Algorithme d'addition de fractions rationnelles avec différents dénominateurs. Addition et soustraction de nombres rationnels

Cette leçon couvrira l'addition et la soustraction. fractions algébriques avec des dénominateurs différents. Nous savons déjà comment additionner et soustraire des fractions communes avec des dénominateurs différents. Pour ce faire, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Il s’avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. En même temps, nous savons déjà réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun. L'addition et la soustraction de fractions avec différents dénominateurs sont l'un des sujets les plus importants et les plus difficiles du cours de 8e année. De plus, ce sujet apparaîtra dans de nombreux sujets du cours d'algèbre que vous étudierez à l'avenir. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs, et analyserons également toute une série exemples typiques.

Considérons exemple le plus simple Pour fractions ordinaires.

Exemple 1. Ajouter des fractions : .

Solution:

Rappelons la règle d'addition des fractions. Pour commencer, les fractions doivent être réduites à un dénominateur commun. Le dénominateur commun des fractions ordinaires est multiple le moins commun(LCM) des dénominateurs originaux.

Définition

Moins nombre naturel, qui est simultanément divisible par les nombres et .

Pour trouver le LCM, vous devez factoriser les dénominateurs en facteurs premiers, puis sélectionner tous les facteurs premiers inclus dans le développement des deux dénominateurs.

; . Alors le LCM des nombres doit comprendre deux deux et deux trois : .

Après avoir trouvé le dénominateur commun, vous devez trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction (en fait, divisez le dénominateur commun par le dénominateur de la fraction correspondante).

Chaque fraction est ensuite multipliée par le facteur supplémentaire résultant. Nous obtenons des fractions avec les mêmes dénominateurs, que nous avons appris à additionner et à soustraire dans les leçons précédentes.

On obtient : .

Répondre:.

Considérons maintenant l'addition de fractions algébriques avec des dénominateurs différents. Examinons d’abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres.

Exemple 2. Ajouter des fractions : .

Solution:

L'algorithme de solution est absolument similaire à l'exemple précédent. Il est facile de trouver le dénominateur commun de ces fractions : et des facteurs supplémentaires pour chacune d'elles.

.

Répondre:.

Alors formulons algorithme pour additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs:

1. Trouvez le plus petit dénominateur commun des fractions.

2. Trouvez des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions (en divisant le dénominateur commun par le dénominateur de la fraction donnée).

3. Multipliez les numérateurs par les facteurs supplémentaires correspondants.

4. Additionnez ou soustrayez des fractions en utilisant les règles d'addition et de soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Considérons maintenant un exemple avec des fractions dont le dénominateur contient des expressions alphabétiques.

Exemple 3. Ajouter des fractions : .

Solution:

Puisque les expressions des lettres dans les deux dénominateurs sont les mêmes, vous devriez trouver un dénominateur commun pour les nombres. Le dénominateur commun final ressemblera à : . Donc la solution cet exemple a la forme :.

Répondre:.

Exemple 4. Soustraire des fractions : .

Solution:

Si vous ne pouvez pas « tricher » lors du choix d'un dénominateur commun (vous ne pouvez pas le factoriser ou utiliser des formules de multiplication abrégées), alors vous devez prendre le produit des dénominateurs des deux fractions comme dénominateur commun.

Répondre:.

En général, lors de la résolution de tels exemples, la tâche la plus difficile est de trouver un dénominateur commun.

Regardons un exemple plus complexe.

Exemple 5. Simplifiez : .

Solution:

Lorsque vous trouvez un dénominateur commun, vous devez d’abord essayer de factoriser les dénominateurs des fractions originales (pour simplifier le dénominateur commun).

Dans ce cas particulier :

Il est alors facile de déterminer le dénominateur commun : .

Nous déterminons des facteurs supplémentaires et résolvons cet exemple :

Répondre:.

Établissons maintenant les règles d'addition et de soustraction de fractions avec différents dénominateurs.

Exemple 6. Simplifiez : .

Solution:

Répondre:.

