Положения равновесия линейных автономных систем. Равновесие тел
Класс: 10
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока: Изучить состояние равновесия тел, познакомиться с различными видами равновесия; выяснить условия, при которых тело находится в равновесии.
Задачи урока:
- Учебные: Изучить два условия равновесия, виды равновесия (устойчивое, неустойчивое, безразличное). Выяснить, при каких условиях тела более устойчивы.
- Развивающие: Способствовать развитию познавательного интереса к физике. Развитие навыков сравнивать, обобщать, выделять главное, делать выводы.
- Воспитательные: Воспитывать внимание, умения высказывать свою точку зрения и отстаивать её, развивать коммуникативные способности учащихся.
Тип урока: урок изучения нового материала с компьютерной поддержкой.
Оборудование:
- Диск «Работа и мощность» из «Электронных уроков и тестов.
- Таблица «Условия равновесия».
- Призма наклоняющаяся с отвесом.
- Геометрические тела: цилиндр, куб, конус и т.д.
- Компьютер, мултимедиапроектор, интерактивная доска или экран.
- Презентация.
Ход урока
Сегодня на уроке мы узнаем, почему подъёмный кран не падает, почему игрушка «Ванька-встанька» всегда возвращается в исходное состояние, почему Пизанская башня не падает?
I. Повторение и актуализация знаний.
- Сформулировать первый закон Ньютона. О каком состоянии говорится в законе?
- На какой вопрос отвечает второй закон Ньютона? Формула и формулировка.
- На какой вопрос отвечает третий закон Ньютона? Формула и формулировка.
- Что называется равнодействующей силой? Как она находится?
- Из диска «Движение и взаимодействие тел» выполнить задание № 9 «Равнодействующая сил с разными направлениями» (правило сложения векторов (2, 3 упражнения)).
II. Изучение нового материала.
1. Что называется равновесием?
Равновесие – это состояние покоя.
2. Условия равновесия. (слайд 2)
а) Когда тело находится в покое? Из какого закона это следует?
Первое условие равновесия: Тело находится в равновесии, если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу, равна нулю. ∑F = 0
б) Пусть на доску действуют две равные силы, как показано на рисунке.
Будет ли она находиться в равновесии? (Нет, она будет поворачиваться)
В покое находится только центральная точка, а остальные движутся. Значит, чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма всех сил, действующих на каждый элемент равнялась 0.
Второе условие равновесия: Сумма моментов сил, действующих по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, действующих против часовой стрелки.
∑ M по часовой = ∑ M против часовой
Момент силы: M = F L
L – плечо силы – кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы.
3. Центр тяжести тела и его нахождение. (слайд 4)
Центр тяжести тела – это точка, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела (при любом положении тела в пространстве).
Найти центр тяжести следующих фигур:
4. Виды равновесия.
а) (слайды 5–8)
Вывод: Равновесие устойчиво, если при малом отклонении от положения равновесия есть сила, стремящаяся вернуть его в это положение.
Устойчиво то положение, в котором его потенциальная энергия минимальна. (слайд 9)
б) Устойчивость тел, находящихся на точке опоры или на линии опоры. (слайды 10–17)
Вывод: Для устойчивости тела, находящегося на одной точке или линии опоры необходимо, чтобы центр тяжести находился ниже точки (линии) опоры.
в) Устойчивость тел, находящихся на плоской поверхности.
(слайд 18)
1) Поверхность опоры – это не всегда поверхность, которая соприкасается с телом (а та, которая ограниченна линиями, соединяющими ножки стола, треноги)
2) Разбор слайда из «Электронных уроков и тестов», диск «Работа и мощность», урок «Виды равновесия».
Рисунок 1.
- Чем различаются табуретки? (Площадью опоры)
- Какая из них более устойчивая? (С большей площадью)
- Чем различаются табуретки? (Расположением центра тяжести)
- Какая из них наиболее устойчива? (Укоторой центр тяжести ниже)
- Почему? (Т.к. её можно отклонить на больший угол без опрокидывания)
3) Опыт с призмой отклоняющейся
- Поставим на доску призму с отвесом и начнём её постепенно поднимать за один край. Что мы видим?
- Пока линия отвеса пересекает поверхность, ограниченную опорой, равновесие сохраняется. Но как только вертикаль, проходящая через центр тяжести, начнёт выходить за границы поверхности опоры, этажерка опрокидывается.
