Construire une section de la pyramide. Construction d'une forme naturelle d'une figure d'une section d'une pyramide par un plan
Pyramide hexagonale régulière traversée par un plan en saillie frontale R, illustré à la fig. 180.
Comme dans les exemples précédents, la projection frontale de la section coïncide avec la projection frontale
loger Pv Avions. Les projections horizontales et de profil de la figure de coupe sont construites sur des points qui sont les points d'intersection du plan Rà nervures pyramidales.
L'apparence réelle de la figure de section dans cet exemple est déterminée par la méthode d'enregistrement.
Un développement de la surface latérale d'une pyramide tronquée avec une figure de section et une figure de base est illustré à la fig. 180, b.
Tout d'abord, un développement d'une pyramide non tronquée est construit, dont toutes les faces, ayant la forme d'un triangle, sont les mêmes. Marquer un point sur le plan sl(le sommet de la pyramide) et à partir de là, à partir du centre, tracez un arc de cercle de rayon R,égale à la longueur réelle du bord latéral de la pyramide. La longueur réelle de la nervure peut être déterminée à partir de la projection du profil de la pyramide, par exemple, des segments s"e" ou s"b", puisque ces arêtes sont parallèles au plan O et y sont représentés avec une longueur réelle. Plus loin le long de l'arc de cercle à partir de n'importe quel point, par exemple un 1, six segments identiques sont posés égaux à la longueur réelle du côté de l'hexagone - la base de la pyramide. La longueur réelle du côté de la base de la pyramide est obtenue sur une projection horizontale (segment un B). points une 1 ...f1 sont reliés par des droites au sommet s 1 . Puis du haut un 1 sur ces droites, les longueurs réelles des segments des nervures au plan sécant sont écartées.
Sur la projection de profil d'une pyramide tronquée, il y a des longueurs réelles de seulement deux
tranchant - s"5 et s"2. Les longueurs réelles des segments restants sont déterminées en les faisant tourner autour d'un axe perpendiculaire au plan H et passant par le sommet s. Par exemple, tourner le segment s"6" autour de l'axe jusqu'à une position parallèle au plan W, nous obtenons sa longueur réelle sur ce plan. Pour cela, il suffit de passer par le point 6" tracez une ligne horizontale jusqu'à ce qu'elle croise la longueur réelle du bord SE ou SB. Section s"6 0″(voir fig. 180).
Points reçus 1 1 2 1 , 3 1 , etc. Connectez-vous avec des lignes droites et attachez les figures de base et de section en utilisant la méthode de triangulation. Les lignes de pliage sur le scan sont dessinées avec une ligne en pointillés avec deux points.
La construction d'une projection isométrique d'une pyramide tronquée commence par la construction d'une projection isométrique de la base de la pyramide selon les dimensions tirées de la projection horizontale du dessin complexe. Puis sur le plan de base le long des coordonnées des points 1...6 construire une projection horizontale de la section (voir les fines lignes bleues sur la Fig. 180, a, c). Des lignes verticales sont tracées à partir des sommets de l'hexagone résultant, sur lesquelles sont tracées les coordonnées tirées des projections frontales ou de profil du prisme, par exemple, des segments K ( , K 2 , K 3 etc. Points reçus 1...6 connecter, nous obtenons une figure en coupe. En reliant les points 1...6 avec les sommets de l'hexagone, la base de la pyramide, on obtient une projection isométrique d'une pyramide tronquée. Les bords invisibles sont représentés par des lignes pointillées.
Un exemple d'une section d'une pyramide irrégulière triangulaire par un plan en saillie avant est illustré à la fig. 181.
Tous les bords sur trois plans de projection sont affichés avec distorsion. Projection horizontale
la base représente sa forme réelle, puisque la base de la pyramide est située sur un plan H.
Vue valide 1 0 , 2 0 , 3 0 figures de section obtenues en changeant les plans de projection. Dans cet exemple, le plan de projection horizontal H remplacé par un nouveau plan parallèle au plan R; nouvel essieu x1 aligné avec la trace R V(ill. 181, une).
Le développement de la surface de la pyramide est construit comme suit. La méthode de rotation est utilisée pour trouver la longueur réelle des bords de la pyramide et de leurs segments de la base au plan de coupe R
Par exemple, les longueurs d'arête réelles CS et sa tranche NOégale, respectivement, à la longueur de la projection frontale s"c" arête et segment c 1 ′ 3 1 après le virage.
