Méthode gaussienne générale. La méthode Gauss ou pourquoi les enfants ne comprennent pas les mathématiques
Dans cet article, la méthode est considérée comme un moyen de résoudre des systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle vous permet d'écrire un algorithme de solution sous une forme générale, puis d'y substituer des valeurs à partir d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode de Gauss, vous pouvez travailler avec celles qui ont une infinité de solutions. Ou ne l'avez pas du tout.
Que signifie résoudre par la méthode gaussienne ?
Tout d'abord, vous devez écrire notre système d'équations dans Cela ressemble à ceci. Le système est pris :
Les coefficients sont écrits sous forme de tableau, et à droite, dans une colonne séparée, les termes libres. La colonne avec les membres libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui inclut cette colonne est appelée étendue.
De plus, la matrice principale avec les coefficients doit être réduite à la forme triangulaire supérieure. C'est le point principal de la résolution du système en utilisant la méthode gaussienne. Pour faire simple, après certaines manipulations, la matrice doit ressembler à ce qu'il n'y a que des zéros dans sa partie inférieure gauche :
Ensuite, si vous réécrivez la nouvelle matrice comme un système d'équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur d'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, il y a une racine de plus, et ainsi au.
Ceci est une description très générale d'une solution gaussienne. Que se passe-t-il si le système n'a soudainement aucune solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d'autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la résolution de la méthode gaussienne.
Les matrices, leurs propriétés
Il n'y a pas de sens caché dans la matrice. C'est juste un moyen pratique d'enregistrer des données pour une manipulation ultérieure. Même les écoliers n'ont pas besoin d'avoir peur d'eux.
La matrice est toujours rectangulaire, car c'est plus pratique ainsi. Même dans la méthode de Gauss, où tout se résume à construire une matrice triangulaire, un rectangle apparaît dans l'enregistrement, uniquement avec des zéros à l'endroit où il n'y a pas de nombres. Les zéros n'ont pas besoin d'être écrits, mais ils sont implicites.
La matrice est dimensionnée. Sa "largeur" est le nombre de lignes (m), sa "longueur" est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (pour leur désignation, des lettres latines majuscules sont généralement utilisées) sera notée A m × n. Si m = n, alors cette matrice est carrée, et m = n est son ordre. Ainsi, tout élément de la matrice A peut être désigné par le numéro de sa ligne et de sa colonne : a xy ; x - numéro de ligne, changeant, y - numéro de colonne, changeant.
B n'est pas le point principal de la décision. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais le dossier s'avérera beaucoup plus lourd et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.
Déterminant
La matrice a aussi un déterminant. C'est une caractéristique très importante. Cela ne vaut pas la peine de découvrir sa signification maintenant, vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis dire quelles propriétés de la matrice il définit. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant est d'utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont ajoutés: diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe plus, avec une pente vers la gauche - avec un signe moins.
Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour une matrice rectangulaire, vous pouvez procéder comme suit : choisissez le plus petit du nombre de lignes et du nombre de colonnes (que ce soit k), puis marquez k colonnes et k lignes dans la matrice de manière arbitraire. Les éléments à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées formeront une nouvelle matrice carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre non nul, on l'appellera la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.
Avant de procéder à la résolution du système d'équations par la méthode de Gauss, cela n'interfère pas avec le calcul du déterminant. S'il s'avère être nul, alors nous pouvons immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit il n'y en a pas du tout. Dans un cas aussi triste, vous devez aller plus loin et connaître le rang de la matrice.
Classification du système
Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (si l'on rappelle le mineur de base, on peut dire que le rang d'une matrice est l'ordre du mineur de base).
D'ailleurs avec le rang, SLAE peut être divisé en :
- Découper. Ont des systèmes compatibles, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de membres libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, par conséquent, les systèmes communs sont également divisés en:
- - certain- avoir une solution unique. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, qui sont les mêmes) sont égaux ;
- - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices pour de tels systèmes est inférieur au nombre d'inconnues.
- Incompatible. Ont de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n'ont pas de solutions.
La méthode de Gauss est bonne car elle permet d'obtenir soit une preuve sans ambiguïté de l'incompatibilité du système (sans calculer les déterminants des grandes matrices), soit une solution générale pour un système avec un nombre infini de solutions.
Transformations élémentaires
Avant de passer directement à la solution du système, vous pouvez le rendre moins lourd et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé par des transformations élémentaires - telles que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il est à noter que certaines des transformations élémentaires ci-dessus ne sont valables que pour des matrices dont la source était précisément le SLAE. Voici une liste de ces transformations :
- Permutation de lignes. Évidemment, si vous modifiez l'ordre des équations dans la notation du système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, dans la matrice de ce système, vous pouvez également permuter les lignes, sans oublier, bien sûr, la colonne des membres libres.
- Multiplication de tous les éléments de la ligne par un facteur. Très utile! Il peut être utilisé pour réduire de grands nombres dans la matrice ou supprimer des zéros. De nombreuses solutions, comme d'habitude, ne changeront pas et les opérations ultérieures deviendront plus pratiques. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
- Supprimez les lignes avec des coefficients proportionnels. Cela découle en partie du point précédent. Si deux lignes ou plus de la matrice ont des coefficients proportionnels, alors lors de la multiplication / division de l'une des lignes par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et vous pouvez supprimer les lignes supplémentaires, ne laissant que une.
- Suppression d'une ligne nulle. Si, au cours des transformations, une chaîne s'est avérée quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le terme libre, sont nuls, alors une telle chaîne peut être appelée zéro et jetée hors de la matrice.
- Ajout aux éléments d'une rangée d'éléments d'une autre (selon les colonnes correspondantes), multiplié par un certain coefficient. La transformation la plus subtile et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.
Ajouter une ligne multipliée par un facteur
Pour faciliter la compréhension, il vaut la peine de suivre ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :
un 11 un 12 ... un 1n | b1
un 21 un 22 ... un 2n | b 2
Supposons que vous deviez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".
un "21 = un 21 + -2 × un 11
un "22 = un 22 + -2 × un 12
a "2n = a 2n + -2 × a 1n
Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.
un 11 un 12 ... un 1n | b1
a "21 a" 22 ... a "2n | b 2
Il est à noter que le facteur de multiplication peut être choisi de telle sorte que, par suite de l'addition de deux lignes, l'un des éléments de la nouvelle ligne soit égal à zéro. Par conséquent, il est possible d'obtenir une équation dans un système où il y aura une inconnue de moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra déjà deux inconnues de moins. Et si chaque fois que vous passez à zéro, un coefficient pour toutes les lignes inférieures à l'original, vous pouvez, par étapes, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C'est ce qu'on appelle la résolution du système par la méthode gaussienne.
En général
Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Il peut s'écrire ainsi :
La matrice principale est composée des coefficients du système. Une colonne de membres libres est ajoutée à la matrice développée et séparée par une ligne pour plus de commodité.
- la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 / a 11);
- la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
- au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'addition du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
- maintenant, le premier coefficient de la nouvelle deuxième ligne est un 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont concernées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par un 31. Puis tout est répété pour un 41, ... un m1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est égal à zéro. Maintenant, nous devons oublier la ligne numéro un et effectuer le même algorithme, à partir de la deuxième ligne :
- coefficient k = (-a 32 / a 22);
- la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne "courante" ;
- le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, et ainsi de suite lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
- dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.
L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m, m-1 / a mm) apparaisse. Cela signifie que la dernière fois que l'algorithme a été exécuté uniquement pour l'équation inférieure. La matrice ressemble maintenant à un triangle ou a une forme en escalier. La ligne du bas contient l'égalité a mn × x n = b m. Le coefficient et l'interception sont connus, et la racine s'exprime à travers eux : x n = b m / a mn. La racine résultante est substituée dans la rangée supérieure pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Et ainsi de suite par analogie : dans chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine, et lorsque vous arrivez au "haut" du système, vous pouvez trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.
Quand il n'y a pas de solutions
Si dans l'une des lignes de la matrice tous les éléments, à l'exception du terme libre, sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n'a pas de solution. Et comme une telle équation est enfermée dans un système, alors l'ensemble des solutions du système entier est vide, c'est-à-dire dégénéré.
Quand les solutions sont infinies
Il peut s'avérer que dans la matrice triangulaire réduite, il n'y a pas de lignes avec un coefficient d'élément de l'équation et un terme libre. Il n'y a que de telles lignes qui, une fois réécrites, auraient la forme d'une équation avec deux variables ou plus. Cela signifie que le système a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d'une solution générale. Comment faire?
