Y x pair. Propriétés de base d'une fonction : paire, impaire, périodique, bornée

Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?

Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . Outre la simplicité, cela méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.

Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez rapidement connecter un script MathJax à votre site, qui bon moment charger automatiquement depuis un serveur distant (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :

L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est ça. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.

Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

Etude de fonction.

1) D(y) – Domaine de définition : l'ensemble de toutes ces valeurs de la variable x. pour lequel les expressions algébriques f(x) et g(x) ont un sens.

Si une fonction est donnée par une formule, alors le domaine de définition comprend toutes les valeurs de la variable indépendante pour lesquelles la formule a un sens.

2) Propriétés de la fonction : paire/impaire, périodicité :

Les fonctions dont les graphiques sont symétriques par rapport aux changements de signe de l'argument sont appelées paires et impaires.

Une fonction impaire est une fonction qui change de valeur à l'opposé lorsque le signe de la variable indépendante change (symétrique par rapport au centre des coordonnées).

Une fonction paire est une fonction qui ne change pas de valeur lorsque le signe de la variable indépendante change (symétrique par rapport à l'ordonnée).

Ni une fonction paire ni une fonction impaire (une fonction de forme générale) n’est une fonction qui n’a pas de symétrie. Cette catégorie comprend des fonctions qui ne relèvent pas des 2 catégories précédentes.

Les fonctions qui n'appartiennent à aucune des catégories ci-dessus sont appelées ni pair ni impair(ou fonctions générales).

Fonctions étranges

Puissance étrange où est un entier arbitraire.

Même les fonctions

Même la puissance où est un entier arbitraire.

Une fonction périodique est une fonction qui répète ses valeurs après un certain intervalle régulier de l'argument, c'est-à-dire qu'elle ne change pas sa valeur en ajoutant à l'argument un nombre fixe non nul (période de la fonction) pendant toute la durée de l'argument. domaine de définition.

3) Les zéros (racines) d'une fonction sont les points où elle devient nulle.

Trouver le point d'intersection du graphique avec l'axe Oy. Pour ce faire, vous devez calculer la valeur f(0). Trouver aussi les points d'intersection du graphique avec l'axe Bœuf, pourquoi trouver les racines de l'équation f(x) = 0 (ou assurez-vous qu'il n'y a pas de racines).

Les points auxquels le graphique coupe l'axe sont appelés zéros de la fonction. Pour trouver les zéros d'une fonction, vous devez résoudre l'équation, c'est-à-dire trouver les valeurs de « x » auxquelles la fonction devient nulle.

4) Intervalles de constance des signes, signes en eux.

Intervalles où la fonction f(x) maintient son signe.

Un intervalle de signe constant est un intervalle en chaque point dont la fonction est positive ou négative.

AU-DESSUS de l’axe des x.

SOUS l'essieu.

5) Continuité (points de discontinuité, nature de la discontinuité, asymptotes).

Une fonction continue est une fonction sans « sauts », c’est-à-dire une fonction dans laquelle de petits changements dans l’argument entraînent de petits changements dans la valeur de la fonction.

Points de rupture amovibles

Si la limite de la fonction existe, mais la fonction n'est pas définie à ce stade, ou la limite ne coïncide pas avec la valeur de la fonction à ce stade :

,

alors le point s'appelle point de rupture amovible fonctions (en analyse complexe, un point singulier amovible).

Si l’on « corrige » la fonction au point de discontinuité amovible et mettons , alors nous obtenons une fonction continue en un point donné. Une telle opération sur une fonction s’appelle étendre la fonction au continu ou redéfinition de la fonction par continuité, ce qui justifie le nom du point comme point amovible rupture.

Points de discontinuité du premier et du deuxième type

Si une fonction a une discontinuité en un point donné (c'est-à-dire que la limite de la fonction en un point donné est absente ou ne coïncide pas avec la valeur de la fonction en un point donné), alors pour les fonctions numériques, il existe deux options possibles associé à l'existence de fonctions numériques limites unilatérales:

si les deux limites unilatérales existent et sont finies, alors un tel point est appelé point de discontinuité de première espèce.

Les points de discontinuité amovibles sont des points de discontinuité de première espèce ;

si au moins une des limites unilatérales n'existe pas ou n'est pas une valeur finie, alors un tel point est appelé point de discontinuité du deuxième type. Asymptote - droit , qui a la propriété que la distance d'un point de la courbe à ce tend vers zéro à mesure que le point s'éloigne le long de la branche vers l'infini.

Verticale

Asymptote verticale - ligne limite .

En règle générale, lors de la détermination de l'asymptote verticale, ils recherchent non pas une limite, mais deux limites unilatérales (gauche et droite). Ceci est fait afin de déterminer comment la fonction se comporte lorsqu'elle s'approche de l'asymptote verticale depuis différentes directions. Par exemple:

Horizontal

Asymptote horizontale - Asymptote - espèce, sous réserve de l'existence limite

.

Incliné

Asymptote oblique - Asymptote - espèce, sous réserve de l'existence limites

Remarque : une fonction ne peut pas avoir plus de deux asymptotes obliques (horizontales).

Remarque : si au moins une des deux limites mentionnées ci-dessus n'existe pas (ou est égale à ), alors l'asymptote oblique en (ou ) n'existe pas.

si au point 2.), alors , et la limite est trouvée à l'aide de la formule de l'asymptote horizontale, .

6) Trouver des intervalles de monotonie. Trouver les intervalles de monotonie d'une fonction f(x)(c'est-à-dire des intervalles d'augmentation et de diminution). Cela se fait en examinant le signe de la dérivée f(x). Pour ce faire, trouvez la dérivée f(x) et résoudre l'inégalité f(x)0. Sur les intervalles où cette inégalité est vraie, la fonction f(x)augmente. Là où l’inégalité inverse se maintient f(x)0, fonction f(x) diminue.

