelpildi astendaja graafiku tagajärg sirgjoone suhtes y = x ja sellel on vorm:

Naturaallogaritmi võib leida iga positiivse reaalarvu jaoks a kui kõvera alune ala y = 1/x alates 1 enne a.

Selle sõnastuse elementaarsus, mis sobib kokku paljude teiste valemitega, milles osaleb naturaallogaritm, oligi nimetuse "looduslik" moodustamise põhjuseks.

Kui analüüsida naturaallogaritm, reaalse muutuja reaalfunktsioonina, siis see toimib pöördfunktsioon eksponentsiaalfunktsiooniks, mis taandab identiteetidele:

e ln (a) = a (a> 0)

ln (e a) = a

Analoogiliselt kõigi logaritmidega teisendab naturaallogaritm korrutamise liitmiseks ja jagamise lahutamiseks:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x / y) = lnx - lny

Logaritmi võib leida iga positiivse baasi jaoks, mis ei ole võrdne ühega, mitte ainult jaoks e, kuid teiste aluste logaritmid erinevad naturaallogaritmist ainult konstantse teguri poolest ja on tavaliselt defineeritud naturaallogaritmi järgi.

Pärast analüüsimist naturaallogaritmi graafik, saame, et see on olemas muutuja positiivsete väärtuste korral x... See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( -∞ ).Kell x → + ∞ naturaallogaritmi piir on pluss lõpmatus ( + ∞ ). Suurtele x logaritm kasvab üsna aeglaselt. Igasugune toitefunktsioon x a positiivne eksponent a kasvab kiiremini kui logaritm. Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, seega pole tal äärmusi.

Kasutamine naturaallogaritmid väga ratsionaalne kõrgema matemaatika läbimisel. Seega on logaritmi kasutamine mugav vastuse leidmiseks võrranditele, milles tundmatud esinevad eksponendina. Naturaallogaritmi kasutamine arvutustes võimaldab oluliselt hõlbustada suure hulga matemaatilisi valemeid. Logaritmid baasi e esinevad märkimisväärse hulga füüsikaliste probleemide lahendamisel ja sisenevad loomulikult üksikute keemiliste, bioloogiliste ja muude protsesside matemaatilisse kirjeldusse. Seega kasutatakse logaritme teadaoleva poolestusaja lagunemiskonstandi arvutamiseks või radioaktiivsuse probleemide lahendamisel lagunemisaja arvutamiseks. Nad mängivad peamist rolli paljudes matemaatika ja praktiliste teaduste harudes, neid kasutatakse finantsvaldkonnas suure hulga probleemide lahendamiseks, sealhulgas liitintressi arvutamisel.

Enne naturaallogaritmi kontseptsiooniga tutvumist kaaluge konstantse arvu $ e $ mõistet.

Number $ e $

Definitsioon 1

Number $ e $ on matemaatiline konstant, mis on transtsendentaalne arv ja on võrdne $ e \ ligikaudu 2,718281828459045 \ ldots $.

Definitsioon 2

Transtsendentaalne on arv, mis ei ole täisarvu koefitsientidega polünoomi juur.

Märkus 1

Viimane valem kirjeldab teine ​​imeline piir.

Kutsutakse ka numbrit e Euleri numbrid ja mõnikord Napieri numbrid.

Märkus 2

Numbri $ e $ esimeste märkide meeldejätmiseks kasutatakse sageli järgmist väljendit: "$ 2 $, $ 7 $, kaks korda Lev Tolstoi"... Muidugi, selle kasutamiseks peate meeles pidama, et Lev Tolstoi sündis $ 1828 $. Just neid numbreid korratakse kaks korda numbri $ e $ väärtuses pärast $ 2 $ täisarvu. ja kümnendkoht 7 dollarit.

Hakkasime naturaallogaritmi uurimisel arvestama arvu $ e $ mõistega just seetõttu, et see asub logaritmi $ \ log_ (e) ⁡a $, mida tavaliselt nimetatakse loomulik ja kirjutatud kujul $ \ ln ⁡a $.

Naturaalne logaritm

Sageli kasutatakse arvutamisel logaritme, mille põhjas on arv $ e $.