Toutes les variables de la matrice sont divisées en basiques et libres. Les éléments de base sont ceux qui sont « au bord » des lignes de la matrice échelonnée. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites en termes de variables libres.
Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans le système d'équations. Ensuite, dans le dernier d'entre eux, où exactement une seule variable de base reste, elle reste d'un côté et tout le reste est transféré de l'autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, lorsque cela est possible, l'expression obtenue est substituée dans le reste des équations, lorsque cela est possible, à la place de la variable de base. Si, par conséquent, une expression apparaît à nouveau contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite comme une expression à variables libres. C'est la solution générale du SLAE.
Vous pouvez également trouver une solution de base au système - donner aux variables libres toutes les valeurs, puis, pour ce cas particulier, calculer les valeurs des variables de base. Il existe une infinité de solutions privées.
Solution basée sur des exemples spécifiques
Voici un système d'équations.
Pour plus de commodité, il vaut mieux composer immédiatement sa matrice
On sait que lors de la résolution par la méthode de Gauss, l'équation correspondant à la première ligne à la fin des transformations restera inchangée. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations disparaîtront. Cela signifie que dans la matrice compilée, il sera avantageux de remplacer la première ligne par la seconde.
deuxième ligne : k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
troisième ligne : k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5
a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a " 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Maintenant, pour ne pas se tromper, il faut écrire une matrice avec des résultats intermédiaires de transformations.
Il est évident qu'une telle matrice peut être rendue plus lisible à l'aide de quelques opérations. Par exemple, à partir de la deuxième ligne, vous pouvez supprimer tous les "moins" en multipliant chaque élément par "-1".
Il convient également de noter qu'à la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la chaîne par ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps pour supprimer les valeurs négatives).
Cela a l'air beaucoup plus joli. Maintenant, nous devons laisser la première ligne seule et travailler avec la deuxième et la troisième. La tâche consiste à ajouter à la troisième ligne la seconde, multipliée par un tel coefficient de sorte que l'élément a 32 devienne égal à zéro.
k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 fractions, et seulement plus tard, lorsque les réponses sont reçues, décidez s'il vaut la peine d'arrondir et de traduire dans une autre forme de notation)
a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Comme vous pouvez le voir, la matrice résultante a déjà une forme échelonnée. Par conséquent, d'autres transformations du système par la méthode de Gauss ne sont pas nécessaires. Ce que vous pouvez faire ici, c'est supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.
Maintenant tout est beau. La question est petite - réécrire la matrice sous la forme d'un système d'équations et calculer les racines
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
L'algorithme par lequel les racines seront maintenant trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode gaussienne. L'équation (3) contient la valeur de z :
y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9
Et la première équation permet de trouver x :
x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Nous avons le droit d'appeler un tel système conjoint, et même défini, c'est-à-dire ayant une solution unique. La réponse est écrite sous la forme suivante :
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Un exemple de système indéfini
La variante de résolution d'un certain système par la méthode de Gauss a été analysée, il faut maintenant considérer le cas si le système est incertain, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peut être trouvée pour lui.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
La forme même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues n = 5, et le rang de la matrice du système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire le le plus grand ordre du carré déterminant est 4. Par conséquent, il existe une infinité de solutions, et il est nécessaire de rechercher son apparence générale. La méthode de Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.
Tout d'abord, comme d'habitude, une matrice étendue est compilée.
Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant même les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 / a 11) = -5
En multipliant successivement les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients et en les additionnant avec les lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante :
Comme vous pouvez le voir, les deuxième, troisième et quatrième lignes sont composées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement les mêmes, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste peut être multiplié par le coefficient "-1" et obtenir la ligne numéro 3. Et encore une fois, laissez l'une des deux lignes identiques.
Le résultat est une telle matrice. Le système n'a pas encore été écrit, il faut ici déterminer les variables de base - debout avec les coefficients a 11 = 1 et a 22 = 1, et libre - tout le reste.
Dans la deuxième équation, il n'y a qu'une seule variable de base - x 2. Par conséquent, il peut être exprimé à partir de là en écrivant en termes de variables x 3, x 4, x 5, qui sont libres.
Remplacez l'expression résultante dans la première équation.
Le résultat est une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1. Faisons la même chose avec qu'avec x 2.
Toutes les variables de base, au nombre de deux, sont exprimées en termes de trois variables libres, vous pouvez maintenant écrire la réponse sous forme générale.
Vous pouvez également spécifier une des solutions particulières du système. Pour de tels cas, en règle générale, les zéros sont choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse serait :
16, 23, 0, 0, 0.
Un exemple de système incohérent
La résolution de systèmes d'équations incohérents par la méthode de Gauss est la plus rapide. Elle se termine aussitôt, dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation qui n'a pas de solution. C'est-à-dire que l'étape du calcul des racines, qui est assez longue et morne, disparaît. Le système suivant est considéré :
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Comme d'habitude, une matrice est dressée :
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Et cela se réduit à une vue en escalier :
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme
n'ayant pas de solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse est l'ensemble vide.
Avantages et inconvénients de la méthode
Si vous choisissez la méthode pour résoudre les SLAE sur papier avec un stylo, la méthode décrite dans cet article semble la plus attrayante. Les transformations élémentaires sont beaucoup plus difficiles à confondre que lorsque vous devez rechercher manuellement un déterminant ou une matrice inverse intelligente. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes disposent déjà d'algorithmes pour calculer les principaux paramètres des matrices - déterminant, mineurs, inverse, etc. Et si vous pouvez être sûr que la machine calculera elle-même ces valeurs et ne se trompera pas, il est plus judicieux d'utiliser la méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et des matrices inverses.
Application
Puisqu'une solution gaussienne est un algorithme et qu'une matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais puisque l'article se positionne comme un guide "pour les nuls", il faut dire que l'endroit le plus simple où la méthode peut être bousculée sont les tableurs, par exemple, Excel. Encore une fois, tout SLAE entré dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il y a beaucoup de commandes sympas : addition (seules des matrices de même taille peuvent être ajoutées !), Multiplication par un nombre, multiplication matricielle (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées, et, la plupart surtout, le calcul du déterminant. Si cette tâche laborieuse est remplacée par une commande, il est possible de déterminer le rang de la matrice beaucoup plus rapidement et, par conséquent, d'établir sa compatibilité ou son incohérence.
Dans cet article, la méthode est considérée comme un moyen de résoudre des systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle vous permet d'écrire un algorithme de solution sous une forme générale, puis d'y substituer des valeurs à partir d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode de Gauss, vous pouvez travailler avec celles qui ont une infinité de solutions. Ou ne l'avez pas du tout.
Que signifie résoudre par la méthode gaussienne ?
Tout d'abord, vous devez écrire notre système d'équations dans Cela ressemble à ceci. Le système est pris :
Les coefficients sont écrits sous forme de tableau, et à droite, dans une colonne séparée, les termes libres. La colonne avec les membres libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui inclut cette colonne est appelée étendue.
De plus, la matrice principale avec les coefficients doit être réduite à la forme triangulaire supérieure. C'est le point principal de la résolution du système en utilisant la méthode gaussienne. Pour faire simple, après certaines manipulations, la matrice doit ressembler à ce qu'il n'y a que des zéros dans sa partie inférieure gauche :
Ensuite, si vous réécrivez la nouvelle matrice comme un système d'équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur d'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, il y a une racine de plus, et ainsi au.
Ceci est une description très générale d'une solution gaussienne. Que se passe-t-il si le système n'a soudainement aucune solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d'autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la résolution de la méthode gaussienne.
Les matrices, leurs propriétés
Il n'y a pas de sens caché dans la matrice. C'est juste un moyen pratique d'enregistrer des données pour une manipulation ultérieure. Même les écoliers n'ont pas besoin d'avoir peur d'eux.
La matrice est toujours rectangulaire, car c'est plus pratique ainsi. Même dans la méthode de Gauss, où tout se résume à construire une matrice triangulaire, un rectangle apparaît dans l'enregistrement, uniquement avec des zéros à l'endroit où il n'y a pas de nombres. Les zéros n'ont pas besoin d'être écrits, mais ils sont implicites.
La matrice est dimensionnée. Sa "largeur" est le nombre de lignes (m), sa "longueur" est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (pour leur désignation, des lettres latines majuscules sont généralement utilisées) sera notée A m × n. Si m = n, alors cette matrice est carrée, et m = n est son ordre. Ainsi, tout élément de la matrice A peut être désigné par le numéro de sa ligne et de sa colonne : a xy ; x - numéro de ligne, changeant, y - numéro de colonne, changeant.
