Alors trouvez la racine. Extraire la racine carrée des nombres

Chapitre premier.

Extraire le plus grand entier d'un entier donné racine carrée.

170. Remarques préliminaires.

UN) Puisque nous ne parlerons que de l'extraction de la racine carrée, par souci de brièveté dans ce chapitre, au lieu de racine "carrée", nous dirons simplement "racine".

b) Si nous mettons au carré les nombres de la série naturelle : 1,2,3,4,5. . . , on obtient alors le tableau de carrés suivant : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Évidemment, il y a beaucoup d'entiers qui ne sont pas dans ce tableau ; à partir de tels nombres, bien sûr, il est impossible d'extraire racine entière. Par conséquent, si vous souhaitez prendre la racine d'un entier, par exemple. il faut trouver √4082, alors nous conviendrons de comprendre cette exigence comme suit : extraire la racine entière de 4082, si possible ; sinon, il faut alors trouver le plus grand entier dont le carré est 4082 (un tel nombre est 63, puisque 63 2 \u003d 3969, et 64 2 \u003d 4090).

V) Si ce nombre est inférieur à 100, alors la racine de celui-ci se trouve dans la table de multiplication ; donc √60 serait 7, puisque sem 7 est égal à 49, ce qui est inférieur à 60, et 8 est égal à 64, ce qui est supérieur à 60.

171. Extraction de la racine d'un nombre inférieur à 10 000 mais supérieur à 100. Soit nécessaire de trouver √4082 . Puisque ce nombre est inférieur à 10 000, alors sa racine est inférieure à √l0 000 = 100. Par contre, ce nombre est supérieur à 100 ; donc sa racine est supérieure (ou égale à 10) . (Si, par exemple, il fallait trouver √ 120 , alors bien que le nombre 120 > 100, cependant √ 120 est égal à 10 car 11 2 = 121.) Mais tout nombre supérieur à 10 mais inférieur à 100 a 2 chiffres ; donc la racine désirée est la somme :

dizaines + unités,

et donc son carré doit être égal à la somme :

Cette somme doit être le plus grand carré contenu dans 4082.

Prenons le plus grand d'entre eux, 36, et disons que le carré des dizaines de la racine sera exactement ceci plus grand carré. Alors le nombre de dizaines dans la racine doit être 6. Vérifions maintenant que cela doit toujours être le cas, c'est-à-dire que le nombre de dizaines de la racine est toujours égal à la plus grande racine entière des centaines du nombre racine.

En effet, dans notre exemple, le nombre de dizaines de la racine ne peut être supérieur à 6, puisque (7 déc.) 2 \u003d 49 centaines, ce qui dépasse 4082. Mais il ne peut être inférieur à 6, puisque 5 déc. (avec unités) est inférieur à 6 dess, et pendant ce temps (6 décs.) 2 = 36 centaines, ce qui est inférieur à 4082. Et puisque nous recherchons la plus grande racine entière, nous ne devrions pas prendre 5 dess pour la racine, quand 6 dizaines ce n'est pas beaucoup.

Ainsi, nous avons trouvé le nombre de dizaines de la racine, à savoir 6. Nous écrivons ce nombre à droite du signe =, en nous rappelant qu'il s'agit des dizaines de la racine. En l'élevant au carré, nous obtenons 36 centaines. Nous soustrayons ces 36 centaines des 40 centaines du nombre racine et démolissons les deux autres chiffres numéro donné. Le reste 482 doit contenir 2 (6 déc.) (unités) + (unités) 2. Le produit de (6 déc.) (unité) devrait être des dizaines ; il faut donc chercher le double produit des dizaines par les unités dans les dizaines du reste, c'est-à-dire dans 48 (on obtiendra leur nombre en séparant un chiffre de droite dans le reste 48"2. qui ne sont pas encore connus) , alors nous devrions obtenir le nombre contenu dans 48. Par conséquent, nous diviserons 48 par 12.

Pour ce faire, nous traçons une ligne verticale à gauche du reste et derrière elle (en partant de la ligne une place à gauche pour la cible qui va maintenant être trouvée) nous écrivons le premier chiffre doublé de la racine, soit 12, et divisez-le par 48. Dans le quotient, nous obtenons 4.

Cependant, on ne peut pas garantir à l'avance que le nombre 4 puisse être pris comme unité de la racine, puisque nous avons maintenant divisé par 12 le nombre entier de dizaines du reste, alors que certains d'entre eux peuvent ne pas appartenir au double produit des dizaines par unités, mais font partie du carré des unités. Par conséquent, le nombre 4 peut être grand. Vous devez la tester. Il convient évidemment que la somme de 2 (6 déc.) 4 + 4 2 ne dépasse pas le reste de 482.

En conséquence, nous obtenons immédiatement la somme des deux. Le produit résultant s'est avéré être 496, ce qui est plus que le reste de 482 ; Donc 4 c'est grand. Ensuite, nous testerons le prochain plus petit nombre 3 de la même manière.

Exemples.

Dans le 4ème exemple, en divisant 47 dizaines du reste par 4, nous obtenons le quotient 11. Mais puisque le chiffre des unités de la racine ne peut pas être un nombre à deux chiffres 11 ou 10, nous devons directement tester le nombre 9.

Dans le 5ème exemple, après avoir soustrait 8 de la première face du carré, le reste est 0 et la face suivante est également constituée de zéros. Cela montre que la racine souhaitée est constituée de seulement 8 dizaines, et donc zéro doit être mis à la place des unités.

