, [-5π/2; −3π/2]. . . - sanalla kaikilla aikaväleillä [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], missä k Z, ja pienenee kaikilla segmenteillä

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], missä n Z.

Ongelma 11.6. Millä aikaväleillä funktio y = cos x pienenee ja millä?

Ongelma 11.8. Järjestä nousevaan järjestykseen: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Tangentin ja kotangentin kuvaajat

Piirretään funktio y = tg x. Aluksi konstruoidaan se väliin (−π/2; π/2) kuuluville luvuille x.

Jos x = 0, niin tg x = 0; kun x kasvaa arvosta 0 arvoon π / 2, myös tg x kasvaa - tämä näkyy katsomalla tangenttiakselia (kuva 12.1 a). Kun x lähestyy arvoa π/2, mutta pysyy pienempänä

Riisi. 12.2. y = tgx.

π/2, tg x:n arvo kasvaa (kuvan 12.1a piste M juoksee yhä korkeammalle) ja siitä voi ilmeisesti tulla mielivaltaisen suuri positiivinen luku. Vastaavasti, kun x pienenee arvosta 0 arvoon −π/2, tg x:stä tulee negatiivinen luku, jonka itseisarvo kasvaa x lähestyessä arvoa −π/2. Kun x = π/2 tai −π/2, funktiota tg x ei ole määritelty. Siksi kuvaaja y = tg x x:lle (−π/2; π/2) näyttää suunnilleen samalta kuin kuvassa 1. 12.1 b.

Origon lähellä käyrämme on lähellä suoraa y = x x: onhan pienillä teräväkulmilla likimääräinen yhtälö tg x ≈ x totta. Voidaan sanoa, että suora y = x koskettaa funktion y = tg x kuvaajaa origossa. Lisäksi kuvan 12.1 b käyrä on symmetrinen origon suhteen. Tämä selittyy sillä, että funktio y = tg x on pariton, eli identiteetti tg(−x) = − tg x pätee.

Piirtääksesi funktion y = tg x kaikille x:ille, muista, että tg x on jaksollinen funktio, jonka jakso on π. Siksi funktion y = tg x täydellisen kaavion saamiseksi on tarpeen toistaa kuvan 1 käyrä. 12.1 b, siirtämällä sitä abskissaa pitkin etäisyyksiin πn, missä n on kokonaisluku. Lopullinen näkymä funktion y = tg x kuvaajasta on kuvassa. 12.2.

Kaavion mukaan näemme jälleen, että funktio y = tg x

Riisi. 12.3. y = ctg x.

ei ole määritelty x = π/2 + πn, n Z, eli niille x, joille cos x = 0. Pystysuorat suorat yhtälöillä x = π/2, 3π/2,. . . , jota graafin haarat lähestyvät, kutsutaan graafin asymptooteiksi.

Samassa kuvassa. 12.2 olemme kuvanneet yhtälön tg x = a ratkaisuja.

Piirretään funktio y = ctg x. Helpoin tapa on käyttää pelkistyskaavaa ctg x = tg(π/2 − x) saadaksesi tämä graafi funktion y = tg x kaaviosta käyttämällä edellisessä kappaleessa kuvattuja muunnoksia. Tulos on kuvassa. 12.3

Ongelma 12.1. Funktion y = ctg x kuvaaja saadaan funktion y = tg x kuvaajasta käyttämällä symmetriaa jonkin suoran suhteen. Kumpi? Onko muita rivejä, joilla on määritetty ominaisuus?

Ongelma 12.2. Miltä funktion y = ctg x kuvaajaa sivuavan suoran yhtälö näyttää pisteessä, jonka koordinaatit (π/2; 0)?

Ongelma 12.3. Vertaa lukuja: a) tg(13π/11) ja tg 3,3π; b) tan 9,6π ja ctg(−11,3π).

Ongelma 12.4. Järjestä numerot nousevaan järjestykseen: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Ongelma 12.5. Piirrä funktiokaaviot:

Ongelma 12.7. Piirrä funktio y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Mikä on sin x + cos x yhtä suuri?

Tässä osiossa yritämme ratkaista seuraavan ongelman: mikä on suurin arvo, jonka lauseke sin x + cos x voi saada?

Jos laskit oikein, sinun olisi pitänyt tulla, että kaikista tämän taulukon x:istä suurin arvo on sin x + cos x

saadaan x:lle lähellä 45◦ , tai radiaanimittana arvoa π/4.