B n'est pas le point principal de la décision. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais le dossier s'avérera beaucoup plus lourd et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.
Déterminant
La matrice a aussi un déterminant. C'est une caractéristique très importante. Cela ne vaut pas la peine de découvrir sa signification maintenant, vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis dire quelles propriétés de la matrice il définit. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant est d'utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont ajoutés: diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe plus, avec une pente vers la gauche - avec un signe moins.
Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour une matrice rectangulaire, vous pouvez procéder comme suit : choisissez le plus petit du nombre de lignes et du nombre de colonnes (que ce soit k), puis marquez k colonnes et k lignes dans la matrice de manière arbitraire. Les éléments à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées formeront une nouvelle matrice carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre non nul, on l'appellera la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.
Avant de procéder à la résolution du système d'équations par la méthode de Gauss, cela n'interfère pas avec le calcul du déterminant. S'il s'avère être nul, alors nous pouvons immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit il n'y en a pas du tout. Dans un cas aussi triste, vous devez aller plus loin et connaître le rang de la matrice.
Classification du système
Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (si l'on rappelle le mineur de base, on peut dire que le rang d'une matrice est l'ordre du mineur de base).
D'ailleurs avec le rang, SLAE peut être divisé en :
- Découper. Ont des systèmes compatibles, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de membres libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, par conséquent, les systèmes communs sont également divisés en:
- - certain- avoir une solution unique. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, qui sont les mêmes) sont égaux ;
- - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices pour de tels systèmes est inférieur au nombre d'inconnues.
- Incompatible. Ont de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n'ont pas de solutions.
La méthode de Gauss est bonne car elle permet d'obtenir soit une preuve sans ambiguïté de l'incompatibilité du système (sans calculer les déterminants des grandes matrices), soit une solution générale pour un système avec un nombre infini de solutions.
Transformations élémentaires
Avant de passer directement à la solution du système, vous pouvez le rendre moins lourd et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé par des transformations élémentaires - telles que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il est à noter que certaines des transformations élémentaires ci-dessus ne sont valables que pour des matrices dont la source était précisément le SLAE. Voici une liste de ces transformations :
- Permutation de lignes. Évidemment, si vous modifiez l'ordre des équations dans la notation du système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, dans la matrice de ce système, vous pouvez également permuter les lignes, sans oublier, bien sûr, la colonne des membres libres.
- Multiplication de tous les éléments de la ligne par un facteur. Très utile! Il peut être utilisé pour réduire de grands nombres dans la matrice ou supprimer des zéros. De nombreuses solutions, comme d'habitude, ne changeront pas et les opérations ultérieures deviendront plus pratiques. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
- Supprimez les lignes avec des coefficients proportionnels. Cela découle en partie du point précédent. Si deux lignes ou plus de la matrice ont des coefficients proportionnels, alors lors de la multiplication / division de l'une des lignes par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et vous pouvez supprimer les lignes supplémentaires, ne laissant que une.
- Suppression d'une ligne nulle. Si, au cours des transformations, une chaîne s'est avérée quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le terme libre, sont nuls, alors une telle chaîne peut être appelée zéro et jetée hors de la matrice.
- Ajout aux éléments d'une rangée d'éléments d'une autre (selon les colonnes correspondantes), multiplié par un certain coefficient. La transformation la plus subtile et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.
Ajouter une ligne multipliée par un facteur
Pour faciliter la compréhension, il vaut la peine de suivre ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :
un 11 un 12 ... un 1n | b1
un 21 un 22 ... un 2n | b 2
Supposons que vous deviez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".
un "21 = un 21 + -2 × un 11
un "22 = un 22 + -2 × un 12
a "2n = a 2n + -2 × a 1n
Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.
un 11 un 12 ... un 1n | b1
a "21 a" 22 ... a "2n | b 2
Il est à noter que le facteur de multiplication peut être choisi de telle sorte que, par suite de l'addition de deux lignes, l'un des éléments de la nouvelle ligne soit égal à zéro. Par conséquent, il est possible d'obtenir une équation dans un système où il y aura une inconnue de moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra déjà deux inconnues de moins. Et si chaque fois que vous passez à zéro, un coefficient pour toutes les lignes inférieures à l'original, vous pouvez, par étapes, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C'est ce qu'on appelle la résolution du système par la méthode gaussienne.
En général
Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Il peut s'écrire ainsi :
La matrice principale est composée des coefficients du système. Une colonne de membres libres est ajoutée à la matrice développée et séparée par une ligne pour plus de commodité.
- la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 / a 11);
- la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
- au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'addition du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
- maintenant, le premier coefficient de la nouvelle deuxième ligne est un 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont concernées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par un 31. Puis tout est répété pour un 41, ... un m1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est égal à zéro. Maintenant, nous devons oublier la ligne numéro un et effectuer le même algorithme, à partir de la deuxième ligne :
- coefficient k = (-a 32 / a 22);
- la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne "courante" ;
- le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, et ainsi de suite lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
- dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.
L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m, m-1 / a mm) apparaisse. Cela signifie que la dernière fois que l'algorithme a été exécuté uniquement pour l'équation inférieure. La matrice ressemble maintenant à un triangle ou a une forme en escalier. La ligne du bas contient l'égalité a mn × x n = b m. Le coefficient et l'interception sont connus, et la racine s'exprime à travers eux : x n = b m / a mn. La racine résultante est substituée dans la rangée supérieure pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Et ainsi de suite par analogie : dans chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine, et lorsque vous arrivez au "haut" du système, vous pouvez trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.
Quand il n'y a pas de solutions
Si dans l'une des lignes de la matrice tous les éléments, à l'exception du terme libre, sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n'a pas de solution. Et comme une telle équation est enfermée dans un système, alors l'ensemble des solutions du système entier est vide, c'est-à-dire dégénéré.
Quand les solutions sont infinies
Il peut s'avérer que dans la matrice triangulaire réduite, il n'y a pas de lignes avec un coefficient d'élément de l'équation et un terme libre. Il n'y a que de telles lignes qui, une fois réécrites, auraient la forme d'une équation avec deux variables ou plus. Cela signifie que le système a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d'une solution générale. Comment faire?
Toutes les variables de la matrice sont divisées en basiques et libres. Les éléments de base sont ceux qui sont « au bord » des lignes de la matrice échelonnée. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites en termes de variables libres.
Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans le système d'équations. Ensuite, dans le dernier d'entre eux, où exactement une seule variable de base reste, elle reste d'un côté et tout le reste est transféré de l'autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, lorsque cela est possible, l'expression obtenue est substituée dans le reste des équations, lorsque cela est possible, à la place de la variable de base. Si, par conséquent, une expression apparaît à nouveau contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite comme une expression à variables libres. C'est la solution générale du SLAE.
Vous pouvez également trouver une solution de base au système - donner aux variables libres toutes les valeurs, puis, pour ce cas particulier, calculer les valeurs des variables de base. Il existe une infinité de solutions privées.
Solution basée sur des exemples spécifiques
Voici un système d'équations.
Pour plus de commodité, il vaut mieux composer immédiatement sa matrice
On sait que lors de la résolution par la méthode de Gauss, l'équation correspondant à la première ligne à la fin des transformations restera inchangée. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations disparaîtront. Cela signifie que dans la matrice compilée, il sera avantageux de remplacer la première ligne par la seconde.
deuxième ligne : k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a "21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b "2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
troisième ligne : k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5
a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a " 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b "3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Maintenant, pour ne pas se tromper, il faut écrire une matrice avec des résultats intermédiaires de transformations.
Il est évident qu'une telle matrice peut être rendue plus lisible à l'aide de quelques opérations. Par exemple, à partir de la deuxième ligne, vous pouvez supprimer tous les "moins" en multipliant chaque élément par "-1".
Il convient également de noter qu'à la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la chaîne par ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps pour supprimer les valeurs négatives).
Cela a l'air beaucoup plus joli. Maintenant, nous devons laisser la première ligne seule et travailler avec la deuxième et la troisième. La tâche consiste à ajouter à la troisième ligne la seconde, multipliée par un tel coefficient de sorte que l'élément a 32 devienne égal à zéro.
k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 fractions, et seulement plus tard, lorsque les réponses sont reçues, décidez s'il vaut la peine d'arrondir et de traduire dans une autre forme de notation)
a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a "33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b "3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Comme vous pouvez le voir, la matrice résultante a déjà une forme échelonnée. Par conséquent, d'autres transformations du système par la méthode de Gauss ne sont pas nécessaires. Ce que vous pouvez faire ici, c'est supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.