172. Extraction de la racine d'un nombre supérieur à 10000. Soit demandé de trouver √35782 . Étant donné que le nombre radical est supérieur à 10 000, sa racine est supérieure à √10 000 = 100 et, par conséquent, il se compose de 3 chiffres ou plus. Peu importe le nombre de chiffres qu'il contient, nous pouvons toujours le considérer comme la somme de seulement des dizaines et des unités. Si, par exemple, la racine s'est avérée être 482, alors nous pouvons la considérer comme la somme de 48 dess. + 2 unités Alors le carré de la racine sera composé de 3 termes :

(déc.) 2 + 2 (déc.) (un.) + (un.) 2 .

Maintenant, nous pouvons raisonner exactement de la même manière que pour trouver √4082 (dans le paragraphe précédent). La seule différence sera que pour trouver les dizaines de la racine de 4082, nous avons dû extraire la racine de 40, et cela pourrait être fait en utilisant la table de multiplication ; maintenant, pour obtenir des dizaines√35782, il va falloir prendre la racine de 357, ce qui ne peut pas être fait avec la table de multiplication. Mais on peut trouver √357 par l'astuce décrite dans le paragraphe précédent, puisque le nombre 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Ensuite, nous procédons comme nous l'avons fait lors de la recherche de √4082, à savoir : à gauche du reste de 3382, nous traçons une ligne verticale et après elle nous écrivons (en partant de la ligne d'une place) le double du nombre de racines des dizaines trouvées, c'est-à-dire 36 (deux fois 18). Dans le reste, on sépare un chiffre à droite et on divise le nombre de dizaines du reste, soit 338, par 36. Au quotient on obtient 9. On teste ce nombre, pour lequel on l'attribue à 36 à droite et multipliez-le par lui. Le produit s'est avéré être 3321, ce qui est inférieur au reste. Donc le chiffre 9 est bon, on l'écrit à la racine.

En général, pour prendre la racine carrée d'un nombre entier quelconque, il faut d'abord prendre la racine de ses centaines ; si ce nombre est supérieur à 100, alors vous devrez chercher la racine à partir du nombre de centaines de ces centaines, c'est-à-dire à partir des dizaines de milliers d'un nombre donné ; si ce nombre est supérieur à 100, vous devrez prendre la racine du nombre des centaines de dizaines de milliers, c'est-à-dire des millions d'un nombre donné, etc.

Exemples.

Dans le dernier exemple, en trouvant le premier chiffre et en soustrayant son carré, nous obtenons le reste 0. Nous démolissons les 2 chiffres suivants 51. En séparant les dizaines, nous obtenons 5 déc, tandis que le chiffre racine trouvé deux fois est 6. Donc, en divisant 5 par 6 nous obtenons 0 Nous mettons 0 à la racine en deuxième position et démolissons les 2 chiffres suivants jusqu'au reste ; nous obtenons 5110. Ensuite, nous continuons comme d'habitude.

Dans cet exemple, la racine souhaitée se compose de seulement 9 centaines, et donc des zéros doivent être mis à la place des dizaines et des unités.

Règle. Pour extraire la racine carrée d'un entier donné, divisez-le, de main droiteà gauche, sur le bord, 2 chiffres chacun, sauf le dernier qui peut contenir un chiffre.
Pour trouver le premier chiffre de la racine, prenez la racine carrée de la première face.
Pour trouver le deuxième chiffre, le carré du premier chiffre de la racine est soustrait de la première face, la deuxième face est démolie au reste et le nombre de dizaines du nombre résultant est divisé par deux fois le premier chiffre de la racine ; l'entier résultant est testé.
Ce test est effectué comme suit : derrière la ligne verticale (à gauche du reste), ils écrivent deux fois le numéro précédemment trouvé de la racine et à celui-ci, avec côté droit, attribuez le chiffre de test, le nombre résultant, après cette addition, le nombre est multiplié par le chiffre de test. Si, après multiplication, on obtient un nombre supérieur au reste, alors le chiffre de test n'est pas bon et le nombre inférieur suivant doit être testé.
Les nombres suivants de la racine sont trouvés par la même méthode.
Si, après avoir démoli la face, le nombre de dizaines du nombre résultant s'avère inférieur au diviseur, c'est-à-dire moins de deux fois la partie trouvée de la racine, alors 0 est mis dans la racine, la face suivante est démolie et l'action continue plus loin.

173. Le nombre de chiffres de la racine. De l'examen du processus de recherche de la racine, il s'ensuit qu'il y a autant de chiffres dans la racine qu'il y a de faces de 2 chiffres chacune dans le nombre racine (il peut y avoir un chiffre dans le côté gauche).

Chapitre deux.

Extraction de racines carrées approximatives à partir de nombres entiers et fractionnaires .

Extraire la racine carrée des polynômes, voir les compléments à la 2ème partie des § 399 et suivants.

174. Signes d'une racine carrée exacte. La racine carrée exacte d'un nombre donné est un nombre dont le carré est exactement égal au nombre donné. Indiquons quelques signes par lesquels on peut juger si la racine exacte est extraite d'un nombre donné ou non :

UN) Si la racine entière exacte n'est pas extraite d'un entier donné (elle est obtenue lors de l'extraction du reste), alors une racine exacte fractionnaire ne peut pas être trouvée à partir d'un tel nombre, car toute fraction qui n'est pas égale à un entier, lorsqu'elle est multipliée par elle-même , donne également une fraction dans le produit, pas un entier.

b) Puisque la racine d'une fraction est égale à la racine du numérateur divisée par la racine du dénominateur, la racine exacte d'une fraction irréductible ne peut être trouvée si elle ne peut être extraite du numérateur ou du dénominateur. Par exemple, la racine exacte ne peut pas être extraite des fractions 4/5, 8/9 et 11/15, car dans la première fraction, elle ne peut pas être extraite du dénominateur, dans la seconde - du numérateur et dans la troisième - ni de du numérateur ni du dénominateur.