Разбор слайдов 19–22 .
Выводы:
- Устойчиво то тело, у которого площадь опоры больше.
- Из двух тел одинаковой площади устойчиво то тело, у которого центр тяжести расположен ниже, т.к. его можно отклонить без опрокидывания на большой угол.
Разбор слайдов 23–25.
Какие корабли наиболее устойчивы? Почему? (У которых груз расположен в трюмах, а не на палубе)
Какие автомобили наиболее устойчивы? Почему? (Чтобы увеличить устойчивость машин на поворотах, полотно дороги наклоняют в сторону поворота.)
Выводы: Равновесие может быть устойчивым, неустойчивым, безразличным. Устойчивость тел тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести.
III. Применение знаний об устойчивости тел.
- Каким специальностям наиболее необходимы знания о равновесии тел?
- Проектировщикам и конструкторам различных сооружений (высотных зданий, мостов, телевизионных башен и т.д.)
- Цирковым артистам.
- Водителям и другим специалистам.
(слайды 28–30)
- Почему «Ванька-встанька» возвращается в положение равновесия при любом наклоне игрушки?
- Почему Пизанская башня стоит под наклоном и не падает?
- Каким образом сохраняют равновесие велосипедисты и мотоциклисты?
Выводы из урока:
- Существует три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.
- Устойчиво положение тела, в котором его потенциальная энергия минимальна.
- Устойчивость тел на плоской поверхности тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести.
Домашнее задание : § 54– 56 (Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский)
Использованные источники и литература:
- Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н.Сотский. Физика. 10 класс.
- Диафильм «Устойчивость» 1976 г. (отсканирован мною на плёночном сканере).
- Диск «Движение и взаимодействие тел» из «Электронных уроков и тестов».
- Диск «Работа и мощность» из «Электронных уроков и тестов».
Основные типы точек равновесия
Пусть задана линейная однородная система второго порядка с постоянными коэффициентами: \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{dt}} = {a_{11}}x + {a_{12}}y\\ \frac{{dy}}{{dt}} = {a_{21}}x + {a_{22}}y \end{array} \right..\] Данная система уравнений является автономной , поскольку правые части уравнений не содержат в явном виде независимой переменной \(t.\)
В матричной форме система уравнений записывается как \[ {\mathbf{X"} = A\mathbf{X},\;\;\text{где}\;\;\mathbf{X} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right),}\;\; {A = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right).} \] Положения равновесия находятся из решения стационарного уравнения \ Это уравнение имеет единственное решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0},\) если матрица \(A\) является невырожденной , т.е. при условии \(\det A \ne 0.\) В случае вырожденной матрицы система имеет бесконечное множество точек равновесия.
Классификация положений равновесия определяется собственными значениями \({\lambda _1},{\lambda _2}\) матрицы \(A.\) Числа \({\lambda _1},{\lambda _2}\) находятся из решения характеристического уравнения \[{\lambda ^2} - \left({{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}} = 0.\] В общем случае, когда матрица \(A\) является невырожденной, существует \(4\) различных типа точек равновесия:
Устойчивость положений равновесия определяется общими теоремами об устойчивости . Так, если действительные собственные значения (или действительные части комплексных собственных значений) отрицательны, то точка равновесия является асимптотически устойчивой . Примерами таких положений равновесия являются и устойчивый фокус .
Если действительная часть хотя бы одного собственного числа положительна, то соответствующее положение равновесия является неустойчивым . Например, это может быть .
Наконец, в случае чисто мнимых корней (точка равновесия является центром ) мы имеем дело с классической устойчивостью в смысле Ляпунова .
Наша дальнейшая цель состоит в том, чтобы изучить поведение решений вблизи положений равновесия. Для систем \(2\)-го порядка это удобно делать графически с помощью фазового портрета , представляющего собой совокупность фазовых траекторий на координатной плоскости. Стрелки на фазовых траекториях показывают направление перемещения точки (т.е. некоторого конкретного состояния системы) с течением времени.
Рассмотрим подробнее каждый тип точки равновесия и соответствующие фазовые портреты.
Устойчивый и неустойчивый узел
Собственные значения \({{\lambda _1},{\lambda _2}}\) точек типа "узел" удовлетворяют условиям: \[{\lambda _1},{\lambda _2} \in \Re,\;\;{\lambda _1} \cdot {\lambda _2} > 0.\] Здесь могут возникнуть следующие частные случаи.