Ensuite, ils construisent un développement d'une pyramide triangulaire irrégulière (Fig. 181, c). Pour ce faire, à partir d'un point arbitraire S tracez une ligne droite, sur le chat, posez la longueur réelle du bord SA. D'un point s faire une encoche avec un rayon R1,égale à la longueur réelle de la nervure SB, et d'un point une encoche de rayon R2,égal au côté de la base de la pyramide UN B, résultant en un point b 1 et le bord s 1 b 1 une 1 . Puis à partir de points s et b 1à partir des centres, les empattements sont réalisés avec des rayons égaux à la longueur réelle du bord CS et côté soleil prendre l'avantage s 1 b 1 s 1 pyramides. Le bord est également construit s 1 c 1 une 1.
À partir de points une 1 b 1 et À partir de 1 mettre à pied les longueurs réelles des segments des côtes, qui sont prises sur la projection frontale (segments a 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′, c 1 ′3 1 ′). En utilisant la méthode de triangulation, la base et la figure de la section sont attachées.
Pour construire une projection isométrique d'une pyramide tronquée (Fig.181, b), un axe isométrique est dessiné X. Par coordonnées J et P construire la base de la pyramide ABC. Côté socle CA parallèle à l'axe X ou coïncide avec l'axe X. Comme dans l'exemple précédent, une projection isométrique de la projection horizontale de la figure de section est construite 1 2 2 2 3 2 (en utilisant les points I, III et IV). A partir de ces points, des lignes droites verticales sont tracées, sur lesquelles sont posés des segments tirés de la projection frontale ou de profil du prisme. K 1 , K 2 et K 3 . Points reçus 1 , 2, 3 reliés par des lignes droites entre eux et aux sommets de la base.
Définition. De profil- il s'agit d'un triangle dans lequel un angle se trouve au sommet de la pyramide et dont le côté opposé coïncide avec le côté de la base (polygone).
Définition. Côtes latérales sont les côtés communs des faces latérales. Une pyramide a autant d'arêtes qu'il y a de coins dans un polygone.
Définition. hauteur de la pyramide est une perpendiculaire tombée du sommet à la base de la pyramide.
Définition. Apothème- c'est la perpendiculaire de la face latérale de la pyramide, abaissée du sommet de la pyramide au côté de la base.
Définition. Section diagonale- c'est une section de la pyramide par un plan passant par le sommet de la pyramide et la diagonale de la base.
Définition. Pyramide correcte- Il s'agit d'une pyramide dont la base est un polygone régulier et dont la hauteur descend jusqu'au centre de la base.
Volume et surface de la pyramide
Formule. volume pyramidalà travers la surface de base et la hauteur :
propriétés de la pyramide
Si tous les bords latéraux sont égaux, alors un cercle peut être circonscrit autour de la base de la pyramide et le centre de la base coïncide avec le centre du cercle. De plus, la perpendiculaire tombée du haut passe par le centre de la base (cercle).
Si toutes les nervures latérales sont égales, elles sont inclinées par rapport au plan de base aux mêmes angles.
Les nervures latérales sont égales lorsqu'elles forment des angles égaux avec le plan de base, ou si un cercle peut être décrit autour de la base de la pyramide.
Si les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de la base selon un angle, un cercle peut être inscrit dans la base de la pyramide et le sommet de la pyramide est projeté en son centre.
Si les faces latérales sont inclinées par rapport au plan de base selon un angle, les apothèmes des faces latérales sont égaux.
Propriétés d'une pyramide régulière
1. Le sommet de la pyramide est équidistant de tous les coins de la base.
2. Tous les bords latéraux sont égaux.
3. Toutes les nervures latérales sont inclinées aux mêmes angles par rapport à la base.
4. Les apothèmes de toutes les faces latérales sont égaux.
5. Les aires de toutes les faces latérales sont égales.
6. Toutes les faces ont les mêmes angles dièdres (plats).
7. Une sphère peut être décrite autour de la pyramide. Le centre de la sphère décrite sera le point d'intersection des perpendiculaires passant par le milieu des arêtes.