De tels nombres, dont il est impossible d'extraire la racine exacte, seules des racines approximatives peuvent être extraites.

175. Racine approximative jusqu'à 1. Une racine carrée approximative jusqu'à 1 d'un nombre donné (entier ou fraction - peu importe) est un entier qui satisfait aux deux exigences suivantes :

1) le carré de ce nombre n'est pas supérieur au nombre donné ; 2) mais le carré de ce nombre augmenté de 1 est supérieur au nombre donné. En d'autres termes, la racine carrée approximative jusqu'à 1 est la plus grande racine carrée entière d'un nombre donné, c'est-à-dire la racine que nous avons appris à trouver dans le chapitre précédent. Cette racine est appelée approchée jusqu'à 1, car pour obtenir une racine exacte, il faudrait ajouter une fraction inférieure à 1 à cette racine approchée, donc si on prend cette racine approchée au lieu d'une racine exacte inconnue, on fera une erreur inférieure à 1.

Règle. Pour extraire une racine carrée approximative avec une précision de 1, vous devez extraire la plus grande racine entière de la partie entière d'un nombre donné.

Le nombre trouvé selon cette règle est une racine approximative avec un inconvénient, car il manque une fraction (moins de 1) à la racine exacte. Si nous augmentons cette racine de 1, nous obtenons un autre nombre dans lequel il y a un certain excès par rapport à la racine exacte, et cet excès est inférieur à 1. Cette racine augmentée de 1 peut également être appelée racine approchée jusqu'à 1, mais avec un excès. (Les noms : "avec un manque" ou "avec un excès" dans certains livres de mathématiques sont remplacés par d'autres équivalents : "par déficience" ou "par excès".)

176. Racine approximative avec une précision de 1/10. Soit demandé de trouver √2.35104 à 1/10 près. Cela signifie qu'il est nécessaire de trouver une telle fraction décimale, qui serait composée d'unités entières et de dixièmes, et qui satisferait aux deux exigences suivantes :

1) le carré de cette fraction ne dépasse pas 2,35104, mais 2) si on l'augmente de 1/10, alors le carré de cette fraction augmentée dépasse 2,35104.

Pour trouver une telle fraction, nous trouvons d'abord une racine approchée jusqu'à 1, c'est-à-dire que nous extrayons la racine uniquement de l'entier 2. Nous obtenons 1 (et le reste est 1). Nous écrivons le numéro 1 à la racine et mettons une virgule après. Maintenant, nous allons chercher le nombre de dixièmes. Pour ce faire, on descend les chiffres 35 jusqu'au reste de 1, à droite de la virgule, et on continue l'extraction comme si on extrayait la racine de l'entier 235. On écrit le nombre résultant 5 à la racine en place des dixièmes. Nous n'avons pas besoin des chiffres restants du nombre racine (104). Que le nombre résultant 1,5 sera en effet une racine approximative avec une précision de 1/10 est évident à partir de ce qui suit. Si nous devions trouver la plus grande racine entière de 235 avec une précision de 1, nous obtiendrions 15. Donc :

15 2 < 235, mais 16 2 >235.

En divisant tous ces nombres par 100, on obtient :

Cela signifie que le nombre 1,5 est cette fraction décimale, que nous avons appelée la racine approximative avec une précision de 1/10.

On trouve également par cette méthode les racines approchées suivantes avec une précision de 0,1 :

177. Racine carrée approximative avec une précision de 1/100 à 1/1000, etc.

Supposons qu'il soit nécessaire de trouver un √248 approximatif avec une précision de 1/100. Cela signifie : trouver une telle fraction décimale, qui serait constituée d'entiers, de dixièmes et de centièmes et qui satisferait à deux exigences :

1) son carré ne dépasse pas 248, mais 2) si on augmente cette fraction de 1/100, alors le carré de cette fraction augmentée dépasse 248.

Nous trouverons une telle fraction dans l'ordre suivant : d'abord nous trouverons un nombre entier, puis le chiffre des dixièmes, puis le chiffre des centièmes. La racine carrée d'un nombre entier sera de 15 nombres entiers. Pour obtenir le nombre de dixièmes, comme nous l'avons vu, il faut descendre au reste 23 2 chiffres de plus à droite de la virgule. Dans notre exemple, ces nombres n'existent pas du tout, nous mettons des zéros à leur place. En les affectant au reste et en continuant l'action comme si on cherchait la racine de l'entier 24 800, on trouvera le chiffre des dixièmes 7. Il reste à trouver le chiffre des centièmes. Pour ce faire, nous ajoutons 2 zéros supplémentaires au reste 151 et continuons l'extraction, comme si nous cherchions la racine de l'entier 2 480 000. Nous obtenons 15,74. Que ce nombre soit en effet la racine approximative de 248 à 1/100 près est évident d'après ce qui suit. Si nous devions trouver la plus grande racine carrée entière de l'entier 2 480 000, nous obtiendrions 1 574 ; Moyens:

1574 2 < 2 480 000 mais 1 575 2 > 2 480 000.

En divisant tous les nombres par 10 000 (= 100 2), on obtient :

Donc 15,74 est cette fraction décimale que nous avons appelée la racine approximative avec une précision de 1/100 de 248.

En appliquant cette technique pour trouver une racine approximative avec une précision de 1/1000 à 1/10000, etc., nous trouvons ce qui suit.