Maintenant tout est beau. La question est petite - réécrire la matrice sous la forme d'un système d'équations et calculer les racines
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
L'algorithme par lequel les racines seront maintenant trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode gaussienne. L'équation (3) contient la valeur de z :
y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9
Et la première équation permet de trouver x :
x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Nous avons le droit d'appeler un tel système conjoint, et même défini, c'est-à-dire ayant une solution unique. La réponse est écrite sous la forme suivante :
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Un exemple de système indéfini
La variante de résolution d'un certain système par la méthode de Gauss a été analysée, il faut maintenant considérer le cas si le système est incertain, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peut être trouvée pour lui.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
La forme même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues n = 5, et le rang de la matrice du système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire le le plus grand ordre du carré déterminant est 4. Par conséquent, il existe une infinité de solutions, et il est nécessaire de rechercher son apparence générale. La méthode de Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.
Tout d'abord, comme d'habitude, une matrice étendue est compilée.
Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant même les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 / a 11) = -5
En multipliant successivement les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients et en les additionnant avec les lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante :
Comme vous pouvez le voir, les deuxième, troisième et quatrième lignes sont composées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement les mêmes, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste peut être multiplié par le coefficient "-1" et obtenir la ligne numéro 3. Et encore une fois, laissez l'une des deux lignes identiques.
Le résultat est une telle matrice. Le système n'a pas encore été écrit, il faut ici déterminer les variables de base - debout avec les coefficients a 11 = 1 et a 22 = 1, et libre - tout le reste.
Dans la deuxième équation, il n'y a qu'une seule variable de base - x 2. Par conséquent, il peut être exprimé à partir de là en écrivant en termes de variables x 3, x 4, x 5, qui sont libres.
Remplacez l'expression résultante dans la première équation.
Le résultat est une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1. Faisons la même chose avec qu'avec x 2.
Toutes les variables de base, au nombre de deux, sont exprimées en termes de trois variables libres, vous pouvez maintenant écrire la réponse sous forme générale.
Vous pouvez également spécifier une des solutions particulières du système. Pour de tels cas, en règle générale, les zéros sont choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse serait :
16, 23, 0, 0, 0.
Un exemple de système incohérent
La résolution de systèmes d'équations incohérents par la méthode de Gauss est la plus rapide. Elle se termine aussitôt, dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation qui n'a pas de solution. C'est-à-dire que l'étape du calcul des racines, qui est assez longue et morne, disparaît. Le système suivant est considéré :
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Comme d'habitude, une matrice est dressée :
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Et cela se réduit à une vue en escalier :
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme
n'ayant pas de solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse est l'ensemble vide.
Avantages et inconvénients de la méthode
Si vous choisissez la méthode pour résoudre les SLAE sur papier avec un stylo, la méthode décrite dans cet article semble la plus attrayante. Les transformations élémentaires sont beaucoup plus difficiles à confondre que lorsque vous devez rechercher manuellement un déterminant ou une matrice inverse intelligente. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes disposent déjà d'algorithmes pour calculer les principaux paramètres des matrices - déterminant, mineurs, inverse, etc. Et si vous pouvez être sûr que la machine calculera elle-même ces valeurs et ne se trompera pas, il est plus judicieux d'utiliser la méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et des matrices inverses.
Application
Puisqu'une solution gaussienne est un algorithme et qu'une matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais puisque l'article se positionne comme un guide "pour les nuls", il faut dire que l'endroit le plus simple où la méthode peut être bousculée sont les tableurs, par exemple, Excel. Encore une fois, tout SLAE entré dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il y a beaucoup de commandes sympas : addition (seules des matrices de même taille peuvent être ajoutées !), Multiplication par un nombre, multiplication matricielle (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées, et, la plupart surtout, le calcul du déterminant. Si cette tâche laborieuse est remplacée par une commande, il est possible de déterminer le rang de la matrice beaucoup plus rapidement et, par conséquent, d'établir sa compatibilité ou son incohérence.
1. Système d'équations algébriques linéaires
1.1 Le concept d'un système d'équations algébriques linéaires
Un système d'équations est une condition consistant en l'exécution simultanée de plusieurs équations à plusieurs variables. Un système d'équations algébriques linéaires (ci-après - SLAE) contenant m équations et n inconnues est un système de la forme :
où les nombres a ij sont appelés coefficients du système, les nombres b i sont des termes libres, un ij et b je(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) sont des nombres connus, et x 1, ..., xn- inconnu. Dans la désignation des coefficients un ij le premier indice i désigne le numéro de l'équation et le second j - le numéro de l'inconnue auquel ce coefficient se trouve. Pour trouver le nombre x n. Il est commode d'écrire un tel système sous une forme matricielle compacte : AX = B. Ici A est la matrice des coefficients du système, dite matrice principale ;
Est un vecteur colonne d'inconnues xj. Est un vecteur colonne de termes libres bi.
Le produit des matrices A * X est défini, puisqu'il y a autant de colonnes dans la matrice A que de lignes dans la matrice X (n pièces).
La matrice étendue du système est la matrice A du système, complétée par la colonne des termes libres
1.2 Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires
Une solution à un système d'équations est un ensemble ordonné de nombres (valeurs de variables), lorsqu'il est substitué à la place de variables, chacune des équations du système se transforme en une véritable égalité.
La solution du système est appelée n valeurs d'inconnues х1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, lorsqu'elles sont substituées, toutes les équations du système se transforment en vraies égalités. Toute solution du système peut être écrite sous la forme d'une matrice de colonnes
Un système d'équations est dit cohérent s'il a au moins une solution, et incompatible s'il n'a pas de solution.
Un système conjoint est dit défini s'il a une seule solution et indéfini s'il a plus d'une solution. Dans ce dernier cas, chacune de ses solutions est appelée solution particulière du système. L'ensemble de toutes les solutions particulières est appelé solution générale.
Résoudre un système signifie savoir s'il est compatible ou incohérent. Si le système est compatible, trouvez sa solution générale.
Deux systèmes sont dits équivalents (équivalents) s'ils ont la même solution générale. En d'autres termes, les systèmes sont équivalents si chaque solution de l'un d'eux est une solution de l'autre, et vice versa.
Une transformation, dont l'application transforme un système en un nouveau système équivalent à l'original, est appelée transformation équivalente ou équivalente. Des exemples de transformations équivalentes sont les transformations suivantes : permutation de deux équations du système, permutation de deux inconnues avec les coefficients de toutes les équations, multiplication des deux parties d'une équation du système par un nombre différent de zéro.
Un système d'équations linéaires est dit homogène si tous les termes libres sont égaux à zéro :
Un système homogène est toujours compatible, puisque x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 est une solution du système. Cette solution est dite nulle ou triviale.
2. Méthode d'élimination de Gauss
2.1 L'essence de la méthode d'élimination de Gauss
La méthode classique de résolution des systèmes d'équations algébriques linéaires est la méthode d'élimination successive des inconnues - Méthode de Gauss(également appelée méthode d'élimination de Gauss). Il s'agit d'une méthode d'élimination successive de variables, lorsque, à l'aide de transformations élémentaires, le système d'équations est réduit à un système équivalent de forme pas à pas (ou triangulaire), à partir duquel toutes les autres variables sont trouvées séquentiellement, en commençant par la dernière (par nombre ) variables.
Le processus de résolution gaussien se compose de deux étapes : les mouvements vers l'avant et vers l'arrière.
1. Cours direct.
Au premier stade, le déplacement dit direct est effectué, lorsque, au moyen de transformations élémentaires sur les lignes, le système est amené à une forme étagée ou triangulaire, ou il est établi que le système est incompatible. A savoir, parmi les éléments de la première colonne de la matrice, sélectionnez un non nul, déplacez-le vers la position la plus haute en permutant les lignes et soustrayez la première ligne obtenue après la permutation des lignes restantes, en la multipliant par une valeur égale à la rapport du premier élément de chacune de ces lignes au premier élément de la première ligne, mettant ainsi à zéro la colonne en dessous.
Une fois que les transformations indiquées ont été effectuées, la première ligne et la première colonne sont mentalement barrées et poursuivies jusqu'à ce qu'il y ait une matrice de taille zéro. Si, à certaines itérations, un non nul n'est pas trouvé parmi les éléments de la première colonne, passez à la colonne suivante et effectuez une opération similaire.
Au premier stade (passage direct), le système est réduit à une forme étagée (en particulier triangulaire).
Le système ci-dessous est échelonné :
,
Les coefficients aii sont appelés les éléments principaux (principaux) du système.