Exemple 7. Simplifiez : .

Solution:

.

Répondre:.

Considérons maintenant un exemple dans lequel non pas deux, mais trois fractions sont ajoutées (après tout, les règles d'addition et de soustraction pour un plus grand nombre de fractions restent les mêmes).

Exemple 8. Simplifiez : .

Cette leçon couvrira l'addition et la soustraction de fractions algébriques ayant les mêmes dénominateurs. Nous savons déjà comment additionner et soustraire des fractions communes ayant les mêmes dénominateurs. Il s’avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. Apprendre à travailler avec des fractions ayant les mêmes dénominateurs est l’une des pierres angulaires de l’apprentissage du travail avec des fractions algébriques. En particulier, comprendre ce sujet facilitera la maîtrise de davantage sujet difficile- addition et soustraction de fractions avec différents dénominateurs. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs similaires, et analyserons également un certain nombre d'exemples typiques

Règle pour ajouter et soustraire des fractions algébriques avec des dénominateurs similaires

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fractions de un à vous -mi Know-na-te-la-mi (cela coïncide avec la règle analogue pour les coups de feu ordinaires) : c'est pour l'addition ou le calcul des fractions al-geb-ra-i-che-skih avec une connaissance individuelle- moi-sur-le-la-mi nécessaire -ho-di-mo-compilez la somme de nombres al-geb-ra-i-che-somme correspondante, et le signe-moi-na-tel part sans aucun.

Nous comprenons cette règle à la fois pour l'exemple des tirages ven ordinaires et pour l'exemple des tirages al-geb-ra-i-che-tirés.

Exemples d'application de la règle pour les fractions ordinaires

Exemple 1. Ajouter des fractions : .

Solution

Additionnons le nombre de fractions et laissons le signe inchangé. Après cela, nous décomposons le nombre et le connectons en multiplicités et combinaisons simples. Allons-y : .

Remarque : une erreur standard autorisée lors de la résolution d'exemples de types similaires, pour -klu-cha-et-sya dans la solution possible suivante : . C'est une grossière erreur, puisque le signe reste le même que dans les fractions originales.

Exemple 2. Ajouter des fractions : .

Solution

Celui-ci n'est en rien différent du précédent : .

Exemples d'application de la règle pour les fractions algébriques

Des battements de dro ordinaires, nous passons à al-geb-ra-i-che-skim.

Exemple 3. Ajouter des fractions : .

Solution : comme déjà mentionné ci-dessus, la composition des fractions al-geb-ra-i-che n'est en rien différente du mot identique aux combats de tir habituels. La méthode de résolution est donc la même : .

Exemple 4. Vous êtes la fraction : .

Solution

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih fractions de-que ce soit par addition uniquement par le fait que dans le nombre pi-sy-va-et-sya différence dans le nombre de fractions utilisées. C'est pourquoi.

Exemple 5. Vous êtes une fraction : .

Solution: .

Exemple 6. Simplifiez : .

Solution: .

Exemples d'application de la règle suivie d'une réduction

Dans une fraction qui a la même signification dans le résultat de la composition ou du calcul, des combinaisons sont possibles. De plus, il ne faut pas oublier l'ODZ des fractions al-geb-ra-i-che-skih.

Exemple 7. Simplifiez : .

Solution: .

En même temps. En général, si l'ODZ des fractions initiales coïncide avec l'ODZ du total, alors elle peut être omise (après tout, la fraction étant dans la réponse, n'existera pas non plus avec les changements significatifs correspondants). Mais si l’ODZ des fractions utilisées et la réponse ne correspondent pas, alors l’ODZ doit être indiqué.

Exemple 8. Simplifiez : .

Solution: . En même temps, y (l'ODZ des fractions initiales ne coïncide pas avec l'ODZ du résultat).

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Pour ajouter et lire des fractions al-geb-ra-i-che avec différents connaissances sur le-la-mi, nous faisons ana-lo -giyu avec des fractions ordinaires-ven-ny et les transférons à al-geb -ra-i-che-fractions.