Règle. Pour en extraire nombre entier ou de celui-ci fraction décimale racine approximative avec une précision de 1/10 à 1/100 à 1/100, etc., trouvez d'abord une racine approximative avec une précision de 1, en extrayant la racine d'un entier (s'il n'y en a pas, écrivez sur la racine de 0 entiers).

Trouvez ensuite le nombre de dixièmes. Pour ce faire, le reste est démoli, 2 chiffres du nombre radical à droite de la virgule (s'ils ne le sont pas, deux zéros sont attribués au reste), et l'extraction est poursuivie de la même manière que lors de l'extraction la racine d'un entier. Le chiffre résultant est écrit à la racine à la place des dixièmes.

Trouvez ensuite le nombre de centièmes. Pour ce faire, deux numéros sont à nouveau démolis au reste, à droite de ceux qui viennent d'être démolis, etc.

Ainsi, lors de l'extraction de la racine d'un entier avec une fraction décimale, il est nécessaire de diviser par 2 chiffres chacun, à partir de la virgule, à la fois à gauche (dans la partie entière du nombre) et à droite (dans la partie fractionnaire partie).

Exemples.

1) Trouver jusqu'à 1/100 racines : a) √2 ; b) √0,3 ;

Dans le dernier exemple, nous avons converti 3/7 en nombre décimal en calculant 8 décimales pour former les 4 faces nécessaires pour trouver les 4 décimales de la racine.

178. Description du tableau des racines carrées. A la fin de ce livre se trouve un tableau de racines carrées calculées avec quatre chiffres. À l'aide de ce tableau, vous pouvez trouver rapidement la racine carrée d'un nombre entier (ou d'une fraction décimale), exprimée en quatre chiffres au maximum. Avant d'expliquer comment cette table est organisée, notons que l'on peut toujours trouver le premier chiffre significatif de la racine recherchée sans l'aide de tables par un coup d'œil sur le numéro de la racine ; nous pouvons également déterminer facilement quelle décimale signifie le premier chiffre de la racine et, par conséquent, où dans la racine, lorsque nous trouvons ses chiffres, nous devons mettre une virgule. Voici quelques exemples:

1) √5"27,3 . Le premier chiffre sera 2, puisque le côté gauche du nombre racine est 5 ; et la racine de 5 est 2. De plus, comme il n'y a que 2 dans la partie entière du nombre radical de toutes les faces, alors la partie entière de la racine souhaitée doit avoir 2 chiffres et, par conséquent, son premier chiffre 2 doit signifier dizaines.

2) √9.041. Évidemment, dans cette racine, le premier chiffre sera de 3 unités simples.

3) √0.00"83"4 . Le premier chiffre significatif est 9, puisque la face dont il faudrait extraire la racine pour obtenir le premier chiffre significatif est 83, et la racine de 83 est 9. Puisqu'il n'y aura ni entiers ni dixièmes dans le nombre recherché, la le premier chiffre 9 doit signifier des centièmes.

4) √0,73 "85. Le premier chiffre significatif est 8 dixièmes.

5) √0.00 "00" 35 "7. Le premier chiffre significatif sera 5 millièmes.

Faisons encore une remarque. Supposons qu'il soit nécessaire d'extraire la racine d'un tel nombre, qui, après avoir rejeté celui qui y est occupé, est représentée par une série de tels nombres : 5681. Cette racine peut être l'une des suivantes :

Si nous reprenons les racines que nous avons soulignées d'un seul trait, alors elles seront toutes exprimées par la même série de nombres, exactement les nombres que l'on obtient en extrayant la racine de 5681 (ce seront les nombres 7, 5, 3, 7 ). La raison en est que les faces dans lesquelles le nombre radical doit être divisé lors de la recherche des chiffres de la racine seront les mêmes dans tous ces exemples, donc les chiffres de chaque racine seront les mêmes (seule la position de la virgule sera bien sûr différente). De même, dans toutes les racines, soulignées par nous de deux lignes, on devrait obtenir les mêmes nombres, exactement ceux qui expriment √568,1 (ces nombres seront 2, 3, 8, 3), et pour la même raison. Ainsi, les chiffres des racines des nombres représentés (en supprimant la virgule) par la même suite de chiffres 5681 seront de nature double (et seulement double) : soit il s'agit d'une suite de 7, 5, 3, 7, ou une série de 2, 3, 8, 3. La même chose, évidemment, peut être dite à propos de toute autre série de nombres. Ainsi, comme nous allons le voir maintenant, dans le tableau, chaque rangée de chiffres du nombre radical correspond à 2 rangées de chiffres pour les racines.

Nous pouvons maintenant expliquer la structure de la table et comment l'utiliser. Pour la clarté de l'explication, nous avons représenté ici le début de la première page du tableau.

Ce tableau s'étend sur plusieurs pages. Sur chacun d'eux, dans la première colonne à gauche, les chiffres 10, 11, 12 ... (jusqu'à 99) sont placés. Ces nombres expriment les 2 premiers chiffres du nombre à partir duquel la racine carrée est recherchée. Dans la ligne horizontale supérieure (ainsi qu'en bas) se trouvent les chiffres : 0, 1, 2, 3 ... 9, qui sont le 3e chiffre de ce nombre, puis plus à droite se trouvent les chiffres 1, 2 , 3. . . 9, représentant le 4e chiffre de ce nombre. Dans toutes les autres lignes horizontales, 2 nombres à quatre chiffres sont placés, exprimant les racines carrées des nombres correspondants.