(si a11 = 0, on réarrange les lignes de la matrice pour que une 11 n'était pas égal à 0. C'est toujours possible, car sinon la matrice contient une colonne zéro, son déterminant est zéro et le système est incohérent).On transforme le système en éliminant l'inconnue x1 dans toutes les équations sauf la première (en utilisant les transformations élémentaires du système). Pour ce faire, multipliez les deux membres de la première équation par
et l'ajouter terme par terme avec la deuxième équation du système (ou de la deuxième équation on soustraira le premier terme multiplié par). Ensuite, nous multiplions les deux côtés de la première équation par et les ajoutons à la troisième équation du système (ou de la troisième nous soustrayons la première multipliée par). Ainsi, nous multiplions séquentiellement la première ligne par un nombre et ajoutons à jeème ligne, pour je = 2, 3, …,n.m.En continuant ce processus, nous obtenons un système équivalent :
- de nouvelles valeurs des coefficients pour les inconnues et les termes libres dans les dernières m-1 équations du système, qui sont déterminées par les formules : Ainsi, à la première étape, tous les coefficients qui se trouvent sous le premier élément pivot a 11
0, la deuxième étape détruit les éléments qui se trouvent sous le deuxième élément pivot a 22 (1) (si a 22 (1) 0), etc. Poursuivant ce processus plus loin, nous réduisons finalement, à l'étape (m-1) le système d'origine à un système triangulaire.Si, dans le processus de réduction du système à une forme par étapes, aucune équation n'apparaît, c'est-à-dire égalités de la forme 0 = 0, elles sont écartées. Si une équation de la forme apparaît
alors cela indique l'incompatibilité du système. C'est ici que se termine le cours direct de la méthode de Gauss.
2. Inverser.
À la deuxième étape, le mouvement dit inverse est effectué, dont l'essence est d'exprimer toutes les variables de base résultantes en termes de variables non fondamentales et de construire un système fondamental de solutions, ou, si toutes les variables sont basiques, puis exprimer sous forme numérique la seule solution du système d'équations linéaires.
Cette procédure commence par la dernière équation, à partir de laquelle la variable de base correspondante est exprimée (il n'y en a qu'une) et substituée dans les équations précédentes, et ainsi de suite, en remontant les "étapes".
Chaque ligne correspond à exactement une variable de base, par conséquent, à chaque étape, à l'exception de la dernière (la plus haute), la situation répète exactement le cas de la dernière ligne.
Remarque : en pratique, il est plus pratique de travailler non pas avec le système, mais avec sa matrice étendue, en effectuant toutes les transformations élémentaires sur ses lignes. Il est pratique que le coefficient a11 soit égal à 1 (réorganisez les équations ou divisez les deux côtés de l'équation par a11).
2.2 Exemples de résolution des SLAE par la méthode gaussienne
Dans cette section, à l'aide de trois exemples différents, nous montrons comment la méthode gaussienne peut être utilisée pour résoudre les SLAE.
Exemple 1. Résoudre le SLAE de 3e ordre.
Mettons à zéro les coefficients à
dans les deuxième et troisième lignes. Pour ce faire, multipliez-les par 2/3 et 1, respectivement, et ajoutez-les à la première ligne :
La méthode de Gauss est simple ! Pourquoi? Le célèbre mathématicien allemand Johann Karl Friedrich Gauss de son vivant a été reconnu comme le plus grand mathématicien de tous les temps, un génie et même le surnom de "roi des mathématiques". Et tout ce qui est ingénieux, comme vous le savez, est simple ! Soit dit en passant, non seulement les drageons, mais aussi les génies sont payés pour de l'argent - le portrait de Gauss figurait sur le billet de 10 marks allemands (avant l'introduction de l'euro), et Gauss sourit toujours mystérieusement aux Allemands à partir de timbres-poste ordinaires.
La méthode Gauss est simple en ce sens que les connaissances d'un élève de 5e année sont SUFFISANTES pour la maîtriser. Vous devez être capable d'additionner et de multiplier ! Ce n'est pas un hasard si les enseignants envisagent souvent la méthode d'élimination successive des inconnues dans les cours optionnels de mathématiques à l'école. Paradoxalement, la méthode de Gauss est la plus difficile pour les étudiants. Pas étonnant - tout est dans la méthodologie, et je vais essayer de vous parler de l'algorithme de la méthode sous une forme accessible.
Tout d'abord, systématisons un peu les connaissances sur les systèmes d'équations linéaires. Un système d'équations linéaires peut :
1) Avoir une solution unique.
2) Avoir une infinité de solutions.
3) N'avoir aucune solution (être inconsistant).
La méthode gaussienne est l'outil le plus puissant et le plus polyvalent pour trouver une solution tout systèmes d'équations linéaires. Comme nous nous souvenons Règle de Cramer et méthode matricielle inadapté dans les cas où le système a une infinité de solutions ou est incompatible. Et la méthode d'élimination successive des inconnues De toute façon nous conduira à la réponse ! Dans cette leçon, nous considérerons à nouveau la méthode de Gauss pour le cas n°1 (la seule solution du système), un article est réservé à la situation des points n° 2-3. Notez que l'algorithme de la méthode elle-même fonctionne de la même manière dans les trois cas.
Revenons au système le plus simple de la leçon Comment résoudre un système d'équations linéaires ?
et le résoudre par la méthode de Gauss.
À la première étape, vous devez écrire matrice système étendue:
... Sur quel principe les coefficients sont écrits, je pense que tout le monde peut le voir. La barre verticale à l'intérieur de la matrice n'a aucune signification mathématique - c'est juste un soulignement pour faciliter la conception.
référence :je recommande de se souvenir termes algèbre linéaire. Matrice du système Est une matrice composée uniquement des coefficients à inconnues, dans cet exemple la matrice du système :. Matrice système étendue- c'est la même matrice du système plus une colonne de membres libres, dans ce cas :. N'importe laquelle des matrices peut être appelée simplement une matrice par souci de concision.
Une fois la matrice étendue du système écrite, il est nécessaire d'effectuer certaines actions avec elle, également appelées transformations élémentaires.
Il existe les transformations élémentaires suivantes :
1) Cordes matrices pouvez réarranger des endroits. Par exemple, dans la matrice considérée, vous pouvez réorganiser sans douleur les première et deuxième lignes : 
2) Si la matrice contient (ou apparaît) des lignes proportionnelles (dans un cas particulier - les mêmes), alors elle suit effacer de la matrice toutes ces lignes sauf une. Considérons, par exemple, la matrice 
... Dans cette matrice, les trois dernières lignes sont proportionnelles, il suffit donc de n'en laisser qu'une : 
.
3) Si une ligne nulle est apparue dans la matrice lors des transformations, alors elle suit également effacer... Je ne tracerai pas, bien sûr, la ligne zéro est la ligne dans laquelle seulement des zéros.
4) La ligne de la matrice peut être multiplier (diviser) par n'importe quel nombre, non nul... Considérons, par exemple, une matrice. Ici, il est conseillé de diviser la première ligne par -3 et de multiplier la deuxième ligne par 2 : 
... Cette action est très utile car elle simplifie les transformations matricielles ultérieures.
5) Cette transformation est la plus difficile, mais en fait, il n'y a rien de compliqué non plus. A une ligne d'une matrice, vous pouvez ajouter une autre chaîne multipliée par un nombre non nul. Considérez notre matrice à partir d'un exemple pratique :. Tout d'abord, je vais décrire la conversion en détail. Multipliez la première ligne par -2 : 
, et à la deuxième ligne ajouter la première ligne multipliée par –2: 
... Maintenant, la première ligne peut être "découpée" par –2 :. Comme vous pouvez le voir, la ligne qui ADD LEE – n'a pas changé. Est toujours change la ligne VERS LAQUELLE L'AUGMENTATION Utah.
En pratique, bien sûr, ils ne décrivent pas avec autant de détails, mais écrivent plus court : 
Encore une fois : à la deuxième ligne ajouté la première ligne multipliée par –2... La chaîne est généralement multipliée oralement ou sur un brouillon, tandis que le déroulement mental des calculs ressemble à ceci :
« Je réécris la matrice et réécris la première ligne : 
»
« Première colonne en premier. En bas, je dois obtenir zéro. Par conséquent, je multiplie l'unité du haut par –2 :, et j'ajoute la première à la deuxième ligne : 2 + (–2) = 0. J'écris le résultat dans la deuxième ligne : 
»
« Maintenant pour la deuxième colonne. Au-dessus de –1 multiplié par –2 :. J'ajoute le premier à la deuxième ligne : 1 + 2 = 3. J'écris le résultat dans la deuxième ligne : 
»
« Et la troisième colonne. Au-dessus de –5 multiplié par –2 :. J'ajoute le premier à la deuxième ligne : –7 + 10 = 3. J'écris le résultat dans la deuxième ligne : 
»
S'il vous plaît, comprenez attentivement cet exemple et comprenez l'algorithme séquentiel des calculs, si vous comprenez cela, alors la méthode de Gauss est pratiquement "dans votre poche". Mais, bien sûr, nous allons travailler sur cette transformation.
