Étant donné une séquence de nombres telle que a1 1. Suite de nombres
La fonction a n =f (n) de l'argument naturel n (n=1; 2; 3; 4;...) est appelée une séquence de nombres.
Chiffres un 1 ; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, formant une séquence, sont appelés membres d'une séquence numérique. Donc a 1 =f (1); une 2 =f (2); une 3 =f (3); une 4 =f (4);…
Ainsi, les membres de la séquence sont désignés par des lettres indiquant des indices - numéros de série leurs membres : a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;…, donc un 1 est le premier membre de la séquence ;
a 2 est le deuxième terme de la suite ;
un 3 est le troisième membre de la séquence ;
un 4 est le quatrième terme de la suite, etc.
En bref, la séquence numérique s'écrit comme suit : a n = f (n) ou (a n).
Il existe les manières suivantes de spécifier une séquence de numéros :
1) Méthode verbale. Représente un modèle ou une règle pour la disposition des membres d’une séquence, décrit par des mots.
Exemple 1. Écrivez une séquence de tous nombres non négatifs, multiples de 5.
Solution. Puisque tous les nombres se terminant par 0 ou 5 sont divisibles par 5, la séquence s'écrira ainsi :
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Exemple 2. Étant donné la séquence : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; .... Demandez-le verbalement.
Solution. On remarque que 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Nous concluons : étant donné une séquence constituée de carrés de nombres naturels.
2) Méthode analytique. La suite est donnée par la formule du nième terme : a n =f (n). En utilisant cette formule, vous pouvez trouver n’importe quel membre de la séquence.
Exemple 3. L'expression du kième terme d'une séquence de nombres est connue : a k = 3+2·(k+1). Calculez les quatre premiers termes de cette séquence.
une 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
une 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
une 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11 ;
une 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.
Exemple 4. Déterminer la règle de composition d'une séquence numérique en utilisant ses premiers membres et exprimer le terme général de la séquence en utilisant une formule plus simple : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ....
Solution. On remarque qu'on nous donne une suite de nombres impairs. Tout nombre impair peut s'écrire sous la forme : 2k-1, où k est un nombre naturel, c'est-à-dire k=1; 2 ; 3 ; 4 ; .... Réponse : a k =2k-1.
3) Méthode récurrente. La séquence est également donnée par une formule, mais pas par une formule générale de terme, qui dépend uniquement du numéro du terme. Une formule est spécifiée par laquelle chaque terme suivant est trouvé à travers les termes précédents. Dans le cas de la méthode récurrente de spécification d'une fonction, un ou plusieurs premiers membres de la séquence sont toujours spécifiés en plus.
Exemple 5. Écrivez les quatre premiers termes de la séquence (a n ),
si un 1 = 7 ; une n+1 = 5+une n .
une 2 =5+une 1 =5+7=12 ;
une 3 =5+une 2 =5+12=17 ;
un 4 =5+un 3 =5+17=22. Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ....
Exemple 6. Écrivez les cinq premiers termes de la séquence (b n),
si b 1 = -2, b 2 = 3 ; b n+2 = 2b n +b n+1 .
b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1 ;
b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5 ;
b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Réponse : -2 ; 3 ; -1 ; 5 ; 3 ; ....
4) Méthode graphique. Séquence numérique est donnée par un graphique, qui représente des points isolés. Les abscisses de ces points sont des nombres naturels : n=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; .... Les ordonnées sont les valeurs des membres de la séquence : a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;… .
Exemple 7. Écrivez graphiquement les cinq termes de la séquence numérique donnée.
Chaque point de ce plan de coordonnées a des coordonnées (n ; a n). Notons les coordonnées des points marqués par ordre croissant de l'abscisse n.
On obtient : (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).
Par conséquent, a 1 = -3 ; un 2 =1; un 3 =4; un 4 =6 ; un 5 =7.
Réponse : -3 ; 1 ; 4 ; 6 ; 7.
La suite numérique considérée en fonction (dans l'exemple 7) est donnée sur l'ensemble des cinq premiers nombres naturels(n=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5), est donc suite de nombres finis(composé de cinq membres).
Si une séquence de nombres en fonction est donnée sur l'ensemble des nombres naturels, alors une telle séquence sera une séquence de nombres infinie.