Trouver un extremum local. Après avoir trouvé les intervalles de monotonie, nous pouvons immédiatement déterminer les points extrêmes locaux où une augmentation est remplacée par une diminution, se situent les maxima locaux, et là où une diminution est remplacée par une augmentation, se situent les minima locaux. Calculez la valeur de la fonction à ces points. Si une fonction présente des points critiques qui ne sont pas des points extrêmes locaux, il est alors utile de calculer également la valeur de la fonction à ces points.

Trouver les plus grandes et les plus petites valeurs de la fonction y = f(x) sur un segment (suite)

1. Trouvez la dérivée de la fonction : f(x). 2. Trouvez les points auxquels la dérivée est nulle : f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Déterminer l'affiliation des points X 1 ,X 2 , … segment [ un; b]: laisser x 1un;b, UN x 2un;b .

La dépendance d'une variable y sur une variable x, dans laquelle chaque valeur de x correspond à une seule valeur de y, est appelée une fonction. Pour la désignation, utilisez la notation y=f(x). Chaque fonction possède un certain nombre de propriétés de base, telles que la monotonie, la parité, la périodicité et autres.

Examinez de plus près la propriété de parité.

Une fonction y=f(x) est appelée même si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

2. La valeur de la fonction au point x, appartenant au domaine de définition de la fonction, doit être égale à la valeur de la fonction au point -x. Autrement dit, pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = f(-x).

Calendrier même fonction

Si vous tracez un graphique d’une fonction paire, il sera symétrique par rapport à l’axe Oy.

Par exemple, la fonction y=x^2 est paire. Vérifions ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=3 arbitraire. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Donc f(x) = f(-x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est paire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^2.

La figure montre que le graphique est symétrique par rapport à l’axe Oy.

Graphique d'une fonction impaire

Une fonction y=f(x) est dite impaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :

1. Le domaine de définition d'une fonction donnée doit être symétrique par rapport au point O. Autrement dit, si un point a appartient au domaine de définition de la fonction, alors le point correspondant -a doit également appartenir au domaine de définition de la fonction donnée.

2. Pour tout point x, l'égalité suivante doit être satisfaite à partir du domaine de définition de la fonction : f(x) = -f(x).

Le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport au point O - l'origine des coordonnées. Par exemple, la fonction y=x^3 est impaire. Vérifions ça. Le domaine de définition est l’ensemble de l’axe numérique, ce qui signifie qu’il est symétrique par rapport au point O.

Prenons un x=2 arbitraire. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Donc f(x) = -f(x). Ainsi, les deux conditions sont remplies, ce qui signifie que la fonction est impaire. Vous trouverez ci-dessous un graphique de la fonction y=x^3.

La figure montre clairement que la fonction impaire y=x^3 est symétrique par rapport à l'origine.

Les graphiques de fonctions paires et impaires ont les caractéristiques suivantes :

Si une fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'ordonnée. Si une fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple. Construisez un graphique de la fonction \(y=\left|x \right|\).

Solution. Considérons la fonction : \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) et remplacez l'opposé \(-x \) au lieu de \(x \). À la suite de transformations simples, nous obtenons : $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Dans d'autres En d’autres termes, si vous remplacez l’argument par le signe opposé, la fonction ne changera pas.

Cela signifie que cette fonction est paire et que son graphique sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical). Le graphique de cette fonction est présenté dans la figure de gauche. Cela signifie que lors de la construction d'un graphique, vous ne pouvez en dessiner que la moitié et la deuxième partie (à gauche de l'axe vertical, dessinez symétriquement par rapport à la partie droite). En déterminant la symétrie d'une fonction avant de commencer à tracer son graphique, vous pouvez grandement simplifier le processus de construction ou d'étude de la fonction. S'il est difficile de s'enregistrer vue générale, vous pouvez faire plus simple : remplacer dans l'équation mêmes valeurs signes différents. Par exemple -5 et 5. Si les valeurs de la fonction s'avèrent être les mêmes, alors on peut espérer que la fonction sera paire. D'un point de vue mathématique, cette approche n'est pas tout à fait correcte, mais d'un point de vue pratique elle est pratique. Pour augmenter la fiabilité du résultat, vous pouvez substituer plusieurs paires de valeurs opposées.

Exemple. Construisez un graphique de la fonction \(y=x\left|x \right|\).

Solution. Vérifions la même chose que dans l'exemple précédent : $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Cela signifie que la fonction d'origine est impaire (le signe de la fonction a changé pour l'opposé).

Conclusion : la fonction est symétrique par rapport à l'origine. Vous ne pouvez construire qu'une moitié et dessiner la seconde symétriquement. Ce type de symétrie est plus difficile à dessiner. Cela signifie que vous regardez le graphique de l’autre côté de la feuille, et même à l’envers. Ou vous pouvez faire ceci : prenez la pièce dessinée et faites-la pivoter autour de l'origine de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Exemple. Construisez un graphique de la fonction \(y=x^3+x^2\).

Solution. Effectuons la même vérification du changement de signe que dans les deux exemples précédents. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ En conséquence, nous obtenons que : $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Et ceci signifie que la fonction n'est ni paire ni impaire.

Conclusion : la fonction n'est symétrique ni par rapport à l'origine ni par rapport au centre du repère. Cela est dû au fait que c'est la somme de deux fonctions : paire et impaire. La même situation se produira si vous soustrayez deux fonctions différentes. Mais la multiplication ou la division conduira à un résultat différent. Par exemple, le produit de pair et fonctions impairesça donne bizarre. Ou bien le quotient de deux nombres impairs conduit à une fonction paire.