Regardons l'exemple le plus simple des fractions ordinaires.

Exemple 1. Ajouter des fractions : .

Solution:

Rappelons les règles d'addition de fractions. Pour commencer avec une fraction, il faut la ramener à un signe commun. Dans le rôle de signe général des fractions ordinaires, vous agissez multiple le moins commun(NOK) premiers signes.

Définition

Le plus petit nombre, qui se divise à la fois en nombres et.

Pour trouver le NOC, vous devez décomposer les connaissances en ensembles simples, puis sélectionner tout ce qu'il y a de nombreux, qui sont inclus dans la division des deux signes.

; . Alors le LCM des nombres doit comprendre deux deux et deux trois : .

Après avoir retrouvé les connaissances générales, il faut pour chacune des fractions trouver une multiplicité complète résidente (en fait, en fait, mettre le signe commun sur le signe de la fraction correspondante).

Ensuite, chaque fraction est multipliée par un facteur à moitié plein. Prenons quelques fractions de celles que vous connaissez, additionnons-les et lisons-les - étudiées dans les leçons précédentes.

Mangeons : .

Répondre:.

Regardons maintenant la composition des fractions al-geb-ra-i-che avec différents signes. Examinons maintenant les fractions et voyons s’il y a des nombres.

Additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs

Exemple 2. Ajouter des fractions : .

Solution:

Al-go-rythme de la décision ab-so-lyut-mais ana-lo-gi-chen à l'exemple précédent. Il est facile de prendre le signe commun des fractions données : et des multiplicateurs supplémentaires pour chacune d’elles.

.

Répondre:.

Alors formons al-go-rythme de composition et calcul des fractions al-geb-ra-i-che avec différents signes:

1. Trouvez le plus petit signe commun de la fraction.

2. Trouvez des multiplicateurs supplémentaires pour chacune des fractions (en effet, le signe commun du signe est donné -ème fraction).

3. Jusqu'à plusieurs nombres sur les multiplicités jusqu'à complètes correspondantes.

4. Ajoutez ou calculez des fractions, en utilisant les additions de droite d'esprit et en calculant des fractions avec la même connaissance -me-na-te-la-mi.

Regardons maintenant un exemple avec des fractions, dans le signe desquelles se trouvent les lettres you -nia.

Cette leçon couvrira beaucoup de choses différents exemples, alors préparez du papier et un stylo pour essayer de les résoudre vous-même, ou au moins répétez vous-même la solution pour chaque exemple.
Nous étudions les expressions rationnelles fractionnaires et nous sommes particulièrement intéressés par les fractions rationnelles, c'est-à-dire les fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des expressions alphabétiques.
Le sujet de la leçon est « la somme et la différence des fractions » et nous parlerons d’abord des fractions ayant les mêmes dénominateurs.

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Lorsque les fractions ont les mêmes dénominateurs, lors de l'addition (soustraction), vous devez effectuer les actions indiquées uniquement avec les numérateurs et laisser le dénominateur identique. Regardons quelques exemples. (2 exemples au tableau - tout de suite). Faites maintenant une pause pour arrêter la leçon et essayez d'accomplir ces tâches par vous-même.

Passons aux opérations avec des fractions qui ont des dénominateurs différents. Et le cas le plus simple est celui des dénominateurs opposés. Par exemple, est la somme de fractions avec des dénominateurs opposés et, lorsque vous rencontrez de tels exemples, utilisez la règle :

« Le signe moins au numérateur ou au dénominateur peut être écrit avant la fraction ; et vice versa : si le signe moins est écrit avant une fraction, alors il peut être écrit soit au numérateur, soit au dénominateur.

Utilisons-le : au dénominateur de la deuxième fraction, nous retirons le « moins » de la parenthèse ; maintenant ce « moins » peut être placé devant la fraction, et les dénominateurs deviendront les mêmes ;

Pensez à ce qui a été fait pour résoudre cet exemple : avant d'effectuer l'action, les fractions rationnelles ont été modifiées pour que leurs dénominateurs deviennent les mêmes. Rappelez-vous : c'est ce qu'ils font avec les fractions numériques : elles sont ramenées à un dénominateur commun, en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Le même principe s'applique lors de l'exécution d'opérations avec des fractions rationnelles.

