La factorisation d'une équation est le processus de recherche de termes ou d'expressions qui, une fois multipliés, conduisent à l'équation initiale. La factorisation est une compétence utile pour résoudre des problèmes algébriques de base et devient une nécessité pratique lorsque l'on travaille avec des équations quadratiques et d'autres polynômes. La factorisation est utilisée pour simplifier les équations algébriques afin de les rendre plus faciles à résoudre. La factorisation peut vous aider à éliminer certaines réponses possibles plus rapidement qu'en résolvant manuellement l'équation.

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Factorisation des nombres et expressions algébriques de base

1. Factorisation des nombres. Le concept d'affacturage est simple, mais en pratique, l'affacturage peut être tâche ardue(si on lui donne une équation complexe). Par conséquent, pour commencer, nous allons considérer le concept de factorisation en utilisant l'exemple des nombres, continuer avec équations simples puis aller à équations complexes. Multiplicateurs numéro donné sont les nombres qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les diviseurs du nombre 12 sont les nombres : 1, 12, 2, 6, 3, 4, puisque 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • De même, vous pouvez considérer les facteurs d'un nombre comme ses diviseurs, c'est-à-dire les nombres par lesquels le nombre donné est divisible.
   • Trouvez tous les facteurs du nombre 60. Nous utilisons souvent le nombre 60 (par exemple, 60 minutes dans une heure, 60 secondes dans une minute, etc.) et ce nombre a tout à fait un grand nombre de multiplicateurs.
     • 60 multiplicateurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

2. Se souvenir: les termes d'une expression contenant un coefficient (nombre) et une variable peuvent également être factorisés. Pour ce faire, trouvez les multiplicateurs du coefficient à la variable. Sachant factoriser les termes des équations, vous pouvez facilement simplifier équation donnée.

   • Par exemple, le terme 12x peut être écrit comme le produit de 12 et x. Vous pouvez également écrire 12x comme 3(4x), 2(6x), etc. en factorisant 12 dans les facteurs qui vous conviennent le mieux.
     • Vous pouvez disposer 12x plusieurs fois de suite. En d'autres termes, vous ne devriez pas vous arrêter à 3(4x) ou 2(6x) ; continuer l'expansion : 3(2(2x)) ou 2(3(2x)) (évidemment, 3(4x)=3(2(2x)) etc.)

3. Appliquer la propriété distributive de la multiplication pour factoriser des équations algébriques. Sachant factoriser des nombres et des termes d'une expression (coefficients avec des variables), vous pouvez simplifier des équations algébriques simples en trouvant le diviseur commun d'un nombre et d'un terme d'une expression. Habituellement, pour simplifier l'équation, vous devez trouver le plus grand diviseur commun (pgcd). Une telle simplification est possible grâce à la propriété distributive de la multiplication : pour tout nombre a, b, c, l'égalité a (b + c) = ab + ac est vraie.

   • Exemple. Factorisez l'équation 12x + 6. Tout d'abord, trouvez le pgcd de 12x et 6. 6 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12x et 6, vous pouvez donc factoriser cette équation en : 6(2x+1).
   • Ce processus est également vrai pour les équations qui ont des termes négatifs et fractionnaires. Par exemple, x/2+4 peut être décomposé en 1/2(x+8) ; par exemple, -7x+(-21) peut être décomposé en -7(x+3).

   Factorisation d'équations quadratiques

   1. Assurez-vous que l'équation est sous forme quadratique (ax 2 + bx + c = 0). Les équations quadratiques sont : ax 2 + bx + c = 0, où a, b, c sont des coefficients numériques autres que 0. Si on vous donne une équation avec une variable (x) et que cette équation a un ou plusieurs termes avec un second ordre variable , vous pouvez déplacer tous les termes de l'équation d'un côté de l'équation et l'assimiler à zéro.

      • Par exemple, étant donné l'équation : 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Elle peut être convertie en l'équation x 2 + 6x + 9 = 0, qui est une équation quadratique.
      • Équations avec une variable x de grands ordres, par exemple, x 3 , x 4 , etc. ne sont pas des équations quadratiques. Ce sont des équations cubiques, des équations du quatrième ordre, etc. (uniquement si ces équations ne peuvent pas être simplifiées en équations quadratiques avec la variable x à la puissance 2).