Les transformations élémentaires ne changent pas la solution du système d'équations
! ATTENTION: manipulations envisagées ne peut pas utiliser, si on vous propose une tâche où les matrices sont données "par elles-mêmes". Par exemple, avec "classique" actions avec des matrices Vous ne devez en aucun cas réarranger quelque chose à l'intérieur des matrices !
Revenons à notre système. Elle est pratiquement démontée.
Nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la réduisons à vue en escalier:
(1) La première ligne multipliée par –2 a été ajoutée à la deuxième ligne. Et encore : pourquoi multiplions-nous la première ligne par -2 ? Afin d'obtenir zéro en bas, ce qui signifie se débarrasser d'une variable dans la deuxième ligne.
(2) Divisez la deuxième rangée par 3.
Le but des transformations élémentaires –
amener la matrice sous une forme échelonnée : 
... Dans la conception du devoir, "l'échelle" est délimitée avec un simple crayon et les chiffres situés sur les "marches" sont encerclés. Le terme « type d'étape » lui-même n'est pas entièrement théorique ; dans la littérature scientifique et éducative, il est souvent appelé vue trapézoïdale ou vue triangulaire.
A la suite de transformations élémentaires, nous avons obtenu équivalent système d'équations original :
Maintenant, le système doit être "déroulé" dans la direction opposée - de bas en haut, ce processus s'appelle méthode gaussienne en arrière.
Dans l'équation inférieure, nous avons déjà un résultat tout fait :.
Considérons la première équation du système et substituons-y la valeur déjà connue de "jeu":
Considérons la situation la plus courante où la méthode de Gauss nécessite de résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues.
Exemple 1
Résoudre le système d'équations par la méthode de Gauss : 
Écrivons la matrice étendue du système : 
Maintenant, je vais immédiatement tirer le résultat auquel nous arriverons au cours de la solution : 
Et encore une fois, notre objectif est d'amener la matrice sous une forme échelonnée en utilisant des transformations élémentaires. Par où commencer l'action ?
Tout d'abord, regardons le nombre en haut à gauche : 
Il devrait presque toujours être ici unité... D'une manière générale, -1 conviendra (et parfois d'autres nombres), mais d'une manière ou d'une autre, il est si traditionnellement arrivé que l'unité y soit généralement placée. Comment organiser une unité ? Nous regardons la première colonne - nous avons une unité toute faite ! Première transformation : permutez les première et troisième lignes : 
Maintenant, la première ligne restera inchangée jusqu'à la fin de la solution.... Maintenant bien.
L'unité en haut à gauche est organisée. Maintenant, vous devez obtenir des zéros à ces endroits : 
Nous obtenons les zéros juste à l'aide de la transformation "difficile". Tout d'abord, nous traitons de la deuxième ligne (2, –1, 3, 13). Que faut-il faire pour obtenir zéro en première position ? Nécessaire à la deuxième ligne ajouter la première ligne multipliée par –2... Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –2 : (–2, –4, 2, –18). Et nous effectuons systématiquement (à nouveau mentalement ou sur un brouillon) l'addition, à la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, déjà multipliée par –2:
On écrit le résultat sur la deuxième ligne : 
On traite la troisième ligne de la même manière (3, 2, –5, –1). Pour obtenir zéro en première position, vous devez à la troisième ligne ajouter la première ligne multipliée par –3... Mentalement ou sur un brouillon, multipliez la première ligne par –3 : (–3, –6, 3, –27). ET à la troisième ligne ajouter la première ligne multipliée par –3:
On écrit le résultat dans la troisième ligne :
En pratique, ces actions sont généralement réalisées oralement et enregistrées en une seule étape : 
Vous n'avez pas besoin de tout compter à la fois et en même temps... L'ordre des calculs et "l'écriture" des résultats cohérent et généralement comme ceci : d'abord on réécrit la première ligne, et on se gonfle en catimini - SEQUENTIAL et ATTENTIVEMENT:
Et j'ai déjà examiné le cours mental des calculs eux-mêmes ci-dessus.
Dans cet exemple, c'est facile à faire, la deuxième ligne est divisée par –5 (puisque tous les nombres sont divisibles par 5 sans reste). En même temps, nous divisons la troisième ligne par -2, car plus les nombres sont petits, plus la solution est facile :
Au stade final des transformations élémentaires, vous devez obtenir un autre zéro ici : 
Pour ça à la troisième ligne ajouter la deuxième ligne multipliée par –2:
Essayez d'analyser cette action vous-même - multipliez mentalement la deuxième ligne par -2 et ajoutez.
La dernière action effectuée est la coiffure du résultat, divisez la troisième ligne par 3.
A la suite de transformations élémentaires, un système initial équivalent d'équations linéaires a été obtenu : 
Frais.
L'inverse de la méthode gaussienne entre maintenant en jeu. Les équations se "déroulent" de bas en haut.
Dans la troisième équation, nous avons déjà un résultat tout fait :
Nous regardons la deuxième équation :. La signification de "z" est déjà connue, donc :
Et enfin, la première équation :. "Y" et "z" sont connus, la matière est petite :
Réponse: 
Comme cela a déjà été noté à plusieurs reprises, pour tout système d'équations, il est possible et nécessaire de vérifier la solution trouvée, heureusement, c'est facile et rapide.
Exemple 2
Il s'agit d'un échantillon de bricolage, d'un échantillon de finition et de la réponse à la fin du didacticiel.
Il est à noter que votre cours de décision peut ne pas coïncider avec mon cours de décision, et c'est une caractéristique de la méthode de Gauss... Mais les réponses doivent être les mêmes !
Exemple 3
Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode gaussienne 
Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, ramenons-la sous une forme pas à pas :
Nous regardons le "pas" en haut à gauche. Nous devrions avoir une unité là-bas. Le problème est qu'il n'y a personne dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne résoudra rien. Dans de tels cas, l'unité doit être organisée à l'aide d'une transformation élémentaire. Cela peut généralement être fait de plusieurs manières. J'ai fait ça:
(1) A la première ligne ajoutez la deuxième ligne multipliée par -1... C'est-à-dire que nous avons mentalement multiplié la deuxième ligne par –1 et ajouté les première et deuxième lignes, tandis que la deuxième ligne n'a pas changé.
Maintenant, en haut à gauche se trouve "moins un", ce qui nous convient. Quiconque veut obtenir +1 peut effectuer un mouvement corporel supplémentaire : multiplier la première ligne par –1 (changer son signe).
(2) La première ligne multipliée par 5 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par 3 a été ajoutée à la troisième ligne.
(3) La première ligne a été multipliée par -1, en principe, c'est pour la beauté. Nous avons également changé le signe de la troisième ligne et l'avons déplacé à la deuxième place, ainsi, sur la deuxième "étape, nous avons l'unité requise.
(4) La deuxième ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la troisième ligne.
(5) La troisième ligne a été divisée par 3.
Un mauvais signe qui indique une erreur dans les calculs (moins souvent - une faute de frappe) est le "mauvais" résultat. C'est-à-dire, si au fond nous avons quelque chose comme, et, en conséquence, 
, alors avec un haut degré de probabilité, on peut affirmer qu'une erreur a été commise au cours des transformations élémentaires.
On charge la course inverse, dans la conception des exemples, le système lui-même n'est souvent pas réécrit, et les équations « sont tirées directement de la matrice donnée ». Le mouvement inverse, je vous le rappelle, fonctionne de bas en haut. Oui, voici le cadeau s'est avéré:
Réponse: 
.
Exemple 4
Résoudre un système d'équations linéaires par la méthode gaussienne 
Ceci est un exemple de solution indépendante, c'est un peu plus compliqué. Ce n'est pas grave si quelqu'un s'embrouille. Solution complète et exemple de conception à la fin du didacticiel. Votre solution peut différer de la mienne.
Dans la dernière partie, nous considérerons certaines des caractéristiques de l'algorithme de Gauss.