(L'enseignant est à mi-hauteur sur le fond du tableau.) Et encore une fois, regardons plusieurs exemples d'opérations d'addition et de soustraction avec des fractions. Faites une pause et réfléchissez à la manière de gérer vous-même ces exemples, puis nous vérifierons cela. (au tableau - seulement des exemples de conditions)

Au cours de la leçon, nous considérerons une tâche avec une formulation spéciale : « prouver que les expressions sont identiquement égales les unes aux autres ». Au tableau se trouvent des expressions dont l’égalité doit être prouvée.

Résumons la leçon :

Son sujet : « Somme et différence de fractions ». Pour trouver à la fois la somme et la différence, vous devez transformer les fractions afin qu’elles aient les mêmes dénominateurs. Et après cela, vous devez effectuer les actions indiquées uniquement avec les numérateurs et laisser le dénominateur identique. Le résultat doit être réduit.

Lorsque vous ajoutez et soustrayez des fractions, utilisez la factorisation polynomiale. Pour quoi? 1) Trouver le dénominateur commun le plus simple. 2) Réduire les fractions.

Ceci conclut la leçon, mais vous devez encore terminer grand nombre exercices indépendants afin de bien saisir le sujet de la leçon d'aujourd'hui.

AJOUTER ET SOUSTRAIRE DES FRACTIONS ALGÉBRIQUES AVEC DIFFÉRENTS DÉNOMINATEURS

L'addition et la soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs différents sont effectuées en utilisant le même algorithme que celui utilisé pour ajouter et soustraire des fractions ordinaires avec des dénominateurs différents : d'abord, les fractions sont ramenées à un dénominateur commun en utilisant les facteurs supplémentaires correspondants.
tel, puis ajoutez ou soustrayez les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs selon la règle du § 3. Un algorithme peut être formulé qui couvre tous les cas d'addition (soustraction) de fractions algébriques.

Algorithme d'addition (soustraction) de fractions algébriques

Exemple 1. Suivez ces étapes :

Solution. Pour chaque couple de fractions algébriques donné ici, le dénominateur commun a été trouvé ci-dessus, dans l'exemple du § 2. A partir de l'exemple ci-dessus, on obtient :

La chose la plus difficile dans l’algorithme ci-dessus est, bien sûr, la première étape : trouver un dénominateur commun et réduire les fractions à un dénominateur commun. Dans l'exemple 1, vous n'avez peut-être pas ressenti cette difficulté, puisque nous avons utilisé des résultats tout faits du § 2.

Pour développer une règle permettant de trouver un dénominateur commun, analysons l'exemple 1.
Pour les fractions, le dénominateur commun est le nombre 15 ; il est divisible par 3 et par 5 et est leur commun multiple (même le plus petit commun multiple).
Pour les fractions, le dénominateur commun est le monôme 12b 3. Il est divisible à la fois par 4b 2 et par 6b ​​3, c'est-à-dire par les deux monômes qui servent de dénominateurs des fractions.

Attention, le nombre 12 est le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6. La variable b est incluse au dénominateur de la première fraction d'exposant 2, au dénominateur
la deuxième fraction - avec l'exposant 3. C'est valeur la plus élevée l’indicateur 3 apparaît dans le dénominateur commun.
Pour les fractions

le dénominateur commun est le produit (x + y)(x - y) - il est divisé à la fois par le dénominateur x + y et par le dénominateur x-y.

Pour trouver un dénominateur commun, il est naturellement nécessaire de factoriser tous les dénominateurs donnés (si cela n'a pas été préparé dans la condition). Et puis il faut travailler par étapes : trouver le plus petit commun multiple des coefficients numériques ( nous parlons deà propos des coefficients entiers), déterminez le plus grand exposant pour chaque facteur de lettre apparaissant plusieurs fois et rassemblez-le en un seul produit.