   2. Les équations quadratiques, où a \u003d 1, sont décomposées en (x + d) (x + e), où d * e \u003d c et d + e \u003d b. Si on vous le donne équation quadratique a la forme: x 2 + bx + c \u003d 0 (c'est-à-dire que le coefficient en x 2 est égal à 1), alors une telle équation peut (mais non garantie) être décomposée en les facteurs ci-dessus. Pour ce faire, vous devez trouver deux nombres qui, une fois multipliés, donnent "c" et, une fois ajoutés, "b". Une fois que vous avez trouvé ces deux nombres (d et e), substituez-les dans l'expression suivante : (x+d)(x+e), qui, lorsque les parenthèses sont ouvertes, conduit à l'équation d'origine.

      • Par exemple, étant donné l'équation quadratique x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 et 3+2=5, vous pouvez donc développer l'équation en (x+3)(x+2).
      • Pour les termes négatifs, apportez les modifications mineures suivantes au processus de factorisation :
        • Si l'équation quadratique a la forme x 2 -bx + c, alors elle se décompose en : (x-_) (x-_).
        • Si l'équation quadratique a la forme x 2 -bx-c, alors elle se décompose en : (x + _) (x-_).
      • Remarque : les espaces peuvent être remplacés par des fractions ou des décimales. Par exemple, l'équation x 2 + (21/2)x + 5 = 0 se décompose en (x + 10) (x + 1/2).

   3. Factorisation par essais et erreurs. Des équations quadratiques simples peuvent être factorisées en substituant simplement des nombres dans solutions possibles jusqu'à ce que vous trouviez bonne décision. Si l'équation a la forme ax 2 +bx+c, où a>1, les solutions possibles s'écrivent (dx +/- _)(ex +/- _), où d et e sont des coefficients numériques non nuls, qui, multipliés, donnent a. Soit d ou e (ou les deux coefficients) peuvent être égaux à 1. Si les deux coefficients sont égaux à 1, alors utilisez la méthode décrite ci-dessus.

      • Par exemple, étant donné l'équation 3x 2 - 8x + 4. Ici, 3 n'a que deux facteurs (3 et 1), donc les solutions possibles sont écrites sous la forme (3x +/- _)(x +/- _). Dans ce cas, en remplaçant -2 par des espaces, vous trouverez la bonne réponse : -2*3x=-6x et -2*x=-2x ; - 6x+(-2x)=-8x et -2*-2=4, c'est-à-dire qu'une telle expansion lors de l'ouverture des parenthèses conduira aux termes de l'équation d'origine.

Pour factoriser, il faut simplifier les expressions. Ceci est nécessaire pour pouvoir réduire davantage. La décomposition d'un polynôme a un sens lorsque son degré n'est pas inférieur à la seconde. Un polynôme du premier degré est dit linéaire.

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L'article dévoilera toutes les notions de décomposition, base théorique et des procédés de factorisation d'un polynôme.

Théorie

Théorème 1

Lorsque tout polynôme de degré n ayant la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sont représentés comme un produit à facteur constant de degré le plus élevé a n et n facteurs linéaires (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , alors P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , où x i , i = 1 , 2 , … , n - ce sont les racines du polynôme.

Le théorème est destiné aux racines de type complexe x i , i = 1 , 2 , … , n et aux coefficients complexes a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . C'est la base de toute décomposition.

Lorsque les coefficients de la forme a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sont des nombres réels, alors les racines complexes apparaîtront dans des paires conjuguées. Par exemple, les racines x 1 et x 2 liées à un polynôme de la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sont considérés comme complexes conjugués, alors les autres racines sont réelles, on obtient donc que le polynôme prend la forme P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, où x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Commentaire

Les racines d'un polynôme peuvent être répétées. Considérons la preuve du théorème d'algèbre, les conséquences du théorème de Bezout.