La séquence de nombres s'appelle croissant, si ses membres sont croissants (a n+1 >a n) et décroissants, si ses membres diminuent(un n+1
Une suite de nombres croissants ou décroissants est appelée monotone. Dans cette leçon, nous apprendrons beaucoup de choses intéressantes sur la vie des membres d'une grande communauté appelée Vkontakte. séquences de nombres. Le sujet à l'étude concerne non seulement le cours d'analyse mathématique, mais touche également aux bases mathématiques discrètes. De plus, le matériel sera nécessaire à la maîtrise d'autres sections de la tour, notamment lors de l'étude série de nombres Et série fonctionnelle. Vous pouvez dire banalement que c'est important, vous pouvez dire de manière encourageante que c'est simple, vous pouvez dire beaucoup plus de phrases routinières, mais aujourd'hui c'est la première semaine d'école inhabituellement paresseuse, donc ça me brise terriblement d'écrire le premier paragraphe =) Je J'avais déjà sauvegardé le fichier dans mon cœur et je m'apprêtais à dormir, quand soudain... ma tête s'est illuminée par l'idée d'une confession sincère, ce qui a incroyablement allégé mon âme et m'a poussé à continuer à taper du doigt sur le clavier. . Faisons une pause dans nos souvenirs d'été et jetons un coup d'œil dans ce monde fascinant et positif du nouveau réseau social : Tout d’abord, réfléchissons au mot lui-même : qu’est-ce que la séquence ? La séquence, c'est quand quelque chose suit quelque chose. Par exemple, une séquence d'actions, une séquence de saisons. Ou quand quelqu'un se trouve derrière quelqu'un. Par exemple, une séquence de personnes faisant la queue, une séquence d’éléphants sur le chemin menant à un point d’eau. Précisons immédiatement les traits caractéristiques de la séquence. Premièrement, membres de la séquence sont situés strictement dans un certain ordre. Donc, si deux personnes dans la file d'attente sont échangées, alors ce sera déjà le cas. autre sous-séquence. Deuxièmement, tout le monde membre de séquence Vous pouvez attribuer un numéro de série : C'est la même chose avec les chiffres. Laisser à tout le monde valeur naturelle selon une règle correspond à un nombre réel. Ensuite, ils disent qu'une séquence numérique est donnée. Oui, dans les problèmes mathématiques, contrairement aux situations de la vie quotidienne, la séquence contient presque toujours une infinité de Nombres. Dans ce cas: En pratique, la séquence est généralement donnée formule de terme commun, Par exemple: Ainsi, l'enregistrement détermine de manière unique tous les membres de la séquence - c'est la règle (formule) selon laquelle les valeurs naturelles Séquence de nombres impairs positifs : Autre séquence courante : Comme beaucoup l’ont sans doute remarqué, la variable « en » joue le rôle d’une sorte de compteur. En fait, nous avons traité des séquences de nombres au collège. Rappelons-nous progression arithmétique. Je ne réécrirai pas la définition ; touchons à l’essentiel avec un exemple précis. Soit le premier terme, et – étape progression arithmétique. Alors: Note
: dans une formule récurrente, chaque terme suivant est exprimé en termes du terme précédent ou même en termes de tout un ensemble de termes précédents. La formule résultante est de peu d'utilité dans la pratique - pour arriver, disons, à , vous devez parcourir tous les termes précédents. Et en mathématiques, une expression plus pratique pour le nième terme d'une progression arithmétique a été dérivée : Remplacez les nombres naturels dans la formule et vérifiez l'exactitude de la séquence numérique construite ci-dessus. Des calculs similaires peuvent être effectués pour progression géométrique, dont le nième terme est donné par la formule , où est le premier terme, et – dénominateur progression. Dans les tâches mathématiques, le premier terme est souvent égal à un. la progression définit la séquence J’espère que tout le monde sait que –1 à une puissance impaire est égal à –1, et à une puissance paire – un. La progression s'appelle infiniment décroissant, si (deux derniers cas). Ajoutons à notre liste deux nouveaux amis, dont l'un vient de frapper sur la matrice du moniteur : La séquence dans le jargon mathématique est appelée « clignotant » : Ainsi, les membres de la séquence peuvent être répétés. Ainsi, dans l'exemple considéré, la séquence est constituée de deux nombres infiniment alternés. Arrive-t-il qu'une séquence soit composée de nombres identiques ? Certainement. Par exemple, il définit un nombre infini de « trois ». Pour les esthètes, il existe un cas où « en » apparaît encore formellement dans la formule : Invitons un simple ami à danser : Que se passe-t-il lorsque « en » augmente jusqu'à l'infini ? Évidemment, les membres de la séquence seront infiniment proche approcher zéro. C’est la limite de cette suite qui s’écrit ainsi : Si la limite d’une suite est nulle, alors on l’appelle infinitésimal. Dans la théorie de l'analyse mathématique, il est donné définition stricte de la limite de séquenceà travers le quartier dit d'Epsilon. Le prochain article sera consacré à cette définition, mais regardons pour l’instant sa signification : Représentons sur la droite numérique les termes de la suite et le voisinage symétrique par rapport à zéro (limite) : La séquence est également infinitésimale : à la différence que ses membres ne sautent pas d'avant en arrière, mais s'approchent de la limite exclusivement par la droite. Naturellement, la limite peut être égale à tout autre nombre fini, exemple élémentaire : Ici, la fraction tend vers zéro et, par conséquent, la limite est égale à « deux ». Si la séquence il y a une limite finie, alors on l'appelle convergent(en particulier, infinitésimalà ). Sinon - divergent, dans ce cas, deux options sont possibles : soit la limite n'existe pas du tout, soit elle est infinie. Dans ce dernier cas, la séquence est appelée infiniment grand. Galopons à travers les exemples du premier paragraphe : Séquences Une progression arithmétique avec le premier terme et le premier pas est également infiniment grande : À propos, toute progression arithmétique diverge également, à l'exception du cas avec un pas nul - quand . La limite d'une telle suite existe et coïncide avec le premier terme. Les séquences ont un sort similaire : Toute progression géométrique infiniment décroissante, comme son nom l'indique clairement, infiniment petit: Si le dénominateur de la progression géométrique est , alors la suite est infiniment grande : Si, par exemple, alors la limite n'existe pas du tout, puisque les membres sautent inlassablement soit vers « plus l'infini », soit vers « moins l'infini ». Et le bon sens et les théorèmes de Matan suggèrent que si quelque chose s’efforce quelque part, alors c’est le seul