4. definitsioon

Kutsutakse logaritmi baasiga $ e $ loomulik.

Need. naturaallogaritmi võib tähistada kui $ \ log_ (e) ⁡a $, kuid matemaatikas on tavaks kasutada tähistust $ \ ln ⁡a $.

Naturaallogaritmi omadused

Sest mis tahes aluse logaritm ühest on $ 0 $, siis ühe naturaalne logaritm on $ 0 $:

Arvu $ e $ naturaallogaritm on võrdne ühega:

Kahe arvu korrutise naturaallogaritm võrdub nende arvude naturaallogaritmide summaga:

$ \ ln ⁡ (ab) = \ ln ⁡a + \ ln ⁡b $.

Kahe arvu jagatise naturaallogaritm on võrdne nende arvude naturaallogaritmide erinevusega:

$ \ ln⁡ \ frac (a) (b) = \ ln ⁡a- \ ln ⁡ b $.

Arvu astme naturaallogaritmi saab esitada astendaja korrutisena alamlogaritmilise arvu naturaallogaritmiga:

$ \ ln⁡ a ^ s = s \ cdot \ ln⁡ a $.

Näide 1

Lihtsustage avaldist $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) $.

Lahendus.

Korrutise logaritmi omadust rakendame lugeja ja nimetaja esimesele logaritmile ning astme logaritmi omadust lugeja ja nimetaja teisele logaritmile:

$ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = \ frac (2 (\ ln ⁡4 + \ ln ⁡e) - \ ln⁡ 4 ^ 2) (\ ln ⁡5 + \ ln ⁡e- \ frac (1) (2) \ ln⁡ 5 ^ 2) = $

avage sulud ja esitage sarnased terminid ning rakendage ka atribuut $ \ ln ⁡e = 1 $:

$ = \ frac (2 \ ln ⁡4 + 2-2 \ ln ⁡4) (\ ln ⁡5 + 1- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ ln ⁡5) = \ frac (2) ( \ ln ⁡5 + 1- \ ln ⁡5) = 2 $.

Vastus: $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = 2 $.

Näide 2

Leia avaldise $ \ ln⁡ 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) $ väärtus.

Lahendus.

Rakendame logaritmide summa valemit:

$ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = \ ln 2e ^ 2 \ cdot \ frac (1) (2e) = \ ln ⁡e = 1 $.

Vastus: $ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = 1 $.

Näide 3

Hinnake logaritmilise avaldise väärtust $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln⁡ e ^ 5 $.

Lahendus.

Rakendame astme logaritmi omadust:

$ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 2 \ lg 10 ^ (- 1) +3 \ cdot 5 \ ln ⁡e = -2 \ lg ⁡10 + 15 \ ln ⁡e = -2 + 15 = 13 $.

Vastus: $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 13 $.

Näide 4

Lihtsustage logaritmiline avaldis $ \ ln \ frac jaoks (1) (8) -3 \ ln ⁡4 $.

$ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = 3 \ ln (\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \ ln 3 ^ 3 = 3 \ cdot 2 \ ln \ frac (3) (e) -2 \ cdot 3 \ ln ⁡3 = 6 \ ln \ frac (3) (e) -6 \ ln ⁡3 = $

rakendame esimesele logaritmile jagatise logaritmi omadust:

$ = 6 (\ ln ⁡3- \ ln ⁡e) -6 \ ln⁡ 3 = $

avame sulud ja anname sarnased terminid:

$ = 6 \ ln ⁡3-6 \ ln ⁡e-6 \ ln ⁡3 = -6 $.

Vastus: $ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = -6 $.

Arvu e alusel: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x) ′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.

Funktsioonigraafik y = ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse eksponendigraafikust, peegeldades seda sirgjoone y = x suhtes.

Naturaalne logaritm määratakse muutuja x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Nagu x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus (- ∞).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus (+ ∞). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga astmefunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratlusvahemik, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, kahanemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmust. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

Ln x

ln 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasmuutuse valemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis.