Théorème fondamental de l'algèbre

Théorème 2

Tout polynôme de degré n a au moins une racine.

Théorème de Bézout

Après avoir divisé un polynôme de la forme P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sur (x - s) , alors on obtient le reste, qui est égal au polynôme au point s , alors on obtient

P n X = une n X n + une n - 1 X n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , où Q n - 1 (x) est un polynôme de degré n - 1 .

Corollaire du théorème de Bezout

Lorsque la racine du polynôme P n (x) est considérée comme étant s , alors P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + une 1 X + une 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ce corollaire est suffisant lorsqu'il est utilisé pour décrire la solution.

Factorisation d'un trinôme carré

Un trinôme carré de la forme a x 2 + b x + c peut être factorisé en facteurs linéaires. alors nous obtenons que a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , où x 1 et x 2 sont des racines (complexes ou réelles).

Cela montre que la décomposition elle-même se réduit à résoudre l'équation quadratique plus tard.

Exemple 1

Factoriser un trinôme carré.

Solution

Il faut trouver les racines de l'équation 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du discriminant selon la formule, puis nous obtenons D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. On a donc ça

X 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 X 2 = 5 + 9 2 4 = 1

De là, nous obtenons que 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Pour effectuer la vérification, vous devez ouvrir les supports. On obtient alors une expression de la forme :

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Après vérification, nous arrivons à l'expression originale. Autrement dit, nous pouvons conclure que l'expansion est correcte.

Exemple 2

Factoriser un trinôme carré de la forme 3 x 2 - 7 x - 11 .

Solution

Nous obtenons qu'il est nécessaire de calculer l'équation quadratique résultante de la forme 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Pour trouver les racines, vous devez déterminer la valeur du discriminant. On comprend ça

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ré = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + ré 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - ré 2 3 = 7 - 1816

De là, nous obtenons que 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Exemple 3

Factoriser le polynôme 2 x 2 + 1.

Solution

Vous devez maintenant résoudre l'équation quadratique 2 x 2 + 1 = 0 et trouver ses racines. On comprend ça

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 je x 2 = - 1 2 = - 1 2 je

Ces racines sont appelées complexes conjuguées, ce qui signifie que la décomposition elle-même peut être représentée par 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exemple 4

Développez le trinôme carré x 2 + 1 3 x + 1 .

Solution

Vous devez d'abord résoudre une équation quadratique de la forme x 2 + 1 3 x + 1 = 0 et trouver ses racines.

X 2 + 1 3 X + 1 = 0 ré = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + ré 2 1 = - 1 3 + 35 3 je 2 = - 1 + 35 je 6 = - 1 6 + 35 6 je X 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 je 2 = - 1 - 35 je 6 = - 1 6 - 35 6 je

Ayant obtenu les racines, on écrit

X 2 + 1 3 X + 1 = X - - 1 6 + 35 6 je X - - 1 6 - 35 6 je = = X + 1 6 - 35 6 je X + 1 6 + 35 6 je

Commentaire

Si la valeur du discriminant est négative, alors les polynômes resteront des polynômes du second ordre. Il s'ensuit donc que nous ne les décomposerons pas en facteurs linéaires.

Méthodes de factorisation d'un polynôme de degré supérieur au second

La décomposition suppose méthode universelle. La plupart des cas sont basés sur un corollaire du théorème de Bezout. Pour ce faire, vous devez sélectionner la valeur de la racine x 1 et abaisser son degré en divisant par un polynôme par 1 en divisant par (x - x 1) . Le polynôme résultant doit trouver la racine x 2 , et le processus de recherche est cyclique jusqu'à ce que nous obtenions une expansion complète.

Si la racine n'est pas trouvée, alors d'autres méthodes de factorisation sont utilisées : regroupement, termes supplémentaires. Ce sujet suppose la solution des équations avec degrés supérieurs et coefficients entiers.

Sortir le facteur commun des parenthèses

Considérons le cas où le terme libre est égal à zéro, alors la forme du polynôme devient P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + un 1 x .