endroit précieux. Après une petite révélation Factorielle est infiniment grand séquence: De plus, il grandit à pas de géant, c'est donc un nombre qui comporte plus de 100 chiffres (chiffres) ! Pourquoi exactement 70 ? Là-dessus, mon microcalculateur d'ingénierie implore pitié. Avec un tir de contrôle, tout est un peu plus compliqué, et nous venons d'arriver à la partie pratique du cours, dans laquelle nous analyserons des exemples de combat : Mais il faut maintenant être capable de résoudre les limites des fonctions, au moins au niveau de deux leçons de base : Limites. Exemples de solutions Et Des limites merveilleuses. Parce que de nombreuses méthodes de résolution seront similaires. Mais tout d’abord, analysons les différences fondamentales entre la limite d’une suite et la limite d’une fonction : Dans la limite de la séquence, la variable « dynamique » « en » peut tendre à seulement à "plus l'infini"– vers des effectifs naturels croissants Sous-séquence discret(discontinu), c'est-à-dire qu'il est constitué de membres individuels isolés. Un, deux, trois, quatre, cinq, le lapin est sorti se promener. L'argument d'une fonction est caractérisé par la continuité, c'est-à-dire que « X » tend doucement, sans incident, vers l'une ou l'autre valeur. Et, par conséquent, les valeurs de la fonction s'approcheront également continuellement de leur limite. Pour la raison discrétion au sein des séquences, il y a leurs propres éléments de signature, tels que des factorielles, des « lumières clignotantes », des progressions, etc. Et maintenant je vais essayer d'analyser les limites propres aux séquences. Commençons par les progressions : Exemple 1 Trouver la limite de la séquence Solution: quelque chose de similaire à une progression géométrique infiniment décroissante, mais est-ce bien cela ? Pour plus de clarté, écrivons les premiers termes : Depuis, nous parlons de montant termes d'une progression géométrique infiniment décroissante, qui est calculée par la formule. Prenons une décision : On utilise la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante : . Dans ce cas : – le premier terme, – le dénominateur de la progression. Exemple 2 Écrivez les quatre premiers termes de la suite et trouvez sa limite Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Pour éliminer l'incertitude au numérateur, vous devrez appliquer la formule de la somme des premiers termes d'une progression arithmétique : Puisque dans les séquences « en » tend toujours vers « plus l'infini », il n'est pas surprenant que l'incertitude soit l'une des plus populaires. Ou peut-être quelque chose de plus compliqué comme D'un point de vue formel, la différence ne résidera que dans une seule lettre - ici « x » et ici « en ». De plus, l’incertitude au sein des séquences est assez courante. Comment résoudre des limites comme Pour comprendre la limite, référez-vous à l'exemple n°7 de la leçon Des limites merveilleuses(la deuxième limite remarquable est également valable pour le cas discret). La solution sera à nouveau comme une copie carbone avec une seule lettre de différence. Les quatre exemples suivants (n° 3 à 6) sont également « à double face », mais en pratique, pour une raison quelconque, ils sont plus caractéristiques des limites de séquence que des limites de fonctions : Exemple 3 Trouver la limite de la séquence Solution: d'abord la solution complète, puis des commentaires étape par étape : (1) Au numérateur, nous utilisons la formule deux fois. (2) Nous présentons des termes similaires au numérateur. (3) Pour éliminer l'incertitude, divisez le numérateur et le dénominateur par (« en » au plus haut degré). Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Exemple 4 Trouver la limite de la séquence Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, formules de multiplication abrégées pour aider. Dans les s indicatif Les séquences utilisent une méthode similaire pour diviser le numérateur et le dénominateur : Exemple 5 Trouver la limite de la séquence Solution Organisons-le selon le même schéma : Un théorème similaire est d'ailleurs vrai pour les fonctions : le produit d'une fonction bornée et d'une fonction infinitésimale est une fonction infinitésimale. Exemple 9 Trouver la limite de la séquence Supposons que chaque nombre naturel correspond à un certain nombre réel : le nombre 1 correspond à un 1, le nombre 2 - un 2, le nombre n - un n. Dans ce cas, on dit qu'une suite numérique est donnée, qui s'écrit comme suit : a 1, a 2, ..., an, où a 1 est le premier terme, et 2 est le deuxième terme, ..., et n est le nième terme de la séquence. Il existe trois manières principales de définir une séquence. 1. Analytique. La suite est donnée par la formule du nième terme ; par exemple, la formule a n = n/(n+1) spécifie la séquence a 1, a 2, ..., a n, pour laquelle et 1 = 1/(1+1) = 1/2 ; et 2 = 2/(2+1) = 2/3... ; ceux. séquence 1/2, 2/3, 3/4, …, n/(n + 1). 2. Récurrent. Tout membre d'une séquence est exprimé à travers ses membres précédents. Avec cette méthode de spécification d'une séquence, le premier membre de la séquence et une formule qui vous permet de calculer n'importe quel membre de la séquence à partir des membres précédents connus doivent être indiqués. Trouvons plusieurs termes de la suite a 1 = 1, a 2 = 1..., a n +2 = a n + a n +1. un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2 ; un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3, etc. En conséquence, nous obtenons la séquence : 1, 1, 2, 3, 5…. 3. Verbal. Il s'agit d'une affectation de séquence par description. Par exemple, une séquence d'approximations décimales pour le déficit du nombre e. Les séquences peuvent être croissantes ou décroissantes. Une séquence (a n), dont chaque membre est inférieur au suivant, c'est-à-dire si un n< а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью. Une séquence (a n), dont chaque membre est supérieur au suivant, c'est-à-dire si a n > a n +1 pour tout n, on parle de séquence décroissante. Par exemple: a) 1, 4, 9, 16, 25, …, n 2, … – séquence croissante ; b) -1, -2, -3, -4, ..., -n, ... – la séquence est décroissante ; c) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, (-1) n ∙ n, … – séquence non croissante et non décroissante ; d) 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, … – séquence constante (stationnaire). Si chaque membre de la séquence (a n), à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre d, alors une telle séquence est appelée progression arithmétique. Le nombre d est appelé la différence de progression. Ainsi, la progression arithmétique est donnée par l'égalité : a n +1 = a n + d. Par exemple, un 5 = un 4 + d. Pour d > 0, la progression arithmétique augmente, pour d< 0 убывает. La suite 3, 5, 7, 9, 11, 13... est une progression arithmétique, Parfois, on ne considère pas la suite entière, qui est une progression arithmétique, mais seulement ses premiers termes. On parle dans ce cas de progression arithmétique finie. La progression arithmétique a trois propriétés. 