8. Une sphère peut être inscrite dans une pyramide. Le centre de la sphère inscrite sera le point d'intersection des bissectrices émanant de l'angle entre le bord et la base.
9. Si le centre de la sphère inscrite coïncide avec le centre de la sphère circonscrite, alors la somme des angles plats au sommet est égale à π ou vice versa, un angle est égal à π / n, où n est le nombre des angles à la base de la pyramide.
La connexion de la pyramide avec la sphère
Une sphère peut être décrite autour de la pyramide lorsqu'à la base de la pyramide se trouve un polyèdre autour duquel un cercle peut être décrit (condition nécessaire et suffisante). Le centre de la sphère sera le point d'intersection des plans passant perpendiculairement par les milieux des bords latéraux de la pyramide.
Une sphère peut toujours être décrite autour de n'importe quelle pyramide triangulaire ou régulière.
Une sphère peut être inscrite dans une pyramide si les plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide se coupent en un point (condition nécessaire et suffisante). Ce point sera le centre de la sphère.
La connexion de la pyramide avec le cône
Un cône est dit inscrit dans une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est inscrite dans la base de la pyramide.
Un cône peut s'inscrire dans une pyramide si les apothèmes de la pyramide sont égaux.
Un cône est dit circonscrit à une pyramide si leurs sommets coïncident et que la base du cône est circonscrite à la base de la pyramide.
Un cône peut être décrit autour d'une pyramide si tous les bords latéraux de la pyramide sont égaux les uns aux autres.
Connexion d'une pyramide avec un cylindre
Une pyramide est dite inscrite dans un cylindre si le sommet de la pyramide repose sur une base du cylindre, et la base de la pyramide est inscrite dans une autre base du cylindre.
Un cylindre peut être circonscrit à une pyramide si un cercle peut être circonscrit à la base de la pyramide.
Un tétraèdre a quatre faces et quatre sommets et six arêtes, où deux arêtes n'ont pas de sommets communs mais ne se touchent pas.
Chaque sommet se compose de trois faces et arêtes qui forment angle trièdre.
Le segment reliant le sommet du tétraèdre au centre de la face opposée est appelé médiane du tétraèdre(GM).
Bimédiane est appelé un segment reliant les milieux d'arêtes opposées qui ne se touchent pas (KL).
Tous les bimédians et médians d'un tétraèdre se coupent en un point (S). Dans ce cas, les bimédianes sont divisées en deux et les médianes dans un rapport de 3: 1 en partant du haut.
Définition. Pyramide à angle aigu est une pyramide dont l'apothème mesure plus de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. pyramide obtuse est une pyramide dont l'apothème mesure moins de la moitié de la longueur du côté de la base.
Définition. tétraèdre régulier Un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. C'est l'un des cinq polygones réguliers. Dans un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres (entre les faces) et les angles trièdres (à un sommet) sont égaux.
Définition. Tétraèdre rectangulaire on appelle un tétraèdre qui a un angle droit entre trois arêtes au sommet (les arêtes sont perpendiculaires). Forme à trois visages angle trièdre rectangulaire et les faces sont des triangles rectangles, et la base est un triangle arbitraire. L'apothème d'une face est égal à la moitié du côté de la base sur laquelle tombe l'apothème.
Définition. Tétraèdre isoédrique Un tétraèdre est appelé dans lequel les faces latérales sont égales les unes aux autres et la base est un triangle régulier. Les faces d'un tel tétraèdre sont des triangles isocèles.
Définition. Tétraèdre orthocentrique on appelle un tétraèdre dans lequel toutes les hauteurs (perpendiculaires) qui sont abaissées du haut à la face opposée se coupent en un point.
Définition. pyramide étoilée Un polyèdre dont la base est une étoile est appelé.
Analysons comment construire une section d'une pyramide, en utilisant des exemples spécifiques. Comme il n'y a pas de plans parallèles dans la pyramide, la construction de la ligne d'intersection (trace) du plan sécant avec le plan de la face consiste le plus souvent à tracer une droite passant par deux points situés dans le plan de cette face.
Dans les tâches les plus simples, il est nécessaire de construire une section de la pyramide par un plan passant par les points donnés se trouvant déjà sur une face.
Exemple.