On peut voir que la racine d'un tel polynôme sera égale à x 1 \u003d 0, alors vous pouvez représenter le polynôme sous la forme d'une expression P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + une 1 X = = X (une n X n - 1 + une n - 1 X n - 2 + . . . + une 1)

Cette méthode est considérée comme prenant le facteur commun entre parenthèses.

Exemple 5

Factorisez le polynôme du troisième degré 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Solution

Nous voyons que x 1 \u003d 0 est la racine du polynôme donné, nous pouvons alors mettre x entre parenthèses de l'expression entière. On a:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Passons à la recherche des racines du trinôme carré 4 x 2 + 8 x - 1. Trouvons le discriminant et les racines :

ré = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + ré 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - ré 2 4 = - 1 - 5 2

Il s'ensuit alors que

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pour commencer, considérons une méthode de décomposition contenant des coefficients entiers de la forme P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , où le coefficient de la puissance la plus élevée est 1 .

Lorsque le polynôme a des racines entières, alors elles sont considérées comme des diviseurs du terme libre.

Exemple 6

Développez l'expression f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Solution

Demandez-vous s'il existe des racines entières. Il est nécessaire d'écrire les diviseurs du nombre - 18. Nous obtenons que ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Il s'ensuit que ce polynôme a des racines entières. Vous pouvez vérifier selon le schéma de Horner. C'est très pratique et permet d'obtenir rapidement les coefficients d'expansion d'un polynôme :

Il s'ensuit que x \u003d 2 et x \u003d - 3 sont les racines du polynôme original, qui peut être représenté comme un produit de la forme :

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Passons à la décomposition d'un trinôme carré de la forme x 2 + 2 x + 3 .

Puisque le discriminant est négatif, cela signifie qu'il n'y a pas de racines réelles.

Répondre: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Commentaire

Il est permis d'utiliser la sélection de racine et la division d'un polynôme par un polynôme au lieu du schéma de Horner. Considérons maintenant le développement d'un polynôme contenant des coefficients entiers de la forme P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dont le plus élevé n'est pas égal à un.

Ce cas a lieu pour les fractions rationnelles fractionnaires.

Exemple 7

Factorisez f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Solution

Il faut changer la variable y = 2 x , on devrait passer à un polynôme à coefficients égaux à 1 au plus haut degré. Vous devez commencer par multiplier l'expression par 4 . On comprend ça

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Lorsque la fonction résultante de la forme g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 a des racines entières, alors leur découverte fait partie des diviseurs du terme libre. L'entrée ressemblera à :

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Passons au calcul de la fonction g (y) en ces points afin d'obtenir zéro comme résultat. On comprend ça

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Nous obtenons que y \u003d - 5 est la racine de l'équation de la forme y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ce qui signifie que x \u003d y 2 \u003d - 5 2 est la racine de la fonction d'origine.

Exemple 8

Il faut diviser par une colonne 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 par x + 5 2.

Solution

On écrit et on obtient :

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

La vérification des diviseurs prendra beaucoup de temps, il est donc plus rentable de prendre la factorisation du trinôme carré résultant de la forme x 2 + 7 x + 3. En égalant à zéro, on trouve le discriminant.

X 2 + 7 X + 3 = 0 ré = 7 2 - 4 1 3 = 37 X 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ X 2 + 7 X + 3 = X + 7 2 - 37 2 fois + 7 2 + 37 2

D'où il suit que

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Astuces artificielles lors de la factorisation d'un polynôme

Les racines rationnelles ne sont pas inhérentes à tous les polynômes. Pour cela, vous devez utiliser de manière spéciale pour trouver des multiplicateurs. Mais tous les polynômes ne peuvent pas être décomposés ou représentés comme un produit.

Méthode de regroupement

Il y a des cas où vous pouvez regrouper les termes d'un polynôme pour trouver un facteur commun et le sortir des parenthèses.

Exemple 9

Factoriser le polynôme x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Solution

Comme les coefficients sont des nombres entiers, les racines peuvent également être des nombres entiers. Pour vérifier, on prend les valeurs 1 , - 1 , 2 et - 2 afin de calculer la valeur du polynôme en ces points. On comprend ça

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Cela montre qu'il n'y a pas de racines, il faut utiliser une autre méthode de décomposition et de solution.

