Trouver x par le discriminant. Les racines d'une équation quadratique
L'utilisation des équations est très répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, la construction de structures et même de sports. Les équations sont utilisées par l'homme depuis l'Antiquité et depuis lors, leur utilisation n'a fait que croître. Le discriminant vous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique à l'aide de la formule générale, qui a la forme suivante :
La formule discriminante dépend du degré du polynôme. La formule ci-dessus convient à la résolution d'équations quadratiques de la forme suivante :
Le discriminant a propriétés suivantes tu dois savoir:
* "D" vaut 0 lorsque le polynôme a plusieurs racines (racines égales) ;
* "D" est un polynôme symétrique par rapport aux racines du polynôme et est donc un polynôme en ses coefficients ; de plus, les coefficients de ce polynôme sont des entiers, quelle que soit l'extension dans laquelle les racines sont prises.
Supposons qu'on nous donne une équation quadratique de la forme suivante :
1 équation
D'après la formule on a :
Puisque \, alors l'équation a 2 racines. Définissons-les :
Où puis-je résoudre l'équation via le solveur discriminant en ligne ?
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Les équations quadratiques sont étudiées en 8e année, il n'y a donc rien de compliqué ici. La capacité à les résoudre est essentielle.
Une équation quadratique est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où les coefficients a , b et c sont des nombres arbitraires, et a ≠ 0.
Avant d'étudier des méthodes de résolution spécifiques, notons que toutes les équations quadratiques peuvent être divisées en trois classes :
- N'ayez pas de racines;
- Ils ont exactement une racine;
- Avoir deux racine différente.
C'est une différence importante entre les équations quadratiques et linéaires, où la racine existe toujours et est unique. Comment déterminer le nombre de racines d'une équation ? Il y a une chose merveilleuse pour cela - discriminant.
Discriminant
Soit donnée l'équation quadratique ax 2 + bx + c = 0. Alors le discriminant est simplement le nombre D = b 2 − 4ac .
Cette formule doit être connue par cœur. D'où il vient n'est pas important maintenant. Une autre chose est importante : par le signe du discriminant, vous pouvez déterminer le nombre de racines d'une équation quadratique. À savoir:
- Si D< 0, корней нет;
- Si D = 0, il y a exactement une racine ;
- Si D > 0, il y aura deux racines.
Attention : le discriminant indique le nombre de racines, et pas du tout leurs signes, comme pour une raison quelconque, beaucoup de gens le pensent. Regardez les exemples et vous comprendrez tout vous-même :
Tâche. Combien de racines les équations quadratiques ont-elles :
- x2 - 8x + 12 = 0 ;
- 5x2 + 3x + 7 = 0 ;
- x 2 - 6x + 9 = 0.
Nous écrivons les coefficients de la première équation et trouvons le discriminant :
a = 1, b = −8, c = 12 ;
ré = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Donc, le discriminant est positif, donc l'équation a deux racines différentes. Nous analysons la seconde équation de la même manière :
un = 5 ; b = 3 ; c = 7 ;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Le discriminant est négatif, il n'y a pas de racines. La dernière équation reste :
un = 1 ; b = -6 ; c = 9 ;
ré = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Le discriminant est égal à zéro - la racine sera un.
Notez que des coefficients ont été écrits pour chaque équation. Oui, c'est long, oui, c'est fastidieux - mais vous ne mélangerez pas les chances et ne ferez pas d'erreurs stupides. Choisissez vous-même : rapidité ou qualité.
Au fait, si vous "remplissez votre main", après un certain temps, vous n'aurez plus besoin d'écrire tous les coefficients. Vous effectuerez de telles opérations dans votre tête. La plupart des gens commencent à le faire quelque part après 50 à 70 équations résolues - en général, pas tant que ça.