Construire une section plane (MNP)
Triangle MNP - Section pyramidale
Les points M et N se trouvent dans le même plan ABS, nous pouvons donc tracer une ligne à travers eux. La trace de cette ligne est le segment MN. Il est visible, nous connectons donc M et N avec une ligne continue.
Les points M et P se trouvent dans le même plan ACS, nous traçons donc une ligne droite à travers eux. La trace est le segment MP. Nous ne le voyons pas, nous dessinons donc le segment MP d'un trait. Nous construisons la trace PN de manière similaire.
Triangle MNP est la section requise.
Si le point par lequel il est nécessaire de tracer une section ne se trouve pas sur une arête, mais sur une face, alors ce ne sera pas la fin du segment de trace.
Exemple. Construire une section de la pyramide par un plan passant par les points B, M et N, où les points M et N appartiennent respectivement aux faces ABS et BCS.
Ici, les points B et M se trouvent sur la même face d'ABS, nous pouvons donc tracer une ligne à travers eux.
De même, nous traçons une ligne droite passant par les points B et P. Nous avons obtenu, respectivement, les traces de BK et BL.
Les points K et L se trouvent sur la même face d'ACS, nous pouvons donc tracer une ligne à travers eux. Sa trace est le segment KL.
Triangle BKL est la section requise.
Cependant, il n'est pas toujours possible de tracer une ligne droite à travers les données dans la condition ponctuelle. Dans ce cas, vous devez trouver un point situé sur la ligne d'intersection des plans contenant les faces.
Exemple. Construire une section de la pyramide par un plan passant par les points M, N, P.
Les points M et N se trouvent dans le même plan ABS, de sorte qu'une ligne droite peut être tracée à travers eux. On obtient la trace MN. De même - NP. Les deux traces sont visibles, nous les connectons donc avec une ligne continue.
Les points M et P se trouvent dans des plans différents. Par conséquent, nous ne pouvons pas les connecter directement.
Nous continuons la ligne NP.
Il se trouve dans le plan de la face BCS. NP ne croise que des droites situées dans le même plan. Nous avons trois lignes de ce type : BS, CS et BC. Il existe déjà des points d'intersection avec les lignes BS et CS - ce ne sont que N et P. Nous recherchons donc l'intersection de NP avec la ligne BC.
Le point d'intersection (appelons-le H) est obtenu en continuant les lignes NP et BC jusqu'à l'intersection.
Ce point H appartient à la fois au plan (BCS), puisqu'il est sur la droite NP, et au plan (ABC), puisqu'il est sur la droite BC.
Ainsi, nous avons reçu un point de plus du plan sécant situé dans le plan (ABC).
Par H et un point M situé dans le même plan, on peut tracer une droite.
On obtient la trace MT.
T est le point d'intersection des droites MH et AC.
Puisque T appartient à la ligne AC, nous pouvons tracer une ligne à travers elle et le point P, puisqu'ils se trouvent tous les deux dans le même plan (ACS).
Le quad MNPT est la section recherchée de la pyramide par le plan passant par les points donnés M,N,P.
Nous avons travaillé avec la droite NP, en la prolongeant pour trouver le point d'intersection du plan de coupe avec le plan (ABC). Si on travaille avec la droite MN, on arrive au même résultat.
Nous raisonnons comme suit : la ligne MN est située dans le plan (ABS), elle ne peut donc se croiser qu'avec des lignes situées dans le même plan. Nous avons trois lignes de ce type : AB, BS et AS. Mais avec les droites AB et BS il y a déjà des points d'intersection : M et N.
Ainsi, en prolongeant MN, on cherche le point de son intersection avec la droite AS. Appelons ce point R.
Le point R est situé sur la ligne AS, il est donc également situé dans le plan (ACS) auquel appartient la ligne AS.
Puisque le point P se situe dans le plan (ACS), nous pouvons tracer une ligne passant par R et P. Nous obtenons la trace de PT.
Le point T se trouve dans le plan (ABC), nous pouvons donc tracer une ligne à travers lui et le point M.
Ainsi, nous avons obtenu la même section efficace MNPT.
Prenons un autre exemple de ce genre.
Construire une section de la pyramide par un plan passant par les points M, N, P.
Tracez une ligne droite passant par les points M et N situés dans le même plan (BCS). On obtient la trace MN (visible).