Корни \({{\lambda _1},{\lambda _2}}\) различны \(\left({{\lambda _1} \ne {\lambda _2}} \right)\)
и отрицательны \(\left({{\lambda _1}
Построим схематический фазовый портрет такой точки равновесия. Пусть для определенности \(\left| {{\lambda _1}} \right|
Поскольку оба собственных значения отрицательны, то решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) является
асимптотически устойчивым
. Такое положение равновесия называется устойчивым узлом
.
При \(t \to \infty\) фазовые кривые стремятся к началу координат \(\mathbf{X} = \mathbf{0}.\)
Уточним направление фазовых траекторий. Поскольку
\[
{x\left(t \right) = {C_1}{V_{11}}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{12}}{e^{{\lambda _2}t}},}\;\;
{y\left(t \right) = {C_1}{V_{21}}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{22}}{e^{{\lambda _2}t}},}
\]
то производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}{V_{21}}{\lambda _1}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{22}}{\lambda _2}{e^{{\lambda _2}t}}}}{{{C_1}{V_{11}}{\lambda _1}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{12}}{\lambda _2}{e^{{\lambda _2}t}}}}.\]
Разделим числитель и знаменатель на \({{e^{{\lambda _1}t}}}:\)
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}{V_{21}}{\lambda _1} + {C_2}{V_{22}}{\lambda _2}{e^{\left({{\lambda _2} - {\lambda _1}} \right)t}}}}{{{C_1}{V_{11}}{\lambda _1} + {C_2}{V_{12}}{\lambda _2}{e^{\left({{\lambda _2} - {\lambda _1}} \right)t}}}}.\]
В данном случае \({\lambda _2} - {\lambda _1}
В случае \({C_1} = 0\) производная при любом \(t\) равна
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{V_{22}}}}{{{V_{12}}}},\]
т.е. фазовая траектория лежит на прямой, направленной вдоль собственного вектора \({\mathbf{V}_2}.\)
Теперь рассмотрим поведение фазовых траекторий при \(t \to -\infty.\) Очевидно, что координаты \(x\left(t \right),y\left(t \right)\) стремятся к бесконечности, а производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) при \({C_2} \ne 0\) принимает следующий вид: \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}{V_{21}}{\lambda _1}{e^{\left({{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)t}} + {C_2}{V_{22}}{\lambda _2}}}{{{C_1}{V_{11}}{\lambda _1}{e^{\left({{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)t}} + {C_2}{V_{12}}{\lambda _2}}} = \frac{{{V_{22}}}}{{{V_{12}}}},\] т.е. фазовые кривые в бесконечно удаленных точках становятся параллельными вектору \({\mathbf{V}_2}.\)
Соответственно, при \({C_2} = 0\) производная равна \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{V_{21}}}}{{{V_{11}}}}.\] В этом случае фазовая траектория определяется направлением собственного вектора \({\mathbf{V}_1}.\)
С учетом рассмотренных свойств фазовых траекторий, фазовый портрет устойчивого узла имеет вид, показанный схематически на рисунке \(1.\)
Аналогичным образом можно исследовать поведение фазовых траекторий и для других типов положений равновесия. Далее, опуская детальный анализ, проведем основные качественные характеристики других точек равновесия.
Корни \({{\lambda _1},{\lambda _2}}\) различны \(\left({{\lambda _1} \ne {\lambda _2}} \right)\)
и положительны \(\left({{\lambda _1} > 0, {\lambda _2}} > 0\right).\)
В этом случае точка \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) называется неустойчивым узлом
. Ее фазовый портрет
показан на рисунке \(2.\)
Заметим, что в случае как устойчивого, так и неустойчивого узла фазовые траектории касаются прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине собственному значению \(\lambda.\)
Дикритический узел
Пусть характеристическое уравнение имеет один нулевой корень кратности \(2,\) т.е. рассмотрим случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} \ne 0.\) При этом система имеет базис из двух собственных векторов, т.е. геометрическая кратность собственного значения \(\lambda\) равна \(2.\) В терминах линейной алгебры это означает, что размерность собственного подпространства матрицы \(A\) равна \(2:\) \(\dim \ker A = 2.\) Такая ситуация реализуется в системах вида \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda x,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = \lambda y.} \] Направление фазовых траекторий зависит от знака \(\lambda.\) Здесь возможны следующие два случая:
Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} Такое положение равновесия называется устойчивым дикритическим узлом (рисунок \(3\)) .
Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} > 0.\) Данная комбинация собственных значений соответствует неустойчивому дикритическому узлу (рисунок \(4\)).
Вырожденный узел
Пусть собственные значения матрицы \(A\) снова являются совпадающими: \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} \ne 0.\) В отличие от предыдущего случая дикритического узла предположим, что геометрическая кратность собственного значения (или другими словами размерность собственного подпространства) равна теперь \(1.\) Это означает, что матрица \(A\) имеет лишь один собственный вектор \({\mathbf{V}_1}.\) Второй линейно независимый вектор, необходимый для составления базиса, определяется как вектор \({\mathbf{W}_1},\) присоединенный к \({\mathbf{V}_1}.\)
В случае \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} точка равновесия называется устойчивым вырожденным узлом (рисунок \(5\)).
При \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} > 0\) положение равновесия называется неустойчивым вырожденным узлом (рисунок \(6\)).
Положение равновесия является при условиях \[{\lambda _1},{\lambda _2} \in \Re,\;\;{\lambda _1} \cdot {\lambda _2} 0.\) Собственные значения \({\lambda _1}\) и \({\lambda _2}\) ассоциируются с соответствующими собственными векторами \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}.\) Прямые, направленные вдоль собственных векторов \({\mathbf{V}_1},\) \({\mathbf{V}_2},\) называются сепаратрисами . Они являются асимптотами для остальных фазовых траекторий, имеющих форму гипербол. Каждой из сепаратрис можно сопоставить определенное направление движения. Если сепаратриса связана с отрицательным собственным значением \({\lambda _1} 0,\) т.е. для сепаратрисы, связанной с вектором \({\mathbf{V}_2},\) движение направлено от начала координат. Схематически фазовый портрет седла показан на рисунке \(7.\)
Устойчивый и неустойчивый фокус
Пусть теперь собственные значения \({\lambda _1},{\lambda _2}\) являются комплексными числами , действительные части которых не равны нулю. Если матрица \(A\) состоит из действительных чисел, то комплексные корни будут представляться в виде комплексно-сопряженных чисел: \[{\lambda _{1,2}} = \alpha \pm i\beta .\] Выясним, какой вид имеют фазовые траектории в окрестности начала координат. Построим комплексное решение \({\mathbf{X}_1}\left(t \right)\) соответствующее собственному числу \({\lambda _1} = \alpha + i\beta:\) \[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right) = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} } = {{e^{\left({\alpha + i\beta } \right)t}}\left({\mathbf{U} + i\mathbf{W}} \right),} \] где \({\mathbf{V}_1} = \mathbf{U} + i\mathbf{W}\) − комплекснозначный собственный вектор, ассоциированный с числом \({\lambda _1},\) \(\mathbf{U}\) и \(\mathbf{W}\) − действительные векторные функции. В результате преобразований получаем \[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right) = {e^{\alpha t}}{e^{i\beta t}}\left({\mathbf{U} + i\mathbf{W}} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left({\cos \beta t + i\sin \beta t} \right)\left({\mathbf{U} + i\mathbf{W}} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left({\mathbf{U}\cos \beta t + i\mathbf{U}\sin \beta t + i\mathbf{W}\cos \beta t - \mathbf{W}\sin \beta t} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left({\mathbf{U}\cos \beta t + - \mathbf{W}\sin \beta t} \right) } + {i{e^{\alpha t}}\left({\mathbf{U}\sin \beta t + \mathbf{W}\cos \beta t} \right).