Les racines d'une équation quadratique
Passons maintenant à la solution. Si le discriminant D > 0, les racines peuvent être trouvées à l'aide des formules :
Formule de base des racines équation quadratique
Lorsque D = 0, vous pouvez utiliser n'importe laquelle de ces formules - vous obtenez le même nombre, qui sera la réponse. Enfin, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x2 - 2x - 3 = 0 ;
- 15 - 2x - x2 = 0 ;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Première équation :
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ une = 1 ; b = -2 ; c = -3 ;
ré = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ l'équation a deux racines. Retrouvons-les :
Deuxième équation :
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ une = −1 ; b = -2 ; c = 15 ;
ré = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ l'équation a encore deux racines. Trouvons-les
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5 ; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(aligner)\]
Enfin, la troisième équation :
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1 ; b = 12 ; c = 36 ;
ré = 12 2 - 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ l'équation a une racine. N'importe quelle formule peut être utilisée. Par exemple, le premier :
Comme vous pouvez le voir sur les exemples, tout est très simple. Si vous connaissez les formules et savez compter, il n'y aura aucun problème. Le plus souvent, des erreurs se produisent lorsque des coefficients négatifs sont substitués dans la formule. Ici encore, la technique décrite ci-dessus vous aidera: regardez la formule littéralement, peignez chaque étape - et éliminez très rapidement les erreurs.
Équations quadratiques incomplètes
Il arrive que l'équation quadratique soit quelque peu différente de ce qui est donné dans la définition. Par exemple:
- x2 + 9x = 0 ;
- x2 − 16 = 0.
Il est facile de voir qu'il manque un des termes dans ces équations. De telles équations quadratiques sont encore plus faciles à résoudre que les équations standard : elles n'ont même pas besoin de calculer le discriminant. Introduisons donc un nouveau concept :
L'équation ax 2 + bx + c = 0 est appelée une équation quadratique incomplète si b = 0 ou c = 0, c'est-à-dire le coefficient de la variable x ou de l'élément libre est égal à zéro.
Bien sûr, un cas très difficile est possible lorsque ces deux coefficients sont égaux à zéro: b \u003d c \u003d 0. Dans ce cas, l'équation prend la forme ax 2 \u003d 0. Évidemment, une telle équation a un seul racine : x \u003d 0.
Considérons d'autres cas. Soit b \u003d 0, alors on obtient une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c \u003d 0. Transformons-la légèrement :
Parce que l'arithmétique Racine carrée n'existe que depuis nombre non négatif, la dernière égalité n'a de sens que pour (−c /a ) ≥ 0. Conclusion :
- Si une équation quadratique incomplète de la forme ax 2 + c = 0 satisfait l'inégalité (−c / a ) ≥ 0, il y aura deux racines. La formule est donnée ci-dessus;
- Si (−c / a )< 0, корней нет.
Comme vous pouvez le voir, le discriminant n'était pas nécessaire - il n'y a aucun calcul complexe dans les équations quadratiques incomplètes. En fait, il n'est même pas nécessaire de retenir l'inégalité (−c/a) ≥ 0. Il suffit d'exprimer la valeur de x 2 et de voir ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal. S'il y a un nombre positif, il y aura deux racines. S'il est négatif, il n'y aura pas de racines du tout.
Traitons maintenant des équations de la forme ax 2 + bx = 0, dans lesquelles l'élément libre est égal à zéro. Tout est simple ici : il y aura toujours deux racines. Il suffit de factoriser le polynôme :
Le rendu multiplicateur commun pour la parenthèseLe produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. C'est de là que viennent les racines. En conclusion, nous analyserons plusieurs de ces équations :
Tâche. Résolvez des équations quadratiques :
- x2 − 7x = 0 ;
- 5x2 + 30 = 0 ;
- 4x2 − 9 = 0.
X 2 - 7x = 0 ⇒ X (x - 7) = 0 ⇒ X 1 = 0 ; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Il n'y a pas de racines parce que le carré ne peut pas être égal à un nombre négatif.
4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ X 2 = 9/4 ⇒ X 1 = 3/2 = 1,5 ; x 2 \u003d -1,5.
Le discriminant, ainsi que les équations quadratiques, commencent à être étudiés dans le cours d'algèbre en 8e année. Vous pouvez résoudre une équation quadratique par le discriminant et en utilisant le théorème de Vieta. La méthodologie d'étude des équations quadratiques, ainsi que la formule discriminante, est inculquée plutôt sans succès aux écoliers, comme beaucoup dans la vraie éducation. Par conséquent, les années scolaires passent, la formation de la 9e à la 11e année remplace " l'enseignement supérieur"et tout le monde regarde à nouveau - "Comment résoudre une équation quadratique ?", "Comment trouver les racines d'une équation ?", "Comment trouver le discriminant ?" Et...
Formule discriminante
Le discriminant D de l'équation quadratique a*x^2+bx+c=0 est D=b^2–4*a*c.