Tracez une ligne droite passant par les points N et P situés dans le même plan (ACS). On obtient la trace PN (invisible).
Nous ne pouvons pas tracer une ligne droite passant par les points M et P.
1) La ligne MN se trouve dans le plan (BCS), où il y a trois autres lignes : BC, SC et SB. Il existe déjà des points d'intersection avec les droites SB et SC : M et N. On cherche donc le point d'intersection de MN avec BC. En continuant ces lignes, on obtient le point L.
Le point L appartient à la droite BC, ce qui signifie qu'il appartient au plan (ABC). Par conséquent, à travers L et P, qui se trouve également dans le plan (ABC), nous pouvons tracer une ligne droite. Son empreinte est PF.
F est sur la droite AB, donc dans le plan (ABS). Par conséquent, à travers F et le point M, qui se trouve également dans le plan (ABS), nous traçons une ligne droite. Sa piste est FM. Le quadrilatère MNPF est la section requise.
2) Une autre façon est de continuer tout droit PN. Il est situé dans le plan (ACS) et coupe les droites AC et CS situées dans ce plan aux points P et N.
Donc, nous recherchons le point d'intersection de PN avec la troisième ligne droite de ce plan - avec AS. Nous continuons AS et PN, à l'intersection nous obtenons le point E. Puisque le point E se trouve sur la ligne AS, qui appartient au plan (ABS), puis à travers E et le point M, qui se trouve également dans (ABS), nous pouvons tracer une ligne. Sa piste est FM. Les points P et F se trouvent sur le plan de l'eau (ABC), nous traçons une ligne droite à travers eux et obtenons la trace PF (invisible).
Pyramide. Pyramide tronquée
Pyramide s'appelle un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (fig. 15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales est appelée tétraèdre .
Côte latérale la pyramide est appelée le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . section diagonale Une section d'une pyramide est appelée un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.
Surface latérale pyramide est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales. Pleine surface est la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.
Théorèmes
1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.
2. Si dans une pyramide tous les bords latéraux ont des longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.
3. Si dans la pyramide toutes les faces sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle inscrit dans la base.
Pour calculer le volume d'une pyramide arbitraire, la formule est correcte :
où V- le volume;
S principal- surface de base ;
H est la hauteur de la pyramide.
Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont vraies :
où p- le périmètre de la base ;
h un- apothème ;
H- la taille;
S plein
Côté S
S principal- surface de base ;
V est le volume d'une pyramide régulière.
pyramide tronquée appelée la partie de la pyramide enserrée entre la base et le plan de coupe parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée correcte appelée la partie d'une pyramide régulière, enserrée entre la base et un plan de coupe parallèle à la base de la pyramide.
Fondations pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales - trapèze. Hauteur pyramide tronquée est appelée la distance entre ses bases. Diagonale Une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. section diagonale Une section d'une pyramide tronquée est appelée un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.
Pour une pyramide tronquée, les formules sont valables :
(4)
où S 1 , S 2 - zones des bases supérieure et inférieure;
S plein est la surface totale;
Côté S est la surface latérale ;
H- la taille;
V est le volume de la pyramide tronquée.
Pour une pyramide tronquée régulière, la formule suivante est vraie :
où p 1 , p 2 - périmètres de base;
h un- l'apothème d'une pyramide tronquée régulière.
Exemple 1 Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).
 |
La pyramide est régulière, ce qui signifie que la base est un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. L'angle dièdre à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire sera l'angle une entre deux perpendiculaires : c'est-à-dire Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit dans le triangle abc). L'angle d'inclinaison de la nervure latérale (par exemple SB) est l'angle entre l'arête elle-même et sa projection sur le plan de base. Pour côte SB cet angle sera l'angle SMD. Pour trouver la tangente, vous devez connaître les jambes ALORS et OB. Soit la longueur du segment BD est 3 une. point O section BD est divisé en parties : et De nous trouvons ALORS: 
A partir de nous trouvons : 
Réponse:
Exemple 2 Trouver le volume d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière si les diagonales de ses bases sont cm et cm et la hauteur est de 4 cm.
Solution. Pour trouver le volume d'une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver les aires des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, en connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases mesurent respectivement 2 cm et 8 cm, ce qui signifie les aires des bases et En substituant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :
Réponse: 112 cm3.