Jos x = π/4, sin x + cos x:n tarkka arvo on 2. Osoittautuu, että tuloksemme, joka on saatu kokeellisesti ja

on itse asiassa totta: kaikille x:lle epäyhtälö sin x + cos x 6 on tosi

2, joten 2 on suurin arvo, jonka tämä lauseke voi saada.

Meillä ei vieläkään ole keinoja todistaa tämä epätasa-arvo luonnollisimmalla tavalla. Toistaiseksi näytämme, kuinka se voidaan vähentää planimetrian ongelmaksi.

Jos 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Siksi tehtävämme muotoillaan uudelleen seuraavasti: todistaa, että suorakulmaisen kolmion, jossa on hypotenuusa 1, jalkojen pituuksien summa on suurin, jos tämä kolmio on tasakylkinen.

Ongelma 13.1. Todista tämä väite.

Koska tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jossa on gi-

potentius 1, jalkojen pituuksien summa on yhtä suuri kuin 2√ , tämän tehtävän tuloksena on epäyhtälö sin x + cos x 6 2 kaikille välissä (0; π/2) oleville x:ille. Tästä on jo helppo päätellä, että tämä epäyhtälö pätee yleisesti kaikille x:ille.

Tehtävän 13.1 tulos ei päde vain suorakulmioiden kohdalla.

Ongelma 13.2. Osoita, että kaikista kolmioista, joilla on annettu sivu AC ja kulma B, suurin summa AB + BC on tasakylkiselle kolmiolle, jonka kanta on AC.

Palataanpa trigonometriaan.

Ongelma 13.3. Piirrä funktion y \u003d sin x + cos x kaavio pisteiden mukaan käyttämällä luvun 3 sinitaulukkoa.

Ohje. Älä unohda, että x:n on oltava radiaaneina; x-arvoille segmentin ulkopuolella, käytä vähennyskaavoja.

Jos teit kaiken oikein, sinulla pitäisi olla käyrä, joka näyttää siniaalolta. Myöhemmin näemme, että tämä käyrä ei ole vain samanlainen, vaan se on sinimuotoinen. Opimme myös löytämään lausekkeiden, kuten 3 sin x + 4 cos x, suurimmat arvot (muuten, funktion y = 3 sin x + 4 cos x kuvaaja on myös sinimuoto!).

Tämä videotunti käsittelee funktioiden ominaisuuksia y=tgx,y=ctgx, näyttää kuinka piirtää niiden kaaviot.

Video-opetusohjelma alkaa katsomalla toimintoa y=tgx.

Toiminnon ominaisuudet on korostettu.

1) Toiminnan laajuus y=tgx kutsutaan kaikkia reaalilukuja paitsi x =π/2 + 2 pk. Nuo. kaaviossa ei ole suoralle viivalle kuuluvia pisteitä x =π/2 ja x = -π/2, sekä x = 3π/2 ja niin edelleen (samalla taajuudella). Siis funktion kaavio y=tgx koostuu äärettömästä määrästä haaroja, jotka ovat suorien viivojen välissä x = - 3π/2 ja x = -π/2, x = -π/2 ja x = π/2 ja niin edelleen.

2) Toiminto y=tgx on jaksollinen, jossa pääjakso on π. Tämä vahvistaa tasa-arvon tg(x- π ) = tg x =tg(x +π ) . Näitä yhtäläisyyksiä tutkittiin aiemmin, kirjoittaja kehottaa opiskelijoita muistamaan ne, osoittaen, että mikä tahansa hyväksyttävä arvo t tasa-arvo on totta:

tg(t + π ) = tg t ja c tg(t +π ) = ctg t. Näiden yhtälöiden seuraus on, että jos funktion y \u003d tg kaavion yksi haara x rivien välistä X = - π/2 ja X\u003d π / 2, niin loput haarat saadaan siirtämällä tätä haaraa x-akselia pitkin π, 2π ja niin edelleen.

3) Toiminto y=tgx on outoa, koska . tg(- x) =- tg x.

Seuraavaksi siirrytään funktiokaavion piirtämiseen y=tgx. Kuten edellä kuvatun funktion ominaisuuksista seuraa, funktio y=tgx jaksollinen ja pariton. Siksi riittää, että rakennat osan kaaviosta - yksi haara yhdellä aikavälillä ja käytä sitten symmetriaa siirtämiseen. Kirjoittaja antaa taulukon, jossa arvot on laskettu tgx tietyillä arvoilla x tarkempaa kaaviota varten. Nämä pisteet on merkitty koordinaattiakselille ja yhdistetty tasaisella viivalla. Koska graafi on symmetrinen origon suhteen, sitten muodostetaan sama haara, symmetrinen origon suhteen. Tuloksena saamme kaavion yhden haaran y=tgx. Edelleen käyttämällä siirtoa x-akselia pitkin π, 2 π ja niin edelleen, saadaan kaavio y=tgx.