Qu'il soit nécessaire de trouver la racine carrée d'un nombre, entier ou exprimé sous forme de fraction décimale. Tout d'abord, on retrouve sans l'aide de tableaux le premier chiffre de la racine et sa catégorie. Ensuite, nous supprimons la virgule dans le nombre donné, le cas échéant. Supposons d'abord qu'après avoir supprimé la virgule, il ne reste que 3 chiffres, par exemple. 114. Nous trouvons dans les tableaux de la colonne la plus à gauche les 2 premiers chiffres, c'est-à-dire 11, et nous nous déplaçons vers la droite le long de la ligne horizontale jusqu'à atteindre la colonne verticale, en haut (et en bas) de laquelle se trouve le 3ème chiffre du nombre , c'est-à-dire 4. A cet endroit, nous trouvons deux nombres à quatre chiffres: 1068 et 3376. Lequel de ces deux nombres doit être pris et où y mettre une virgule, cela est déterminé par le premier chiffre de la racine et sa décharge, que nous avons trouvé plus tôt. Donc, si vous avez besoin de trouver √0,11 "4, alors le premier chiffre de la racine est de 3 dixièmes, et donc nous devons prendre 0,3376 pour la racine. S'il fallait trouver √1,14, alors le premier chiffre de la racine serait soit 1, et nous prendrions alors 1,068.

Ainsi on trouve facilement :

√5,30 = 2,302 ; √7"18 = 26,80 ; √0,91"6 = 0,9571, etc.

Supposons maintenant qu'il soit nécessaire de trouver la racine d'un nombre exprimé (en supprimant la virgule) par 4 chiffres, par exemple √7 "45,6. Constatant que le premier chiffre de la racine est 2 dizaines, on trouve pour le nombre 745, comme cela vient d'être expliqué, les nombres 2729 (on ne remarque ce nombre qu'avec un doigt, mais on ne l'écrit pas.) Puis on s'éloigne de ce nombre vers la droite jusqu'au côté droit du tableau (derrière la dernière ligne en gras) nous rencontrons la colonne verticale qui est marquée au-dessus (et au-dessous) du 4 ème chiffre de ce nombre, c'est-à-dire le chiffre 6, et nous y trouvons le chiffre 1. Ce sera la correction qu'il faudra appliquer (dans le esprit) au nombre trouvé précédemment 2729, on obtient 2730. On écrit ce nombre et on y met une virgule au bon endroit : 27.30.

On retrouve ainsi par exemple :

√44,37 = 6,661 ; √4,437 = 2,107 ; √0,04"437 \u003d 0,2107, etc.

Si le nombre radical est exprimé en seulement un ou deux chiffres, alors nous pouvons supposer qu'après ces chiffres, il y a un ou deux zéros, puis procéder comme expliqué pour le nombre à trois chiffres. Par exemple √2,7 = √2,70 =1,643 ; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606, etc.

Enfin, si le nombre radical est exprimé par plus de 4 chiffres, alors nous ne prendrons que les 4 premiers d'entre eux, et écarterons le reste, et pour réduire l'erreur, si le premier des chiffres écartés est 5 ou supérieur à 5, puis on augmentera le quart des chiffres retenus de l . Donc:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025 ; et ainsi de suite.

Commentaire. Les tableaux indiquent la racine carrée approximative, parfois avec un déficit, parfois avec un excès, à savoir une de ces racines approximatives qui se rapproche de la racine exacte.

179. Extraction des racines carrées des fractions ordinaires. La racine carrée exacte d'une fraction irréductible ne peut être extraite que lorsque les deux termes de la fraction sont des carrés exacts. Dans ce cas, il suffit d'extraire la racine du numérateur et du dénominateur séparément, par exemple :

La racine carrée approximative d'une fraction ordinaire avec une certaine précision décimale peut être trouvée plus facilement si nous inversons d'abord fraction commune en une décimale, en calculant dans cette fraction un tel nombre de décimales après la virgule, qui serait le double du nombre de décimales dans la racine souhaitée.

Cependant, vous pouvez faire autrement. Expliquons-le dans exemple suivant:

Trouver approximatif √ 5 / 24

Faisons du dénominateur un carré exact. Pour ce faire, il suffirait de multiplier les deux termes de la fraction par le dénominateur 24 ; mais dans cet exemple, vous pouvez faire autrement. Nous décomposons 24 en facteurs premiers: 24 \u003d 2 2 2 3. De cette décomposition, on peut voir que si 24 est multiplié par 2 et un autre par 3, alors dans le produit chaque facteur premier sera répété un nombre pair de fois, et, par conséquent, le dénominateur deviendra un carré :

Il reste à calculer √30 avec une certaine précision et à diviser le résultat par 12. Dans ce cas, il faut garder à l'esprit que la fraction indiquant le degré de précision diminuera également en divisant par 12. Donc, si nous trouvons √30 avec une précision de 1/10 et divisons le résultat par 12, alors nous obtenons la racine approximative de la fraction 5/24 avec une précision de 1/120 (à savoir 54/120 et 55/120)

Chapitre trois.

Graphique de fonctionx = √ y .

180. Fonction inverse. Soit une équation qui définit à en tant que fonction de X , par exemple ceci : y = x 2 . On peut dire qu'il détermine non seulement à en tant que fonction de X , mais aussi, à l'inverse, détermine X en tant que fonction de à , quoique de manière implicite. Pour rendre cette fonction explicite, nous devons décider équation donnée relativement X , prenant à derrière numéro connu; Ainsi, à partir de l'équation que nous avons prise, nous trouvons: y = x 2 .

Expression algébrique obtenue pour x après résolution de l'équation qui définit y en fonction de x est appelée la fonction inverse de celle qui définit y.