Vous pouvez maintenant concevoir l’algorithme correspondant.

Algorithme pour trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions algébriques

Avant de continuer, essayez d'appliquer cet algorithme à la logique du dénominateur commun pour les fractions algébriques de l'exemple 1.
Commentaire. En fait, vous pouvez trouver autant de dénominateurs communs que vous le souhaitez pour deux fractions algébriques. Par exemple, pour les fractions, le commun
le dénominateur peut être le nombre 30, ou le nombre 60, ou encore le monôme 15a2b. Le fait est que 30, 60 et 15a 2 b peuvent être divisés par 3 ou par 5. Pour
fractions -
le dénominateur commun, en plus du monôme 12b trouvé ci-dessus, peut être 24b 3 et 48a 2 b 4. Pourquoi le monôme 12b 3 est-il meilleur que 24b 3, que 48a 2 b 4 ? C'est plus simple (en apparence). On ne l'appelle parfois même pas le dénominateur commun, mais le plus petit dénominateur commun. Ainsi, l’algorithme donné est l’algorithme
trouver le plus simple dénominateur commun de plusieurs fractions algébriques, un algorithme pour trouver le plus petit dénominateur commun.

Revenons à l'exemple 1, a. Pour additionner des fractions algébriques, il fallait non seulement trouver un dénominateur commun (le nombre 15), mais aussi trouver des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions qui permettraient de ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour une fraction, un tel multi-
le résident est le nombre 5 (le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont en outre multipliés par 5), pour la fraction le nombre est 3 (le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont en outre multipliés par 3).

Un facteur supplémentaire est le quotient de la division du dénominateur commun par le dénominateur d'une fraction donnée.
Généralement, la notation suivante est utilisée :

Revenons à l'exemple 1.6. Le dénominateur commun des fractions est le monôme 12b 3. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est égal à 3b (puisque 12b 3 : 4b 2 = 3 b), pour la deuxième fraction il est égal à 2 (puisque 12b 3 : 6b 3 = 2). Cela signifie que la solution de l’exemple 1.6 peut s’écrire comme suit :

Un algorithme permettant de trouver un dénominateur commun pour plusieurs fractions algébriques a été formulé ci-dessus. Mais l'expérience montre que cet algorithme n'est pas toujours clair pour les étudiants, nous donnerons donc une formulation légèrement modifiée.

La règle pour réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun

Exemple 2. Simplifier une expression

Solution.
Première étape. Trouvons le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires.

Nous avons
4a 2 - 1 = (2a - 1) (2a + 1),
2une 2 + une = une(2une + 1).
On prend le premier dénominateur dans son intégralité, et à partir du second on ajoute le facteur a, qui n'est pas dans le premier dénominateur. Trouvons un dénominateur commun

une(2une - 1) (2une +1).

Il est pratique de disposer les enregistrements sous forme de tableau :

Deuxième étape.
Effectuons les transformations :

Si vous avez une certaine expérience, vous pouvez sauter la première étape et la réaliser simultanément avec la deuxième étape.

En conclusion, regardons un exemple plus complexe (pour ceux que ça intéresse).

Exemple 3 . Simplifier une expression

Solution.
Première étape.
Factorisons tous les dénominateurs :

1) 2a 4 + 4a 3 b + 2a 2 b 2 = 2a 2 (a 2 + 2ab + b 2) = 2a 2 (a + b) 2 ;

2) 3ab 2 - Pour 3 = Pour (b 2 - a 2) = Pour (b - a) (b + a) ;

3) 6a 4 -6a 3 b = 6a 3 (ab).

On prend le premier dénominateur dans son intégralité, du second on prend les facteurs manquants 3 et b - a (ou a - b), du troisième on prend le facteur manquant a (puisque le troisième dénominateur contient le facteur a 3).