Exemple 3 Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière, dont les côtés de base sont de 10 cm et 4 cm, et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).
La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, il faut connaître les bases et la hauteur. Les bases sont données par condition, seule la hauteur reste inconnue. Trouvez-le d'où UNE 1 E perpendiculaire à partir d'un point UNE 1 sur le plan de la base inférieure, UNE 1 ré- perpendiculaire de UNE 1 sur CA. UNE 1 E\u003d 2 cm, car c'est la hauteur de la pyramide. Pour trouver DE nous ferons un dessin supplémentaire, dans lequel nous représenterons une vue de dessus (Fig. 20). Point O- projection des centres des bases supérieure et inférieure. puisque (voir Fig. 20) et D'autre part d'accord est le rayon du cercle inscrit et 
OM est le rayon du cercle inscrit :
MK=DE.
D'après le théorème de Pythagore de
Zone du visage latéral : 
Réponse:
Exemple 4 A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases une et b (une> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouver la surface totale de la pyramide.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCD est égal à la somme des aires et à l'aire du trapèze A B C D.
Utilisons l'affirmation que si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées sur le plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point O- projection de vertex Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle SDR au plan de base. D'après le théorème sur l'aire de la projection orthogonale d'une figure plane, on obtient :
De même, cela signifie 
Ainsi, le problème a été réduit à trouver l'aire du trapèze A B C D. Dessiner un trapèze A B C D séparément (fig. 22). Point O est le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.
Puisqu'un cercle peut s'inscrire dans un trapèze, alors ou Par le théorème de Pythagore on a
Introduction. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Le concept de polyèdre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Pyramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
propriétés pyramidales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Pyramide tronquée. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . huit
2.3. Construction d'une pyramide et de ses sections planes. . . .9
3. Prisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onze
3.1. Image d'un prisme et sa construction
sections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . treize
4. Parallélépipède. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Quelques propriétés d'un parallélépipède. . . . . . . seize
5. Théorème des polyèdres d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . dix-huit
6. Similitude des polyèdres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Polyèdres réguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1. Tableau récapitulatif des polyèdres. . . . . . . . . . . 22
Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
introduction
Blaise Pascal a dit un jour : "Le sujet des mathématiques est tellement sérieux qu'il est bon de ne pas rater une occasion de le rendre un peu plus divertissant." De cette position, essayons de considérer la stéréométrie, qui est l'une des sections de la géométrie. La stéréométrie étudie les propriétés des figures dans l'espace. Par exemple, les gouttes liquides en apesanteur prennent la forme d'un corps géométrique appelé boule. La même forme a une petite balle de tennis et des objets plus gros - notre planète et de nombreux autres objets spatiaux. Une boîte de conserve est un cylindre.
Stéréométrie autour de nous : dans la vie quotidienne et dans les activités professionnelles. Bien sûr, nous ne pouvons pas "voir" la science, mais nous pouvons voir quotidiennement les corps tridimensionnels dans l'espace qu'elle étudie. N'est-il pas intéressant de se regarder dans le miroir de tous les côtés ? Mais la figure humaine est aussi un objet tridimensionnel.
Pour résoudre de nombreux problèmes géométriques associés à un tétraèdre et à un parallélépipède, il est nécessaire de pouvoir construire leurs sections dans la figure par des plans différents. Appelons plan de coupe tout plan, des deux côtés duquel se trouvent des points de cette figure. Le plan de coupe coupe les faces de la figure le long de segments. Un polygone dont les côtés sont ces segments est appelé une section de la figure. Puisqu'un tétraèdre a quatre faces, seuls les triangles et les quadrilatères peuvent être ses sections. Le parallélépipède a six faces. Ses sections peuvent être des triangles, des quadrangles, des pentagones et des hexagones.
1. Le concept de polyèdre
Polyèdre- un corps spatial géométrique délimité de tous côtés par un nombre fini de polygones plats. Facettes polyèdre sont appelés polygones qui délimitent le polyèdre (faces - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). travers de porc polyèdre sont appelés les côtés communs des faces adjacentes (arêtes - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). pics polyèdre sont appelés sommets d'angles polyédriques formés par ses faces convergeant en un point . Diagonale Un polyèdre est un segment de droite reliant deux sommets qui ne se trouvent pas sur la même face (BN). plan diagonal polyèdre est appelé un plan passant par trois sommets du polyèdre qui ne se trouvent pas sur la même face (plan BEN).