Donc la fonction x = √ y fonction inverse y = x 2 . Si, comme il est d'usage, la variable indépendante est notée X , et dépendant à , alors nous pouvons exprimer la fonction inverse obtenue maintenant comme suit : y = √x . Ainsi, pour obtenir une fonction inverse d'une donnée (directe), il faut dériver de l'équation qui définit cette fonction donnée X en fonction de la y et dans l'expression résultante, remplacer y sur X , UN X sur y .

181. Graphique d'une fonction y = √x . Cette fonction n'est pas possible avec valeur négative X , mais il peut être calculé (avec n'importe quelle précision) pour tout valeur positive X , et pour chacune de ces valeurs, la fonction reçoit deux valeurs différentes avec le même valeur absolue, nez signes opposés. Si familier √ on note uniquement la valeur arithmétique de la racine carrée, alors ces deux valeurs de la fonction peuvent s'exprimer comme suit : y= ± √x Pour tracer cette fonction, vous devez d'abord créer un tableau de ses valeurs. Le moyen le plus simple de compiler ce tableau est à partir d'un tableau de valeurs de fonctions directes :

y = x 2 .

X

y

si les valeurs à prendre comme valeurs X , et vice versa:

y= ± √x

En mettant toutes ces valeurs sur le dessin, on obtient le graphique suivant.

Dans le même dessin, nous avons représenté (ligne pointillée) et le graphique de la fonction directe y = x 2 . Comparons ces deux graphiques.

182. Relation entre les graphiques des fonctions directes et inverses. Pour compiler une table de valeurs de fonctions inverses y= ± √x nous avons pris pour X ces nombres qui sont dans la table des fonctions directes y = x 2 servi de valeurs pour à , et pour à pris ces chiffres ; qui dans ce tableau étaient les valeurs pour X . Il en résulte que les deux graphiques sont identiques, seul le graphique de la fonction directe est ainsi situé par rapport à l'axe à - s comment le graphique de la fonction inverse est situé par rapport à l'axe X - vo. Par conséquent, si nous plions le dessin autour d'une ligne droite OA bissectrice d'un angle droit xOy , de sorte que la partie du dessin contenant le demi-axe UO , est tombé sur la partie qui contient le demi-axe Oh , Ce UO compatible avec Oh , toutes divisions UO coïncider avec les divisions Oh , et les points de la parabole y = x 2 coïncider avec les points correspondants sur le graphique y= ± √x . Par exemple, des points M Et N , dont l'ordonnée 4 , et l'abscisse 2 Et - 2 , coïncident avec les points M" Et N" , dont l'abscisse 4 , et les ordonnées 2 Et - 2 . Si ces points coïncident, cela signifie que les lignes MM" Et NN" perpendiculaire à OA et divisez cette droite en deux. La même chose peut être dite pour tous les autres points pertinents sur les deux graphiques.

Ainsi, le graphique de la fonction inverse devrait être le même que le graphique de la fonction directe, mais ces graphiques sont situés différemment, à savoir symétriquement les uns aux autres par rapport à la bissectrice de l'angle oh . On peut dire que le graphe de la fonction inverse est le reflet (comme dans un miroir) du graphe de la fonction directe par rapport à la bissectrice de l'angle oh .

Fait 1.
\(\bullet\) Prenez quelques nombre non négatif\(a\) (c'est-à-dire \(a\geqslant 0\) ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre \(a\) un tel nombre non négatif \(b\) est appelé, en le mettant au carré nous obtenons le nombre \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] Il découle de la définition que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ces restrictions sont condition importante l'existence d'une racine carrée et il faut s'en souvenir !
Rappelez-vous que tout nombre au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, \(100^2=10000\geqslant 0\) et \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Qu'est-ce que \(\sqrt(25)\) ? Nous savons que \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\) . Puisque par définition on doit trouver un nombre non négatif, \(-5\) ne convient pas, donc \(\sqrt(25)=5\) (puisque \(25=5^2\) ).
Trouver la valeur \(\sqrt a\) s'appelle prendre la racine carrée du nombre \(a\) , et le nombre \(a\) s'appelle l'expression racine.
\(\bullet\) Basé sur la définition, les expressions \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. n'a pas de sens.

Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile d'apprendre le tableau des carrés nombres naturels de \(1\) à \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tableau)\]

Fait 3.
Que peut-on faire avec des racines carrées ?
\(\balle\) La somme ou la différence des racines carrées N'EST PAS ÉGALE à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous devez calculer, par exemple, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , alors vous devez d'abord trouver les valeurs \(\sqrt(25)\) et \(\sqrt (49)\ ) puis additionnez-les. Ainsi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de \(\sqrt a+\sqrt b\), alors une telle expression n'est pas davantage convertie et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) nous pouvons trouver \(\sqrt(49)\) - c'est \(7\) , mais \(\sqrt 2\) ne peut pas être converti de quelque manière que ce soit, c'est pourquoi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). De plus, cette expression, malheureusement, ne peut en aucun cas être simplifiée.\(\bullet\) Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, c'est-à-dire \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux parties des égalités aient un sens)
Exemple: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) En utilisant ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de gros chiffres en les factorisant.
Prenons un exemple. Trouvez \(\sqrt(44100)\) . Puisque \(44100:100=441\) , alors \(44100=100\cdot 441\) . Selon le critère de divisibilité, le nombre \(441\) est divisible par \(9\) (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc, \(441:9=49\) , c'est-à-dire \(441=9\ cdot 49\) .
Ainsi, nous avons obtenu : \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Prenons un autre exemple : \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Montrons comment saisir des nombres sous le signe de la racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression \(5\sqrt2\) (abréviation de l'expression \(5\cdot \sqrt2\) ). Puisque \(5=\sqrt(25)\) , alors \ Notez également que, par exemple,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Pourquoi donc? Expliquons avec l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas en quelque sorte convertir le nombre \(\sqrt2\) . Imaginez que \(\sqrt2\) est un certain nombre \(a\) . En conséquence, l'expression \(\sqrt2+3\sqrt2\) n'est rien d'autre que \(a+3a\) (un nombre \(a\) plus trois autres des mêmes nombres \(a\) ). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres \(a\) , c'est-à-dire \(4\sqrt2\) .