Fractions algébriques

Notez que si un facteur supplémentaire a un signe « - », il est généralement placé avant la fraction entière, c'est-à-dire que le signe devra être changé avant la deuxième fraction.

Deuxième étape.
Effectuons les transformations :

Notez que remplacer l'expression donnée dans l'exemple 3 par la fraction algébrique résultante est une transformation identique pour les valeurs acceptables des variables. Dans ce cas, toutes les valeurs des variables a et b sont acceptables, sauf a = 0, a = b, a = - b (dans ces
cas, les dénominateurs tendent vers zéro).

Dans cet article, nous analyserons en détail additionner et soustraire des fractions algébriques. Commençons par additionner et soustraire des fractions algébriques ayant les mêmes dénominateurs. Après cela, nous écrivons la règle correspondante pour les fractions avec des dénominateurs différents. En conclusion, nous montrerons comment additionner une fraction algébrique à un polynôme et comment les soustraire. Comme le veut la tradition, nous fournirons toutes les informations avec des exemples typiques expliquant chaque étape du processus de solution.

Navigation dans les pages.

Quand les dénominateurs sont les mêmes

Les principes s'appliquent aux fractions algébriques. Nous savons que lors de l’addition et de la soustraction de fractions ordinaires ayant le même dénominateur, leurs numérateurs sont ajoutés ou soustraits, mais le dénominateur reste le même. Par exemple, et .

Formulé de la même manière règle pour additionner et soustraire des fractions algébriques ayant les mêmes dénominateurs: Pour ajouter ou soustraire des fractions algébriques avec des dénominateurs similaires, vous devez ajouter ou soustraire les numérateurs des fractions en conséquence, en laissant le dénominateur inchangé.

Il résulte de cette règle qu'en ajoutant ou en soustrayant des fractions algébriques, une nouvelle fraction algébrique (dans un cas particulier, un polynôme, un monôme ou un nombre) est obtenue.

Donnons un exemple de l'application de la règle énoncée.

Exemple.

Trouver la somme des fractions algébriques Et .

Solution.

Nous devons additionner des fractions algébriques ayant les mêmes dénominateurs. La règle nous dit que nous devons additionner les numérateurs de ces fractions, mais laisser le dénominateur inchangé. On additionne donc les polynômes trouvés dans les numérateurs : x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. La somme des fractions initiales est donc égale à .

En pratique, la solution s'écrit généralement brièvement sous la forme d'une chaîne d'égalités reflétant toutes les actions réalisées. Dans notre cas, la version courte de la solution est :

Répondre:

.

Notez que si, suite à l'ajout ou à la soustraction de fractions algébriques, une fraction réductible est obtenue, il est alors conseillé de la réduire.

Exemple.

Soustraire des fractions de fractions algébriques.

Solution.

Puisque les dénominateurs des fractions algébriques sont égaux, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique : .

Il est facile de voir qu’il est possible de réduire une fraction algébrique. Pour ce faire, on transforme son dénominateur en appliquant formule de différence carrée. Nous avons.

Répondre:

.

Trois et trois s'ajoutent ou se soustraient exactement de la même manière. plus fractions algébriques ayant les mêmes dénominateurs. Par exemple, .

Additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs

Rappelons comment on additionne et soustrait des fractions ordinaires avec des dénominateurs différents : on les ramène d'abord à un dénominateur commun, puis on additionne ces fractions avec les mêmes dénominateurs. Par exemple, ou .

Il existe un similaire règle pour additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs:

• premièrement, toutes les fractions sont réduites à un dénominateur commun ;
• après quoi les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs sont ajoutées et soustraites.

Pour appliquer avec succès la règle énoncée, vous devez avoir une bonne compréhension de la réduction des fractions algébriques à un dénominateur commun. C'est ce que nous ferons.

Réduire des fractions algébriques à un dénominateur commun.