} \] Действительная и мнимая части в последнем выражении образуют общее решение системы, которое имеет вид: \[ {\mathbf{X}\left(t \right) = {C_1}\text{Re}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right)} \right] + {C_2}\text{Im}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right)} \right] } = {{e^{\alpha t}}\left[ {{C_1}\left({\mathbf{U}\cos \beta t - \mathbf{W}\sin \beta t} \right)} \right. } + {\left. {{C_2}\left({\mathbf{U}\sin \beta t + \mathbf{W}\cos \beta t} \right)} \right] } = {{e^{\alpha t}}\left[ {\mathbf{U}\left({{C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t} \right)} \right. } + {\left. {\mathbf{W}\left({{C_2}\cos \beta t - {C_1}\sin \beta t} \right)} \right].} \] Представим постоянные \({C_1},{C_2}\) в виде \[{C_1} = C\sin \delta ,\;\;{C_2} = C\cos \delta ,\] где \(\delta\) − некоторый вспомогательный угол. Тогда решение записывается как \[ {\mathbf{X}\left(t \right) = C{e^{\alpha t}}\left[ {\mathbf{U}\left({\sin \delta \cos \beta t + \cos \delta \sin \beta t} \right)} \right. } + {\left. {\mathbf{W}\left({\cos\delta \cos \beta t - \sin \delta \sin \beta t} \right)} \right] } = {C{e^{\alpha t}}\left[ {\mathbf{U}\sin \left({\beta t + \delta } \right)} \right. + \left. {\mathbf{W}\cos \left({\beta t + \delta } \right)} \right].} \] Таким образом, решение \(\mathbf{X}\left(t \right)\) раскладывается по базису, заданному векторами \(\mathbf{U}\) и \(\mathbf{W}:\) \[\mathbf{X}\left(t \right) = \mu \left(t \right)\mathbf{U} + \eta \left(t \right)\mathbf{W},\] где коэффициенты разложения \(\mu \left(t \right),\) \(\eta \left(t \right)\) определяются формулами: \[ {\mu \left(t \right) = C{e^{\alpha t}}\sin \left({\beta t + \delta } \right),}\;\; {\eta \left(t \right) = C{e^{\alpha t}}\cos\left({\beta t + \delta } \right).} \] Отсюда видно, что фазовые траектории представляют собой спирали. При \(\alpha устойчивым фокусом . Соответственно, при \(\alpha > 0\) мы имеем неустойчивый фокус .
Направление закручивания спиралей можно определить по знаку коэффициента \({a_{21}}\) в исходной матрице \(A.\) Действительно, рассмотрим производную
\(\large\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize,\) например, в точке \(\left({1,0} \right):\)
\[\frac{{dy}}{{dt}}\left({1,0} \right) = {a_{21}} \cdot 1 + {a_{22}} \cdot 0 = {a_{21}}.\]
Положительный коэффициент \({a_{21}} > 0\) соответствует закручиванию спиралей против часовой стрелки, как показано на рисунке \(8.\)
При \({a_{21}}
Таким образом, с учетом направления закручивания спиралей, всего существует \(4\) различных вида фокуса. Схематически они показаны на рисунках \(8-11.\)
Если собственные значения матрицы \(A\) являются число мнимыми числами, то такое положение равновесия называется центром . Для матрицы с действительными элементами мнимые собственные значения будут комплексно-сопряженными. В случае центра фазовые траектории формально получаются из уравнения спиралей при \(\alpha = 0\) и представляют собой эллипсы , т.е. описывают периодическое движение точки на фазовой плоскости. Положения равновесия типа "центр" являются устойчивыми по Ляпунову.
Возможны два вида центра, различающиеся направлением движения точек (рисунки \(12, 13\)). Как и в случае спиралей, направление движения можно определить, например, по знаку производной \(\large\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize\) в какой-либо точке. Если взять точку \(\left({1,0} \right),\) то \[\frac{{dy}}{{dt}}\left({1,0} \right) = {a_{21}}.\] т.е. направление вращения определяется знаком коэффициента \({a_{21}}.\)
Итак, мы рассмотрели различные типы точек равновесия в случае невырожденной матрицы \(A\) \(\left({\det A \ne 0} \right).\) С учетом направления фазовых траекторий всего существует \(13\) различных фазовых портретов, показанных, соответственно, на рисунках \(1-13.\)
Теперь обратимся к случаю вырожденной матрицы \(A.\)
Вырожденная матрица
Если матрица является вырожденной, то у нее одно или оба собственных значения равны нулю. При этом возможны следующие частные случаи:
Случай \({\lambda _1} \ne 0, {\lambda _2} = 0\).