1. Formule du nième terme d'une progression arithmétique : une n = une 1 + ré(n – 1) 2. Formules pour la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique : a) S n = ((a 1 + a n)/2) ∙ n ; b) S n = ((2a 1 + d(n – 1))/2) ∙ n. Ici S 1 = a 1, S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n. 3. Propriété caractéristique d'une progression arithmétique : la séquence est séquence arithmétique si et seulement si chacun de ses termes, sauf le premier (et le dernier dans le cas d'une progression arithmétique finie), est égal à la moyenne arithmétique des termes précédents et suivants : un n = (un n -1 + un n +1) / 2. Si le premier terme de la suite (b n) est non nul et que chaque terme, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre non nul q, alors une telle séquence est appelée une progression géométrique. Le nombre q est appelé le dénominateur de la progression. Ainsi, la progression géométrique est donnée par l'égalité b n +1 = b n ∙ q La séquence 100, 30, 9, 27/10, ... est une progression géométrique, où b 1 = 100, q = 3/10. La progression géométrique est caractérisée par trois propriétés 1. Formule du nième terme d'une progression géométrique : b n = b 1 ∙ q n -1 . 2. Formules pour la somme des n premiers termes d'une progression géométrique : a) S n = (b n q – b 1) / (q – 1) ; b) S n = (b 1 (q n – 1)) / (q – 1). 3. Propriété caractéristique de la progression géométrique : une suite est une suite géométrique si et seulement si chacun de ses termes, sauf le premier (et le dernier dans le cas d'une progression géométrique finie), est lié aux termes précédents et suivants par la formule : b n 2 = b n -1 ∙ b n +1 . blog.site, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source originale est requis. Introduction………………………………………………………………………………3 1. Partie théorique……………………………………………………………….4 Concepts et termes de base……………………………………………………………......4 1.1 Types de séquences……………………………………………………………...6 1.1.1.Séquences de numéros limitées et illimitées…..6 1.1.2.Monotonie des séquences…………………………………6 1.1.3.Séquences infiniment grandes et infinitésimales…….7 1.1.4.Propriétés des séquences infinitésimales…………………8 1.1.5.Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés.....9 1.2 Limite de séquence………………………………………………….11 1.2.1.Théorèmes sur les limites des suites……………………………15 1.3. Progression arithmétique…………………………………………………………17 1.3.1. Propriétés de la progression arithmétique…………………………………..17 1.4Progression géométrique……………………………………………………………..19 1.4.1. Propriétés de la progression géométrique…………………………………….19 1.5. Nombres de Fibonacci……………………………………………………………..21 1.5.1 Connexion des nombres de Fibonacci avec d'autres domaines de connaissances………………….22 1.5.2. Utiliser la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée…………………………………………………………………………………………….23 2. Recherches personnelles…………………………………………………….28 Conclusion………………………………………………………………………………….30 Liste des références……………………………………………………………....31 Introduction. Les séquences de nombres sont un sujet très intéressant et éducatif. Ce sujet se retrouve dans des tâches de complexité accrue que les auteurs proposent aux étudiants matériel didactique, dans les problèmes des olympiades mathématiques, examens d'entrée vers le haut Établissements d'enseignement et à l'examen d'État unifié. Je souhaite apprendre comment les séquences mathématiques sont liées à d'autres domaines de connaissances. Cible travaux de recherche: Développez vos connaissances sur la séquence de nombres. 1. Considérez la séquence ; 2. Considérez ses propriétés ; 3. Considérez la tâche analytique de la séquence ; 4. Démontrer son rôle dans le développement d'autres domaines de connaissances. 5. Démontrer l’utilisation de la série de nombres de Fibonacci pour décrire la nature vivante et inanimée. 1. Partie théorique. Concepts et termes de base. Définition. Une séquence numérique est une fonction de la forme y = f(x), x О N, où N est l'ensemble des nombres naturels (ou une fonction d'un argument naturel), noté y = f(n) ou y1, y2, …, oui,…. Les valeurs y1, y2, y3,... sont appelées respectivement premier, deuxième, troisième,... membres de la séquence. Un nombre a est appelé la limite de la séquence x = (x n ) si pour un nombre positif arbitrairement petit prédéterminé arbitrairement petit ε il existe un nombre naturel N tel que pour tout n>N l'inégalité |x n - a|< ε. Si le nombre a est la limite de la séquence x = (x n ), alors ils disent que x n tend vers a, et écrivent Une suite (yn) est dite croissante si chaque membre (sauf le premier) est supérieur au précédent : y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …. Une suite (yn) est dite décroissante si chaque membre (sauf le premier) est inférieur au précédent : y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … . Les séquences croissantes et descendantes sont combinées terme général– des séquences monotones. Une séquence est dite périodique s'il existe un nombre naturel T tel que, à partir d'un certain n, l'égalité yn = yn+T est vraie. Le nombre T est appelé la durée de la période. Une progression arithmétique est une suite (an) dont chaque terme, à partir du second, est égal à la somme du terme précédent et du même nombre d, est appelée progression arithmétique, et le nombre d est la différence d'un progression arithmétique. Ainsi, une progression arithmétique est une suite numérique (an) définie de manière récurrente par les relations a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …) Une progression géométrique est une suite dans laquelle tous les termes sont différents de zéro et dont chaque terme, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en multipliant par le même nombre q. Ainsi, une progression géométrique est une suite numérique (bn) définie de manière récurrente par les relations b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…). 1.1 Types de séquences. 1.1.1 Séquences restreintes et non restreintes. Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessus s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≤ M est vraie ; Une séquence (bn) est dite bornée ci-dessous s'il existe un nombre M tel que pour tout nombre n l'inégalité bn≥ M est vraie ; Par exemple: 1.1.2 Monotonie des séquences. Une séquence (bn) est dite non croissante (non décroissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) est vraie ; Une séquence (bn) est dite décroissante (croissante) si pour tout nombre n l'inégalité bn > bn+1 (bn Les séquences décroissantes et croissantes sont dites strictement monotones, les séquences non croissantes sont dites monotones au sens large. Les séquences délimitées au-dessus et en dessous sont appelées limitées. La séquence de tous ces types est dite monotone. 