Le regroupement est obligatoire :

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Après avoir regroupé le polynôme d'origine, il faut le représenter comme un produit de deux trinômes carrés. Pour ce faire, nous devons factoriser. on comprend ça

X 2 - 2 = 0 X 2 = 2 X 1 = 2 X 2 = - 2 ⇒ X 2 - 2 = X - 2 X + 2 X 2 + 4 X + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 X 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 X 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ X 2 + 4 X + 1 = X + 2 - 3 X + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Commentaire

La simplicité du regroupement ne signifie pas qu'il est assez facile de choisir des termes. certaine manière il n'y a pas de solution, donc des théorèmes et des règles spéciaux doivent être utilisés.

Exemple 10

Factoriser le polynôme x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Solution

Le polynôme donné n'a pas de racines entières. Les termes doivent être groupés. On comprend ça

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Après factorisation, on obtient que

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Utiliser la multiplication abrégée et les formules binomiales de Newton pour factoriser un polynôme

Apparence souvent ne précise pas toujours quelle méthode doit être utilisée lors de la décomposition. Une fois les transformations effectuées, vous pouvez construire une droite constituée du triangle de Pascal, sinon on les appelle le binôme de Newton.

Exemple 11

Factoriser le polynôme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Solution

Il est nécessaire de convertir l'expression sous la forme

X 4 + 4 X 3 + 6 X 2 + 4 X - 2 = X 4 + 4 X 3 + 6 X 2 + 4 X + 1 - 3

La séquence des coefficients de la somme entre parenthèses est indiquée par l'expression x + 1 4 .

Nous avons donc x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Après avoir appliqué la différence des carrés, on obtient

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 fois + 1 2 + 3

Considérez l'expression qui est dans la deuxième parenthèse. Il est clair qu'il n'y a pas de chevaux là-bas, donc la formule de la différence des carrés doit être appliquée à nouveau. On obtient une expression comme

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 X + 1 2 + 3 = = X + 1 - 3 4 X + 1 + 3 4 X 2 + 2 X + 1 + 3

Exemple 12

Factoriser x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Solution

Changeons d'expression. On comprend ça

X 3 + 6 X 2 + 12 X + 6 = X 3 + 3 2 X 2 + 3 2 2 X + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Il est nécessaire d'appliquer la formule de multiplication abrégée de la différence des cubes. On a:

X 3 + 6 X 2 + 12 X + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = X + 2 - 2 3 X + 2 2 + 2 3 X + 2 + 4 3 = = X + 2 - 2 3 X 2 + X 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Une méthode pour remplacer une variable lors de la factorisation d'un polynôme

Lors du changement d'une variable, le degré est réduit et le polynôme est factorisé.

Exemple 13

Factoriser un polynôme de la forme x 6 + 5 x 3 + 6 .

Solution

Par la condition, il est clair qu'il faut faire un remplacement y = x 3 . On a:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Les racines de l'équation quadratique résultante sont y = - 2 et y = - 3, alors

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Il est nécessaire d'appliquer la formule de la multiplication abrégée de la somme des cubes. On obtient des expressions de la forme :

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 fois + 3 3 fois 2 - 3 3 fois + 9 3

Autrement dit, nous avons obtenu l'expansion souhaitée.

Les cas discutés ci-dessus aideront à considérer et à factoriser un polynôme de diverses manières.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

Les formules de multiplication abrégées sont très outil pratique pour les opérations avec des polynômes. Typiquement, cela réduit structures complexes polynômes à une petite expression représentée par un binôme. Ou, dans un ordre différent, un binôme compact est facilement dérivé du produit de deux polynômes.

De telles actions sont nécessaires pour résoudre des équations et des inégalités triviales, ainsi que dans divers problèmes démonstratifs.