Funktiokaavio y=tgx kutsutaan tangentoidiksi, ja kuvassa näkyvät graafin kolme haaraa ovat tangentoidin päähaaroja.

4) Toiminto y=tgx jokaisella aikavälillä (- + ; +) kasvaa.

5) Funktiokaavio y=tgx ei ole ylä- ja alarajoituksia.

6) Toiminto y=tgx ei ole enimmäis- tai vähimmäisarvoa.

7) Toiminto y=tgx jatkuva millä tahansa aikavälillä (- - π/2+π; π/2+π). Suoraa π/2+π kutsutaan funktion kaavion asymptootiksi y=tgx, koska näissä kohdissa funktion kuvaaja katkeaa.

8) Joukko funktioarvoja y=tgx kaikkia reaalilukuja kutsutaan.

Lisäksi video-opetusohjelmassa annetaan esimerkki: ratkaise yhtälö käyttämällä tgx. Ratkaisua varten rakennamme funktiosta 2 kuvaajaa klo ja löydä näiden kuvaajien leikkauspisteet: tämä on ääretön joukko pisteitä, joiden abskissat eroavat πk:lla. Tämän yhtälön juuri on X= π/6 + πk.

Tarkastellaan funktion kuvaajaa y=ctgx. Funktiokaavio voidaan piirtää kahdella tavalla.

Ensimmäinen menetelmä sisältää kaavion piirtämisen samalla tavalla kuin kaavion piirtäminen funktiot y =tgx. Rakennetaan yksi haara funktion kuvaajasta y = ctgx rivien välistä X= 0ja X= pi. Sitten symmetriaa ja jaksollisuutta käyttämällä rakennetaan muita graafin haaroja.

Toinen tapa on yksinkertaisempi. Funktiokaavio y = stgx voidaan saada muuttamalla tangentoidi pelkistyskaavaa käyttäen alkaentgx = - tg (x +π/2). Tätä varten siirrämme funktion kaavion yhtä haaraa y=tgx x-akselia pitkin π/2 oikealle. Loput haarat saadaan siirtämällä tätä haaraa x-akselia pitkin π:llä, 2π:lla ja niin edelleen. Kaavio funktiosta y \u003d ctg x kutsutaan myös tangentoidiksi, ja graafin haara välissä (0; π) on tangentoidin päähaara.

TEKSTIN TULKINTA:

Tarkastelemme funktion y \u003d tg x (y on tangentti x), y \u003d ctg x (y on yhtä kuin kotangentti x) ominaisuuksia, rakennamme niiden kaaviot. Tarkastellaan funktiota y = tgx

Ennen kuin piirrät funktion y \u003d tg x, kirjoitetaan tämän funktion ominaisuudet.

OMAISUUS 1. Funktion y \u003d tg x alue on kaikki reaaliluvut, paitsi luvut, jotka ovat muotoa x \u003d + πk (x on yhtä kuin arvon pi kahdella ja pi ka summa).

Tämä tarkoittaa, että tämän funktion kaaviossa ei ole pisteitä, jotka kuuluvat suoralle x = (saamme, jos k= 0 ka on nolla) ja suoralle x = (x on yhtä kuin miinus pi kahdella) (saamme, jos k= - 1 ka on yhtä kuin miinus yksi), ja suora x \u003d (x on kolme pi x kaksi) (saamme jos k \u003d 1 on yhtä) jne. funktion y \u003d tg x kuvaaja koostuu äärettömästä määrästä haaroja, jotka ovat suorien välissä. Nimittäin kaistalla x = ja x =- välillä; nauhassa x = - ja x = ; nauhassa x = ja x = ja niin edelleen loputtomiin.

OMAISUUS 2. Funktio y = tg x on jaksollinen pääjakson π kanssa. (Koska kaksinkertainen tasa-arvo on totta

tg(x- π) \u003d tgx \u003d tg (x + π) x:n tangentti miinus pi on yhtä suuri kuin x:n tangentti ja on yhtä suuri kuin x:n tangentti plus pi). Huomioimme tämän tasa-arvon tutkiessamme tangenttia ja kotangenttia. Muista se:

Jokaiselle t:n hyväksyttävälle arvolle yhtälöt ovat tosia:

tg (t + π) = tgt

ctg(t + π) = ctgt

Tästä yhtälöstä seuraa, että kun on rakennettu funktion y \u003d tg x kaavion haara väliin x \u003d - ja x \u003d, saamme loput haarat siirtämällä rakennettua haaraa X-akselia pitkin. π:llä, 2π:lla ja niin edelleen.