1.1.3 Séquences infiniment grandes et petites. Une séquence infinitésimale est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers zéro. Une suite an est dite infinitésimale si Une fonction est dite infinitésimale au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)=0. Une fonction est dite infinitésimale à l'infini si ℓimx→.+∞ f(x)=0 ou ℓimx→-∞ f(x)=0 Infinitésimal est également une fonction qui est la différence entre une fonction et sa limite, c'est-à-dire si ℓimx→.+∞ f(x)=a, alors f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0. Une séquence infiniment grande est une fonction ou une séquence numérique qui tend vers l'infini. Une suite an est dite infiniment grande si ℓimn→0 an=∞. Une fonction est dite infiniment grande au voisinage du point x0 si ℓimx→x0 f(x)= ∞. Une fonction est dite infiniment grande à l’infini si ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ou ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Propriétés des séquences infinitésimales. La somme de deux séquences infinitésimales est elle aussi une séquence infinitésimale. La différence entre deux séquences infinitésimales est elle-même aussi une séquence infinitésimale. La somme algébrique de tout nombre fini de séquences infinitésimales est elle-même également une séquence infinitésimale. Le produit d’une suite bornée et d’une suite infinitésimale est une suite infinitésimale. Le produit de tout nombre fini de séquences infinitésimales est une séquence infinitésimale. Toute séquence infinitésimale est bornée. Si une suite stationnaire est infinitésimale, alors tous ses éléments, à partir de certains, sont égaux à zéro. Si toute la séquence infinitésimale est constituée d’éléments identiques, alors ces éléments sont des zéros. Si (xn) est une suite infiniment grande ne contenant aucun terme nul, alors il existe une suite (1/xn) qui est infinitésimale. Si, cependant, (xn) contient zéro élément, alors la séquence (1/xn) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infinitésimale. Si (an) est une séquence infinitésimale ne contenant aucun terme nul, alors il existe une séquence (1/an) qui est infiniment grande. Si (an) contient néanmoins zéro élément, alors la séquence (1/an) peut toujours être définie à partir d'un certain nombre n, et sera toujours infiniment grande. 1.1.5 Séquences convergentes et divergentes et leurs propriétés. Une séquence convergente est une séquence d'éléments d'un ensemble X qui a une limite dans cet ensemble. Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente. Toute séquence infinitésimale est convergente. Sa limite est nulle. Supprimer un nombre fini d'éléments d'une séquence infinie n'affecte ni la convergence ni la limite de cette séquence. Toute suite convergente est bornée. Cependant, toutes les séquences limitées ne convergent pas. Si la suite (xn) converge, mais n'est pas infinitésimale, alors, à partir d'un certain nombre, on définit une suite (1/xn), qui est bornée. La somme des séquences convergentes est également une séquence convergente. La différence des séquences convergentes est également une séquence convergente. Le produit de suites convergentes est aussi une suite convergente. Le quotient de deux séquences convergentes est défini à partir d'un élément, sauf si la deuxième séquence est infinitésimale. Si le quotient de deux suites convergentes est défini, alors c’est une suite convergente. Si une suite convergente est bornée en dessous, alors aucun de ses infimums ne dépasse sa limite. Si une séquence convergente est bornée au-dessus, alors sa limite ne dépasse aucune de ses limites supérieures. Si pour un nombre quelconque les termes d'une suite convergente ne dépassent pas les termes d'une autre suite convergente, alors la limite de la première suite ne dépasse pas non plus la limite de la seconde. Oganesyan Eva Séquences de nombres. Abstrait. Établissement d'enseignement budgétaire municipal Séquences de nombres Abstrait Travaux terminés : Barnaoul - 2014 Introduction…………………………………………………………………………………2 Suite de nombres.……………………………………………………………...3 Méthodes de spécification des séquences de numéros………………………...4 Développement de la doctrine des progressions……………………………………………..5 Propriétés des séquences de nombres…………………………………7 Progression arithmétique……………………………................................9 Progression géométrique…………………………………………………………….10 Conclusion…………………………………………………………………………………11 Références………………………………………………………11 Introduction Objectif de ce résumé– étude des concepts de base liés aux suites de nombres, leur application dans la pratique. Actuellement, les séquences de nombres sont considérées comme des cas particuliers d’une fonction. La séquence de nombres est fonction de l'argument naturel. Le concept de séquence numérique est apparu et s'est développé bien avant la création de la doctrine de la fonction. Voici des exemples de séquences de nombres infinis connues dans l’Antiquité : 1, 2, 3, 4, 5, … - une séquence de nombres naturels. 2, 4, 6, 8, 10,… - une séquence de nombres pairs. 1, 3, 5, 7, 9,… - une séquence de nombres impairs. 1, 4, 9, 16, 25,… - une séquence de carrés de nombres naturels. 2, 3, 5, 7, 11... - une séquence de nombres premiers. 1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - une séquence de nombres réciproques aux nombres naturels. Le nombre des membres de chacune de ces séries est infini ; les cinq premières séquences sont croissantes de façon monotone, la dernière est décroissante de façon monotone. Toutes les séquences répertoriées, à l'exception de la 5ème, sont données du fait que pour chacune d'elles un terme commun est connu, c'est-à-dire la règle pour obtenir un terme avec n'importe quel nombre. Pour une séquence de nombres premiers, le terme commun est inconnu, mais remonte au 3ème siècle. Colombie-Britannique e. le scientifique alexandrin Eratosthène a indiqué une méthode (bien que très lourde) pour obtenir son nième membre. Cette méthode était appelée le « tamis d’Ératosthène ». Les progressions – types particuliers de séquences numériques – se retrouvent dans les monuments du IIe millénaire avant JC. e. Séquences de nombres Il existe différentes définitions d’une séquence de nombres. Séquence numérique –
c'est une séquence d'éléments de l'espace numérique (Wikipedia). Séquence numérique –
c'est un ensemble de nombres numérotés. Une fonction de la forme y = f (x), xest appelée la fonction d'argument naturel ouséquence numériqueet notons y = f(n) ou ,
,
, …,
Pour désigner la séquence, la notation ().