Le polyèdre s'appelle convexe , s'il est situé d'un côté du plan de chaque polygone de sa surface. Les faces d'un polyèdre convexe ne peuvent être que des polygones convexes (un exemple de polyèdre convexe est un cube, Fig. 1).
Si les faces d'un polygone se coupent, alors un tel polyèdre est appelé non convexe (Fig. 2).
Une section d'un polyèdre par un plan est la partie de ce plan délimitée par la ligne d'intersection de la surface du polyèdre avec ce plan.
.
2. Pyramide
Pyramide un polyèdre est appelé, dont une face est un polygone arbitraire, et les faces restantes sont des triangles ayant un sommet commun.
La base de la pyramide est appelée polyèdre obtenu dans un plan de coupe (ABCDE). Les faces latérales de la pyramide sont appelées triangles ASB, BSC, ... avec un sommet commun S, qui est appelé le sommet de la pyramide. Les arêtes latérales d'une pyramide sont les arêtes le long desquelles les faces latérales se croisent. La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire tirée des sommets de la pyramide au plan de sa base. L'apothème d'une pyramide est la hauteur de la face latérale abaissée du sommet de la pyramide.
La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier, et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de ce polygone.
Prouvons que toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales et les faces latérales sont des triangles isocèles égaux
Considérons une pyramide régulière PA 1 A 2 …A n . Nous montrons d'abord que toutes les arêtes latérales de cette pyramide sont égales. Toute arête latérale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont une branche est la hauteur PO de la pyramide, et l'autre est le rayon du cercle circonscrit près de la base (par exemple, l'arête latérale PA 1 est l'hypoténuse du triangle OPA 1, dans lequel OP=h, OA 1 =R). D'après le théorème de Pythagore, toute arête latérale est égale à √(h 2 +R 2), donc PA 1 =PA 2 =…= PA n .
Nous avons prouvé que les arêtes latérales d'une pyramide régulière PA 1 A 2 …A n sont égales entre elles, donc les faces latérales sont des triangles isocèles. Les bases de ces triangles sont également égales entre elles, puisque A 1 A 2 …A n est un polygone régulier. Par conséquent, les faces latérales sont égales selon le troisième critère d'égalité des triangles, qui devait être prouvé.
La section de la pyramide avec un plan parallèle au plan de la base est appelée coupe pyramidale .
propriétés de la pyramide
Propriétés des sections transversales de la pyramide.
1. Si vous croisez la pyramide avec un plan parallèle à la base, alors :
· 
les arêtes latérales et la hauteur de la pyramide seront divisées par ce plan en segments proportionnels ;
dans la section, vous obtenez un polygone similaire au polygone situé à la base ;
Les aires de la section transversale et de la base seront liées les unes aux autres comme les carrés de leurs distances par rapport au sommet de la pyramide :
S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2
2. Si deux pyramides de hauteurs égales sont coupées par des plans parallèles aux bases, à la même distance du sommet, alors les aires des sections seront proportionnelles aux aires des bases.
L'aire de la surface latérale (ou simplement la surface latérale) d'une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales.
Superficie totale(ou simplement la surface totale) d'une pyramide est la somme de l'aire de sa surface latérale et de l'aire de sa base.
Propriétés de la hauteur de la pyramide
1. Si la face latérale de la pyramide est perpendiculaire au plan de la base, alors la hauteur de la pyramide passe dans le plan de cette face.
2. Si deux bords latéraux adjacents de la pyramide sont égaux, alors la base de la hauteur de la pyramide est sur une perpendiculaire tracée par le milieu de ce côté de la base, des extrémités desquelles ces bords latéraux émanent.
3. Si deux faces latérales adjacentes de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors la base de la hauteur de la pyramide se trouve sur la bissectrice de l'angle formé par les côtés de la base à travers lesquels ces faces latérales passent.
4. Si le bord latéral de la pyramide forme des angles égaux avec deux côtés de la base qui lui sont adjacents, alors la base de la hauteur de la pyramide se trouve sur la bissectrice de l'angle formé par ces côtés de la base.