La première caractéristique est que parfois certaines variables manquent dans les équations du système, par exemple : 
Comment écrire correctement la matrice du système étendu ? J'ai déjà parlé de ce moment dans la leçon. La règle de Cramer. Méthode matricielle... Dans la matrice étendue du système, nous mettons des zéros à la place des variables manquantes : 
C'est d'ailleurs un exemple assez simple, puisqu'il y a déjà un zéro dans la première colonne, et qu'il y a moins de transformations élémentaires à effectuer.
La deuxième caractéristique est la suivante. Dans tous les exemples considérés, nous avons placé soit –1 soit +1 sur les « marches ». Y aurait-il d'autres chiffres ? Dans certains cas, ils le peuvent. Considérez le système : 
.
Ici, sur le "pas" en haut à gauche, nous avons un deux. Mais on remarque le fait que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2 sans reste - et les autres deux et six. Et le diable en haut à gauche nous conviendra ! À la première étape, vous devez effectuer les transformations suivantes : ajoutez la première ligne multipliée par –1 à la deuxième ligne ; à la troisième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –3. Cela nous donnera les zéros souhaités dans la première colonne.
Ou un autre exemple conditionnel : 
... Ici le trois sur le deuxième "pas" nous convient aussi, puisque 12 (l'endroit où il faut obtenir zéro) est divisible par 3 sans reste. Il est nécessaire d'effectuer la transformation suivante: à la troisième ligne ajoutez la deuxième ligne multipliée par –4, à la suite de laquelle le zéro dont nous avons besoin sera obtenu.
La méthode de Gauss est universelle, mais il y a une particularité. Vous pouvez apprendre en toute confiance à résoudre des systèmes par d'autres méthodes (méthode de Cramer, méthode matricielle) littéralement la première fois - il existe un algorithme très rigide. Mais pour avoir confiance en la méthode de Gauss, vous devez « remplir votre main » et résoudre au moins 5 à 10 systèmes. Par conséquent, au début, la confusion, les erreurs de calcul sont possibles et il n'y a rien d'inhabituel ou de tragique à cela.
Temps d'automne pluvieux par la fenêtre... Donc, pour tout le monde, un exemple plus complexe pour une solution indépendante :
Exemple 5
Résoudre le système de quatre équations linéaires à quatre inconnues par la méthode de Gauss. 
Une telle tâche en pratique n'est pas si rare. Je pense que même une théière qui a bien étudié cette page, l'algorithme pour résoudre un tel système est intuitivement clair. Fondamentalement, tout est pareil - il y a juste plus d'actions.
Les cas où un système n'a pas de solutions (incohérentes) ou a une infinité de solutions sont considérés dans la leçon Systèmes incompatibles et systèmes avec une solution commune. L'algorithme considéré de la méthode de Gauss peut également y être fixé.
Te souhaite du succès!
Solutions et réponses :
Exemple 2 : Solution
:
Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, amenons-la sous une forme pas à pas.
Transformations élémentaires effectuées :
(1) La première ligne multipliée par –2 a été ajoutée à la deuxième ligne. La première ligne multipliée par -1 a été ajoutée à la troisième ligne. Attention! Ici, il peut être tentant de soustraire la première ligne de la troisième ligne, je déconseille fortement de soustraire - le risque d'erreur est considérablement augmenté. Additionnez simplement !
(2) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). Les deuxième et troisième lignes ont été interverties. Remarque que sur les "marches", nous nous contentons non seulement d'une, mais aussi de -1, ce qui est encore plus pratique.
(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 5.
(4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié (multiplié par –1). La troisième ligne a été divisée par 14.
Inverser:
Réponse: 
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Exemple 4 : Solution
:
Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, ramenons-la sous une forme pas à pas :
Conversions effectuées :
(1) Le second a été ajouté à la première ligne. Ainsi, l'unité souhaitée est organisée sur le "barre" supérieur gauche.
(2) La première ligne multipliée par 7 a été ajoutée à la deuxième ligne La première ligne multipliée par 6 a été ajoutée à la troisième ligne.
La deuxième étape s'aggrave , les "candidats" pour cela sont les nombres 17 et 23, et nous avons besoin soit d'un, soit de -1. Les transformations (3) et (4) viseront à obtenir l'unité souhaitée
(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1.
(4) La troisième ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3.
(3) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par 4. La deuxième ligne a été ajoutée à la quatrième ligne, multipliée par –1.
(4) Le signe de la deuxième ligne a été modifié. La quatrième ligne a été divisée par 3 et placée à la place de la troisième ligne.
(5) La troisième ligne multipliée par –5 a été ajoutée à la quatrième ligne.
Inverser:
Depuis le début des XVIe-XVIIIe siècles, les mathématiciens ont commencé à étudier de manière intensive les fonctions, grâce auxquelles tant de choses ont changé dans notre vie. La technologie informatique n'existerait pas sans cette connaissance. Pour résoudre des problèmes complexes, des équations et des fonctions linéaires, divers concepts, théorèmes et techniques de résolution ont été créés. L'une de ces méthodes et techniques universelles et rationnelles pour résoudre les équations linéaires et leurs systèmes était la méthode de Gauss. Matrices, leur rang, déterminants, tout peut être calculé sans recourir à des opérations complexes.
Qu'est-ce que SLAE
En mathématiques, il y a le concept de SLAE - un système d'équations algébriques linéaires. À quoi ressemble-t-elle? Il s'agit d'un ensemble de m équations avec les n quantités inconnues requises, généralement désignées par x, y, z ou x 1, x 2 ... x n, ou d'autres symboles. Résoudre ce système par la méthode de Gauss signifie trouver toutes les inconnues inconnues. Si un système a le même nombre d'inconnues et d'équations, on l'appelle un système d'ordre n.
Les méthodes les plus populaires pour résoudre les SLAE
Dans les établissements d'enseignement de l'enseignement secondaire, diverses méthodes de résolution de tels systèmes sont à l'étude. Le plus souvent, ce sont des équations simples composées de deux inconnues, donc toute méthode existante pour y trouver une réponse ne prendra pas beaucoup de temps. Cela peut être comme une méthode de substitution, lorsqu'une autre est dérivée d'une équation et substituée à l'originale. Ou la méthode de soustraction et d'addition terme à terme. Mais la méthode gaussienne est considérée comme la plus simple et la plus universelle. Il permet de résoudre des équations avec un nombre quelconque d'inconnues. Pourquoi cette technique particulière est-elle considérée comme rationnelle ? C'est simple. L'avantage de la méthode matricielle est qu'il n'est pas nécessaire de réécrire plusieurs fois les symboles inutiles sous forme d'inconnues, il suffit d'effectuer des opérations arithmétiques sur les coefficients - et vous obtiendrez un résultat fiable.
Où les SLAE sont-elles utilisées dans la pratique
La solution du SLAE est le point d'intersection des lignes sur les graphiques des fonctions. À l'ère de l'informatique de haute technologie, les personnes étroitement liées au développement de jeux et d'autres programmes doivent savoir comment résoudre de tels systèmes, ce qu'ils représentent et comment vérifier l'exactitude du résultat. Le plus souvent, les programmeurs développent des programmes spéciaux pour calculer l'algèbre linéaire, ce qui inclut un système d'équations linéaires. La méthode de Gauss permet de calculer toutes les solutions existantes. D'autres formules et techniques simplifiées sont également utilisées.
Critère de compatibilité pour SLAE
Un tel système ne peut être résolu que s'il est compatible. Pour plus de clarté, nous représentons le SLAE sous la forme Ax = b. Il a une solution si rang (A) est égal à rang (A, b). Dans ce cas, (A, b) est une matrice étendue, qui peut être obtenue à partir de la matrice A en la réécrivant avec des termes libres. Il s'avère que la résolution d'équations linéaires par la méthode de Gauss est assez facile.
Peut-être qu'une partie de la notation n'est pas tout à fait claire, il est donc nécessaire de tout considérer avec un exemple. Disons qu'il existe un système : x + y = 1 ; 2x-3y = 6. Il se compose de seulement deux équations, dans lesquelles 2 sont des inconnues. Le système n'aura de solution que si le rang de sa matrice est égal au rang de la matrice étendue. Qu'est-ce que le rang ? C'est le nombre de lignes indépendantes dans le système. Dans notre cas, le rang de la matrice est 2. La matrice A sera constituée des coefficients situés près des inconnues, et les coefficients derrière le signe "=" sont également inclus dans la matrice développée.