Réduire des fractions algébriques à un dénominateur commun est une transformation identique des fractions originales, après quoi les dénominateurs de toutes les fractions deviennent les mêmes. Il est pratique d'utiliser ce qui suit algorithme pour réduire des fractions algébriques à un dénominateur commun:

• Premièrement, le dénominateur commun des fractions algébriques est trouvé ;
• Ensuite, des facteurs supplémentaires sont déterminés pour chacune des fractions, pour lesquelles le dénominateur commun est divisé par les dénominateurs des fractions d'origine ;
• enfin, les numérateurs et dénominateurs des fractions algébriques originales sont multipliés par les facteurs supplémentaires correspondants.

Exemple.

Donner des fractions algébriques Et à un dénominateur commun.

Solution.

Tout d’abord, déterminons le dénominateur commun des fractions algébriques. Pour ce faire, factorisez les dénominateurs de toutes les fractions : 2 une 3 −4 une 2 =2 une 2 (une−2), 3 une 2 −6 une=3 une (une−2) et 4 une 5 −16 une 3 =4 une 3 (une−2) (une+2). De là, nous trouvons le dénominateur commun 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Commençons maintenant par trouver des facteurs supplémentaires. Pour ce faire, on divise le dénominateur commun par le dénominateur de la première fraction (il convient de prendre son développement), on a 12 une 3 (une−2) (une+2):(2 une 2 (une−2))=6 une (une+2). Ainsi, le facteur supplémentaire pour la première fraction est 6·a·(a+2) . De même, nous trouvons des facteurs supplémentaires pour les deuxième et troisième fractions : 12 une 3 (une−2) (une+2):(3 une (une−2))=4 une 2 (une+2) Et 12 une 3 (une−2) (une+2):(4 une 3 (une−2) (une+2))=3.

Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions originales par les facteurs supplémentaires correspondants :

Ceci complète la réduction des fractions algébriques originales à un dénominateur commun. Si nécessaire, les fractions résultantes peuvent être converties sous forme de fractions algébriques en multipliant les polynômes et les monômes par les numérateurs et les dénominateurs.

Nous avons donc réglé la réduction des fractions algébriques à un dénominateur commun. Nous sommes maintenant prêts à effectuer l’addition et la soustraction de fractions algébriques ayant des dénominateurs différents. Oui, on a presque oublié de vous prévenir : il est pratique de laisser le dénominateur commun présenté sous forme de produit jusqu'au tout dernier moment - vous devrez peut-être réduire la fraction qui résulte d'une addition ou d'une soustraction.

Exemple.

Effectuer l'addition de fractions algébriques et .

Solution.

Évidemment, les fractions originales ont des dénominateurs différents, donc pour effectuer leur addition, il faut d'abord les réduire à un dénominateur commun. Pour ce faire, factorisez les dénominateurs : x 2 +x=x·(x+1) , et x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , puisque les racines du trinôme carré x 2 + 3 x+2 sont les nombres −1 et −2. De là, nous trouvons le dénominateur commun, il a la forme x·(x+1)·(x+2) . Alors le facteur supplémentaire de la première fraction sera x+2, et la deuxième fraction sera x.

Alors, et.

Il ne reste plus qu'à additionner les fractions réduites à un dénominateur commun :

La fraction résultante peut être réduite. En effet, si vous retirez les deux entre parenthèses au numérateur, vous verrez multiplicateur commun x+1, dont la fraction est réduite : .

Enfin, nous représentons la fraction résultante comme une fraction algébrique, pour laquelle nous remplaçons le produit au dénominateur par un polynôme : .

Formulons une solution courte qui prend en compte tout notre raisonnement :

Répondre:

.

Et encore un point : avant d'ajouter ou de soustraire des fractions algébriques, il convient de les transformer d'abord afin de simplifier (si, bien sûr, une telle possibilité existe).

Exemple.

Effectuez la soustraction de fractions algébriques et .

Solution.

Effectuons quelques transformations de fractions algébriques, elles simplifieront peut-être le processus de résolution. Pour commencer, retirons entre parenthèses les coefficients numériques des variables du dénominateur : Et . C'est déjà intéressant - le facteur commun des dénominateurs des fractions est devenu visible.