Nous écrirons les nombres pairs positifs par ordre croissant. Le premier de ces nombres est 2, le deuxième est 4, le troisième est 6, le quatrième est 8, etc., nous obtenons donc la séquence : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10…. Évidemment, à la cinquième place de cette séquence il y aura le nombre 10, à la dixième place le nombre – 20, à la centième place le nombre – 200. En général, pour tout nombre naturel n, vous pouvez indiquer le nombre pair positif. correspondant à celui-ci; il est égal à 2n. Regardons une autre séquence. Nous écrirons les fractions propres avec un numérateur égal à 1 par ordre décroissant : ;
;
;
;
; … .
Pour tout entier naturel n, on peut indiquer la fraction correspondante ; c'est égal. Donc, à la sixième place, il devrait y avoir une fraction, le trentième - , au millième - une fraction .
Les nombres qui forment la séquence sont appelés respectivement premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. membres de la séquence. Les membres d'une séquence sont généralement désignés par des lettres avec des indices indiquant le numéro de série du membre. Par exemple:,
,
etc. en général, le membre de la séquence de numéro n, ou, comme on dit, le nième membre de la séquence, désigne. La séquence elle-même est notée (). Une séquence peut contenir soit un nombre infini de termes, soit un nombre fini. Dans ce cas, on parle de final. Par exemple : une séquence de nombres à deux chiffres.10 ; 11 ; 12 ; 13 ; ... ; 98 ; 99 Méthodes de spécification des souches de numéros Les séquences peuvent être spécifiées de plusieurs manières. Il est généralement plus approprié de définir la séquencela formule de son nième terme commun, qui permet de retrouver n'importe quel membre de la séquence connaissant son numéro. Dans ce cas on dit que la suite est donnée analytiquement. Par exemple : séquence de termes pairs positifs=2n. Tâche: trouver la formule du terme général de la séquence (:
6; 20; 56; 144; 352;…
Solution. Écrivons chaque membre de la séquence sous la forme suivante : n=1 : 6 = 2 3 = 3 = n=2 : 20 = 4 5 = 5 = n=3 : 56 = 8 7 = 7 = Comme on peut le voir, les termes de la suite sont le produit d'une puissance de deux multipliée par des nombres impairs successifs, deux étant élevés à une puissance égale au numéro de l'élément en question. Ainsi, nous concluons que Réponse : terme général formule : Une autre façon de spécifier une séquence consiste à spécifier la séquence en utilisantrelation de récurrence.
Une formule exprimant n'importe quel membre d'une séquence, en commençant par certains jusqu'aux précédents (un ou plusieurs), est appelée récurrent (du mot latin recurro - revenir). Dans ce cas, un ou plusieurs premiers éléments de la séquence sont spécifiés et les autres sont déterminés selon une règle. Un exemple de séquence donnée de manière récurrente est la séquence de nombres de Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., dans laquelle chaque nombre suivant, à partir du troisième, est la somme des deux nombres précédents. les uns : 2 = 1 + 1 ; 3 = 2 + 1 et ainsi de suite. Cette séquence peut être spécifiée de manière récurrente : N N, = 1. Tâche: sous-séquenceest donné en utilisant la relation de récurrence+ , nN, = 4. Écrivez les premiers termes de cette séquence. Solution. Trouvons le troisième terme de la suite donnée : +
=
Etc. Lors de la spécification récurrente de séquences, les calculs s'avèrent très fastidieux, car pour trouver des éléments avec de grands nombres, il est nécessaire de retrouver tous les membres précédents de la séquence spécifiée, par exemple, pour trouvernous devons trouver les 499 membres précédents. Méthode descriptiveL'attribution d'une séquence de nombres consiste à expliquer à partir de quels éléments la séquence est construite. Exemple 1. "Tous les termes de la suite sont égaux à 1." Cela signifie que nous parlons d'une séquence stationnaire 1, 1, 1, …, 1, …. Exemple 2 : « La séquence est composée de tous les nombres premiers par ordre croissant. » Ainsi, la séquence donnée est 2, 3, 5, 7, 11,…. Avec cette méthode de spécification de la séquence dans cet exemple, il est difficile de répondre à quoi, disons, est égal au 1000ème élément de la séquence. La séquence numérique peut également être spécifiée simplementlistant ses membres. Développement de la doctrine des progressions Le mot progression est d'origine latine (progressio), signifie littéralement « mouvement en avant » (comme le mot « progrès ») et se retrouve pour la première fois chez l'auteur romain Boèce (V-VI siècles). Initialement, la progression était comprise comme). toute séquence numérique construite selon une loi qui permet de la poursuivre indéfiniment dans une direction, par exemple une séquence de nombres naturels, leurs carrés et leurs cubes. A la fin du Moyen Âge et au début des temps modernes, ce terme cesse d'être d'usage courant. Au XVIIe siècle, par exemple, J. Gregory utilise le terme « série » au lieu de progression, et un autre mathématicien anglais éminent, J. Wallis, utilise le terme « progressions infinies » pour désigner des séries infinies. Actuellement, nous considérons les progressions comme des cas particuliers de séquences de nombres. Les informations théoriques liées aux progressions se trouvent pour la première fois dans les documents de la Grèce antique qui nous sont parvenus. Dans le Psammit, Archimède compare d'abord les progressions arithmétiques et géométriques : 1,2,3,4,5,………………..