OMAISUUS 3. Funktio y \u003d tg x on pariton funktio, koska yhtälö tg (- x) \u003d - tg x on tosi.

Rakennetaan funktio y \u003d tg x kuvaaja

Koska tämä funktio on jaksollinen, se koostuu äärettömästä määrästä haaroja (kaistalla x \u003d ja x \u003d välillä sekä kaistalla x \u003d ja x \u003d välillä jne.) ja parittoista, niin teemme rakenna osa kuvaajasta välille nollasta pi:ään kahdella (), niin käytämme origon ja jaksollisuuden symmetriaa.

Tehdään taulukko tangenttiarvoista piirtämistä varten.

Löydämme ensimmäisen pisteen: tietäen, että kohdassa x \u003d 0 tg x \u003d 0 (x on nolla, tangentti x on myös nolla); seuraava piste: kohdassa x = tg x = (x on yhtä kuin pi kertaa kuusi, tangentti x on kolme kertaa kolme juuria); huomioi seuraavat kohdat: kohdassa x \u003d tg x \u003d 1 (x = pi x neljä, tangentti x on yksi) ja kohdassa x \u003d tg x \u003d (x = pi x 3, tangentti x on yhtä suuri kuin kolmen neliöjuuri). Merkitse saadut pisteet koordinaattitasolle ja yhdistä ne tasaisella viivalla (kuva 2).

Koska funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, rakennamme saman haaran symmetrisesti origon suhteen. (Kuva 3).

Ja lopuksi jaksollisuutta soveltamalla saamme funktion y \u003d tg x kaavion.

Olemme rakentaneet funktion y \u003d tg x kaavion haaran nauhalle x \u003d - ja x \u003d. Rakennamme loput haarat siirtämällä rakennettua haaraa X-akselia pitkin π:llä, 2π:lla ja niin edelleen.

Muodostettua kuvaajaa kutsutaan tangentoidiksi.

Kuvassa 3 näkyvää tangentoidin osaa kutsutaan tangentoidin päähaaroksi.

Kuvaajan perusteella kirjoitetaan myös tämän funktion ominaisuudet.

OMAISUUS 4. Funktio y \u003d tg x kasvaa kullakin aikavälillä (miinus pi:stä kahdella plus pi kalla pi:llä kahdella plus pi kalla).

OMAISUUS 5. Funktio y = tg x ei ole rajoitettu ylä- eikä alapuolelta.

OMAISUUS 6. Funktiolla y \u003d tg x ei ole suurimpia eikä pienimpiä arvoja.

OMINAISUUDET 7. Funktio y \u003d tg x on jatkuva millä tahansa muodon intervallilla (miinus pi:stä kahdella plus pi kalla pi:llä kahdella plus pi kalla).

Suora muotoa x = + πk (x on yhtä kuin pi:n kahdella ja pi ka summa) on funktion kaavion pystysuora asymptootti, koska muotoa x = + πk olevissa pisteissä funktio katkeaa.

OMAISUUS 8. Funktion y \u003d tg x arvot ovat kaikki reaalilukuja, eli (e arvosta eff on yhtä suuri kuin väli miinus äärettömästä plus äärettömään).

ESIMERKKI 1. Ratkaise yhtälö tg x \u003d (x:n tangentti on kolme kertaa kolme juuri).

Ratkaisu. Rakennamme yhteen koordinaattijärjestelmään funktioiden y \u003d tg x kuvaajat

(y on yhtä suuri kuin x:n tangentti) ja y = (y on kolmen juuri jaettuna kolmella).

Saimme äärettömän monta leikkauspistettä, joiden abskissat eroavat toisistaan ​​πk:lla (pi ka) Koska tg x = kohdassa x =, niin päähaaran leikkauspisteen abskissa on (pi x kuusi).

Kirjoitamme kaikki tämän yhtälön ratkaisut kaavalla x = + πk (x on yhtä kuin pi x kuusi plus pi).

Vastaus: x = + πk.

Rakennetaan funktio y \u003d сtg x kuvaaja.

Tarkastellaan kahta rakennustapaa.

Ensimmäinen tapa samalla tavalla kuin funktion y = tg x piirtäminen.