Dans les didacticiels vidéo précédents, nous avons examiné les formules de la différence des carrés et de la différence des cubes. Essayons de dériver une formule d'un ordre encore plus élevé - trouvons à quoi correspond la différence d'expressions au quatrième degré:

Cette expression est relativement facile à convertir en substituant à x 4 et y 4 des expressions carrées identiques (x 2) 2 et (y 2) 2 :

x 4 - y 4 \u003d (x 2) 2 - (y 2) 2

En conséquence, nous obtenons la différence des carrés, qui peut être représentée en utilisant le FSU élémentaire comme :

(x 2) 2 - (y 2) 2 \u003d (x 2 + y 2) (x 2 - y 2)

D'autre part, les deuxièmes parenthèses de l'expression résultante contiennent la différence des carrés, qui peut être facilement transformée :

(x 2 + y 2) (x 2 - y 2) \u003d (x 2 + y 2) ((x + y) (x - y))

Il en résulte que :

x 4 - y 4 \u003d (x 2 + y 2) (x + y) (x - y)

Laissons la partie commune fondamentale (x - y), multiplions les deux autres expressions entre parenthèses :

x 4 - y 4 \u003d (x 2 + y 2) (x + y) (x - y) \u003d (x - y) (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)

La raison pour laquelle il est nécessaire de sélectionner (x - y) sera expliquée plus tard. Nous avons donc trouvé une autre formule pour la différence des expressions de puissance. Cette égalité est assez difficile à exprimer - cependant, il faut comprendre qu'elle s'intègre assez logiquement dans un certain nombre de formules similaires pour déterminer la différence entre les carrés et les cubes. Comparons ces formules entre elles afin de trouver des modèles communs :

x 2 - y 2 \u003d (x - y) (x + y)

x 3 - y 3 \u003d (x - y) (x 2 + 2xy + y 2)

x 4 - y 4 \u003d (x - y) (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)

La vidéo montre clairement que les différences de variables à des degrés divers ont des régularités. Toutes les expressions pour côté droit les égalités consistent en le produit de deux polynômes dont l'un est toujours de la forme x - y (la différence initiale des expressions). Le second est formé par un polynôme complexe dont le nombre de monômes augmente avec le degré.

Pour dériver une formule générale qui aidera à convertir la différence de variables avec n'importe quel degré en un produit de polynômes, il est important de comprendre les tendances générales des égalités de l'ordre initial. Notez que le deuxième polynôme de notre produit est la somme des produits par paires des deux expressions. De plus, les degrés des variables sont inversement liés. Pour faciliter la compréhension de ces modèles, nous réécrivons l'égalité pour la différence des expressions du quatrième degré de cette manière :

x 4 - y 4 \u003d (x - y) (x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)

Tout nombre à la puissance zéro est nécessairement égal à un. Par conséquent, à toute variable réelle, vous pouvez ajouter en toute sécurité une construction avec un degré zéro. Nous nous souvenons également que toute variable a un degré - si elle n'est pas spécifiée, elle est alors égale à un. Ces règles de traitement des diplômes ont permis de présenter l'égalité sous une forme plus compréhensible.

Notez que le nombre de termes dans le polynôme des deuxièmes parenthèses est égal au degré principal (que possèdent les variables de la différence). Dans une série de polynômes, le degré d'une expression est algébriquement décroissant et le degré de la seconde est croissant. Dans ce cas, les points extrêmes des degrés sont 0 et le degré le plus élevé de la différence initiale des expressions.

En utilisant ces considérations, nous dérivons une formule pour trouver la différence des expressions du cinquième degré :

X 5 - y 5 \u003d (x - y) (x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)

Pour commencer, nous écrivons le premier facteur (x - y) inchangé. Le deuxième polynôme représentera la somme de cinq éléments (par le degré le plus élevé). Les éléments, à leur tour, sont formés par le produit de variables avec changement algébrique, inverse et interconnecté en degrés. Dans un polynôme :

x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4

x abaisse le degré de 4 à 0, y l'élève de 0 à 4. Pour l'auto-test, il est utile de savoir que la somme des degrés de tout monôme, dans ce cas, sera égale au même degré le plus élevé - 5.

