Une fonction impaire est symétrique par rapport à l’axe. Fonctions paires et impaires

Etude de fonction.

1) D(y) – Domaine de définition : l'ensemble de toutes ces valeurs de la variable x. pour lequel les expressions algébriques f(x) et g(x) ont un sens.

Si une fonction est donnée par une formule, alors le domaine de définition comprend toutes les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la formule a un sens.

2) Propriétés de la fonction : paire/impaire, périodicité :

Impair Et même on appelle des fonctions dont les graphiques sont symétriques par rapport aux changements de signe de l'argument.

Fonction étrange- une fonction qui change la valeur à l'opposé lorsque le signe de la variable indépendante change (symétrique par rapport au centre des coordonnées).

Même fonction- une fonction qui ne change pas de valeur lorsque le signe de la variable indépendante change (symétrique par rapport à l'ordonnée).

Fonction ni paire ni impaire (fonction générale)- une fonction qui n'a pas de symétrie. Cette catégorie comprend des fonctions qui ne relèvent pas des 2 catégories précédentes.

Les fonctions qui n'appartiennent à aucune des catégories ci-dessus sont appelées ni pair ni impair(ou fonctions générales).

Fonctions étranges

Puissance étrange où est un entier arbitraire.

Même les fonctions

Même la puissance où est un entier arbitraire.

Fonction périodique- une fonction qui répète ses valeurs à un intervalle d'argument régulier, c'est-à-dire qu'elle ne change pas sa valeur lors de l'ajout d'un nombre fixe non nul à l'argument ( période fonctions) sur tout le domaine de définition.

3) Les zéros (racines) d'une fonction sont les points où elle devient nulle.

Trouver le point d'intersection du graphique avec l'axe Oy. Pour ce faire, vous devez calculer la valeur f(0). Trouver aussi les points d'intersection du graphique avec l'axe Bœuf, pourquoi trouver les racines de l'équation f(x) = 0 (ou assurez-vous qu'il n'y a pas de racines).

Les points auxquels le graphique coupe l'axe sont appelés zéros de fonction. Pour trouver les zéros d’une fonction, vous devez résoudre l’équation, c’est-à-dire trouver ces significations de "x", auquel la fonction devient nulle.

4) Intervalles de constance des signes, signes en eux.

Intervalles où la fonction f(x) maintient son signe.

L'intervalle de constance du signe est l'intervalle à chaque point dont la fonction est positive ou négative.

AU-DESSUS de l’axe des x.

SOUS l'essieu.

5) Continuité (points de discontinuité, nature de la discontinuité, asymptotes).

Fonction continue- une fonction sans « sauts », c'est-à-dire dans laquelle de petits changements dans l'argument entraînent de petits changements dans la valeur de la fonction.

Points de rupture amovibles

Si la limite de la fonction existe, mais la fonction n'est pas définie à ce stade, ou la limite ne coïncide pas avec la valeur de la fonction à ce stade :

,

alors le point s'appelle point de rupture amovible fonctions (en analyse complexe, un point singulier amovible).

Si l’on « corrige » la fonction au point de discontinuité amovible et mettons , alors nous obtenons une fonction continue en un point donné. Une telle opération sur une fonction s’appelle étendre la fonction au continu ou redéfinition de la fonction par continuité, ce qui justifie le nom du point comme point amovible rupture.

Points de discontinuité du premier et du deuxième type

Si une fonction a une discontinuité en un point donné (c'est-à-dire que la limite de la fonction en un point donné est absente ou ne coïncide pas avec la valeur de la fonction en un point donné), alors pour les fonctions numériques, il existe deux options possibles associé à l'existence de fonctions numériques limites unilatérales:

si les deux limites unilatérales existent et sont finies, alors un tel point est appelé point de discontinuité du premier type.