Fait 4.
\(\bullet\) On dit souvent "ne peut pas extraire la racine" lorsqu'il n'est pas possible de se débarrasser du signe \(\sqrt () \ \) de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un certain nombre. Par exemple, vous pouvez rooter le nombre \(16\) car \(16=4^2\) , donc \(\sqrt(16)=4\) . Mais extraire la racine du nombre \(3\) , c'est-à-dire trouver \(\sqrt3\) , c'est impossible, car il n'y a pas de nombre tel que le carré donne \(3\) .
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les nombres \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) et ainsi de suite. sont irrationnels.
Aussi irrationnels sont les nombres \(\pi\) (le nombre "pi", approximativement égal à \(3,14\) ), \(e\) (ce nombre est appelé le nombre d'Euler, approximativement égal à \(2 ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Veuillez noter que tout nombre sera rationnel ou irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble de nombres réels (réels). Cet ensemble est désigné par la lettre \(\mathbb(R)\) .
Cela signifie que tous les nombres qui sont ce moment nous savons qu'on les appelle des nombres réels.

Fait 5.
\(\bullet\) Le module d'un nombre réel \(a\) est un nombre non négatif \(|a|\) égal à la distance entre le point \(a\) et \(0\) sur le réel doubler. Par exemple, \(|3|\) et \(|-3|\) sont égaux à 3, puisque les distances des points \(3\) et \(-3\) à \(0\) sont les identique et égal à \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) est un nombre non négatif, alors \(|a|=a\) .
Exemple : \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) est un nombre négatif, alors \(|a|=-a\) .
Exemple : \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module "mange" le moins, et les nombres positifs, ainsi que le nombre \(0\) , le module reste inchangé.
MAIS cette règle ne s'applique qu'aux nombres. Si vous avez un \(x\) inconnu (ou un autre inconnu) sous le signe du module, par exemple, \(|x|\) , dont nous ne savons pas s'il est positif, égal à zéro ou négatif, alors se débarrasser du module, nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste donc : \(|x|\) . \(\bullet\) Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] L'erreur suivante est souvent commise : ils disent que \(\sqrt(a^2)\) et \((\sqrt a)^2\) sont la même chose. Ceci n'est vrai que lorsque \(a\) est un nombre positif ou zéro. Mais si \(a\) est un nombre négatif, alors ce n'est pas vrai. Il suffit de considérer un tel exemple. Prenons le nombre \(-1\) au lieu de \(a\). Alors \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mais l'expression \((\sqrt (-1))^2\) n'existe pas du tout (car c'est impossible sous le signe racine de mettre des nombres négatifs !).
Par conséquent, nous attirons votre attention sur le fait que \(\sqrt(a^2)\) n'est pas égal à \((\sqrt a)^2\) ! Exemple 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), parce que \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Puisque \(\sqrt(a^2)=|a|\) , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'expression \(2n\) désigne un nombre pair)
Autrement dit, lors de l'extraction de la racine d'un nombre qui est dans un certain degré, ce degré est divisé par deux.
Exemple:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notez que si le module n'est pas défini, alors il s'avère que la racine du nombre est égale à \(-25 \) ; mais rappelons-nous que, par définition de la racine, cela ne peut pas être : lors de l'extraction de la racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)

Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
\(\bullet\) Vrai pour les racines carrées : si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemple:
1) comparer \(\sqrt(50)\) et \(6\sqrt2\) . Tout d'abord, nous transformons la deuxième expression en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Ainsi, puisque \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Entre quels entiers est \(\sqrt(50)\) ?
Puisque \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) et \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparez \(\sqrt 2-1\) et \(0,5\) . Supposons \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un aux deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((carré des deux parties))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était erronée et \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Notez que l'ajout d'un certain nombre aux deux côtés de l'inégalité n'affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux parties de l'inégalité par un nombre positif n'affecte pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Les deux côtés d'une équation/inégalité peuvent être élevés au carré UNIQUEMENT SI les deux côtés sont non négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez élever au carré les deux côtés, dans l'inégalité \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Notez que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera à comparer les nombres ! \(\bullet\) Afin d'extraire la racine (si elle est extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans le tableau des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles "centaines" elle se trouve, puis entre quelles "dizaines", puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Prenez \(\sqrt(28224)\) . Nous savons que \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) et ainsi de suite. Notez que \(28224\) est compris entre \(10\,000\) et \(40\,000\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(100\) et \(200\) .
Déterminons maintenant entre quelles "dizaines" se situe notre nombre (c'est-à-dire, par exemple, entre \(120\) et \(130\) ). Nous savons également par la table des carrés que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., puis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Nous voyons donc que \(28224\) est compris entre \(160^2\) et \(170^2\) . Par conséquent, le nombre \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(160\) et \(170\) .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous ce que les nombres à un chiffre lors de la mise au carré donnent à la fin \ (4 \) ? Ce sont \(2^2\) et \(8^2\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvez \(162^2\) et \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
D'où \(\sqrt(28224)=168\) . Voila !