Il ne reste plus qu'à écrire correctement la formule, en se débarrassant de zéro degré:

x 5 - y 5 \u003d (x - y) (x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)

DANS plan général, pour toute puissance de n l'égalité est vraie :

(x) n - (y) n \u003d (x - y) ((x) n + (x) n-1 y ... + x (y) n - 1 + y n)

La formule universelle pour trouver la somme de deux expressions avec la nième différence est dérivée par une transformation de la forme :

X n + y n = X n - (-y n)

En utilisant la formule de la différence des expressions obtenues ci-dessus, nous dérivons l'égalité :

X n + y n \u003d X n - (-y n) \u003d (x + y) ((x) n-1 - (x) n-2 y ... - x (y) n - 2 + y n-1)

Du fait que le carré de toute expression élimine sa négativité, il est impossible moyens disponibles représentent la somme des carrés (ou toute puissance paire) de variables sous la forme d'un produit de deux polynômes.

En considérant la multiplication des polynômes, nous avons mémorisé plusieurs formules, à savoir : les formules pour (a + b)², pour (a - b)², pour (a + b) (a - b), pour (a + b)³ et pour (a – b)³.

S'il s'avère qu'un polynôme donné coïncide avec l'une de ces formules, il sera alors possible de le factoriser. Par exemple, le polynôme a² - 2ab + b², on le sait, est égal à (a - b)² [ou (a - b) (a - b), c'est-à-dire qu'on a réussi à factoriser a² - 2ab + b² en 2 facteurs]; Aussi

Considérons le deuxième de ces exemples. On voit que le polynôme donné ici correspond à la formule obtenue en élevant au carré la différence de deux nombres (le carré du premier nombre, moins le produit de deux par le premier nombre et le second, plus le carré du second nombre) : x 6 est le carré du premier nombre, et donc , le premier nombre lui-même est x 3, le carré du deuxième nombre est le dernier terme du polynôme donné, c'est-à-dire 1, le deuxième nombre lui-même est donc aussi 1 ; le produit de deux par le premier nombre et le second est le terme -2x 3, car 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Par conséquent, notre polynôme a été obtenu en mettant au carré la différence entre les nombres x 3 et 1, c'est-à-dire qu'il est égal à (x 3 - 12 . Prenons un autre quatrième exemple. On voit que ce polynôme a 2 b 2 - 25 peut être considéré comme la différence des carrés de deux nombres, à savoir, le carré du premier nombre est a 2 b 2, donc le premier nombre lui-même est ab, le carré de le deuxième nombre est 25, pourquoi le deuxième nombre lui-même est 5. Par conséquent, notre polynôme peut être considéré comme obtenu en multipliant la somme de deux nombres par leur différence, c'est-à-dire

(ab + 5) (ab - 5).

Il arrive parfois que dans un polynôme donné les termes ne soient pas dans l'ordre auquel nous sommes habitués, par exemple.

9a 2 + b 2 + 6ab - mentalement, nous pouvons réorganiser les deuxième et troisième termes, puis il deviendra clair pour nous que notre trinôme = (3a + b) 2.

... (réorganiser mentalement les premier et deuxième termes).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 etc.

Considérons un autre polynôme

un 2 + 2ab + 4b 2 .

On voit que son premier terme est le carré du nombre a et le troisième terme est le carré du nombre 2b, mais le second terme n'est pas le produit de deux fois le premier nombre par le second, un tel produit serait égal à 2a 2b = 4ab. Par conséquent, il est impossible d'appliquer la formule du carré de la somme de deux nombres à ce polynôme. Si quelqu'un écrivait que a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, alors ce serait faux - vous devez examiner attentivement tous les termes du polynôme avant de lui appliquer une factorisation par des formules.

40. La combinaison des deux méthodes. Parfois, lors de la décomposition de polynômes en facteurs, il est nécessaire de combiner à la fois la technique consistant à sortir le facteur commun des parenthèses et la technique consistant à appliquer des formules. Voici quelques exemples:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Tout d'abord, nous retirons le facteur commun 2a entre parenthèses et nous obtenons 2a (a 2 - b 2). Le facteur a 2 - b 2, à son tour, est décomposé selon la formule en facteurs (a + b) et (a - b).