Les points de discontinuité amovibles sont des points de discontinuité de première espèce ; si au moins une des limites unilatérales n'existe pas ou n'est pas une valeur finie, alors un tel point est appelé.

point de discontinuité du deuxième type - Asymptote droit , qui a la propriété que la distance d'un point de la courbe à ce direct

tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne le long de la branche vers l'infini.

Verticale .

Asymptote verticale - ligne limite

En règle générale, lors de la détermination de l'asymptote verticale, ils recherchent non pas une limite, mais deux limites unilatérales (gauche et droite). Ceci est fait afin de déterminer comment la fonction se comporte lorsqu'elle s'approche de l'asymptote verticale depuis différentes directions. Par exemple:

Horizontal Asymptote Asymptote horizontale - espèce, sous réserve de l'existence

.

limite

Incliné Asymptote Asymptote horizontale - Asymptote oblique -

limites

Remarque : une fonction ne peut pas avoir plus de deux asymptotes obliques (horizontales).

Remarque : si au moins une des deux limites mentionnées ci-dessus n'existe pas (ou est égale à ), alors l'asymptote oblique en (ou ) n'existe pas. .

6) si au point 2.), alors , et la limite est trouvée à l'aide de la formule de l'asymptote horizontale, Trouver des intervalles de monotonie. f(x Trouver les intervalles de monotonie d'une fonction f(x)(c'est-à-dire des intervalles d'augmentation et de diminution). Cela se fait en examinant le signe de la dérivée f(x). Pour ce faire, trouvez la dérivée f(x) et résoudre l'inégalité f(x)augmente. Là où l’inégalité inverse se maintient f(x)0, fonction f(x) diminue.

Trouver un extremum local. Après avoir trouvé les intervalles de monotonie, nous pouvons immédiatement déterminer les points extrêmes locaux où une augmentation est remplacée par une diminution, se situent les maxima locaux, et là où une diminution est remplacée par une augmentation, se situent les minima locaux. Calculez la valeur de la fonction à ces points. Si une fonction présente des points critiques qui ne sont pas des points extrêmes locaux, il est alors utile de calculer également la valeur de la fonction à ces points.

Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction y = f(x) sur un segment(continuation)

Une fonction est appelée paire (impaire) si pour tout et l'égalité

.

Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe
.

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple 6.2. Examiner si une fonction est paire ou impaire

1)
; 2)
; 3)
.

Solution.

1) La fonction est définie lorsque
. Nous trouverons
.

Ceux.
. Cela signifie que cette fonction est paire.

2) La fonction est définie lorsque

Ceux.
. Cette fonction est donc étrange.

3) la fonction est définie pour , c'est-à-dire Pour

,
. La fonction n’est donc ni paire ni impaire. Appelons cela une fonction de forme générale.

3. Etude de la fonction de monotonie.

Fonction
est appelé augmenter (diminuer) sur un certain intervalle si dans cet intervalle chaque valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande (plus petite) de la fonction.

Les fonctions croissantes (décroissantes) sur un certain intervalle sont appelées monotones.

Si la fonction
différentiable sur l'intervalle
et a une dérivée positive (négative)
, alors la fonction
augmente (diminue) sur cet intervalle.

Exemple 6.3. Trouver des intervalles de monotonie des fonctions

1)
; 3)
.

Solution.

1) Cette fonction est définie sur toute la droite numérique. Trouvons la dérivée.

La dérivée est égale à zéro si
Et
. Le domaine de définition est l'axe des nombres, divisé par des points
,
à intervalles. Déterminons le signe de la dérivée dans chaque intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, la fonction décroît sur cet intervalle.

Dans l'intervalle
la dérivée est positive, donc la fonction augmente sur cet intervalle.

2) Cette fonction est définie si
ou

.

Nous déterminons le signe du trinôme quadratique dans chaque intervalle.

Ainsi, le domaine de définition de la fonction

Trouvons la dérivée
,
, Si
, c'est-à-dire
, Mais
. Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles
.