Les racines (solutions) de l'équation quadratique dépendent du signe du discriminant (D) :
D>0 - l'équation a 2 racines réelles différentes ;
D=0 - l'équation a 1 racine (2 racines qui coïncident) :
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве nombres complexes une équation avec un discriminant négatif a deux racines complexes.
La formule de calcul du discriminant est assez simple, c'est pourquoi de nombreux sites proposent un calculateur de discriminant en ligne. Nous n'avons pas encore compris ce type de scripts, alors qui sait comment l'implémenter, veuillez écrire à l'e-mail Cette adresse e-mail est protégée du spam. Vous devez activer JavaScript pour afficher. .
Formule générale pour trouver les racines d'une équation quadratique:
Les racines de l'équation sont trouvées par la formule 
Si le coefficient de la variable dans le carré est apparié, il est conseillé de calculer non pas le discriminant, mais sa quatrième partie
Dans de tels cas, les racines de l'équation sont trouvées par la formule 
La deuxième façon de trouver des racines est le théorème de Vieta.
Le théorème est formulé non seulement pour les équations quadratiques, mais aussi pour les polynômes. Vous pouvez lire ceci sur Wikipedia ou d'autres ressources électroniques. Cependant, pour simplifier, considérons la partie qui concerne les équations quadratiques réduites, c'est-à-dire les équations de la forme (a=1)
L'essence des formules de Vieta est que la somme des racines de l'équation est égale au coefficient de la variable, pris avec le signe opposé. Le produit des racines de l'équation est égal au terme libre. Les formules du théorème de Vieta ont une notation.
La dérivation de la formule de Vieta est assez simple. Écrivons l'équation quadratique en termes de facteurs premiers 
Comme vous pouvez le voir, tout ce qui est ingénieux est simple en même temps. Il est efficace d'utiliser la formule de Vieta lorsque la différence de module des racines ou la différence de module des racines est de 1, 2. Par exemple, les équations suivantes, selon le théorème de Vieta, ont des racines
Jusqu'à 4 analyses d'équations devraient ressembler à ceci. Le produit des racines de l'équation est 6, donc les racines peuvent être les valeurs (1, 6) et (2, 3) ou des paires avec le signe opposé. La somme des racines est 7 (le coefficient de la variable de signe opposé). De là, nous concluons que les solutions de l'équation quadratique sont égales à x=2 ; x=3.
Il est plus facile de sélectionner les racines de l'équation parmi les diviseurs du terme libre, en corrigeant leur signe afin de satisfaire aux formules de Vieta. Au début, cela semble difficile à faire, mais avec de la pratique sur un certain nombre d'équations quadratiques, cette technique sera plus efficace que de calculer le discriminant et de trouver les racines de l'équation quadratique de manière classique.
Comme vous pouvez le voir, la théorie scolaire de l'étude du discriminant et des moyens de trouver des solutions à l'équation est dépourvue de sens pratique - "Pourquoi les écoliers ont-ils besoin d'une équation quadratique ?", "Quelle est la signification physique du discriminant ?".
Essayons de comprendre que décrit le discriminant ?
Au cours de l'algèbre, ils étudient les fonctions, les schémas d'étude des fonctions et les fonctions de traçage. De toutes les fonctions, une place importante est occupée par une parabole dont l'équation peut s'écrire sous la forme 
Ainsi, la signification physique de l'équation quadratique est les zéros de la parabole, c'est-à-dire les points d'intersection du graphique de la fonction avec l'axe des abscisses Ox
Je vous demande de vous souvenir des propriétés des paraboles qui sont décrites ci-dessous. Le moment viendra de passer des examens, des tests ou des examens d'entrée et vous serez reconnaissant pour le matériel de référence. Le signe de la variable dans le carré correspond au fait que les branches de la parabole sur le graphique vont monter (a>0),
ou une parabole avec des branches vers le bas (un<0)
.
Le sommet de la parabole se trouve à mi-chemin entre les racines
La signification physique du discriminant :
Si le discriminant est supérieur à zéro (D>0), la parabole a deux points d'intersection avec l'axe Ox. 
Si le discriminant est égal à zéro (D=0), alors la parabole du haut touche l'axe des abscisses. 
Et le dernier cas où le discriminant moins que zéro(D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).