Parfois, il est nécessaire d'appliquer la méthode d'expansion par des formules à plusieurs reprises :

1. une 4 - b 4 \u003d (une 2 + b 2) (une 2 - b 2)

Nous voyons que le premier facteur a 2 + b 2 ne correspond à aucune des formules familières ; de plus, rappelant les cas particuliers de la division (Sec. 37), nous établirons que a 2 + b 2 (la somme des carrés de deux nombres) ne se factorise pas du tout. Le second des facteurs obtenus a 2 - b 2 (la différence par le carré de deux nombres) est décomposé en facteurs (a + b) et (a - b). Donc,

41. Application occasions spéciales division. Sur la base du point 37, nous pouvons immédiatement écrire que, par exemple,

Calculatrice en ligne.
Sélection du carré du binôme et factorisation du trinôme carré.

Ce programme de mathématiques extrait le carré du binôme du trinôme carré, c'est à dire. effectue une transformation de la forme :
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) et factorise le trinôme carré: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Ceux. les problèmes se réduisent à trouver les nombres \(p, q \) et \(n, m \)

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution.

Ce programme peut être utile aux élèves du secondaire qui se préparent à travail de contrôle et examens, lors du test des connaissances avant l'examen, les parents contrôlent la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être est-ce trop cher pour vous d'engager un tuteur ou d'acheter de nouveaux manuels ? Ou voulez-vous simplement le faire le plus tôt possible? devoirs maths ou algèbre? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec une solution détaillée.

De cette façon, vous pouvez mener votre propre formation et/ou la formation de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des tâches à résoudre est augmenté.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie d'un trinôme carré, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme carré

Toute lettre latine peut agir comme une variable.
Par exemple : \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou de fractions.
De plus, les nombres fractionnaires peuvent être entrés non seulement sous la forme d'un nombre décimal, mais également sous la forme d'une fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire de l'entier peut être séparée par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir décimales donc : 2,5x - 3,5x^2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d'une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
partie entière séparé de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Résultat : \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Lors de la saisie d'une expression vous pouvez utiliser des parenthèses. Dans ce cas, lors de la résolution, l'expression introduite est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemple de solution détaillée

Sélection du carré du binôme.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorisation.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\gauche(x^2+x-2 \droite) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Répondre:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

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Un peu de théorie.

Extraction d'un binôme carré à partir d'un trinôme carré

Si le trinôme carré ax 2 + bx + c est représenté par a (x + p) 2 + q, où p et q sont des nombres réels, alors ils disent que de trinôme carré, le carré du binôme est mis en surbrillance.

Extrayons le carré du binôme du trinôme 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Pour ce faire, nous représentons 6x comme un produit de 2 * 3 * x, puis additionnons et soustrayons 3 2 . On a:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Ce. Nous choisi le carré du binôme du trinôme carré, et a montré que :
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorisation d'un trinôme carré

Si le trinôme carré ax 2 +bx+c est représenté par a(x+n)(x+m), où n et m sont des nombres réels, alors l'opération est dite effectuée factorisations d'un trinôme carré.

Prenons un exemple pour montrer comment cette transformation est effectuée.

Factorisons le trinôme carré 2x 2 +4x-6.

Prenons le coefficient a entre parenthèses, c'est-à-dire 2 :
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformons l'expression entre parenthèses.
Pour ce faire, nous représentons 2x comme la différence 3x-1x, et -3 comme -1*3. On a:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Ce. Nous factoriser le trinôme carré, et a montré que :
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Notons que la factorisation d'un trinôme carré n'est possible que lorsque l'équation quadratique correspondant à ce trinôme a des racines.
Ceux. dans notre cas, factoriser le trinôme 2x 2 +4x-6 est possible si l'équation quadratique 2x 2 +4x-6 =0 a des racines. Dans le processus de factorisation, nous avons trouvé que l'équation 2x 2 +4x-6 =0 a deux racines 1 et -3, car avec ces valeurs, l'équation 2(x-1)(x+3)=0 se transforme en une vraie égalité.

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