Dans l'intervalle
la dérivée est négative, donc la fonction décroît sur l'intervalle
. Dans l'intervalle
la dérivée est positive, la fonction augmente sur l'intervalle
.

4. Etude de la fonction à l'extremum.

Point
appelé le point maximum (minimum) de la fonction
, s'il existe un tel voisinage du point c'est pour tout le monde
de ce quartier, l'inégalité persiste

.

Les points maximum et minimum d’une fonction sont appelés points extremum.

Si la fonction
au point a un extremum, alors la dérivée de la fonction en ce point est égale à zéro ou n'existe pas (condition nécessaire à l'existence d'un extremum).

Les points auxquels la dérivée est nulle ou n'existe pas sont appelés critiques.

5. Conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum.

Règle 1. Si pendant la transition (de gauche à droite) par le point critique dérivé
change de signe de « + » à « – », puis au point fonction
a un maximum ; si de « – » à « + », alors le minimum ; Si
ne change pas de signe, alors il n’y a pas d’extremum.

Règle 2. Laissez au point
dérivée première d'une fonction
égal à zéro
, et la dérivée seconde existe et est différente de zéro. Si
, Que – point maximum, si
, Que – point minimum de la fonction.

Exemple 6.4 . Explorez les fonctions maximales et minimales :

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solution.

1) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
.

Trouvons la dérivée
et résoudre l'équation
, c'est-à-dire
.D'ici
– les points critiques.

Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles ,
.

Lors du passage par des points
Et
la dérivée change de signe de « – » à « + », donc, selon la règle 1
– un minimum de points.

En passant par un point
la dérivée change de signe de « + » à « – », donc
– point maximum.

,
.

2) La fonction est définie et continue dans l'intervalle
. Trouvons la dérivée
.

Après avoir résolu l'équation
, nous trouverons
Et
– les points critiques. Si le dénominateur
, c'est-à-dire
, alors la dérivée n’existe pas. Donc,
– troisième point critique. Déterminons le signe de la dérivée par intervalles.

Par conséquent, la fonction a un minimum au point
, maximum en points
Et
.

3) Une fonction est définie et continue si
, c'est-à-dire à
.

Trouvons la dérivée

.

Trouvons les points critiques :

Quartiers de points
n’appartiennent pas au domaine de la définition, ils ne sont donc pas des extrema. Alors, examinons les points critiques
Et
.

4) La fonction est définie et continue sur l'intervalle
. Utilisons la règle 2. Trouvez la dérivée
.

Trouvons les points critiques :

Trouvons la dérivée seconde
et déterminer son signe aux points

Aux points
la fonction a un minimum.

Aux points
la fonction a un maximum.

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Méthodes de spécification d'une fonction

Soit la fonction donnée par la formule : y=2x^(2)-3. En attribuant des valeurs à la variable indépendante x, vous pouvez calculer, à l'aide de cette formule, les valeurs correspondantes de la variable dépendante y. Par exemple, si x=-0,5, alors, en utilisant la formule, nous constatons que la valeur correspondante de y est y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

En prenant n'importe quelle valeur prise par l'argument x dans la formule y=2x^(2)-3, vous ne pouvez calculer qu'une seule valeur de la fonction qui lui correspond. La fonction peut être représentée sous forme de tableau :

En utilisant ce tableau, vous pouvez voir qu'à la valeur de l'argument −1 la valeur de la fonction −3 correspondra ; et la valeur x=2 correspondra à y=0, etc. Il est également important de savoir que chaque valeur d’argument du tableau correspond à une seule valeur de fonction.

Plus de fonctions peuvent être spécifiées à l'aide de graphiques. À l'aide d'un graphique, il est établi quelle valeur de la fonction est en corrélation avec une certaine valeur x. Le plus souvent, il s'agira d'une valeur approximative de la fonction.