5. Si le bord latéral de la pyramide est perpendiculaire au côté de la base qui l'intersecte, alors la base de la hauteur de la pyramide est sur la perpendiculaire restaurée (dans le plan de la base de la pyramide) à ce côté de le point de son intersection avec ce bord latéral.
REMARQUE: si la pyramide possède deux de ces caractéristiques, il est alors possible d'indiquer de manière unique le point qui est la base de la hauteur de la pyramide.
La figure montre un fragment d'une pyramide régulière de n-charbon SABCD…, où SH est la hauteur de la pyramide ; SK est un apothème. Introduisons la notation suivante : angle alpha ( ά
) est l'angle entre le bord latéral de la pyramide et le plan de la base ; bêta (β) est l'angle entre la face latérale et le plan de base ; l'angle y (γ) est l'angle entre les nervures latérales adjacentes ; angle phi (φ) - l'angle entre les faces latérales adjacentes.
Si l'un de ces angles est connu dans une pyramide régulière, alors les trois autres peuvent être trouvés. Six relations sont présentées dans le tableau :
Volume pyramidal se trouve selon la formule :
V=1/3S principal H,
où Sbase est la surface de base, H est la hauteur.
Surface latérale la bonne pyramide s'exprime comme suit :
Côté S \u003d 1 / 2Ph,
où P est le périmètre de la base, h est la hauteur de la face latérale
2.2. Pyramide tronquée.
pyramide tronquée la partie de la pyramide est appelée, enserrée entre sa base et un plan de coupe parallèle à la base, par exemple, la pyramide ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Les bases d'une pyramide tronquée sont appelées faces parallèles ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD est la base inférieure et A 1 B 1 C 1 D 1 est la base supérieure).
Hauteur pyramide tronquée - un segment de ligne droite perpendiculaire aux bases et enfermé entre leurs plans.
Pyramide tronquée correct , si ses bases sont des polygones réguliers, et la ligne reliant les centres des bases est perpendiculaire au plan des bases.
L'apothème d'une pyramide tronquée est la hauteur de sa face latérale.
Surface latérale la pyramide tronquée est la somme des aires de ses faces latérales. La surface totale d'une pyramide tronquée est égale à la somme de la surface latérale et des aires des bases.
Une pyramide tronquée est obtenue à partir d'une pyramide en en coupant la partie supérieure avec un plan parallèle à la base. Les bases de la pyramide tronquée sont des polygones similaires, les faces latérales sont des trapèzes.
Le volume pyramide tronquée se trouve par la formule :
V=1/3 H(S+ √ SS1+S1),
où S et S1 sont les aires des bases, et H est la hauteur.
Surface latérale une pyramide tronquée régulière s'exprime comme suit :
Côté S \u003d 1/2 (P + P 1) h,
où P et P1 sont les périmètres des bases, h est la hauteur de la face latérale (ou l'apothème d'un tronc de pyramide régulier).
2.3. Construction d'une pyramide et de ses sections planes
Conformément aux règles de la projection parallèle, l'image de la pyramide est construite comme suit. Tout d'abord, la fondation est construite. Ce sera un polygone plat. Ensuite, le sommet de la pyramide est marqué, qui est relié par des nervures latérales aux sommets de la base.
Les sections de la pyramide par des plans passant par son sommet sont des triangles (Fig. a). En particulier, les sections diagonales sont aussi des triangles. Ce sont des coupes par des plans passant par deux arêtes latérales non adjacentes de la pyramide (Fig. b).
La section d'une pyramide par un plan de trace g donnée sur le plan de la base se construit de la même manière que la section d'un prisme.
Pour construire une section d'une pyramide par un plan, il suffit de construire les intersections de ses faces latérales avec le plan de coupe.
Si un point A appartenant à la section est connu sur une face non parallèle à la trace g, alors l'intersection de la trace g du plan sécant avec le plan de cette face est d'abord construite - point D sur la figure ( v). Le point D est relié au point A par une droite. Alors le segment de cette droite appartenant à la face est l'intersection de cette face avec le plan de coupe. Si le point A se trouve sur une face parallèle à la trace g, alors le plan sécant coupe cette face le long d'un segment parallèle à la droite g. En allant sur la face latérale adjacente, ils construisent son intersection avec le plan de coupe, etc. En conséquence, la section requise de la pyramide est obtenue.