10,
,
………….
Les progressions étaient considérées comme une continuation des proportions, c'est pourquoi les épithètes arithmétique et géométrique ont été transférées des proportions aux progressions. Cette vision des progressions a été préservée par de nombreux mathématiciens des XVIIe et même XVIIIe siècles. C'est ainsi qu'il faut expliquer le fait que le symbole trouvé chez Barrow, puis chez d'autres scientifiques anglais de l'époque, pour désigner une proportion géométrique continue, a commencé à désigner une progression géométrique dans les manuels anglais et français du XVIIIe siècle. Par analogie, la progression arithmétique a commencé à être désignée de cette façon. L’une des preuves d’Archimède, exposée dans son ouvrage « La Quadrature de la Parabole », se résume essentiellement à la sommation d’une progression géométrique infiniment décroissante. Pour résoudre certains problèmes de géométrie et de mécanique, Archimède a dérivé une formule pour la somme des carrés des nombres naturels, bien qu'elle ait été utilisée avant lui. 1/6n(n+1)(2n+1) Certaines formules liées aux progressions étaient connues des scientifiques chinois et indiens. Ainsi, Aryabhatta (Ve siècle) connaissait des formules pour le terme général, la somme d'une progression arithmétique, etc., Magavira (IXe siècle) utilisait la formule : +
+
+ ... +
= 1/6n(n+1)(2n+1) et autres séries plus complexes. Cependant, la règle permettant de trouver la somme des termes d'une progression arithmétique arbitraire se trouve pour la première fois dans le Livre de l'Abacus (1202) de Léonard de Pise. Dans « La science des nombres » (1484), N. Schuke, comme Archimède, compare la progression arithmétique avec la progression géométrique et donne une règle générale pour la sommation de toute progression géométrique décroissante infinitésimale. La formule pour additionner une progression infiniment décroissante était connue de P. Fermat et d'autres mathématiciens du XVIIe siècle. Des problèmes sur les progressions arithmétiques (et géométriques) se retrouvent également dans l'ancien traité chinois « Mathématiques en neuf livres », qui ne contient cependant aucune instruction sur l'utilisation d'une formule de sommation. Les premiers problèmes de progression qui nous sont parvenus sont liés aux exigences de la vie économique et des pratiques sociales, comme la répartition des produits, le partage de l'héritage, etc. D'une tablette cunéiforme, nous pouvons conclure qu'en observant la lune de la nouvelle lune à la pleine lune, les Babyloniens sont arrivés à la conclusion suivante : au cours des cinq premiers jours après la nouvelle lune, l'augmentation de l'éclairage du disque lunaire se produit conformément à la loi. de progression géométrique avec un dénominateur de 2. Dans une autre tablette ultérieure, nous parlons de la progression géométrique sommée : 1+2+
+…+
. solution et réponse S=512+(512-1), les données de la tablette suggèrent que l'auteur a utilisé la formule. Sn= +( -1), cependant, personne ne sait comment il y est parvenu. La sommation des progressions géométriques et la compilation des problèmes correspondants, qui ne répondaient pas toujours aux besoins pratiques, ont été réalisées par de nombreux amateurs de mathématiques tout au long de l'Antiquité et du Moyen Âge. Propriétés des séquences de nombres Une séquence numérique est un cas particulier de fonction numérique, et donc certaines propriétés des fonctions (limite, monotonie) sont également prises en compte pour les séquences. Séquences restreintes Sous-séquence () s'appelle délimité au-dessus, que pour tout nombre n, M. Sous-séquence () s'appelle délimité en dessous, s'il existe un tel nombre m, que pour tout nombre n, m. Sous-séquence () est appelé limité , s'il est délimité au-dessus et délimité en bas, c'est-à-dire qu'il existe un tel nombre M0, qui pour tout nombre n, M. Sous-séquence () est dit illimité , s'il existe un tel nombre M0 qu'il existe un nombre n tel que, M. Tâche: séquence d'exploration =
aux limites. Solution. La séquence donnée est bornée, car pour tout nombre naturel n les inégalités suivantes sont vraies : 0
1,
Autrement dit, la séquence est limitée en bas par zéro, et en même temps est limitée en haut par un, et est donc également limitée. Réponse : la séquence est limitée - d'en bas par zéro et d'en haut par un. Séquences ascendantes et descendantes Sous-séquence () est appelé croissant , si chaque membre est supérieur au précédent : Par exemple, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... est une séquence croissante. Sous-séquence () est appelé décroissant , si chacun de ses membres est inférieur au précédent : Par exemple, 1 ; - séquence décroissante. Les séquences croissantes et décroissantes sont combinées par un terme commun -séquences monotones. Donnons quelques exemples supplémentaires. 1; -
cette séquence n'est ni croissante ni décroissante (séquence non monotone). 2n. Nous parlons de la séquence 2, 4, 8, 16, 32, ... - une séquence croissante. En général, si a > 1, alors la séquence= augmente ; si 0 = diminue. Progression arithmétique Une séquence numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal à la somme du membre précédent et du même nombre d, est appeléeprogression arithmétique, et le nombre d est la différence de la progression arithmétique. Ainsi, une progression arithmétique est une suite de nombres X, = = + d, (n = 2, 3, 4,… ; a et d sont des nombres). Exemple 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... est une progression arithmétique croissante, qui= 1, ré = 2. Exemple 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,... est une progression arithmétique décroissante, qui= 20, d = –3. Exemple 3. Considérons une séquence de nombres naturels qui, lorsqu'ils sont divisés par quatre, donnent un reste de 1 : 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; 21… Chacun de ses termes, à partir du second, s'obtient en ajoutant le chiffre 4 au terme précédent. Cette séquence est un exemple de progression arithmétique. Il n'est pas difficile de trouver une expression (formulaire) expliciteà travers n. La valeur de l'élément suivant augmente de d par rapport au précédent, ainsi, la valeur n de l'élément augmentera de (n – 1)d par rapport au premier terme de la progression arithmétique, c'est-à-dire =