Afin de résoudre correctement l'examen en mathématiques, il est tout d'abord nécessaire d'étudier le matériel théorique, qui introduit de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l'examen d'État unifié en mathématiques est présentée facilement et de manière compréhensible pour les étudiants de tout niveau de formation est, en fait, une tâche plutôt difficile. Les manuels scolaires ne sont pas toujours à portée de main. Et trouver les formules de base pour l'examen de mathématiques peut être difficile même sur Internet.

Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie en mathématiques, pas seulement pour ceux qui passent l'examen ?

1. Parce que cela élargit vos horizons. L'étude du matériel théorique en mathématiques est utile pour quiconque souhaite obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde. Tout dans la nature est ordonné et a une logique claire. C'est précisément ce qui se reflète dans la science, à travers laquelle il est possible de comprendre le monde.
2. Parce que ça développe l'intellect. En étudiant des documents de référence pour l'examen de mathématiques, ainsi qu'en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser et à raisonner logiquement, à formuler ses pensées correctement et clairement. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser, de tirer des conclusions.

Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche de la systématisation et de la présentation du matériel pédagogique.

L'extraction d'une racine est l'opération inverse de l'exponentiation. Autrement dit, en extrayant la racine du nombre X, nous obtenons un nombre qui, au carré, donnera le même nombre X.

L'extraction de la racine est une opération assez simple. Une table de carrés peut faciliter le travail d'extraction. Parce qu'il est impossible de se souvenir de tous les carrés et racines par cœur, et les nombres peuvent être importants.

Extraire la racine d'un nombre

Extraire la racine carrée d'un nombre est facile. De plus, cela peut être fait non pas immédiatement, mais progressivement. Par exemple, prenons l'expression √256. Au début, il est difficile pour une personne qui ne le sait pas de donner une réponse tout de suite. Ensuite, nous prendrons les mesures. Tout d'abord, nous divisons par le nombre 4, à partir duquel nous retirons le carré sélectionné comme racine.

Nul : √(64 4), alors il sera équivalent à 2√64. Et comme vous le savez, selon la table de multiplication 64 = 8 8. La réponse sera 2*8=16.

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Extraction de racine complexe

La racine carrée ne peut pas être calculée à partir de nombres négatifs, car tout nombre au carré est un nombre positif !

Un nombre complexe est un nombre i dont le carré est égal à -1. Soit i2=-1.

En mathématiques, il existe un nombre qui s'obtient en prenant la racine du nombre -1.

Autrement dit, il est possible de calculer la racine d'un nombre négatif, mais cela s'applique déjà aux mathématiques supérieures, pas à l'école.

Considérons un exemple d'une telle extraction de racine : √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculatrice racine en ligne

A l'aide de notre calculateur, vous pouvez calculer l'extraction d'un nombre à partir de la racine carrée :

Conversion d'expressions contenant l'opération d'extraction de la racine

L'essence de la transformation des expressions radicales est de décomposer le nombre radical en nombres plus simples, à partir desquels la racine peut être extraite. Comme 4, 9, 25 et ainsi de suite.

Prenons un exemple, √625. On divise l'expression radicale par le nombre 5. On obtient √(125 5), on répète l'opération √(25 25), mais nous savons que 25 égale 52. La réponse est donc 5*5=25.

Mais il y a des nombres pour lesquels la racine ne peut pas être calculée par cette méthode et il vous suffit de connaître la réponse ou d'avoir un tableau des carrés à portée de main.

√289=√(17*17)=17

Résultat

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À partir du cours, vous apprendrez non seulement des dizaines d'astuces pour la multiplication simplifiée et rapide, l'addition, la multiplication, la division, le calcul de pourcentages, mais aussi les travaillerez dans des tâches spéciales et des jeux éducatifs ! Le comptage mental nécessite également beaucoup d'attention et de concentration, qui sont activement entraînés à résoudre des problèmes intéressants.

Considérons cet algorithme avec un exemple. Allons trouver

1ère étape. Nous divisons le nombre sous la racine en deux chiffres (de droite à gauche):

2ème étape. Nous extrayons la racine carrée de la première face, c'est-à-dire du nombre 65, nous obtenons le nombre 8. Sous la première face, nous écrivons le carré du nombre 8 et soustrayons. On attribue la seconde face (59) au reste :

(le nombre 159 est le premier reste).

3ème étape. On double la racine trouvée et on écrit le résultat à gauche :

4ème étape. On sépare dans le reste (159) un chiffre à droite, à gauche on obtient le nombre de dizaines (il est égal à 15). Ensuite, nous divisons 15 par le premier chiffre doublé de la racine, c'est-à-dire par 16, puisque 15 n'est pas divisible par 16, puis dans le quotient nous obtenons zéro, que nous écrivons comme le deuxième chiffre de la racine. Donc, dans le quotient, nous avons obtenu le nombre 80, que nous doublons à nouveau et démolissons le visage suivant

(le nombre 15901 est le deuxième reste).

5ème étape. Nous séparons un chiffre de la droite dans le deuxième reste et divisons le nombre résultant 1590 par 160. Le résultat (numéro 9) est écrit comme le troisième chiffre de la racine et attribué au nombre 160. Le nombre résultant 1609 est multiplié par 9 et on trouve le reste suivant (1420) :

D'autres actions sont effectuées dans l'ordre indiqué dans l'algorithme (la racine peut être extraite avec le degré de précision requis).

Commentaire. Si l'expression racine est une fraction décimale, sa partie entière est divisée en deux chiffres de droite à gauche, la partie fractionnaire est divisée en deux chiffres de gauche à droite et la racine est extraite selon l'algorithme spécifié.

MATÉRIEL DIDACTIQUE

1. Prendre la racine carrée du nombre : a) 32 ; b) 32,45 ; c) 249,5 ; d) 0,9511.