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine>>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
see on sama arv erinevate n-de jaoks.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina üheselt mõistetav funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Lagunemisel toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja tehnikaasutuste üliõpilastele, "Lan", 2009.

Tund ja ettekanne teemadel: "Naturaallogaritmid. Naturaallogaritmi alus. Naturaalarvu logaritm"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 11. klassile
Interaktiivne õpetus 9.-11. klassile "Trigonomeetria"
Interaktiivne õpetus 10.–11. klassile "Logaritmid"

Mis on naturaallogaritm

Poisid, viimases tunnis õppisime uut erilist numbrit - e. Täna jätkame selle numbriga tööd.
Oleme uurinud logaritme ja teame, et logaritmi põhjas võib olla palju arve, mis on suuremad kui 0. Täna käsitleme ka logaritmi, mille põhjas on arv e. Sellist logaritmi nimetatakse tavaliselt naturaallogaritm. Sellel on oma tähistus: $ \ ln (n) $ - naturaallogaritm. See kirje on samaväärne kirjega: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Eksponent- ja logaritmfunktsioonid on pöördvõrdelised, siis on funktsiooni naturaallogaritm pöördväärtus: $ y = e ^ x $.
Pöördfunktsioonid on sümmeetrilised sirge $ y = x $ suhtes.
Joonistame naturaallogaritmi, peegeldades eksponentsiaalfunktsiooni sirge $ y = x $ suhtes.

Tasub märkida, et funktsiooni $ y = e ^ x $ puutuja kaldenurk punktis (0; 1) on graafiku suhtes 45 °. Siis on naturaallogaritmi graafiku puutuja kaldenurk punktis (1; 0) samuti 45 °. Mõlemad puutujad on paralleelsed sirgega $ y = x $. Visandame puutujad:

Funktsiooni $ y = \ ln (x) $ omadused

1. $ D (f) = (0; + ∞) $.
2. Ei ole paaris ega paaritu.
3. Suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.
4. Ülevalt ei piira, alt ei piira.
5. Ei ole kõrgeimat väärtust ega madalaimat väärtust.
6. Pidev.
7. $ E (f) = (- ∞; + ∞) $.
8. Kumer ülespoole.
9. Igal pool eristuv.

Kõrgema matemaatika käigus on tõestatud, et pöördfunktsiooni tuletis on antud funktsiooni tuletise pöördväärtus.
Tõestusse pole eriti mõtet süveneda, kirjutame lihtsalt valemi: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.

Näide.
Arvutage funktsiooni tuletise väärtus: $ y = \ ln (2x-7) $ punktis $ x = 4 $.
Lahendus.
Üldiselt esindab meie funktsioon funktsiooni $ y = f (kx + m) $, saame arvutada selliste funktsioonide tuletisi.
$ y "= (\ ln ((2x-7)))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
Vastus: 2.

Näide.
Joonistage funktsiooni $ y = ln (x) $ graafikule puutuja punktis $ x = e $.
Lahendus.
Funktsiooni graafiku puutuja võrrand punktis $ x = a $ jääb hästi meelde.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
Arvutame vajalikud väärtused järjestikku.
$ a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
Puutuja võrrand punktis $ x = e $ on funktsioon $ y = \ frac (x) (e) $.
Joonistame naturaallogaritmi ja puutuja.

Näide.
Uurige funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse suhtes: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
Lahendus.
Funktsiooni domeeniks on $ D (y) = (0; + ∞) $.
Leiame antud funktsiooni tuletise:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
Tuletis on olemas kõigi definitsioonipiirkonna x jaoks, siis kriitilisi punkte pole. Leidke statsionaarsed punktid:
6 $ * x ^ 5- \ frac (6) (x) = 0 $.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
6 $ * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$ x ^ 6 = 1 $.
$ x = ± 1 $.
Punkt $ x = -1 $ ei kuulu ulatusse. Siis on meil üks statsionaarne punkt $ x = 1 $. Leiame suurenemise ja kahanemise intervallid:

Punkt $ x = 1 $ on miinimumpunkt, siis $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
Vastus: Funktsioon väheneb segmendil (0; 1], funktsioon suureneb kiirel $)