+ ré (n – 1). C'est la formule du nième terme d'une progression arithmétique. C'est la formule de somme n termes d'une progression arithmétique. La progression est appelée progression arithmétique car chaque terme qu'elle contient, à l'exception du premier, est égal à la moyenne arithmétique des deux qui lui sont adjacents - le précédent et le suivant, en effet, Progression géométrique Une suite numérique dont tous les termes sont différents de zéro et dont chacun des termes, à partir du second, est obtenu à partir du terme précédent en multipliant par le même nombre q, est appeléeprogression géométrique, et le nombre q est le dénominateur de la progression géométrique. Ainsi, une progression géométrique est une suite de nombres (donnée récursivement par les relations B, = q (n = 2, 3, 4... ; b et q reçoivent des nombres). Exemple 1. 2, 6, 18, 54, ... – progression géométrique croissante 2, q = 3. Exemple 2. 2, –2, 2, –2, … – progression géométrique= 2, q = –1. L'une des propriétés évidentes d'une progression géométrique est que si la séquence est une progression géométrique, alors la séquence de carrés l'est aussi, c'est-à-dire;
;…-
est une progression géométrique dont le premier terme est égal à, et le dénominateur est.
La formule du nième terme de la progression géométrique est : Formule pour la somme de n termes d'une progression géométrique : Propriété caractéristiqueprogression géométrique : une suite de nombres est une progression géométrique si et seulement si le carré de chacun de ses termes, sauf le premier (et le dernier dans le cas d'une suite finie), est égal au produit des termes précédents et suivants, Conclusion De nombreux scientifiques étudient les séquences de nombres depuis des siècles.Les premiers problèmes de progression qui nous sont parvenus sont liés aux exigences de la vie économique et des pratiques sociales, comme la répartition des produits, le partage de l'héritage, etc. Ils sont l'un des notions clés mathématiques. Dans mon travail, j'ai essayé de refléter les concepts de base associés aux séquences numériques, aux méthodes pour les définir, aux propriétés, et j'en ai considéré certains. Séparément, les progressions (arithmétique et géométrique) ont été considérées et les concepts de base qui leur sont associés ont été discutés. Références M. : Éducation, 1964.Séquence numérique.
Comment ?Concept de séquence de nombres
appelé premier membre séquences ;
– deuxième membre séquences ;
– troisième membre séquences ;
…
– nième ou membre commun séquences ;
…
– séquence de nombres pairs positifs : 
les numéros sont mis en correspondance. Par conséquent, la séquence est souvent brièvement désignée par un terme commun, et au lieu de « x », d'autres lettres latines peuvent être utilisées, par exemple :
– le deuxième terme de cette progression ;
– le troisième terme de cette progression ;
- quatrième; 
- cinquième ;
…
Et évidemment, le nième terme est donné récurrent formule
. Dans notre cas : 
;
progression 
définit la séquence ;
progression 
définit la séquence 
;
progression 
définit la séquence 
.
Pincez maintenant la zone bleue avec les bords de vos paumes et commencez à la réduire en la tirant vers la limite (point rouge). Un nombre est la limite d'une séquence si POUR TOUT quartier présélectionné (aussi petit que vous le souhaitez) sera à l'intérieur une infinité de membres de la séquence, et À L'EXTÉRIEUR d'elle - uniquement final nombre de membres (voire aucun). Autrement dit, le voisinage epsilon peut être microscopique, et même plus petit, mais la « queue infinie » de la séquence doit tôt ou tard pleinement entrer dans la zone.
sont infiniment grand, alors que leurs membres avancent avec confiance vers le « plus l’infini » : 
il devient clair que la « lumière clignotante » est à l'origine du lancer incontrôlable, qui d'ailleurs diverge d'elle-même.
En effet, pour une séquence, il est facile de choisir un -voisinage qui, disons, ne serre que le nombre –1. En conséquence, un nombre infini de membres de la séquence (« plus un ») resteront en dehors de ce voisinage. Mais par définition, la « queue infinie » de la séquence à partir d’un certain moment (entier naturel) doit pleinement allez dans N'IMPORTE QUEL voisinage de votre limite. Conclusion : il n’y a aucune limite.
.
Dans la limite de la fonction, « x » peut être dirigé n’importe où – vers « plus/moins l’infini » ou vers un nombre réel arbitraire.
, où est le premier et a est le nième terme de la progression.
Et de nombreux exemples sont résolus exactement de la même manière que les limites de fonction!
? Consultez l'exemple n°3 de l'article Méthodes pour résoudre les limites.
La technique est la même : le numérateur et le dénominateur doivent être divisés par « en » au plus haut degré.
peut être trouvé dans les exemples n° 11 à 13 du même article.
où a 1 = 3, d = 2 (5 – 3, 7 – 5, 9 – 7, etc.).
. Par exemple, b 7 = b 6 ∙ q.Télécharger:
Aperçu :
"École secondaire n°31"
ville de Barnaoul
Oganesyan Eva,
Elève de 8ème de MBOU "Lycée N°31"
Superviseur:
Poleva Irina Alexandrovna,
professeur de mathématiques MBOU "Lycée N°31"
Tâches :