Здесь общее решение записывается в виде
\[\mathbf{X}\left(t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{\mathbf{V}_2},\]
где \({\mathbf{V}_1} = {\left({{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T},\) \({\mathbf{V}_2} = {\left({{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T},\)
− собственные векторы, соответствующие числам \({\lambda _1}\) и \({\lambda _2}.\) Оказывается, что в данном случае вся прямая, проходящая через начало
координат и направленная вдоль вектора \({\mathbf{V}_2},\) состоит из точек равновесия (эти точки не имеют специального названия). Фазовые траектории
представляют собой лучи, параллельные другому собственному вектору \({\mathbf{V}_1}.\) В зависимости от знака \({\lambda _1}\) движение
при \(t \to \infty\) происходит либо в направлении прямой \({\mathbf{V}_2}\) (рис.\(14\)), либо от нее (рис.\(15\)).
Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = 0, \dim \ker A = 2.\)
В этом случае размерность собственного подпространства матрицы равна \(2\) и, следовательно, существуют два собственных вектора \({\mathbf{V}_1}\)
и \({\mathbf{V}_2}.\) Такая ситуация возможна при нулевой матрице
\(A.\) Общее решение выражается формулой
\[\mathbf{X}\left(t \right) = {C_1}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{\mathbf{V}_2}.\]
Отсюда следует, что любая точка плоскости является положением равновесия системы.
Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = 0, \dim \ker A = 1.\)
Данный случай вырожденной матрицы отличается от предыдущего тем, что существует лишь \(1\) собственный вектор (Матрица \(A\) при этом будет
ненулевой
). Для построения базиса в качестве второго линейно независимого вектора можно взять вектор
\({\mathbf{W}_1},\) присоединенный к \({\mathbf{V}_1}.\) Общее решение системы записывается в виде
\[\mathbf{X}\left(t \right) = \left({{C_1} + {C_2}t} \right){\mathbf{V}_1} + {C_2}{\mathbf{W}_1}.\]
Здесь все точки прямой, проходящей через начало координат и направленной вдоль собственного вектора \({\mathbf{V}_1},\) являются неустойчивыми положениями
равновесия. Фазовые траектории представляют собой прямые, параллельные \({\mathbf{V}_1}.\) Направление движения вдоль этих прямых при
\(t \to \infty\) зависит от постоянной \({C_2}:\) при \({C_2} 0\) − в противоположную сторону (рис.\(16\)).
Напомним, что следом матрицы называется число, равное сумме диагональных элементов: \[ {A = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right),}\;\; {\text{tr}\,A = {a_{11}} + {a_{22}},}\;\; {\det A = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}.} \] Действительно, характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид: \[{\lambda ^2} - \left({{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}} = 0.\] Его можно записать через определитель и след матрицы: \[{\lambda ^2} - \text{tr}\,A \cdot \lambda + \det A = 0.\] Дискриминант этого квадратного уравнения определяется соотношением \ Таким образом, бифуркационная кривая , разграничивающая различные режимы устойчивости, представляет собой параболу на плоскости \(\left({\text{tr}\,A,\det A} \right)\) (рис.\(17\)): \[\det A = {\left({\frac{\text{tr}\,A}{2}} \right)^2}.\] Выше параболы находятся точки равновесия типа фокус и центр. Точки типа "центр" расположены на положительной полуоси \(Oy,\) т.е. при условии \(\text{tr}\,A = 0.\) Ниже параболы находятся точки типа "узел" или "седло". Сама парабола содержит дикритические или вырожденные узлы.
Устойчивые режимы движения существуют в левом верхнем квадранте бифуркационной диаграммы. Остальные три квадранта соответствуют неустойчивым положениям равновесия.
Алгоритм построения фазового портрета
Для схематического построения фазового портрета линейной автономной системы \(2\)-го порядка с постоянными коэффициентами \[ {\mathbf{X"} = A\mathbf{X},}\;\; {A = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right),}\;\; {\mathbf{X} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)} \] необходимо выполнить следующие действия:
Найти собственные значения матрицы, решив характеристическое уравнение \[{\lambda ^2} - \left({{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}} = 0.\]
Определить тип положения равновесия и характер устойчивости.