Pourquoi SLAE peut être représenté sous forme matricielle
Sur la base du critère de compatibilité selon le théorème éprouvé de Kronecker-Capelli, le système d'équations algébriques linéaires peut être représenté sous forme matricielle. En utilisant la méthode gaussienne en cascade, vous pouvez résoudre la matrice et obtenir une réponse unique et fiable pour l'ensemble du système. Si le rang d'une matrice ordinaire est égal au rang de sa matrice étendue, mais inférieur au nombre d'inconnues, alors le système a un nombre infini de réponses.
Transformations matricielles
Avant de passer à la résolution de matrices, vous devez savoir quelles actions peuvent être effectuées sur leurs éléments. Il existe plusieurs transformations élémentaires :
- En réécrivant le système sous forme matricielle et en implémentant sa solution, il est possible de multiplier tous les éléments de la série par le même coefficient.
- Afin de convertir la matrice à la forme canonique, deux lignes parallèles peuvent être permutées. La forme canonique implique que tous les éléments de la matrice situés sur la diagonale principale deviennent des uns et les autres des zéros.
- Les éléments correspondants de rangées parallèles de la matrice peuvent être additionnés les uns aux autres.
Méthode Jordan-Gauss
L'essence de la résolution de systèmes d'équations linéaires homogènes et inhomogènes par la méthode de Gauss est d'exclure progressivement les inconnues. Disons que nous avons un système de deux équations, dans lequel deux inconnues. Pour les trouver, vous devez vérifier la compatibilité du système. L'équation de Gauss est très simple à résoudre. Il est nécessaire d'écrire les coefficients situés à proximité de chaque inconnue sous forme matricielle. Pour résoudre le système, vous devez écrire une matrice étendue. Si l'une des équations contient moins d'inconnues, alors « 0 » doit être mis à la place de l'élément manquant. Toutes les méthodes de transformation connues sont appliquées à la matrice : multiplication, division par un nombre, addition des éléments correspondants de la série les uns aux autres, et autres. Il s'avère que dans chaque ligne, il est nécessaire de laisser une variable avec la valeur "1", le reste doit être ramené à zéro. Pour une compréhension plus précise, il est nécessaire de considérer la méthode de Gauss par des exemples.
Un exemple simple de solution système 2x2
Pour commencer, prenons un système simple d'équations algébriques, dans lequel il y aura 2 inconnues.
Réécrivons-le dans une matrice étendue.
Pour résoudre ce système d'équations linéaires, seules deux opérations sont nécessaires. Nous devons amener la matrice à la forme canonique pour qu'il y en ait sur la diagonale principale. Ainsi, en transférant de la forme matricielle au système, nous obtenons les équations : 1x + 0y = b1 et 0x + 1y = b2, où b1 et b2 sont les réponses obtenues pendant le processus de résolution.
- La première étape de la résolution de la matrice étendue sera la suivante : la première ligne doit être multipliée par -7 et les éléments correspondants doivent être ajoutés à la deuxième ligne, respectivement, afin de se débarrasser d'une inconnue dans la deuxième équation.
- Puisque la résolution des équations par la méthode de Gauss implique de ramener la matrice à la forme canonique, alors il faut faire les mêmes opérations avec la première équation et supprimer la deuxième variable. Pour ce faire, soustrayez la deuxième ligne de la première et obtenez la réponse requise - la solution du SLAE. Ou, comme le montre la figure, nous multiplions la deuxième ligne par un facteur de -1 et ajoutons les éléments de la deuxième ligne à la première ligne. C'est la même chose.
Comme vous pouvez le voir, notre système a été résolu par la méthode Jordan-Gauss. Nous le réécrivons sous la forme requise : x = -5, y = 7.
Un exemple de résolution d'un SLAE 3x3
Supposons que nous ayons un système d'équations linéaires plus complexe. La méthode de Gauss permet de calculer la réponse même pour le système le plus apparemment confus. Ainsi, afin d'approfondir la méthodologie de calcul, vous pouvez passer à un exemple plus complexe avec trois inconnues.
Comme dans l'exemple précédent, nous réécrivons le système sous la forme d'une matrice étendue et commençons à l'amener à la forme canonique.
Pour résoudre ce système, vous devrez effectuer beaucoup plus d'actions que dans l'exemple précédent.
- Tout d'abord, vous devez créer un élément d'unité dans la première colonne et le reste des zéros. Pour ce faire, multipliez la première équation par -1 et ajoutez-y la deuxième équation. Il est important de se rappeler que nous réécrivons la première ligne dans sa forme originale et la seconde - déjà modifiée.
- Ensuite, nous retirons la même première inconnue de la troisième équation. Pour ce faire, multipliez les éléments de la première ligne par -2 et ajoutez-les à la troisième ligne. Maintenant, les première et deuxième lignes sont réécrites dans leur forme d'origine et la troisième - avec des modifications. Comme vous pouvez le voir sur le résultat, nous avons obtenu le premier au début de la diagonale principale de la matrice et le reste des zéros. Encore quelques étapes et le système d'équations par la méthode de Gauss sera résolu de manière fiable.
- Maintenant, il est nécessaire d'effectuer des opérations sur d'autres éléments des lignes. Les troisième et quatrième actions peuvent être combinées en une seule. Vous devez diviser les deuxième et troisième rangées par -1 pour éliminer les moins sur la diagonale. Nous avons déjà apporté la troisième ligne au formulaire requis.
- Ensuite, nous canonisons la deuxième ligne. Pour ce faire, nous multiplions les éléments de la troisième ligne par -3 et les ajoutons à la deuxième ligne de la matrice. Le résultat montre que la deuxième ligne est également réduite à la forme dont nous avons besoin. Il reste à faire quelques opérations supplémentaires et à retirer les coefficients des inconnues de la première ligne.
- Pour faire 0 à partir du deuxième élément de la ligne, vous devez multiplier la troisième ligne par -3 et l'ajouter à la première ligne.
- La prochaine étape décisive sera d'ajouter les éléments nécessaires de la deuxième rangée à la première rangée. Nous obtenons donc la forme canonique de la matrice et, par conséquent, la réponse.
Comme vous pouvez le voir, la résolution des équations par la méthode de Gauss est assez simple.
Un exemple de résolution d'un système d'équations 4x4
Certains systèmes d'équations plus complexes peuvent être résolus par la méthode gaussienne à l'aide de programmes informatiques. Il est nécessaire d'introduire les coefficients pour les inconnues dans les cellules vides existantes, et le programme lui-même calculera étape par étape le résultat requis, décrivant en détail chaque action.
Vous trouverez ci-dessous une instruction étape par étape pour résoudre un tel exemple.
Dans la première action, les coefficients libres et les nombres pour les inconnues sont entrés dans des cellules vides. Ainsi, nous obtenons la même matrice étendue que nous écrivons à la main.
Et toutes les opérations arithmétiques nécessaires sont effectuées pour amener la matrice développée à la forme canonique. Il faut comprendre que la réponse à un système d'équations n'est pas toujours des nombres entiers. Parfois, la solution peut être des nombres fractionnaires.
Vérification de l'exactitude de la solution
La méthode de Jordan-Gauss permet de vérifier l'exactitude du résultat. Afin de savoir si les coefficients sont calculés correctement, il vous suffit de substituer le résultat dans le système d'équations d'origine. Le côté gauche de l'équation doit correspondre au côté droit derrière le signe égal. Si les réponses ne coïncident pas, vous devez alors recalculer le système ou essayer de lui appliquer une autre méthode que vous connaissez pour résoudre les SLAE, comme la substitution ou la soustraction et l'addition terme par terme. Après tout, les mathématiques sont une science qui a un grand nombre de méthodes de résolution différentes. Mais rappelez-vous : le résultat doit toujours être le même, quelle que soit la méthode de résolution que vous avez utilisée.
Méthode de Gauss : les erreurs les plus courantes lors de la résolution d'un SLAE
Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires, des erreurs telles qu'un transfert incorrect de coefficients sous forme matricielle se produisent le plus souvent. Il existe des systèmes dans lesquels certaines inconnues sont absentes dans l'une des équations, puis, en transférant des données vers une matrice étendue, elles peuvent être perdues. En conséquence, lors de la résolution de ce système, le résultat peut ne pas correspondre au vrai.
Une autre des principales erreurs peut être une mauvaise écriture du résultat final. Il faut bien comprendre que le premier coefficient correspondra à la première inconnue du système, le second au second, et ainsi de suite.
La méthode de Gauss décrit en détail la résolution d'équations linéaires. Grâce à lui, il est facile d'effectuer les opérations nécessaires et de trouver le bon résultat. De plus, c'est un outil universel pour trouver une réponse fiable aux équations de toute complexité. C'est peut-être la raison pour laquelle il est si souvent utilisé lors de la résolution des SLAE.