Koska tämä funktio on jaksollinen, se koostuu äärettömästä määrästä haaroja (kaistalla välillä x \u003d 0 ja x \u003d π, samoin kuin kaistalla välillä x \u003d π ja x \u003d 2π jne.) ja parittoista. , sitten rakennamme osan kaaviosta pisteillä välille nollasta pi kahdella (), sitten käytämme symmetriaa ja jaksollisuutta.

Käytämme kotangenttiarvojen taulukkoa graafin rakentamiseen.

Merkittyään saadut pisteet koordinaattitasolle ja yhdistä ne tasaisella viivalla.

Koska funktion kuvaaja on suhteellisen symmetrinen, rakennamme saman haaran symmetrisesti.

Käytämme jaksollisuutta, saamme funktion y \u003d сtg x kaavion.

Olemme rakentaneet funktion y \u003d сtg x kaavion haaran kaistaleeseen x \u003d 0 ja x \u003d π. Rakennamme loput haarat siirtämällä rakennettua haaraa x-akselia pitkin π, - π, 2π, - 2π ja niin edelleen.

Toinen tapa piirretään funktio y \u003d сtg x.

Helpoin tapa saada kuvaaja funktiosta y \u003d stg x on muuntaa tangentoidi pelkistyskaavalla (x:n kotangentti on yhtä suuri kuin miinus x:n ja pi:n summan tangentti kahdella).

Tässä tapauksessa siirrämme ensin funktion y \u003d tg x kaavion haaraa x-akselia pitkin oikealle, saamme

y \u003d tg (x +), ja sitten suoritamme tuloksena olevan kaavion symmetrian abskissa-akselin ympäri. Tuloksena saadaan funktion y \u003d сtg x kaavion haara (kuva 4). Kun tiedämme yhden haaran, voimme rakentaa koko graafin käyttämällä funktion jaksollisuutta. Rakennamme loput haarat siirtämällä rakennettua haaraa x-akselia pitkin π:llä, 2π:lla ja niin edelleen.

Funktion y \u003d сtg x kuvaajaa kutsutaan myös tangentoidiksi, kuten myös funktion y \u003d tg x kuvaajaa. Haaraa, joka sijaitsee nollan ja pi:n välillä, kutsutaan funktion y \u003d сtg x kaavion päähaaroksi.

Keskitetty pisteeseen A.
α on radiaaneina ilmaistu kulma.

Tangentti ( tgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| viereisen haaran pituuteen |AB| .

Kotangentti ( ctgα) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| vastakkaisen jalan pituuteen |BC| .

Tangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa tangenttia merkitään seuraavasti:
.
;
;
.

Tangenttifunktion kuvaaja, y = tg x

Kotangentti

Missä n-kokonainen.

Länsimaisessa kirjallisuudessa kotangentti merkitään seuraavasti:
.
Myös seuraava merkintä on otettu käyttöön:
;
;
.

Kotangenttifunktion kuvaaja, y = ctg x

Tangentin ja kotangentin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y= tg x ja y= ctg x ovat jaksollisia jaksolla π.

Pariteetti

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat parittomia.

Määritelmä- ja arvoalueet, nouseva, laskeva

Funktiot tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia määrittelyalueellaan (katso jatkuvuuden todiste). Tangentin ja kotangentin pääominaisuudet on esitetty taulukossa ( n- kokonaisluku).

Kaavat

Lausekkeet sinin ja kosinin suhteen

; ;
; ;
;

Kaavat summan ja erotuksen tangentille ja kotangentille

Muut kaavat ovat esimerkiksi helppoja saada

Tangenttien tulo

Tangenttien summan ja eron kaava

Tämä taulukko näyttää tangenttien ja kotangenttien arvot joillekin argumentin arvoille.

Lausekkeet kompleksilukuina

Hyperbolisten funktioiden lausekkeet

;
;

Johdannaiset

; .

.
N:nnen kertaluvun johdannainen funktion muuttujan x suhteen:
.
Tangentin > > > kaavojen johtaminen ; kotangentille >>>

Integraalit

Laajennukset sarjoiksi

Saadaksesi tangentin laajennuksen potenssien x, sinun on otettava useita funktioiden laajennuksen termejä potenssisarjassa synti x Ja cos x ja jakaa nämä polynomit toisiinsa , . Tämä johtaa seuraaviin kaavoihin.

klo .

osoitteessa .
missä B n- Bernoullin numerot. Ne määritetään joko toistuvuussuhteesta:
;
;
missä .
Tai Laplacen kaavan mukaan:

Käänteiset funktiot

Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arktangentti ja arkotangentti.

Arktangentti, arktg

, missä n-kokonainen.

Kaaretangentti, arcctg

, missä n-kokonainen.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
G. Korn, Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille, 2012.