Comment déterminer si une fonction est paire. Fonctions paires et impaires

Qui vous étaient familiers à un degré ou à un autre. Il y a également été noté que le stock de propriétés fonctionnelles serait progressivement reconstitué. Deux nouvelles propriétés seront abordées dans cette section.

Définition 1.

La fonction y = f(x), x є X, est appelée même si pour toute valeur x de l'ensemble X l'égalité f (-x) = f (x) est vraie.

Définition 2.

La fonction y = f(x), x є X, est appelée impaire si pour toute valeur x de l'ensemble X l'égalité f (-x) = -f (x) est vraie.

Montrer que y = x 4 est une fonction paire.

Solution. On a : f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Mais (-x) 4 = x 4. Cela signifie que pour tout x, l'égalité f(-x) = f(x) est vraie, c'est-à-dire la fonction est paire.

De même, on peut prouver que les fonctions y - x 2, y = x 6, y - x 8 sont paires.

Montrer que y = x 3 ~ une fonction impaire.

Solution. On a : f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Mais (-x) 3 = -x 3. Cela signifie que pour tout x, l'égalité f (-x) = -f (x) est vraie, c'est-à-dire la fonction est étrange.

De même, on peut prouver que les fonctions y = x, y = x 5, y = x 7 sont impaires.

Vous et moi avons déjà été convaincus à plusieurs reprises que les nouveaux termes mathématiques ont le plus souvent une origine « terrestre », c'est-à-dire ils peuvent être expliqués d’une manière ou d’une autre. C’est le cas des fonctions paires et impaires. Voir : y - x 3, y = x 5, y = x 7 - fonctions impaires, tandis que y = x 2, y = x 4, y = x 6 sont des fonctions paires. Et en général, pour toute fonction de la forme y = x" (ci-dessous nous étudierons spécifiquement ces fonctions), où n est un nombre naturel, on peut conclure : si n est un nombre impair, alors la fonction y = x" est impair; si n est un nombre pair, alors la fonction y = xn est paire.

Il existe également des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. Telle est par exemple la fonction y = 2x + 3. En effet, f(1) = 5, et f (-1) = 1. Comme vous pouvez le constater, ici donc, ni l'identité f(-x) = f (x), ni l'identité f(-x) = -f(x).

Ainsi, une fonction peut être paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

Étudier la question de savoir si fonction donnée pair ou impair est généralement appelé l'étude d'une fonction de parité.

Dans les définitions 1 et 2 nous parlons de sur les valeurs de la fonction aux points x et -x. Cela suppose que la fonction est définie à la fois au point x et au point -x. Cela signifie que le point -x appartient au domaine de définition de la fonction simultanément avec le point x. Si un ensemble numérique X, avec chacun de ses éléments x, contient également l'élément opposé -x, alors X est appelé un ensemble symétrique. Disons que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sont des ensembles symétriques, tandis que )