Примечание: Тип положения равновесия можно также определить на основе бифуркационной диаграммы (рис.\(17\)), зная след и определитель матрицы: \[ {\text{tr}\,A = {a_{11}} + {a_{22}},}\;\; {\det A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| } = {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}.} \]
Найти уравнение изоклин : \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = {a_{11}}x + {a_{12}}y}\;\; {\left(\text{вертикальная изоклина} \right),} \] \[ {\frac{{dy}}{{dt}} = {a_{21}}x + {a_{22}}y}\;\; {\left(\text{горизонтальная изоклина} \right).} \]
Если положение равновесия является узлом или , то необходимо вычислить собственные векторы и начертить параллельные им асимптоты, проходящие через начало координат.
Схематически начертить фазовый портрет.
Показать направление движения по фазовым траекториям (это зависит от устойчивости или неустойчивости точки равновесия). В случае фокуса следует определить направление закручивания траекторий. Это можно сделать, вычислив вектор скорости \(\left({\large\frac{{dx}}{{dt}}\normalsize,\large\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize} \right)\)в произвольной точке, например, в точке \(\left({1,0} \right).\) Аналогичным образом определяется направление движения, если положение равновесия является центром .
«Физика - 10 класс»
Вспомните, что такое момент силы.
При каких условиях тело находится в покое?
Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются.
Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым .
Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом . Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать.
Вспомните определение абсолютно твёрдого тела.
Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой .
В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения.
Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же 2,1 действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы 1,3 и 3,1 , 2,3 и 3,2 . Очевидно, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона
12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 и т.д.
Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения ( = 0).
На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под 1 , 2 , 3 и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через " 1 , " 2 , " 3 и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 2, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке), т. е.
" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... и т.д.
Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела.
Первое условие равновесия твёрдого тела.
Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1):
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых - векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия .
Оно является необходимым, но не является достаточным.
Итак, если твёрдое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.
Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать:
F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)
Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ.
Второе условие равновесия твёрдого тела.
Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю:
+ (-) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3).
Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода.
Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы 1 и 2 .
Кроме сил 1 и 2 , на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции 3 со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0.
Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точки приложения сил 1 и 2 пройдут пути s 1 = ВВ 1 и s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 и СС 1 при малых углах α можно считать прямолинейными отрезками). Работа А 1 = F 1 s 1 силы 1 положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа А 2 = -F 2 s 2 силы 2 отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы 2 . Сила 3 работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается.
Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s 1 = α|ВО| и s 2 = α|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так:
А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А 2 = -F 2 α|CO|.
Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил 1 и 2 , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил
Как вы уже знаете, плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда |ВО| = d 1 - плечо силы 1 , а |СО| = d 2 - плечо силы 2 . При этом выражения (7.4) примут вид
А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)
Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде
А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)
а полную работу внешних сил можно выразить формулой
А = А 1 + А 2 = (М 1 + М 2)α. α, (7.7)
Так как момент силы 1 положителен и равен М 1 = F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы 2 отрицателен и равен М 2 = -F 2 d 2 , то для работы А можно записать выражение
А = (М 1 - |М 2 |)α.
Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А ≠ 0 и соответственно М 1 + М 2 ≠ 0.
Если работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда
М 1 + М 2 = 0 . (7.8)
Уравнение (7 8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела .
При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.
Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0
.
Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому уравнению где М - суммарный момент сил, действующих на тело, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то ε = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.
Если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю.
Приложим, например к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Условия равновесия механических систем.
2. Устойчивость равновесия.
3. Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости.
Изучение данных вопросов необходимо для изучения колебательных движений механической системы относительно положения равновесия в дисциплине «Детали машин», для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Сопротивление материалов».
Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания - это повторяющиеся движения механической системыотносительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного).
Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.
Условия равновесия механических систем.
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:
где - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;
s - число обобщенных координат в механической системе.
Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.
Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:
Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
Устойчивость равновесия
Определение понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце XIX века в работах русского ученого А. М. Ляпунова. Рассмотрим это определение.
Для упрощения выкладок условимся в дальнейшем обобщенные координаты q 1 , q 2 ,..., q s отсчитывать от положения равновесия системы:
где
Положение равновесия называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого числа можно найти такое другое число , что в том случае, когда начальные значения обобщенных координат и скоростей не будут превышать :
значения обобщенных координат и скоростей при дальнейшем движении системы не превысят .
Иными словами, положение равновесия системы q 1 = q 2 = ...= q s = 0 называется устойчивым , если всегда можно найти такие достаточно малые начальные значения , при которыхдвижение системы не будет выходить из любой заданной сколь угодно малой окрестности положения равновесия . Для системы с одной степенью свободы устойчивое движение системы можно наглядно изобразить в фазовой плоскости (рис.1). Для устойчивого положения равновесия движение изображающей точки, начинающееся в области [ ] , не будет в дальнейшем выходить за пределы области .