Fonction paire et impaire

La fonction est même fonction, quand f(-x)=f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

La fonction est fonction impaire, quand f(-x)=-f(x) pour tout x du domaine de définition. Une telle fonction sera symétrique par rapport à l'origine O (0;0) .

La fonction est même pas, ni bizarre et s'appelle fonction générale, lorsqu'il n'a pas de symétrie par rapport à l'axe ou à l'origine.

Examinons la fonction de parité suivante :

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) avec un domaine de définition symétrique par rapport à l'origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Cela signifie que la fonction f(x)=3x^(3)-7x^(7) est impaire.

Fonction périodique

La fonction y=f(x) , dans le domaine dont l'égalité f(x+T)=f(x-T)=f(x) est vraie pour tout x, est appelée fonction périodique de période T \neq 0 .

Répéter le graphique d'une fonction sur n'importe quel segment de l'axe des x de longueur T.

Les intervalles où la fonction est positive, c'est-à-dire f(x) > 0, sont des segments de l'axe des abscisses qui correspondent aux points du graphe de fonctions situés au-dessus de l'axe des abscisses.

f(x) > 0 sur (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalles où la fonction est négative, c'est-à-dire f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Fonction limitée

Délimité par le bas Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre A pour lequel l'inégalité f(x) \geq A est valable pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée par le bas : y=\sqrt(1+x^(2)) puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pour tout x .

Délimité par le haut une fonction y=f(x), x \in X est appelée lorsqu'il existe un nombre B pour lequel l'inégalité f(x) \neq B est vraie pour tout x \in X .

Un exemple de fonction délimitée ci-dessous : y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] puisque y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pour tout x \in [-1;1] .

Limité Il est d'usage d'appeler une fonction y=f(x), x \in X lorsqu'il existe un nombre K > 0 pour lequel l'inégalité \left | f(x)\droite | \neq K pour tout x \in X .

Un exemple de fonction limitée : y=\sin x est limitée sur tout l'axe des nombres, puisque \gauche | \péché x \droit | \neq 1.

Fonction croissante et décroissante

Il est d'usage de parler d'une fonction qui augmente sur l'intervalle considéré comme fonction croissante puis, lorsqu'une plus grande valeur de x correspond à une plus grande valeur de la fonction y=f(x) . Il s'ensuit qu'en prenant deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) de l'intervalle considéré, avec x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1)) > y(x_(2)).

Une fonction qui décroît sur l'intervalle considéré est appelée fonction décroissante lorsqu'une plus grande valeur de x correspond à une plus petite valeur de la fonction y(x) . Il s'ensuit qu'en prenant deux valeurs arbitraires de l'argument x_(1) et x_(2) de l'intervalle considéré, avec x_(1) > x_(2) , le résultat sera y(x_(1))< y(x_{2}) .

Racines de fonction Il est d'usage d'appeler les points auxquels la fonction F=y(x) coupe l'axe des abscisses (ils sont obtenus en résolvant l'équation y(x)=0).

a) Si pour x > 0 une fonction paire augmente, alors elle diminue pour x< 0

b) Lorsqu'une fonction paire décroît à x > 0, alors elle augmente à x< 0

c) Lorsqu'une fonction impaire augmente à x > 0, alors elle augmente également à x< 0

d) Lorsqu'une fonction impaire diminue pour x > 0, alors elle diminuera également pour x< 0

Extréma de la fonction

Point minimum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) > f sera alors satisfait (x_(0)) . y_(min) - désignation de la fonction au point min.

Point maximum de la fonction y=f(x) est généralement appelé un point x=x_(0) dont le voisinage aura d'autres points (sauf le point x=x_(0)), et pour eux l'inégalité f(x) sera alors satisfaite< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condition préalable

D'après le théorème de Fermat : f"(x)=0 lorsque la fonction f(x) qui est différentiable au point x_(0) aura un extremum en ce point.