Рис.1
Положение равновесия называется асимптотически устойчивым , если с течением времени система будет приближатьсякположению равновесия, то есть
Определение условий устойчивости положения равновесия представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому ограничимся простейшим случаем: исследованием устойчивости равновесия консервативных систем .
Достаточные условия устойчивости положений равновесия для таких системопределяются теоремой Лагранжа - Дирихле : положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум .
Потенциальная энергия механической системы определяется с точностью до постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равновесия потенциальная энергия равнялась нулю:
П (0)=0.
Тогда для системы с одной степенью свободы достаточным условием существования изолированного минимума, наряду с необходимым условием (2), будет условие
Так как в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный минимум и П (0)=0, то в некоторой конечной окрестности этого положения
П (q )=0.
Функции, имеющие постоянный знак и равные нулю только при нулевых значениях всех своих аргументов, называются знакоопределенными . Следовательно, для того, чтобы положение равновесия механической системы было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этого положения потенциальная энергия была положительно определенной функцией обобщенных координат.
Для линейных систем и для систем, которые можно свести к линейным при малых отклонениях от положения равновесия (линеаризовать), потенциальную энергию можно представить в виде квадратичной формы обобщенных координат
где - обобщенные коэффициенты жесткости.
Обобщенные коэффициенты являются постоянными числами, которые могут быть определены непосредственно из разложения потенциальной энергии в ряд или по значениям вторых производных от потенциальной энергии по обобщенным координатам в положении равновесия:
Из формулы (4) следует, что обобщенные коэффициенты жесткости симметричны относительно индексов
Для того, чтобы выполнялись достаточные условия устойчивости положения равновесия, потенциальная энергия должна быть положительно определенной квадратичной формой своих обобщенных координат.
В математике существует критерий Сильвестра , дающий необходимые и достаточные условия положительной определенности квадратичных форм: квадратичная форма (3) будет положительно определенной, если определитель, составленный из ее коэффициентов, и все его главные диагональные миноры будут положительными, т.е. если коэффициенты будут удовлетворять условиям
.....
В частности, для линейной системы с двумя степенями свободы потенциальная энергия и условия критерия Сильвестра будут иметь вид
Аналогичным образом можно провести исследование положений относительного равновесия, если вместо потенциальной энергии ввести в рассмотрение потенциальную энергию приведенной системы.
П ример определения положений равновесия и исследования их устойчивости
Рис.2
Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB , которая стержнем OO 1 соединена с горизонтальной осью вращения, и шарика, который перемещается по трубке без тренияи связан с точкой A трубки пружиной (рис.2). Определим положения равновесия системы и оценим их устойчивость при следующих параметрах: длина трубки l 2 = 1 м, длина стержня l 1 = 0,5 м. длина недеформированной пружины l 0 = 0,6 м , жесткость пружины c = 100 Н/м. Масса трубки m 2 = 2 кг, стержня - m 1 = 1 кг и шарика - m 3 = 0,5 кг. Расстояние OA равно l 3 = 0,4 м.
Запишем выражение для потенциальной энергии рассматриваемой системы. Она складывается из потенциальной энергии трех тел, находящихся в однородном поле силы тяжести, и потенциальной энергии деформированной пружины.
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна произведению веса тела на высоту его центра тяжести над плоскостью, в которой потенциальная энергия считается равной нулю. Пусть потенциальная энергия равна нулю в плоскости, проходящей через ось вращения стержня OO 1 , тогда для сил тяжести
Для силы упругости потенциальная энергия определяется величиной деформации
Найдем возможные положения равновесия системы. Значения координат в положениях равновесия есть корни следующей системы уравнений.
Подобную систему уравнений можно составить для любой механической системы с двумя степенями свободы. В некоторых случаях можно получить точное решение системы. Для системы (5) такого решения не существует, поэтому корни надо искать с помощью численных методов.
Решая систему трансцендентных уравнений (5), получаем два возможных положения равновесия:
Для оценки устойчивости полученных положений равновесия найдем все вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам и по ним определим обобщенные коэффициенты жесткости.