État suffisant

1. Lorsque la dérivée change de signe de plus à moins, alors x_(0) sera le point minimum ;
2. x_(0) - sera un point maximum uniquement lorsque la dérivée change de signe de moins à plus en passant par le point stationnaire x_(0) .

La plus grande et la plus petite valeur d'une fonction sur un intervalle

Étapes de calcul :

1. La dérivée f"(x) est recherchée ;
2. Les points stationnaires et critiques de la fonction sont trouvés et ceux appartenant au segment sont sélectionnés ;
3. Les valeurs de la fonction f(x) se trouvent aux points et extrémités stationnaires et critiques du segment. Le plus petit des résultats obtenus sera la plus petite valeur de la fonction, et plus encore - le plus grand.

La dépendance d'une variable y sur une variable x, dans laquelle chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y, est appelée une fonction. Pour la désignation, utilisez la notation y=f(x). Chaque fonction possède un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la périodicité et autres.

Examinez de plus près la propriété de parité.

Une fonction y=f(x) est appelée même si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

2. La valeur de la fonction au point x, appartenant au domaine de définition de la fonction, doit être égale à la valeur de la fonction au point -x. Autrement dit, pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = f(-x).

Graphique d'une fonction paire

Si vous construisez un graphique même fonction il sera symétrique par rapport à l'axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Vérifions ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Vérifions ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.

Les graphiques de fonctions paires et impaires ont les caractéristiques suivantes :

Si une fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'ordonnée. Si une fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’origine.

Solution. Considérons la fonction : \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) et remplacez l'opposé \(-x \) au lieu de \(x \). À la suite de transformations simples, nous obtenons : $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Dans d'autres En d’autres termes, si vous remplacez l’argument par le signe opposé, la fonction ne changera pas.

Cela signifie que cette fonction est paire et que son graphique sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical). Le graphique de cette fonction est présenté dans la figure de gauche. Cela signifie que lors de la construction d'un graphique, vous ne pouvez en dessiner que la moitié et la deuxième partie (à gauche de l'axe vertical, dessinez symétriquement par rapport à la partie droite). En déterminant la symétrie d'une fonction avant de commencer à tracer son graphique, vous pouvez grandement simplifier le processus de construction ou d'étude de la fonction. S'il est difficile de s'enregistrer vue générale, vous pouvez faire plus simple : remplacer dans l'équation mêmes valeurs signes différents. Par exemple -5 et 5. Si les valeurs de la fonction s'avèrent être les mêmes, alors on peut espérer que la fonction sera paire. D'un point de vue mathématique, cette approche n'est pas tout à fait correcte, mais d'un point de vue pratique elle est pratique. Pour augmenter la fiabilité du résultat, vous pouvez substituer plusieurs paires de valeurs opposées.

Solution. Vérifions la même chose que dans l'exemple précédent : $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Cela signifie que la fonction d'origine est impaire (le signe de la fonction a changé pour l'opposé).

Conclusion : la fonction est symétrique par rapport à l'origine. Vous ne pouvez construire qu'une moitié et dessiner la seconde symétriquement. Ce type de symétrie est plus difficile à dessiner. Cela signifie que vous regardez le graphique de l’autre côté de la feuille, et même à l’envers. Ou vous pouvez faire ceci : prenez la pièce dessinée et faites-la pivoter autour de l'origine de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Solution. Effectuons la même vérification du changement de signe que dans les deux exemples précédents. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ En conséquence, nous obtenons que : $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Et ceci signifie que la fonction n'est ni paire ni impaire.

Conclusion : la fonction n'est symétrique ni par rapport à l'origine ni par rapport au centre du repère. Cela est dû au fait que c'est la somme de deux fonctions : paire et impaire. La même situation se produira si vous soustrayez deux fonctions différentes. Mais la multiplication ou la division conduira à un résultat différent. Par exemple, le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire donne une fonction impaire. Ou bien le quotient de deux nombres impairs conduit à une fonction paire.